最短路径问题教学设计
教学目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化的数学思想。
3、通过探究活动，培养学生的探究能力、数学归纳能力，分析问题和解决问题的能力。
教学重点：
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 教学难点：
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，以及如何证明最短。 教学过程：
一、复习引入：
1、从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选择哪条 路距离最短？你的理由是什么？ ２、牧人在Ａ地想到河边去饮马，怎样走最近？
你的理由是什么？
处理方式：由学生独立回答。 回顾知识：①两点之间，线段最短。（三角形两边之和大于第三边） ②垂线段最短。 二、问题探究： 1、点A 、B 在直线L 的两侧，点C 是直线L 上的
一个动点，当点C 在L 的什么位置时，AC+CB 最小？
处理方式：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，
老师加以点评。 2、牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
处理方式：
①要求学生看教材85页第2、3自然段。
②你能将这个问题转化为数学问题吗？ 点A 、B 在直线L 的两侧，点C 是直线L 上的一个动点，
当点C 在L 的什么位置时，AC+CB 最小？
（给学生时间自己思考解决问题的方法，若有困难可作如下引导）
③此问若能转化为1问中的问题，点A 、B 在直线L 的两侧问题就简单了，那你能在L 的另一侧找到一个这样的点B ′，使B ′C ＝BC 吗？
④用同样的方法作点A 关于L 的对称点A ′，得到的点C 的位置是一样吗？试一试。
三、问题验证：
１、你能用所学的知识证明ＡＣ+ＣＢ最短吗？
处理方式：引导学生分析并证明。（老师板书）
２、回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助了什么解决问题的？ 处理方式：引导学生进行归纳总结。
A
B 河 Ａ L A B L
A B
四、拓展应用：
１、如图，点Ｃ、Ｄ在∠ＡＯＢ的ＯＢ边上，
点Ｃ和Ｃ′关于ＯＡ对称，且ＣＤ＝５，
Ｃ′Ｄ＝７，点Ｐ为ＯＡ上的一动点，
点Ｐ在何处时△ＰＣＤ的周长最小为＝________ 。 ２、如图，△ＡＢＣ为等边△,AD 为ＢＣ边上的高线，
点Ｅ为ＡＢ边上的一定点，点Ｐ为ＡＤ上一动点，
点Ｐ在何处时，ＰＢ+ＰＥ最小，作图并说明。
３、知识学习：在数学中有一个关于直角三角形的勾股定理， 其内容是：在Ｒt △中，若两直角边为a 和b ，斜边为c ，
则有a 2+b 2=c 2。如a=1,b=2,则c 2=12+22=5,那么c=5, 利用所学知识解决下面问题： 如图，在平面直角坐标系内，点Ａ为（２，０），点Ｂ为（１，４）， （１）请在平面直角坐标系内描出点Ａ和点Ｂ
（２）点Ｐ为y 轴上一动点，求ＰＡ+ＰＢ的最小值。
五、课堂小结
六、预留作业：
１、一旅游船从大桥ＡＢ的Ｐ处前往山脚下的Ｑ处接游客， 然后将游客送往河岸ＢＣ上，再回到这P 处，
请画出旅游船的最短路径。
２、教材９３页复习题１３第１５题。
七、课堂小结
八、板书设计 桥 C 河岸 B A 山 Q
Ｄ Ｂ A
Ｏ Ｃ
Ｃ′ B A Ｃ Ｄ Ｅ Ｐ c b a
