渐开线与摆线 课件

渐开线和摆线复合齿廓齿轮的梳齿刀术　

周湘衡①　胡良斌②　

（①中钢集团衡阳重机有限公司，湖南衡阳４２１００２；②南华大学，湖南衡阳４２１００１）　

摘要：为充分发挥梳齿工艺和刀具简单的技术优势。利用直线与圆弧相切形成光滑曲线的几何特性。把梳　齿刀基准齿形齿顶、齿根部的齿廓曲线设计为圆弧，切齿时刀具齿顶、齿根部的齿廓分别包络出齿　

．　轮齿根、齿顶的内摆线和外摆线，且包络的共轭齿形不会出现反折尖点。采用梳齿刀切制复合齿廓　其技术经济效益明显优于滚、插齿。尤其适合加工主动轮齿数很少的大模数、大传动比、大变位、大　

质数、精度和硬度较高的宽齿面双修形的窄空刀槽人字齿轮副。探讨了在正前角切削工况下，直齿　梳齿刀的设计方法，为切制渐开线和摆线复合齿廓齿轮提供了一种较优的工艺方案。　

关键词：基准齿形；渐开线；摆线；复合齿廓；直齿梳齿刀；设计　中图分类号：ＴＧ７０２：ＴＧ７２１　文献标识码：Ａ　

Ｃｕｔｔｉｎｇ　ｃｏｍｐｏｕｎｄ　ｐｒｏｆｉｌｅ　ｇｅａｒ　ｗｉｔｈ　ｉｎｖｏｌｕｔｅ　ｃｙｃｌｏｉｄ　ａｎｄ　ｃｏｍｍｏｎ　ｃｙｃｌｏｉｄ　ｂｙ　ｔｏｏｔｈ　ｃｕｔｔｅｒ　ＺＨＯＵ　Ｘｉａｎｇｈｅｎｇ①．ＨＵ　Ｌｉａｎｇｂｉｎ②　

（（￣）Ｓｉｎｏｓｔｅｅｌ　Ｈｅｎｇｙａｎｇ　Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ　Ｃｏ．，Ｌｔｄ．，Ｈｅｎｇｙａｎｇ　４２１００２，ＣＨＮ；　

￣）Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｏｕｔｈ　Ｃｈｉｎａ，Ｈｅｎｇｙａｎｇ　４２１００１，ＣＨＮ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｆｕｌｌｙ　ｄｅｖｅｌｏｐ　ｔｈｅ　ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　ａｄｖａｎｔａｇｅｓ　ｏｆ　ｔｏｏｔｈ　ｈｏｂｂｉｎｇ　ａｎｄ　ｓｉｍｐｌｅ　ｃｕｔｔｅｒ　ａｎｄ　ｍａｋｅ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ　ｆｅａｔｕｒｅ　ｏｆ　ｆｏｒｍｉｎｇ　ｓｍｏｏｔｈ　ｃｕｒｖｅ　ｂｙ　ｔａｎｇｅｎｃｙ　ｏｆ　ｓｔｒａｉｇｈｔ　ｌｉｎｅ　ａｎｄ　ｃｉｒｃｌｅ　ａｒｃ，ｔｈｅ　ｃｕｒｖｅ　ｏｆ　ｒｅｆ－　

1 渐开线与摆线

目的要求：了解平摆线和圆的渐开线的参数方程。有条件可以应用计算机展现心脏线、螺线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的数学美。

重点难点：曲线参数方程的推导；

教学过程：

一、探究

把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的

外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切

而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？

动点（笔尖）满足什么几何条件？设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，

当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB，展开后成为切线，所以

切线BM的长就是AB的长，这是动点（笔尖）满足的几何条件。

我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。

二、渐开线的参数方程

以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系。

设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。显然，点M由角唯一确定。

B取为参数，则点的坐标为（rcos,rsin）,从而

(cos,sin),||.BMxryrBMr

1(cos,sin)eOB由于向量是与同方向的单位向量，

2(sin,cos)eBM因而向量是与向量同方向的单位向量。

2||(),BMre所以即 ||(cos,sin)(sin,cos)BMxryrr

(cossin)()(sincos)xryr解得 是参数。

所以，圆渐开线的参数方程为)cos(sin)sin(cosryrx （为参数）

在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。

课题：圆的渐开线与摆线

教学目的：

知识目标：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.

