辽宁省六校协作体2020届高三第一学期开学考试试题理科数学【含解析】

2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题.1．已知集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x2，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，−√2，√2，2} 2．已知复数z满足（1﹣i）z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．12−12i D．12+12i3．设a→，b→是向量，则“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1与l3既不垂直又不平行C．l1∥l3D．l1与l3的位置关系不确定5．已知正三棱锥P﹣ABC，点P、A、B、C都在直径为√3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（）A．16B．12C．13D．1126．点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（）A．y＝12x2B．y＝﹣36x2C．y＝12x2或y＝﹣36x2D．y=112x2或y=−136x27．函数y＝cos2x+sin x﹣1的值域为（）A．[−14，14]B．[0，14]C．[﹣2，14]D．[﹣1，14]8．函数f(x)=e x+1|x|(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，为了得到y ＝sin2x 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位10．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为（ ）A ．20√6海里B ．40√6海里C ．20(1+√3)海里D ．40海里11．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ） A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张 C ．甲得8张，乙得4张 D ．甲得10张，乙得2张12．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两顶点分别为A 1，A 2，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF 上（不含端点）存在两点P 1，P 2，使得∠A 1P 1A 2＝∠A 1P 2A 2=π2，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是（ ）A ．(1，√5+12)B ．(1，√3+12)C ．(0，√5+12)D ．(32，√3+12)二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，则f(√10)+f(0)= ． 14．我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有 石．15．考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为 ．16．已知f （x ）＝x （e +lnx ），g （x ）=13x 3+32x +m ，对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g（x ）恒成立，则m 的取值范围为 ． 三、解答题（6个小题共70分）17．数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =32a n −12a 1，且a 1＝3． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =2log 3a n −1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．②求客流量的中位数．（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数．求X 的分布列和期望．19．如图所示，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． （1）证明：B 1C 1⊥CE ；（2）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为√26．求线段AM 的长．20．已知椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝﹣3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ． （1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点） （2）当|TF||PQ|最小时，求点T 的坐标．21．已知函数f （x ）＝cos x +x sin x +e x ﹣ax ．（1）若函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数f （x ）在区间[−π2，π2]上的单调区间；（2）在（1）的条件下，若x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2），求证：f′(x 1+x 22)＜0．（f '（x ）为f （x ）的导函数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，（满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0． （1）若α=π4，试判断曲线C 1和C 2的位置关系；（2）若曲线C 1与C 2交于点M ，N 两点，且P （3，0），满足|PM |+|PN |＝5|MN |．求sin α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|． （Ⅰ）解不等式：f （x ）≥﹣3x +4；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为a ，且m +n ＝a （m ＞0，n ＞0），求1m+1n的最小值．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x2，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，−√2，√2，2}【分析】利用交集性质求出x2＝2，由此能求出M∪N．解：∵集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，M∩N＝{2}，∴x2＝2，∴M∪N＝{0，1，2}．