当前位置：文档之家 › 2006年高考第一轮复习数学：9.6 空间向量及其运算(B)

2006年高考第一轮复习数学：9.6 空间向量及其运算(B)

  • 格式：doc
  • 大小：1.17 MB
  • 文档页数：9

9.6 空间向量及其运算（B ）●知识梳理空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量，即平行四边形法则及三角形法则. a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉. a 2=|a |2.a 与b 不共线，那么向量p 与a 、b 共面的充要条件是存在实数x 、y ，使p =x a +y b . a 、b 、c 不共面，空间的任一向量p ，存在实数x 、y 、z ，使p =x a +y b +z c . ●点击双基1.在以下四个式子中正确的有 a+b ·c ，a ·（b ·c ），a （b ·c ），|a ·b|=|a||b| A.1个 B.2个 C.3个 D.0个解析：根据数量积的定义，b ·c 是一个实数，a +b ·c 无意义.实数与向量无数量积，故a ·（b ·c ）错，|a ·b |=|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|，只有a （b ·c ）正确.答案：A2.设向量a 、b 、c 不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是 A.{a +b ，b －a ，a } B.{a +b ，b －a ，b } C.{a +b ，b －a ，c } D.{a +b +c ，a +b ，c }解析：由已知及向量共面定理，易得a +b ，b －a ，c 不共面，故可作为空间的一个基底，故选C.答案：C3.在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，向量B A '、D A '、是 A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解析：∵D A －B A =D B '=BD ， ∴B A 、D A 、BD 共面.答案：C4.已知a =（1，0），b =（m ，m ）（m ＞0），则〈a ，b 〉=_____________. 答案：45°5.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则=_____________.解析：∵=++， 又=++，两式相加，得2=（+EC ）+（+CD ）+（+）.∵E 是AC 的中点，故EA +EC =0.同理，BF +DF =0.∴2EF = AB +CD =（a －2c ）+（5a +6b －8c ）=6a +6b －10c .∴EF =3a +3b －5c . 答案：3a +3b －5c ●典例剖析【例1】 证明空间任意无三点共线的四点A 、B 、C 、D 共面的充分必要条件是：对于空间任一点O ，存在实数x 、y 、z 且x +y +z =1，使得OA =x OB +y OC +z OD .剖析：要寻求四点A 、B 、C 、D 共面的充要条件，自然想到共面向量定理.解：依题意知，B 、C 、D 三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A 、B 、C 、D 共面 对空间任一点O ，存在实数x 1、y 1，使得OA =OB +x 1BC +y 1BD =OB +x 1（OC －OB ）+y 1（OD －OB ）=（1－x 1－y 1）OB +x 1OC +y 1OD ，取x =1－x 1－y 1、y =x 1、z =y 1，则有OA =x OB +y OC +z OD ，且x +y +z =1.特别提示向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础.共（线）面向量基本定理给出了向量共（线）面的充要条件，可用以证明点共（线）面.本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用.【例2】 在平行四边形ABCD 中，AB =AC =1，∠ACD =90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B 、D 间的距离.解：如下图，因为∠ACD =90°，AACBDD(1)(2)所以· =0.同理，·=0. 因为AB 与CD 成60°角，所以〈，〉=60°或120°.因为=＋＋，所以2=2＋2＋2＋2·＋2·＋2·=2＋2＋2＋2·=3＋2×1×1×cos 〈，〉=4 （〈BA ，〉=60°）， 2 （〈BA ，〉=120°）.所以｜｜=2或2，即B 、D 间的距离为2或2.【例3】 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BD 1交平面ACB 1于点E ，A AD DB BC C1111EM求证：（1）BD 1⊥平面ACB 1； （2）BE =21ED 1. 证明：（1）我们先证明BD 1⊥AC .∵1BD = BC + CD +1DD ，AC = AB +BC ，∴1BD ·AC =（BC +CD +1DD ）·（AB +BC ）=BC ·BC + CD ·AB =BC ·BC －AB ·AB =|BC |2－|AB |2=1－1=0.∴BD 1⊥AC .同理可证BD 1⊥AB 1，于是BD 1⊥平面ACB 1. （2）设底面正方形的对角线AC 、BD 交于点M ，则BM =21BD = 2111D B ，即2BM =11D B .对于空间任意一点O ，设OB =b ，OM =m ，1OB =b 1，1OD =d 1，则上述等式可改写成2（m －b ）=d 1－b 1或b 1+2m =d 1+2b .