高三数学渐开线与摆线(2019)

1 四 渐开线与摆线

[对应学生用书P30]

1．渐开线的产生过程

把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．

2．摆线的概念及产生过程

圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．

3．圆的渐开线和摆线的参数方程

(1)圆的渐开线方程： x＝rφ＋φsin φy＝rφ－φcos φ(φ为参数)．

(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φy＝r－cos φ.(φ为参数)．

[对应学生用书P30]

圆的渐开线的参数方程

[例1] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．

[思路点拨] 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．

[解] 以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量0OM的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧0AM 的长和线段AM的长相等，记OA和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝0AM＝4θ.

作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得 2

OA＝(4cos θ，4sin θ)．

由几何知识知∠MAB＝θ，

AM＝(4θsin θ，－4θcos θ)，

得OM＝OA＋AM.

＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)

＝(4(cos θ＋θsin

θ)，4(sin θ－θcos θ))．

又OM＝(x，y)，

因此有 x＝θ＋θsin

θ，y＝θ－θcos θ

这就是所求圆的渐开线的参数方程．

圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．

数学

四渐开线与摆线

[对应学生用书P30]

1．渐开线的产生过程

把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．

2．摆线的概念及产生过程

圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．

3．圆的渐开线和摆线的参数方程

(1)圆的渐开线方程： x＝rcos φ＋φsin φy＝rsin φ－φcos φ(φ为参数)．

(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φy＝r1－cos φ.(φ为参数)．

[对应学生用书P30]

圆的渐开线的参数方程

[例1] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．

[思路点拨] 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．

[解] 以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量0OM的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，数学

故OA⊥AM，按渐开线定义，弧0AM 的长和线段AM的长相等，记OA和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝0AM＝4θ.

作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得

OA＝(4cos θ，4sin θ)．

由几何知识知∠MAB＝θ，

AM＝(4θsin θ，－4θcos θ)，

得OM＝OA＋AM.

＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)

＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．

又OM＝(x，y)，

因此有 x＝4cos θ＋θsin θ，y＝4sin θ－θcos θ.

1 四、渐开线与摆线

A级 基础巩固

一、选择题

1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )

A．只有圆才有渐开线

B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形

C．正方形也可以有渐开线

D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同

解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．

答案：C

2．直径为12的圆的摆线的参数方程是( )

A.x＝6φ－6sin φ，y＝6－6cos φ(φ为参数)

B.x＝6φ－sin φ，y＝6－cos φ(φ为参数)

C.x＝6φ－6cos φ，y＝6－6sin φ(φ为参数)

D.x＝6φ－cos φ，y＝6－sin φ(φ为参数)

解析：因为2r＝12.所以r＝6.所以该圆的摆线的参数方程为x＝6φ－6sin φ，y＝6－6cos φ(φ为参数)．故选A.

答案：A

3．下列各点中，在圆的摆线x＝φ－sin φ，y＝1－cos φ(φ为参数)上的是( )

A．(π，0) B．(π，1)

C．(2π，2) D．(2π，0)

答案：B

4．圆x＝3cos θ，y＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是 2 ( )

A．π B．3π C．6π D．10π

解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为

x＝3φ－3sin φ，y＝3－3cos φ(φ为参数)，把y＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，故x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)．

1平摆线与圆的渐开线

1．了解平摆线、圆的渐开线的生成过程，能导出它们的参数方程．

2．在欣赏曲线美的同时，体会参数方程在曲线研究中的地位．3．体会“参数”思想在处理较为复杂问题时的优越性．

[基础·初探]

1．平摆线

(1)如图4­4­7所示，假设A

为圆心，圆周上的定点为P

，开始时位于O

处，圆(半

径为r

)在直线上滚动时，点P

绕圆心做圆周运动，转过θ

(弧度)角后，圆与直线相切于B

，

线段OB

的长等于的长，即OB

＝rθ

.这就是圆周上的定点P

在圆A

沿直线滚动过程中满

足的几何条件．我们把点P的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．

图4­4­7

(2)以定直线为x

轴，点O

为原点建立直角坐标系，则定点P

(x

，y)的参数方程为

x

＝rθ

－sinθ

，

y

＝r

1－cosθ(θ

为参数)．

2．圆的渐开线

有一条钢丝紧箍在一个半径为r

的圆盘上，在钢丝的外端系上一支铅笔，逐渐撒开钢丝，

并使撒开的部分成为圆盘的切线，我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做

渐开线的基圆．

[思考·探究]

1．用参数法求曲线的轨迹方程的步骤是什么？

【提示】用参数法求曲线的轨迹方程，其步骤主要有三步：选参、用参、消参．其中

关键是选参，若题目没有明确要求化为普通方程(或需判断曲线的形状和位置)，则可以用曲

线的参数方程作为答案．

2．圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？

【提示】根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r

是指基圆的半

2径，而参数φ

是指绳子外端运动时，半径OB

相对于Ox

转过的角度，如图，其中的∠AOB

即

是角φ

.显然点P

由参数φ

惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_____________________________________________________

解惑：_____________________________________________________