能力目标：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤

德育目标：

教学重点：

教学难点：

授课类型：新授课

教学模式：讲练结合 启发引导 自学指导 发现教学法 偿试指导法 启发、诱导发现教学.

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1 复习：

（1）

（2）

（3）

2 引课：

问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）

（1）

（2）

（3）

二、讲解新课：

1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为)cos(sin)sin(cosryrx （为参数）

2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。

)cos1()sin(ryrx （为参数）

例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程

变式训练1 当2，时，求圆渐开线cossinsincosyx 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。

变式训练2 求圆的渐开线)cos(sin2)sin(cos2tttytttx上当4t对应的点的直角坐标。

例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程

变式训练3

求摆线tyttxcos1sin 20t与直线1y的交点的直角坐标

例3、设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴。

三、巩固与练习

ｎｏｌ０Ｉ　ｇｙ　ａｎｄ　ＴｅＳｆ工艺与检测　

采用内摆线修根的渐开线齿轮梳齿刀　

周湘衡　

（中钢集团衡阳重机有限公司，湖南衡阳４２１００２）　

摘　要：利用直线与圆弧相切形成光滑曲线的几何特性，通过优化梳齿刀基准齿形齿顶的齿廓修形曲线为圆　弧。切齿时包络出内摆线对齿轮渐开线齿廓的齿根附近进行修削。采用梳齿刀修根其技术经济效益　明显优于磨、滚、插齿，尤其适合加工主动轮齿数很少的大模数、大传动比，精度和硬度较高的宽齿面　

齿轮副，并从理论上解决了刀具在展成过程中共轭齿形不会出现反折尖点的技术难点。探讨了在正　

前角切削工况下，采用圆弧修形直齿梳齿刀的设计方法，为齿轮修根提供了一种较优的工艺方案。　

关键词：基准齿形；优化设计，Ｉ圆弧修形；内摆线；齿轮修根　中图分类号：ＴＧ７２１　文献标识码：Ａ　

Ｉｎｖｏｌｕｔｅ　ｓｔｒａｉｇｈｔ　ｔｏｏｔｈ　ｃｕｔｔｅｒ　ｕｓｉｎｇ　ｈｙｐｏｃｙｃｌｏｉｄ　ｆｏｒ　ｒｏｏｔ　ｒｅｌｉｅｆ　

ＺＨＯＵ　Ｘｉａｎｇｈｅｎｇ　（Ｓｉｎｏｓｔｅｅｌ　Ｈｅｎｇｙａｎｇ　Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ　Ｃｏ．，Ｌｔｄ．，Ｈｅｎｇｙａｎｇ　４２１００２，ＣＨＮ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ　ｆｅａｔｕｒｅ　ｏｆ　ｆｏｒｍｉｎｇ　ｓｍｏｏｔｈ　ｃｕｒｖｅ　ｂｙ　ｔａｎｇｅｎｃｙ　ｏｆ　ｓｔｒａｉｇｈｔ　ｌｉｎｅ　ａｎｄ　ｃｕｒｖｅ　ａｓ　ｗｅｌｌ　ａｓ　ｔｈｅ　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ　ｃｕｒｖｅ　ｔｏｏｔｈ　ｐｒｏｆｉｌｅ　ｏｆ　ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ　ｃｕｔｔｅｒ，ｐｕｒｐｏｓｅｄ　ｔｒｉｍｍｉｎｇ　ｂｙ　ｈｙｐｏｃｙｃｌｏｉｄ　ｏｎ　ｇｅａｒ　ｉｎｖｏｌｕｔｅ　

ｔｏｏｔｈ　ｐｒｏｆｉｌｅ　ａｔ　ｔｏｐ　ｌａｎｄ　ａｒｅａ　ｉｓ　ｆｏｒｍｅｄ．Ｗｈｅｎ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｉｓ　ｔｏｏｔｈ　ｃｕｔｔｅｒ，ｓｌｏｔｔｉｎｇ　ｓｈｏｗｓ　ｍｏｒｅ　ｅｃｏｎｏｍｉｃａｌｌｙ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｅ　ｔｈａｎ　ｇｒｉｎｄｉｎｇ，ｈｏｂｂｉｎｇ　ａｎｄ　ｓｈａｐｉｎｇ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ａｔ　ｃｕｔｔｉｎｇ　ｇｅａｒ　ｐａｉｒｓ　ｗｉｔｈ　ｗｉｄｅ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｏｆ　ｈｉｇｈ