数学中的图形与坐标系

坐标系与平面图形的关系及其性质

坐标系和平面图形是数学中的基本概念，它们在解决几何问题和建模实践中扮演着重要的角色。本文将探讨坐标系与平面图形之间的关系以及它们所具有的性质。

一、坐标系的定义及性质

坐标系是用来描述空间位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。直角坐标系由x轴、y轴和z轴组成，可用三个坐标值(x, y,

z)来表示空间中的点。而极坐标系则由极径和极角两个参数来确定点的位置。

坐标系具有以下性质：

1. 唯一性：在一定范围内，每个点都有唯一的坐标表示，不会有重复的情况。

2. 可表示任意位置：坐标系可以描述任意点的位置，无论该点位于直线、曲线、平面还是空间中。

3. 满足数学规律：坐标系中的坐标值满足一系列的数学规律，如直角坐标系中的距离公式、角度计算等。

二、平面图形的定义及性质

平面图形是指在平面上由多个点构成的形状，常见的平面图形有直线、曲线、多边形等。平面图形可以由坐标系表示，通过坐标系中的点的集合来描述其形状、大小和位置。 平面图形具有以下性质：

1. 可分解性：平面图形可以被分解为多个线段、面积或其他几何元素的组合。

2. 周长和面积：平面图形的周长和面积是衡量其大小的重要指标，可以通过数学方法进行计算和比较。

3. 对称性：平面图形可能具有对称性，如轴对称、中心对称等特点，这些对称性可以通过坐标系的变换来进行分析和判断。

三、坐标系与平面图形的关系

1. 坐标系的应用：坐标系可以用来表示平面图形的位置和形状。通过设定坐标系的原点和坐标轴方向，可以将平面图形的点与坐标系中的点进行一一对应。

2. 坐标系的变换：坐标系的平移、旋转和缩放等变换操作对于描述和分析平面图形非常重要。通过坐标系的变换，可以实现对平面图形的位置、形状和尺寸的调整。

3. 区域和方程的关系：平面图形可以通过方程来表示，方程的解即为图形上的点的坐标，而图形的形状和位置则可以由方程的特征来推断。

第一篇

星期天，妈妈叫我整理房间。这时候我发现：窗户、门是对称的，窗户是长方形的，所以是对称的。门也是长方形，不用说当然也是对称的哦。

接着，我发现房间里的家具，全是对称图形：床、桌子、柜子都是长方形的对称图形。

当我整理学习用品和玩具的时候，我发现：铅笔、橡皮、书、笔记本也都是对称图形。

生活中的对称图形真多呀！但我发现长方形的对称图形还是最多的！

第二篇

我发现我的本子、铅笔、尺子、橡皮、围棋证书和铅笔盒都对称图形，都有2到4个端点或顶点。

我还发现正方形横着折会变成长方形，斜着折会变成三角形，得出来的也是对称图形。还有两个相同的三角形，底部相拼会得出正方形和菱形，这两个图形也是对称图形。

最后我想说：“这些图形真好玩。”

第三篇

早上起床，到镜子前梳头，发现镜中有个同样的我在做同样的动作，只不过我右手拿梳子。“我”是左手，怎么会是左手呢？ 我可是右手拿的呀？我后退，“我”也后退。我笑“我”也笑，就是以镜子为界线，我够不着“我”，“我”也摸不到我。

同样，任何东西在镜子面前里面定有同样的东西出现，是不是镜子中也有一个同样的世界？平时感觉不到，只有在镜子前才会相逢？我想一定是这样的。如果镜子足够大放在天空定会看到另一个地球，那么会有另一个样的地球存在吗？

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浅谈小学数学教学中的“图形与几何”

作者：姜玉姣

来源：《新教育时代·学生版》2017年第12期

数学是研究数量关系和空间形式的科学。在《数学课程标准》（2011年版）中，明确提出数学课程应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应社会发展对人才培养的需求，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。近几天，我聆听了吴正宪、田立莉等几位老师的讲座。他们从小学数学“图形的认识”、“测量”、“图形的运动”和“图形与位置”等方面如何加强观察、操作，发展学生的几何直观能力和空间观念等方面作了详细地描述。通过学习，我对于“图形与几何”领域的教学又有了进一步的认识。