记2121++m b =2121++bd =e .此即表明，由e 向量所对应的点E 分线段B 1M 及D 1B 各成λ（λ=2）之比，所以点E 既在线段B 1M （B 1M ⊂面ACB 1）上又在线段D 1B 上，所以点E 是D 1B 与平面ACB 1之交点，此交点E 将D 1B 分成2与1之比，即D 1E ∶EB =2∶1.∴BE =21ED 1. 思考讨论利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.●闯关训练 夯实基础1.平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，A 1 =c ，则下列式子中与B 1相等的是A AB BC CD11MA.－21a + 21b +cB.21a + 21b +c C. 21a － 21b +cD.－ 21a － 21b +c解析：M B 1=B B 1 + BM =B B 1+ 21（BA +BC ）=A A 1－ 2111B A + 2111D A =c －21a + 21b ，故选A. 答案：A2.O 、A 、B 、C 为空间四个点，又OA 、OB 、OC 为空间的一个基底，则 A.O 、A 、B 、C 四点不共线B.O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线C.O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线D.O 、A 、B 、C 四点不共面解析：由基底意义，、、三个向量不共面，但A 、B 、C 三种情形都有可能使、、共面.只有D 才能使这三个向量不共面，故应选D.答案：D3.已知a +3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉=_____________. 解析：由条件知（a +3b ）·（7a －5b ）=7|a |2－15|b |2+16a ·b =0，及（a －4b ）·（7a －2b ）=7|a |2+8|b |2－30a ·b =0.两式相减得46a ·b =23|b |2，∴a ·b =21|b |2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a |=|b |.∴cos 〈a ，b 〉=||||b a b a ⋅=22||21||b b =21.∴〈a ，b 〉=60°.答案：60°4.试用向量证明三垂线定理及其逆定理.已知：如下图，PO 、P A 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是P A 在α内的射影，a α，求证：a ⊥P A ⇔a ⊥OA.证明：设直线a 上非零向量a ，要证a ⊥P A ⇔a ⊥OA ，即证a ·AP =0⇔a · =0. ∵aα，a · =0，∴a ·=a ·（+）=a ·+a ·=a ·.∴a ·=0⇔a ·=0，即a ⊥P A ⇔a ⊥OA .评述：向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具.在应用过程中，常需要通过加、减法对向量进行转换，当然，转换的方向是有利于计算向量的数量积.5.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C ，求证：AB 1=A 1C.A 1证明：∵A 1=)()(,,11111111111CC C C A BC A CC BC C C A +⋅+=⋅++=11C A ·,021=-C C∴AB =AC .又A 1A =B 1B ，∴A 1C =AB 1.评述：本题在利用空间向量来解决位置关系问题时，要用到空间多边形法则、向量的运算、数量积以及平行、相等和垂直的条件.培养能力6.沿着正四面体OABC 的三条棱、、的方向有大小等于1、2、3的三个力f 1、f 2、f 3.试求此三个力的合力f 的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦.A解：用a 、b 、c 分别代表棱、、上的三个单位向量，则f 1=a ，f 2=2b ，f 3=3c ，则f =f 1+f 2+f 3=a +2b +3c ，∴|f |2=（a +2b +3c ）·（a +2b +3c ）=|a |2+4|b |2+9|c |2+4a ·b +6a ·c +12b ·c =1+4+9+4|a ||b |cos 〈a ，b 〉+6|a ||c |cos 〈a ，c 〉+12|b ||c |cos 〈b ，c 〉=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25.∴|f |=5，即所求合力的大小为5，且cos 〈f ，a 〉=|a ||f |a f ⋅=532|2ca b a a ⋅+⋅+|=52311++=107. 同理，可得cos 〈f ，b 〉=54，cos 〈f ，c 〉=109. 7.在空间四边形ABCD 中，求证：·+· +·BC =0.证法一：把拆成+后重组，·+·+·=（ + CB ）·CD +AC ·+·=AC ·CD +CB ·CD +AC ·+·=AC ·（CD +DB ）+CB ·（CD +DA ）=AC ·CB +CB ·CA = CB ·（AC +CA ）=CB ·0=0.证法二：如下图，设a =DA ，b = DB ，c =，则AB ·+·DB +AD ·BC =（b －a ）·（－c ）+（c －a ）·b +（－a ）·（c －b ）=－b ·c +a ·c +c ·b －a ·b －a ·c +a ·b =0.D评述：把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的运算规则没有变.