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z满足（1﹣i）z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．12−12i D．12+12i【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（1﹣i）z＝|2i|＝2，得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．设a→，b→是向量，则“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．解：若“|a→|＝|b→|”，则以a→，b→为邻边的平行四边形是菱形；若“|a→+b→|＝|a→−b→|”，则以a→，b→为邻边的平行四边形是矩形；故“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的既不充分也不必要条件；故选：D．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“|a→|＝|b→|”与“|a→+b→|＝|a→−b→|”表示的几何意义，是解答的关键．4．若空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1与l3既不垂直又不平行C．l1∥l3D．l1与l3的位置关系不确定【分析】空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，画出图象，即可判断出结论．解：空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，可得l1与l3平行、相交或为异面直线．则下列结论一定正确的是D．故选：D．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知正三棱锥P﹣ABC，点P、A、B、C都在直径为√3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（）A．16B．12C．13D．112【分析】由正三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线，由此可求得棱锥的侧棱长，然后求解三棱锥的体积．解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线即为球的一条直径．∴（√3）2＝PA 2+PB 2+PC 2＝3PA 2⇒PA ＝PB ＝PC ＝1， 所以三棱锥的体积为：13×12×1×1×1=16，故选：A ．【点评】考查的知识点是棱锥的外接球及棱锥的结构特征，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的对角线，是解答本题的关键． 6．点M （5，3）到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ） A ．y ＝12x 2B ．y ＝﹣36x 2C ．y ＝12x 2或y ＝﹣36x 2D ．y =112x 2或y =−136x 2 【分析】根据点M 到准线的距离为|3+14a|＝6，分a ＞0和a ＜0两种情况分别求得a ，进而得到抛物线方程．解：当a ＞0时，开口向上，准线方程为y =−14a ，则点M 到准线的距离为3+14a =6，求得a =112，抛物线方程为y =112x 2， 当a ＜0时，开口向下，准线方程为y =−14a ，点M 到准线的距离为|3+14a |＝6解得a =−136，抛物线方程为y =−136x 2． 故选：D ．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属基础题． 7．函数y ＝cos 2x +sin x ﹣1的值域为（ ） A ．[−14，14]B ．[0，14]C ．[﹣2，14]D ．[﹣1，14]【分析】由条件根据y ＝cos 2x +sin x ﹣1＝﹣sin 2x +sin x =−(sinx −12)2+14，再利用二次函数的性质求得函数的最值，可得函数的值域．解：∵函数y ＝cos 2x +sin x ﹣1＝﹣sin 2x +sin x =−(sinx −12)2+14，sin x ∈[﹣1，1]，故当sin x =12时，函数y 取得最大值为14；当sin x ＝﹣1时，函数y 取得最小值为﹣2，故函数y 的值域为[﹣2，14]．故选：C ．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．8．函数f(x)=e x +1|x|(e x −1)（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用函数的奇偶性，和特值进行验证．解：f （x ）为奇函数，排除A ，B ．又当x ＞0时，f （x ）＞0，且f(x)=1|x|(1+2e x −1)单调递减，故C 符合． 故选：C ．【点评】本题考查函数图象的判断，属于基础题目．9．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，为了得到y ＝sin2x 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ），(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2)的图象可得A＝1，T=2πω=2[π3−(−π6)]=π，∴ω＝2．再由五点法作图可得2×(−π6)+φ＝0，∴φ=π3．故函数的f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+π3）＝sin2（x+π6）．故把f（x）＝sin2（x+π6）的图象向右平移π6个单位长度，可得g（x）＝sin2x的图象，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．10．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）A．20√6海里B．40√6海里C．20(1+√3)海里D．40海里【分析】分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB．解：连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得ADsin30°=40sin45°，∴AD＝20√2，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD=√2CD＝40√2．在△ABD 中，由余弦定理得AB =√800+3200−2×20√2×40√2×cos60°=20√6． 故选：A ．【点评】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．11．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ） A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张 C ．