数列常见题型总结经典

高中数学《数列》常见、常考题型总结

题型一 数列通项公式的求法

１．前ｎ项和法（知n S 求n a ）⎩⎨

⎧-=-11

n n n S S S a )

2()1(≥=n n

例1、已知数列}{n a 的前n 项和2

12n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122

-=,求数列|}{|n a 的前ｎ项和n T

练习：

１、若数列}{n a 的前n 项和n

n S 2=,求该数列的通项公式。答案：⎩⎨⎧=-12

2n n a )2()

1(≥=n n

2、若数列}{n a 的前n 项和32

3-=n n a S ，求该数列的通项公式。答案：n

n a 32⨯=

3、设数列}{n a 的前ｎ项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足2

2n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式.

4.n S 为{n a }的前n 项和，n S ＝3（n a －1）,求n a (n ∈N +） ５、设数列{}n a 满足2

*12333()3

n n

a a a a n N +++=

∈n-1

…+3，求数列{}n a 的通项公式(作差法） 2。形如)(1n f a a n n =-+型（累加法)

（１）若f(ｎ）为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+。 （２)若ｆ(n)为n 的函数时，用累加法.

例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111

1≥+==--n a a a n n n ，证明2

1

3-=n n a

例2．已知数列{}n a 的首项为1，且*

12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.

例３.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()

1(1

1≥-+

=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式。

3。形如

)(1

n f a a n

n =+型(累乘法) （1）当f(ｎ)为常数,即：q a a n

n =+1(其中q 是不为0的常数）,此数列为等比且n a =1

1-⋅n q a 。

(2)当f(n ）为n 的函数时，用累乘法． 例1、在数列}{n a 中111

,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式.答案:12+=n a n

练习：

1、在数列}{n a 中111

1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。答案:)1(2

+=n n a n

２、求数列)2(1

232,111

≥+-==-n a n n a a

n n 的通项公式。

4。形如s

ra pa a n n n +=

--11

型（取倒数法)

例１. 已知数列{}n a 中,21=a ，)2(1

211

≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a

练习:１、若数列}{n a 中，11=a ，131+=

+n n n a a a ，求通项公式n a 。答案：2

31

-=n a n

2、若数列}{n a 中,11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案:1

21

-=n a n

５.形如0(,1≠+=+c d ca a n n ，其中a a =1）型（构造新的等比数列）

（1)若c=1时,数列｛n a }为等差数列；(2）若d ＝０时，数列{n a ｝为等比数列；

(３)若01≠≠且d c 时，数列{n a ｝为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下:设)(1A a c A a n n +=+

+,利用待定系数法求出Ａ

例1．已知数列}{n a 中,,2

1

21,211+==+n n a a a 求通项n a ． 练习：1、若数列}{n a 中,21=a ，121-=+n n a a ,求通项公式n a 。答案:121

+=-n n a

2、若数列}{n a 中,11=a ，1321+=+n n a a ，求通项公式n a 。答案：1

)3

2(23-⨯-=n n a

6。形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列)

(1)若b kn n f +=)(一次函数（ｋ，ｂ是常数,且0≠k )，则后面待定系数法也用一次函数。

例题。 在数列{}n a 中,2

3

1=a ,3621-+=-n a a n n ,求通项n a 。

解：原递推式可化为b n k a b kn a n n

+-+=++-)1()(21

比较系数可得：ｋ=－6，b ＝9，上式即为12-=n n b b

所以{}n b 是一个等比数列,首项299611=+-=n a b ,公比为2

1

． 1)21(29-=∴n n b 即：n n n a )21(996⋅=+-，故96)2

1

(9-+⋅=n a n n .

练习:1、已知数列{}n a 中，31=a ,2431-+=+n a a n n ，求通项公式n a

（2）若n

q n f =)(（其中q 是常数，且ｎ≠0,1）

①若ｐ=１时，即：n

n n q a a +=+1，累加即可

②若1≠p 时,即：n

n n q a p a +⋅=+1，后面的待定系数法也用指数形式.

两边同除以1

+n q 。 即：

q

q a q p q a n n n n 11

1+⋅=

++, 令n

n

n q a b =

,则可化为q b q p b n n 1

1+⋅=

+。然后转化为类型5来解, 例1． 在数列{}n a 中，52

1-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--。求通项公式n a

1、已知数列{}n a 中，211=a ,n n n a a )21(21+=-，求通项公式n a .答案：12

1

++=n n n a

2、已知数列{}n a 中，11=a ,n n n a a 2331⋅+=+,求通项公式n a 。答案：n

n n a 23371⋅-⋅=-

题型二 根据数列的性质求解（整体思想)

１、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ; 2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，

327++=n n T S n n ,则=5

5b a ．