证法一中体现了向量的拆分重组技巧，要求较高；证法二设定三个向量为基底，而原式中所有向量化归为关于a 、b 、c 的式子，化简时的思路方向较清楚.探究创新8.（2004年全国Ⅰ，理20）如下图，已知四棱锥P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面P AD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.（1）解：如下图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O .连结OB 、OA 、OD ，OB 与AD 交于点E ，连结PE .∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB .∵P A =PD ，∴OA =OD .于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，∴PE ⊥AD .由此知∠PEB 为面P AD 与面ABCD 所成二面角的平面角，∴∠PEB =120°，∠PEO =60°.由已知可求得PE =3，∴PO =PE ·sin60°=3×23=23，即点P 到平面ABCD 的距离为23. （2）解法一：如下图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA .P （0，0，23），B （0，233，0），PB 中点G 的坐标为（0，433，43），连结AG .又知A （1，23，0），C （－2，233，0）.由此得到 =（1，－43，－43），PB =（0，233，－23），=（－2，0，0）.于是有·=0，BC ·=0，∴⊥，⊥. ，的夹角θ等于所求二面角的平面角. 于是cos θ=－772， ∴所求二面角的大小为π－arccos 772. 解法二：如下图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG∥ BC ，FG =21BC.∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB .∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG .又∵PE =BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG =60°. 在Rt △PEG 中，EG =PE ·cos60°=23， 在Rt △GAE 中，AE =21AD =1，于是tan ∠GAE =AEEG= 23.又∠AGF =π－∠GAE ， ∴所求二面角的大小为π－arctan23. ●思悟小结1.若表示向量a 1，a 2，…，a n 的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =0.2.应用向量知识解决几何问题时，一方面要选择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量运算.●教师下载中心 教学点睛1.要使学生正确理解空间向量的加法法则、减法法则以及空间向量的数量积，掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件.2.空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示，这三个向量也称为一个基底.在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时，往往把它们用同一个基底来表示，从而实现解题的目的.拓展题例【例1】 下列命题中不正确的命题个数是①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有++ +=0 ②|a |－|b |=|a +b |是a 、b 共线的充要条件 ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行 ④对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若=x +y +z （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面A.1B.2C.3D.4解析：易知只有①是正确的，对于④，若O 平面ABC ，则、、不共面，由空间向量基本定理知，P 可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面.答案：C 【例2】 A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若BD =4，试求MN 的长.BD解：连结AM 并延长与BC 相交于E ，连结AN 并延长与CD 相交于E ，则E 、F 分别是BC 及CD 的中点.现在=－ =32 －32 = 32（－）=32= 32（－）=32（21CD － 21CB ）=31（CD －CB ）=31BD . ∴=||= 31||= 31BD =34.说明：本题的关键是利用重心这一特殊位置逐步进行转化.【例3】 设A 、B 、C 及A 1、B 1、C 1分别是异面直线l 1、l 2上的三点，而M 、N 、P 、Q 分别是线段AA 1、BA 1、BB 1、CC 1的中点.求证：M 、N 、P 、Q 四点共面.证明： =21， = 2111B A ， ∴BA =2NM ，11B A =2NP .又∵ = 21（+11C B ），（*）A 、B 、C 及A 1、B 1、C 1分别共线，∴=λ=2，11C B =ω11B A =2ω. 代入（*）式得PQ =21（2λ+2ω）=λ+ω，∴PQ 、、共面. ∴M 、N 、P 、Q 四点共面.。