甲得8张，乙得4张D ．甲得10张，乙得2张【分析】由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是投骰子，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．其中甲获胜有3种，而乙只有1种，从而得到甲乙获胜的概率．解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）． 其中甲获胜有3种，而乙只有1种， 所以甲获胜的概率是34，乙获胜的概率是14．所以甲得到的游戏牌为12×34=9，乙得到圆心牌为12×14=3； 当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌， 故选：A ．【点评】本题以实际问题为载体，考查概率的运用，解题的关键是分析再赛两局，甲、乙各自获胜的概率．12．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的两顶点分别为A 1，A 2，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF 上（不含端点）存在两点P 1，P 2，使得∠A 1P 1A 2＝∠A 1P 2A 2=π2，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是（ ）A ．(1，√5+12)B ．(1，√3+12)C ．(0，√5+12)D ．(32，√3+12)【分析】求出直线BF 的方程为bx +cy ﹣bc ＝0，利用直线与圆的位置关系，结合a ＜b ，即可求出双曲线渐近线的斜率平方的取值范围．解：由题意可设F （c ，0），B （0，b ），则直线BF 的方程为bx +cy ﹣bc ＝0， ∵在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i ＝1，2），使得∠A 1P i A 2=π2， ∴线段BF 与以A 1A 2为直径的圆相交，即√b 2+c2a ，化为b 2c 2＜a 2（b 2+c 2）， 又b 2＝c 2﹣a 2，即有a 4+a 2b 2﹣b 4＞0，可得0＜b 2a2＜1+√52，在线段BF 上（不含端点）存在两个不同的点P i （i ＝1，2）， 使得∠A 1P i A 2=π2， 可得a ＜b ，可得1＜b 2a2＜1+√52，故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查渐近线的斜率的范围，考查直线与圆的位置关系的判断，属于中档题． 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，则f(√10)+f(0)= 3 ．【分析】推导出f （√10）＝log 9（10﹣1）＝1，f （0）＝20+1＝2，由此能求出f(√10)+f(0)的值．解：∵函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，∴f （√10）＝log 9（10﹣1）＝1， f （0）＝20+1＝2，f(√10)+f(0)=1+2＝3． 故答案为：3．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有 170 石．【分析】设这批米内所夹的谷有x 石，由等可能事件概率计算公式得x1530=28252，由此能估计这批米内所夹的谷的数量．解：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．设这批米内所夹的谷有x 石，则x 1530=28252，解得x ＝170，∴估计这批米内所夹的谷有170石． 故答案为：170．【点评】本题考查米内所夹的谷数量的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为 y ＝（12）x5730．【分析】根据题意建立函数模型，利用条件，即可得出解析式 解：依题意可设y =(12)ax ，当x ＝5730时，y =12，即有12=(12)5730a ，解得a =15730， 故答案为：y ＝（(12)x5730．【点评】本题主要考查函数模型的应用，属于基础题．16．已知f （x ）＝x （e +lnx ），g （x ）=13x 3+32x +m ，对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g（x ）恒成立，则m 的取值范围为 m ≥23e √e −√e ． 【分析】分离参数m ，即要使原式成立，只需m ≥−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12时恒成立．构造函数h(x)=−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12，利用导数求该函数的最大值即可．解：由题意，要使对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g （x ）恒成立，只需m ≥−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12时恒成立，令h(x)=−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12， 则h′(x)=−x 2+lnx +e −12，易知h′(√e)=0，而h″(x)=−2x +1x =1−2x 2x ，当x ∈[12，√22)时，h ″（x ）＞0，h ′（x ）递增；当x ∈(√22，+∞]时，h ″（x ）＜0，h ′（x ）递减．结合h′(12)=e −ln2−34＞0，h′(√22)=e −1−12ln2＞0，∴x ∈[12，√e)时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增；x ∈(√e ，+∞]时，h （x ）递减．故h(x)max =h(√e)=23e √e −√e ．所以要使原式恒成立，只需m ≥23e √e −√e ．故答案为：m ≥23e √e −√e ．【点评】本题考查导数在研究不等式恒成立问题中的应用，不等式恒成立问题，一般是先转化为函数的最值，然后再利用导数研究函数的单调性来处理，能分离参数的一般要分离参数．同时考查学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养．属于较难的题目．三、解答题（6个小题共70分）17．数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =32a n −12a 1，且a 1＝3． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n=2log3a n−1a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由S n=32a n−12a1①，可得S n+1=32a n+1−12a1②，由②﹣①可得a n+1＝3a n，再由a1＝3可求得a n；（2）根据（1）中求出的a n可得b n＝（2n﹣1）（13）n，再利用错位相减法求出T n．