一、“图形与几何”在小学数学教学中的意义

《课程标准》对之前的几何内容进行了较大幅度的变革。设置了“图形与几何”的领域，主要分为四个部分：图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置。学习和应用相应的图形与几何的有关知识和数学学习方法，对于学生更好地认识、理解生活空间，更好地生存和发展有着重要的现实意义。

1.培养学生初步的空间观念。发展学生的空间观念是《课程标准》中的一个重要目标，也是图形与几何学习的核心目标之一。学生空间观念的形成是建立在观察、感知、操作、思考、想像等的基础上，特别是对于低年级的学生，实际观察和操作是发展空间观念的必备环节。

2.提高学生运用知识解决简单实际问题的能力，增强应用数学的意识。几何知识来源于生产劳动，在生活、生产中有广泛的应用。

二、“图形与几何”的教与学

实际上，《课程标准》对于图形的认识在不同学段的要求用了不同的字眼：从 “辨认”到“初步认识”，再从“认识”到“探索并证明”。例如，对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体，第一学段要求 “辨认”；第二学段要求“认识”。这种要求的层次性，既体现了从整体到局部的认识过程；也符合学生的认知特点，逐渐深入、循序渐进。在“图形与变换”中，第一和第二两个学段的要求各不相同，第一学段的要求是：“结合实例，感受平移、旋转、轴对称现象。”第二学段的要求是：“通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。”这两个学段“轴对称”的要求是不一样的，第一学段要求是“感受”，第二学段的要求是“进一步认识”、“ 能在方格纸上画对称轴”。这种要求的层次性，我们要准确把握，才不至于拔高或降低某一方面的要求。 龙源期刊网

人教版数学七年级下册-打印版

坐标系与图形面积

安徽

李庆社

在平面直角坐标系中，求一个三角形的面积，则需要根据三角形的各顶点的坐标，确定边长或高，进而求出三角形的面积．而对于四边形，五边形等图形面积的计算，则往往需要转化为三角形解决．

例1 如图1，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上.其中，A点坐标为（3，2），则△ABC的面积为 平方单位.

解析：由于A点坐标为（3，2），所以B点坐标为（5，6），C点坐标为（2，5），要求△ABC的面积，如图可以转化为求直角梯形ABED的面积和Rt△ACD、Rt△BCE的面积，此时有E点坐标为（2，6），D点坐标为（2，2），于是△ABC的面积为12 （AD+BE）×DE－12 ×AD×CD－12 ×CE×BE＝12 ×（1+3）×4－12 ×1×3－12 ×1×3＝5（平方单位）.

例2 如图2，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（4，0），C（－2，0）．求△ABC的面积．

分析:观察图形可知，BC在x轴上，BC的长为4－（－2）=6．要求三角形的面积，还应确定BC边上的高．点A到x轴的距离恰好为BC边上的高．

解：因为BC=4－（－2）=6，BC边上的高就点A到x轴的距离，因为点A的坐标是（2，3），所以BC边上的高是3，所以S△ABC=12 ×6×3=9．

评注：当三角形有一边在横轴上时，则以坐标轴上的边为底边，其长等于坐标轴上的两个顶点的横坐标差的绝对值，则这边上的高，等于另一顶点纵坐标的绝对值;当三角形的一边在纵轴上时，则以坐标轴上的边为底边，其长等于坐标轴上的两个顶点纵坐标差的绝对值，这边上的高，等于另一顶点的横坐标的绝对值．

例3 如图3，平面直角坐标系中，已知点A（－3，－2），B（0，3），C（－3，2）．求△ABC的面积．

分析：在△ABC中只有边AC的长度是比较好求的，所以找到AC边上的高，而点A到纵轴的距离恰好是AC边上的高．