合集下载

高考数学总复习 96 空间向量及其运算(理)课件 新人教B版

高考数学总复习 96 空间向量及其运算(理)课件 新人教B版


第9章 第六节
高考数学总复习
点评：应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、 点共面方法的区别与联系
人 教
B
版
第9章 第六节
高考数学总复习
如下图，在棱长为 a 的正方体 OABC－O1A1B1C1
中，E、F 分别是棱 AB、BC 上的动点，且 AE＝BF＝
人
x，其中 0≤x≤a，以 O 为原点建立空间直角坐标系 O
B
版
________，z＝________.
第9章 第六节
高考数学总复习
解析：F→G＝P→G－P→F＝23P→D－12P→B
人 教
B
版
第9章 第六节
高考数学总复习
＝23(P→A＋A→D)－12(P→A＋A→B)
＝23P→A＋23·12(A→B＋A→C)－12P→A－12A→B
人
教
＝－16A→B＋13A→C－16A→P，
(3)共线向量定理：对空间任意两个向量 a、b(b≠0)， a∥b 的充要条件是 存在惟一实数 λ，使 a＝λb .
推论：如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向 人
教
量 a 的直线，那么对任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条 B
版
件是存在实数 t 满足等式O→P＝O→A＋ta，其中向量 a 叫做 直线 l 的方向向量．
高考数学总复习
人 教
B
版
第9章 立体几何
高考数学总复习
第 六 节 空间向量及其运算(理)
人 教
B
版
第9章 第六节
高考数学总复习
人 教
B
版
第9章 第六节
高考数学总复习
重点难点
重点：①空间向量的运算和运算律．
2006年高考第一轮复习数学：9.7 空间向量及其坐标运算(B)

2006年高考第一轮复习数学：9.7 空间向量及其坐标运算(B)

9.7 空间向量及其坐标运算（B ）●知识梳理1.若=x i +y j +z k ，那么（x ，y ，z ）叫做向量的坐标，也叫点P 的坐标.2.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2）， 那么a ±b =（x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2）， a ²b =x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2， cos 〈a ，b 〉=222222212121212121z y x z y x z z y y x x ++++++.3.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2）， 则|M 1M 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.4.对非零向量a 与b ，有a ∥b ⇔a =k b ；a ⊥b ⇔a ²b =0. 5. 法向量定义：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α．如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量． 一、复习引入1. 法向量定义：如果直线l α⊥平面, 取直线l 的方向向量为a ，则向量a叫作平面α的法向量（normal vectors ）. 利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离. 2. 讨论：如何利用法向量求线面角？ → 面面角？直线AB 与平面α所成的角θ，可看成是向量AB所在直线与平面α的法向量n 所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式cos ,a ba b a b=，我们可以得到如下向量法的公式：sin cos ,AB n AB n AB nθ==.3. 讨论：如何利用向量求空间距离？两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长. 点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长.●点击双基1.若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则A.x =1，y =1B.x =21，y =－21C.x =61，y =－23D.x =－61，y =2312x=y 21-=93.∴x =61，y =－23.应选C.3.已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是A.1B.51 C.53 D.57 解析：.∵两向量垂直，∴3（k －1）＋2k －2³2=0.∴k =57.答案：D 4.已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角θ的大小是_________.答案：120°5.已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若AP =2PB ，则|PD |的值是__________.解析：则|PD |=222)13()138()131(-+-+--=377.【例1】 已知AB =（2，2，1），AC =（4，5，3），求平面ABC 的单位法向量. 解：设面ABC 的法向量n =（x ，y ，1），则n ⊥AB 且n ⊥AC ，即n ²AB =0，且n ²AC =0，即 x +2y +1=0， 4x +5y +3=0，特别提示一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.【例3】 如下图，直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.A AB BC C 111xyz MN（1）求的长；（2）求cos 〈1BA ，1CB 〉的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M . （1）解：，∴｜BN =3. （2）解：∴cos 〈1BA ，1CB 〉11111030. （3）证明：C 1（0，0，2），M （21，21，2）， ∴A 1²C 1=0，∴A 1B ⊥C 1M .即⎪⎩⎪⎨⎧-==,1,21y x ∴n =（21，－1，1），单位法向量n 0=±|n |n =±（31，－32，32）.夯实基础2.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为A C 1A.arccos 23 B.arccos1010 C.arccos53 D.arccos52 答案：D17．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CD PD BC PB ⊥⊥,，且2=PA ，E 为PD 中点.（Ⅰ）求证：⊥PA 平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角D AC E --的大小；（Ⅲ）若F 为线段BC 的中点，求点D 到平面PAF 的距离.18.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==， AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：11CD A ABB ⊥平面； （Ⅱ）求证：11//AC CDB 平面；（Ⅲ）求直线1B B 和平面1CDB 所成角的大小.ABCDA 1B 1C 1PAB CDEF6．（本小题满分14分）在如图所示的四面体ABCD 中，CD BC AB 、、两两互相垂直，且1==CD BC . （Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角D AB C --的大小；（Ⅲ）若直线BD 与平面ACD 所成的角为︒30，求线段AB 的长度.。