解：（1）由S n=32a n−12a1①，可得S n+1=32a n+1−12a1②，由②﹣①可得a n+1=32a n+1−32a n，即a n+1＝3a n．又a1＝3，所以数列{a n}是首项、公比均为3的等比数列，∴a n＝3n；（2）由（1）知a n＝3n，∵b n=2log3a n−1a n，∴b n=2n−13n，∴T n=13+3×（13）2+5×（13）3+⋯+2n−13n③，13T n＝（13）2+3×（13）3+…+（2n﹣3）（13）n+2n−13n+1④，由③﹣④可得23T n=13+2[（13）2+（13）3+…+（13）n]−2n−13n+1=13+2×(13)2[1−(13)n−1]1−13−2n−1 3n+1=23−2+2n3n+1，∴T n＝1−1+n 3n．【点评】本题主要考查由数列的前n项和与第n项的关系式求通项公式及错位相减法求数列的和，属于基础题．18．港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．②求客流量的中位数．（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n天，从这n天中任取两天，设X为这两天中客流量超过7万人的天数．求X的分布列和期望．【分析】（1）①由频率分布直方图中的数据即可得解；②设中位数为x，根据中位数的性质列出关于x的方程，解之即可得解；（2）先由频率分布直方图中的数据分别求出100天中客流量超过5万人次和超过7万次的天数，确定X的取值为0，1，2，再根据超几何分布逐一计算每个X的取值所对应的概率即可得到分布列，进而可得数学期望．解：（1）①客流量的平均数为（2.5×0.2+3.5×0.25+4.5×0.4+5.5×0.05+6.5×0.05+7.5×0.05）×1＝4.15；②设中位数为x，则0.20+0.25+0.40（x﹣4）＝0.5，解得x＝4.125，故客流量的中位数为4.125．（2）从频率分布直方图可知，客流量超过5万人次的频率为0.05×3×1＝0.15，∴n＝100×0.15＝15，而客流量超过7万人的天数为100×0.05×1＝5天，∴随机变量X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）=C102C50C152=45105=37，P（X＝0）=C101C51C152=50105=1021，P（X＝0）=C100C52C152=10105=221．∴X的分布列为：X012P371021221数学期望E（X）=0×37+1×1021+2×221=23．【点评】本题考查频率分布直方图中的数字特征、超几何分布和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．19．如图所示，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． （1）证明：B 1C 1⊥CE ；（2）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为√26．求线段AM 的长．【分析】（1）证明CC 1⊥B 1C 1，B 1C 1⊥C 1E ，可得B 1C 1⊥平面CC 1E ，即可证明结论； （2）连结D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，求出EH ，利用余弦定理建立方程，即可求线段AM 的长．【解答】（1）证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， 所以CC 1⊥B 1C 1．因为AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点， 所以B 1E =√5，B 1C 1=√2，EC 1=√3，从而B 1E 2＝B 1C 12+EC 12，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ．又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1， 所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE ．（2）解：连结D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1， 连结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH =√26x ，AH =√346x ．在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1=√2，得EH =√2MH =13x ．在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2+EH 2﹣2AE •EH cos 135°，得1718x 2＝1+19x 2+√23x ．整理得5x 2﹣2 √2x ﹣6＝0，解得x =√2（负值舍去）， 所以线段AM 的长为√2．【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，考查余弦定理，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题． 20．已知椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝﹣3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ． （1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点） （2）当|TF||PQ|最小时，求点T 的坐标．【分析】（1）设T 的坐标，可得直线TF 的斜率，由题意可得直线PQ 的斜率，进而求出直线PQ 的方程，将直线PQ 与椭圆联立求出两根之和，进而求出PQ 的中点坐标，求出直线OT ，OM 的斜率可得斜率相等可得线段OT 平分线段PQ ； （2）由（1）得|PQ |的长，|TF |的长，求出|TF||PQ|，换元，由均值不等式可得|TF||PQ|最小值，同时求出T 的坐标解：（1）证明：由题意设T （﹣3，m ），椭圆的左焦点F （﹣2，0），所以K FT =m−3+2=−m ， 所以k PQ =1m， 设直线PQ 的直线方程为：y =1m（x +2），即x ＝my ﹣2， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），设PQ 的中点M ，将直线PQ 与椭圆的方程联立{x =my −2x 26+y 22=1整理可得：（3+m 2）y 2﹣4my ﹣2＝0，y 1+y 2=4m 3+m 2，x 1+x 2＝m （y 1+y 2）﹣4=−123+m 2， 所以中点M （−63+m2，2m 3+m 2），因为k OT =m −3=−m 3，k OM =2m3+m 2−63+m 2=−m3， 所以k OT ＝k OM ，所以线段OT 平分线段PQ ．