13.4最短路径问题教案

13.4课题学习最短路径问题教案1. 教学目标•理解最短路径问题的概念，并能够用数学方法解决问题；•学会使用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法求解最短路径问题；•能够应用最短路径算法解决实际问题。

2. 教学准备•教材《人教版八年级上册数学》；•课件和平面图纸；•笔、纸、计算器等学习工具。

3. 教学过程3.1 导入新课•引导学生回忆并复习最短路径的概念，提问：什么是最短路径问题？在生活中你遇到过哪些最短路径问题？•提出本节课的学习目标：本节课我们将学习如何使用最短路径算法解决问题。

3.2 讲解最短路径算法•通过课件演示，介绍迪杰斯特拉（Dijkstra）算法的基本思想和步骤。

•让学生观察演示，并与其实际经验联系，让他们理解算法的原理。

3.3 示例演练•给出一个具体的图模型，以实际问题为背景，让学生通过计算找到最短路径。

•引导学生使用迪杰斯特拉算法的步骤，一步一步地解答问题。

•让学生自己尝试计算，并用白板记录解题过程。

3.4 练习训练•给学生分发练习题，让他们在规定时间内解答问题。

•在解答结束后，与学生一起讨论答案和解题思路。

•解答过程中，引导学生关注算法的优化，比较不同方法的时间复杂度和空间复杂度。

3.5 拓展应用•通过课堂讨论和实例分析，引导学生拓展到更多实际应用，如电路设计、物流路径优化等。

•鼓励学生积极思考，并给予一定的发散思维的空间。

4. 总结与反思4.1 知识总结•通过本节课的学习，了解了最短路径问题的概念和解决思路；•学会使用迪杰斯特拉算法求解最短路径问题；•发现了最短路径问题在实际生活中的应用。

4.2 学习反思•学生通过课堂演练和练习题，掌握了最短路径算法的基本步骤；•课堂上学生的参与度和思维能力都较高，但个别学生对于算法的代价和优化还存在理解欠缺的情况。

4.3 教学反馈•在课堂上积极引导学生思考和讨论，帮助学生更好地理解和运用最短路径算法；•对于学生在课堂上的表现和习题的完成情况给予及时的反馈和指导。

13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。

2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。

从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。

本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。

体会数学在实际生活中的价值。

2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。

三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。

第十三章轴对称13.4 课题学习最短路径问题【教材分析】教学目标知识技能能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.过程方法在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想.情感态度通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题【教学流程】环节导学问题师生活动二次备课情境引入如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．教师出示问题，引导学生思考、回答，引入课题。

自主探究探究点一探索最短路径问题活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用教师出示问题情境，激发学生学习兴趣和探究欲望.合作交流自主探究合作交流轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？答：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图)．问题2：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？追问4：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？展示点评：作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l交于点C.则点C即为所求．追问5、你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:教师引导学生，联想轴对称知识解决，尝试作法，师生共同矫正，教师引导学生通过合作交流完成证明；证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′.即AC＋BC最短.探究点二选址造桥问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)展示点评：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b 于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短．理由如下：如图，点M′为直线a上任意一点(不与点M重合)，∵线段A′N′是线段AM平移得到的∴AA′＝MN′，A′N′＝AM∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′∵MN平行AA′且MN＝AA′学生证明后，教师提出下面问题，引导学生小组讨论解决：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，师生共总结方法：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题．利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点C 不重合)与A，B两点的距离和都大于AC＋BC，就说明AC＋BC最小. C′的代表的是除点C以外直线l上的任意一点．教师引导学生自主、合作探寻解题思路，展示；方法总结：解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法将河的宽度为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距∴MN可以看作是AA′经过平移得到的∴A′N＝AM∴AM＋NB＝A′N＋NB∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB ＝A′B<A′N′＋BN′∴AM＋NB＝A′N＋NB∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB ＝A′B<A′N′＋BN′∴AM＋NB<AM′＋BN′∵MN＝MN′∴AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B，即路径AMNB最短．离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法(如利用轴对称或平移等)转化在一条线段上，从而解决这个问题．尝试应用1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是米.4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计（新版）新人教版一. 教材分析“课题学习最短路径问题”是人教版八年级数学上册第13.4节的内容。

这部分内容主要让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

教材通过引入一个实际问题，引导学生探讨并找出解决问题的方法，从而培养学生解决问题的能力和兴趣。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了图论的基本知识，如图的定义、图的表示方法等。

但是，对于图的最短路径问题，学生可能还没有直观的理解和认识。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的已有知识，通过实例讲解、动手操作等方式，帮助学生理解和掌握最短路径问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探讨实际问题，培养学生解决问题的能力和兴趣。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的热爱，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的实际应用，图论中的最短路径算法。

2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出最短路径问题，并运用图论知识解决。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.实例讲解法：通过具体的实例，讲解最短路径问题的解决方法，帮助学生理解和掌握。

3.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对最短路径问题的理解。

六. 教学准备1.教学素材：准备一些实际问题的案例，以及相关的图论知识介绍。

2.教学工具：多媒体教学设备，如PPT等。

3.学生活动：让学生提前预习相关内容，了解图论的基本知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入最短路径问题，激发学生的学习兴趣。

例如，讲解从一个城市到另一个城市，如何找到最短的路线。

2.呈现（15分钟）讲解最短路径问题的定义，以及图论中最短路径算法的基本原理。

通过PPT等教学工具，展示相关的知识点，让学生直观地了解最短路径问题。

人教版数学八年级上册教学设计《13-4 课题学习最短路径问题》一. 教材分析《13-4 课题学习最短路径问题》是人教版数学八年级上册的教学内容。

这一课题主要让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握解决最短路径问题的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这一课题前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，具备了一定的数学思维能力。

但对于解决实际问题的能力还有待提高，因此，在教学过程中，需要注重引导学生将数学知识应用到实际问题中。

三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义。

2.掌握解决最短路径问题的方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的背景和意义，解决最短路径问题的方法。

2.教学难点：如何将实际问题转化为最短路径问题，如何运用图论知识解决最短路径问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.案例教学法：分析具体的最短路径问题，让学生在分析中掌握解决方法。

3.小组合作学习法：培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.课件：制作课件，展示最短路径问题的实际应用场景。

2.案例：收集一些具体的最短路径问题，用于教学实践。

3.教学工具：尺子、圆规、直尺等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示最短路径问题的实际应用场景，如地图导航、物流配送等，引导学生关注最短路径问题。

2.呈现（10分钟）介绍最短路径问题的背景和意义，提出解决问题的方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析具体的最短路径问题，选取小组代表进行分享，讲解解决问题的思路和方法。

4.巩固（10分钟）针对学生分享的最短路径问题，进行总结和点评，引导学生明确解决最短路径问题的关键步骤。

5.拓展（10分钟）让学生思考如何将最短路径问题应用到实际生活中，提出自己的见解和想法。