人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第8章立体几何与空间向量 第5节空间向量及其运算

人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第8章立体几何与空间向量 第5节空间向量及其运算


=
x1 x2 +y1 y2 +z1 z2
x21 +y21 +z21 x22 +y22 +z22
.
5.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
假设空间中两个向量a,b满足a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则:(1)当a≠0时,
a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔
,那么对空间中的任意一个向量p,
存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p= xa+yb+zc
特别地,当a,b,c不共面时,可知xa+yb+zc=0⇔x=y=z=0.
.
(3)相关概念
线性组合
①线性组合:表达式xa+yb+zc一般称为向量a,b,c的____________
或 线性表达式 .
②基底:空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向量
第5节 空间向量及其运算
课标解读
1.掌握空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;会推导空间两
点间的距离公式.
2.理解空间向量的概念,理解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量
的正交分解及其坐标表示.
3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的
= + = − =
1
1 )= (c+2b),则
3
=
1
− 1
3
=
1
− (
3
1
1



+ =- (a+b)+ (c+2b)=- + + .
高考一轮复习 空间向量运算 知识点+例题+练习

高考一轮复习 空间向量运算 知识点+例题+练习

1．空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是________________________．(4)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b ，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O 有，OP →＝________________或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOM →，其中x ＋y ＋z ＝____.(5)空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝________________________，把{e 1，e 2，e 3}叫做空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝__________________________________________________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，若b ≠0，则a ∥b ⇔________⇔__________，________，______________，a ⊥b ⇔__________⇔________________________(a ，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝________________________________，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝______________________________________________________. 若A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则|AB →|＝______________________________.3．利用空间向量证明空间中的位置关系若直线l ，l 1，l 2的方向向量分别为v ，v 1，v 2，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下： 平行 垂直直线 与直线 l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ为非零实数)l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0 直线 与平面 ①l ∥α⇔v ⊥n 1⇔v ·n 1＝0②l ∥α⇔v ＝x v 1＋y v 2其中v 1，v 2为平面α内不共线向量，x ， y 均为实数l ⊥α⇔v ∥n 1⇔v ＝λn 1(λ为非零实数)平面 与平面 α∥β⇔n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2(λ为非零实数)α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0自我检测1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a ∥b ，则x ＝______________________，y ＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →用a ，b ，c 表示为________．3．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°，AB ＝3，AD ＝4，AA ′＝5，则|AC ′→|＝________.4．下列4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题是________(填序号)．5．A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).探究点一 空间基向量的应用例1 已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．探究点三 利用向量法求二面角例3 如图，ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝BC ＝BA ＝1，AD ＝12，求面SCD 与面SBA 所成角的余弦值大小．变式迁移3 如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ；(2)求二面角A —SC —B 的余弦值．探究点四综合应用例4如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形．(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角B－AC－D的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．变式迁移4 (2011·山东，19)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．1、如图所示，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.2、如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．3、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．4、如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.(1)求二面角B－AD－F的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值．。