（2）由（1）可得：|PQ |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√16m 2(3+m 2)2−4⋅−23+m 2=2√6(1+m 2)3+m 2， 而|FT |=√m 2+(−3+2)2=√1+m 2， 所以|FT||PQ|=22√6√1+m 2=2√6⋅2+(√1+m 2)2√1+m 2，令t =√1+m 2≥1，所以2+t 2t=2t+t ≥2√2，当且仅当t =√2时取等号，即m ＝±1，所以|FT||PQ|≥√22√6=√33，这时T （﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．【点评】本题考查直线与椭圆的综合及换元法的应用和均值不等式的应用，属于中档题． 21．已知函数f （x ）＝cos x +x sin x +e x ﹣ax ．（1）若函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数f （x ）在区间[−π2，π2]上的单调区间；（2）在（1）的条件下，若x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2），求证：f′(x 1+x 22)＜0．（f '（x ）为f （x ）的导函数）【分析】（1）根据切点处的导数为0，可求出a 的值，然后令导数大于0或小于0，即可求出单调区间；（2）根据（1）的结论，将结论转化为证明x 1+x 2＜0，结合f （x 1）＝f （x 2），进一步转化为f （x ）﹣f （﹣x ）＞0，x ∈(0，π2]成立．构造函数h （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ），利用导数研究单调性容易证明．解：（1）f ′（x ）＝x cos x +e x ﹣a ，k ＝f ′（0）＝e 0﹣a ＝0，∴a ＝1． ∴f ′（x ）＝x cos x +e x ﹣1，当x ∈[−π2，0)，f′(x)＜0，f(x)递减； 当x ∈(0，π2]时，f′(x)＞0，f(x)递增．所以函数f （x ）的递增区间为[0，π2]，递减区间为[−π2，0]． （2）由（1）可知，x 1，x 2异号，不妨设−π2≤x 1＜0＜x 2≤π2． 则−π4＜x 1+x 22＜π4，因为f （x ）在[−π2，0]上递减， 故要证f′(x 1+x 22)＜0，只需证x 1+x 22∈[−π2，0]，即证x 1＜﹣x 2． 因为x 1，−x 2∈[−π2，0]，所以只需证f （x 1）＞f （﹣x 2），又x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2）， 只需证f （x 2）＞f （﹣x 2），即f （x 2）﹣f （﹣x 2）＞0． 不妨令h （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ），x ∈∈[0，π2]．∵h ′（x ）＝f ′（x ）+f ′（﹣x ）＝x cos x +e x ﹣1﹣x cos （﹣x ）+e ﹣x ﹣1 =e x +e −x −2＞2√e x ⋅e −x −2=0．所以h （x ）在[0，π2]递增，∴h （x ）＞h （0）＝0． 所以f(x 1+x 22)＜0． 【点评】本题考查导数的几何意义及导数在研究函数的单调性、与不等式有关的问题之应用．同时体现了对学生的逻辑推理、数学运算、以及直观想象等数学核心素养的考查．属于较难的题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0．（1）若α=π4，试判断曲线C 1和C 2的位置关系；（2）若曲线C 1与C 2交于点M ，N 两点，且P （3，0），满足|PM |+|PN |＝5|MN |．求sin α的值．【分析】（1）利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，进一步判定曲线间的位置关系．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．解：（1）当α=π4，所以曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π）转换为{x =3+tcos π4y =tsin π4，转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣3＝0． 曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0．转换为直角坐标方程为x 2+y 2+2x ＝0，转换为（x +1）2+y 2＝1，所以圆心（﹣1，0）到直线的距离d =4√2=2√2＞1，所以曲线C 1和C 2的位置关系为相离．（2）将曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），代入x 2+y 2+2x ＝0，整理得t 2+8t cos θ+15＝0，所以t 1+t 2＝﹣8cos θ，t 1t 2＝15．由于满足|PM |+|PN |＝5|MN |．所以|t 1+t 2|＝5|t 1﹣t 2|，整理得24（﹣8cos θ）2＝100×15．所以cos 2θ=125128， 所以sinθ=√616． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|．（Ⅰ）解不等式：f （x ）≥﹣3x +4；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为a ，且m +n ＝a （m ＞0，n ＞0），求1m +1n 的最小值．【分析】（Ⅰ）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出a 的值，根据m +n ＝4以及基本不等式的性质求出代数式的值即可．解：（Ⅰ）f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|={−3x −2，x ＜−2x +6，−2≤x ≤23x +2，x ＞2可得当x ＜﹣2时，﹣3x ﹣2≥﹣3x +4，即﹣2≥4，所以无解；当﹣2≤x ≤2时，x +6≥﹣3x +4，得x ≥−12，可得−12≤x ≤2； 当x ＞2时，3x +2≥﹣3x +4，得x ≥13，可得x ＞2．∴不等式的解集为{x|x ≥−12}． （Ⅱ）根据函数f(x)={−3x −2，x ＜−2x +6，−2≤x ≤23x +2，x ＞2可知当x ＝﹣2时，函数取得最小值f （﹣2）＝4，可知a ＝4，∵m +n ＝4，m ＞0，n ＞0，∴1m +1n =14(m +n)(1m +1n )=14(1+1+n m +m n )≥14(2+2)=1． 当且仅当n m =m n ，即m ＝n ＝2时，取“＝”． ∴1m +1n的最小值为1． 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

2
的面积.
