高考数学二轮复习名师知识点总结：椭圆、双曲线、抛物线
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知 识 点 总 结 与 练 习
1 / 11 椭圆、双曲线、抛物线
高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．
圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
图形
几何性质 范围 |x|≤a， |y|≤b |x|≥a x≥0
顶点 (±a,0)，(0，±b) (±a,0) (0,0)
对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 (±c,0) (p2，0)
轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e＝ca＝ 1－b2a2(01) e＝1
准线 x＝－p2
渐近线 y＝±bax
弦长：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|. 知 识 点 总 结 与 练 习
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考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
例1 (1)设椭圆x22＋y2m＝1和双曲线y23－x2＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值等于________．
(2)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________.
答案 (1)3 (2)223
解析 (1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m－2＝4，故m＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1|＋|PF2|＝26，||PF1|－|PF2||＝23，两式平方相减得4|PF1||PF2|＝4×3，所以|PF1|·|PF2|＝3.
(2)方法一 抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点P(－2,0)．
如图，过A、B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N.
由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点．连接OB，则|OB|＝12|AF|，
∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,22)．∴k＝22－01－－2＝223.
方法二 如图，由图可知，BB′＝BF，AA′＝AF，
又|AF|＝2|BF|，∴|BC||AC|＝|BB′||AA′|＝12，即B是AC的中点．
∴ 2xB＝xA－2，2yB＝yA与 y2A＝8xA，y2B＝8xB，联立可得A(4,42)，B(1,22)．
∴kAB＝42－224－1＝223.
(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化．
(2)注意数形结合，提倡画出合理草图．
(1)(2012·山东)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为
( )
A.x28＋y22＝1 B.x212＋y26＝1 C.x216＋y24＝1 D.x220＋y25＝1
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，
交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为
( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝3x
答案 (1)D (2)C 知 识 点 总 结 与 练 习
3 / 11 解析 (1)∵椭圆的离心率为32，∴ca＝a2－b2a＝32，∴a＝2b.∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.
∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，
∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为255b，255b，
∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b×255b＝4，∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.
∴椭圆C的方程为x220＋y25＝1.
(2)如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定
义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°.
连接A1F，则△AA1F为等边三角形，
过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，
设l交x轴于N，则|NF|＝|A1F1|＝12|AA1|＝12|AF|，即p＝32，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.
考点二 圆锥曲线的几何性质
例2 (1)(2013·辽宁)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为( )
A.35
B.57 C.45 D.67
(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．
答案 (1)B (2)53
解析 (1)在△ABF中，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，
∴|AF|2＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF.
∴c＝|OF|＝12|AB|＝5，利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，则|BF′|＝|AF|＝6，
∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7. 因此椭圆的离心率e＝ca＝57.
(2)设∠F1PF2＝θ，由 |PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝4|PF2|得 |PF1|＝83a，|PF2|＝23a，由余弦定理得cos θ＝17a2－9c28a2＝178－98e2.
∵θ∈(0,180°]，∴cosθ∈[－1,1)，－1≤178－98e2<1， 又e>1，∴1
4 / 11 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
(1)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF→＝2 FD→，则C的离心率为________．
(2)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a24的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．
答案 (1)33 (2)102
解析 (1)设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，
则BF→＝(c，－b)，FD→＝(xD－c，yD)，∵BF→＝2FD→，
∴ c＝2xD－c，－b＝2yD，∴ xD＝3c2，yD＝－b2.
又∵点D在椭圆C上，∴3c22a2＋－b22b2＝1，即e2＝13.∴e＝33.
(2)设c＝a2＋b2，双曲线的右焦点为F′.则|PF|－|PF′|＝2a，|FF′|＝2c.
∵E为PF的中点，O为FF′的中点，∴OE∥PF′，且|PF′|＝2|OE|.
∵OE⊥PF，|OE|＝a2，∴PF⊥PF′，|PF′|＝a，∴|PF|＝|PF′|＋2a＝3a.
∵|PF|2＋|PF′|2＝|FF′|2，∴9a2＋a2＝4c2，∴ca＝102. ∴双曲线的离心率为102.
考点三 直线与圆锥曲线的位置关系
例3 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝22，点F为椭
圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭
圆的上顶点，且满足MF→·FB→＝2－1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)根据题意得，F(c,0)(c>0)，A(－a,0)，B(a,0)，M(0，b)，
∴MF→＝(c，－b)，FB→＝(a－c,0)，∴MF→·FB→＝ac－c2＝2－1.又e＝ca＝22，∴a＝2c，∴2c2－c2＝2－1，
∴c2＝1，a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为x22＋y2＝1. 知 识 点 总 结 与 练 习
5 / 11 (2)假设存在满足条件的直线l.∵kMF＝－1，且MF⊥l，∴kl＝1.
设直线l的方程为y＝x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 y＝x＋m，x22＋y2＝1
消去y得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，则有Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，即m2<3，
又x1＋x2＝－4m3，x1x2＝2m2－23，∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝2m2－23－4m23＋m2＝m2－23.
又F为△MPQ的垂心，连接PF，则PF⊥MQ，∴PF→·MQ→＝0，
又PF→＝(1－x1，－y1)，MQ→＝(x2，y2－1)，∴PF→·MQ→＝x2＋y1－x1x2－y1y2＝x2＋x1＋m－x1x2－y1y2
＝－43m＋m－2m2－23－m2－23＝－m2－m3＋43＝－13(3m2＋m－4)＝－13(3m＋4)(m－1)＝0，
∴m＝－43或m＝1(舍去)， 经检验m＝－43符合条件，
∴存在满足条件的直线l，其方程为3x－3y－4＝0.
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2013·北京)已知A，B，C是椭圆W：x24＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．