18．（本小题满分 12 分）
已知正三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AA1 2 ， D 是 BC 的中点． （1）求证： A1B ∥平面 ADC1 ； （2）求锐二面角 D AC1 C 的余弦值．
19．（本小题满分 12 分） 某工厂计划建设至少 3 个，至多 5 个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品 A 的未来需
要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近 2 :1 ，我们称这种满足了 2 :1 的矩形为“优美”矩形。现有
一长方体 ABCD A1B1C1D1 ， AD1 2 6 ， AC 2 5 ， AC1 2 7 ，则此长方体的表面六个矩形中，
“优美”矩形的个数为
.
15．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 1， 2Sn an1 1 则 Sn =
x
的声音对应的等级为
f
( x)dB
，则有
f
(x)
10
lg
x 11012
，则 90dB 的声音与 50dB 的声音
强度之比为（ ）
A．10
B．100
C．1000
D．10000
7．函数 y tan 2x 图象的对称中心坐标为（ ）
A． (2k ,0), k Z
B． (k ,0), k Z
C． ( k ,0), k Z 2
D．（2，+∞）
A． i
B． 1
C．1
3．已知
a
log0.3
2，b
1
23
,c
20.3
，则
a、b、c
的大小关系是（
D． i
）
A． a<b<c
B，a<c<b

由 M N 2 可知 2 M ，进而可求得集合 M ，即可求得 M N .
【详解】集合 M 0，x2 ， N 1, 2 ， M N 2 ，
则 2 M ，所以 M 0，2 ， 则 M N =0,1, 2 ，
故选：C.
【点睛】本题考查了元素与集合关系，根据交集运算结果得集合，集合并集的简单运算，属
根据 l1 l2 ， l2 l3 ，将三条线段置于正方体中，即可判断各选项.
【详解】空间中三条两两不同的直线 l1 ， l2 ， l3 ，满足 l1 l2 ， l2 l3 ，
位置关系可如下图所示：
-2-
根据图示可知，当 l1 取两个不同位置时，满足 l1 l2 ， l2 l3 ，可排除 ABC 选项，
1 i
故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
-1-
3.设
a,
b
是向量，则“
a
b
”是“
a
b
a
b
”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由
a
b
无法得到
a
b
a
b
-8-
13.已知函数 f x log9
x2 1 , x 0 ，则 f
10 f 0 ______．
2x1, x 0
【答案】3
【解析】
【分析】
利用分段函数解析式，求得所求表达式的值.
【详解】依题意， f 10 f 0 log9 10 1 2 01 1 2 3 .
故答案为 3 .
【答案】D

且由频率分布直方图估计 ， ，
又 ，
所以事件 的概率估计为 ．。。。。。。。6分
（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为 ， ，
故任取一件产品是三等品的概率估计值为 ，
从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，
故利润估计为 元．
（3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，
辽宁省六校协作体2020年上学期高三数学第一次联考试题答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1-8: A BCC DBDB
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
9：AB；10：BD ；11：BD；12：AC
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.0.414.－280
cos(2α－ )＝－ cos 2α＋ sin 2α＝－ .。。。。。。。10分
18.解：（1） ，所以 ，
所以 ，检验，此时 ， ，
所以 ， 为偶函数；。。。。。。。4分
（2） ，令 ，所以，
设 在 上有最小值，所以 ，m<0；。。。。8分
（3） ，所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ．
（1） 即m≥0，解集为R；
因为
递增， 的值域为
（i）当 时， 在 上单调递增，
又 ，
所以 在[1,e]上的值域为 ,
所以
即 ，
（ii）当 时，因为 时， 递减， 时， 递增，且 ，
所以只需
即 ，所以
（iii）当 时，因为 在 上单调递减，且 ，
所以不合题意.
综合以上，实数 的取值范围是 .。。。。。12
所以函数的单调递减区间为[ ]（k∈Z）．。。。。6分