直角三角形的性质与判定
直角三角形是几何学中的一种特殊三角形，具有独特的性质和判定条件。本文将从不同角度介绍直角三角形的性质和判定方法。
一、性质：
1. 直角三角形的定义：
直角三角形是指其中一角为90度的三角形。直角三角形的边长关系与三边之间的关系表现出独特的特点，从而衍生出一系列其他性质。
2. 勾股定理：
勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两个边平方的和。这一定理由毕达哥拉斯学派于公元前6世纪提出，并成为直角三角形性质的基础。
例如，一个直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边长度为c，则有勾股定理的表达式为：a² + b² = c²。
这一定理被广泛应用于解决与直角三角形相关的问题，包括测量和计算。
3. 等腰直角三角形的性质：
等腰直角三角形是指两个直角边相等的直角三角形。这种特殊的直角三角形具有以下性质：
a) 具有一个90度角和两个45度角； b) 两个直角边的边长相等；
c) 两个直角边的平分线也是等腰直角三角形的高；
d) 等腰直角三角形还有一系列与勾股定理相关的性质。
二、判定方法：
1. 通过边长判定：
判定一个三角形是否为直角三角形的一种方法是根据其边长关系。如果一个三角形的边长满足a² + b² = c²，其中a、b、c分别为三角形的三条边长，那么这个三角形就是一个直角三角形。
例如，如果一个三角形的边长分别为3、4和5，则满足条件：3² +
4² = 5²，因此这是一个直角三角形。
2. 通过角度判定：
另一种判定直角三角形的方法是通过角度关系。如果一个三角形中存在一个90度角，那么这个三角形就是一个直角三角形。
这种方法可以通过测量角度的工具来进行，如角度量规或直角仪。
三、应用实例：
直角三角形的性质和判定方法在实际问题中有着广泛的应用。以下是一些实际应用的例子：
1. 测量和计算： 直角三角形的特性使其成为测量和计算距离、高度和角度的有用工具。例如，通过使用勾股定理，可以测量两个远处物体的距离。
第 1页 第1章 直角三角形
§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？
（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?
（一）直角三角形性质定理1：直角三角形的两个锐角互余。
练习1（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数
（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。
练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有 （2）与∠A相等的角有 。（3）与∠B相等的角有 。
（二）直角三角形的判定定理1
提问：“ 在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”
归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形
练习3:若 ∠A= 600 ，∠B =300，那么△ABC是 三角形。
（三）直角三角形性质定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、巩固训练：
练习4： 在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB=
_________。
练习5： 已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。
求证：（1）ED=EB
(2)∠EBD=∠EDB
（3）图中有哪些等腰三角形？
练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在?
§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第 2页 EDCBA提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）
直角三角形的性质和判定（I）
教学目标
1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理；掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理；掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。
2、通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散，培养学生的创新精神和创造能力。
教学重点与难点
1、重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
2、难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。
教学方法
观察、比较、合作、交流、探索
教学过程
一、复习提问
（1）请学生看图形，这是什么图形？什么叫直角三角形？
（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形性质外，还具备哪些性质?
二、新授
（一）直角三角形性质定理1
（1）提问：在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
（2）归纳小结：性质定理1：______________________________________
（3）巩固练习：
练习1：（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数。
（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。
练习2 ：在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么
（1）与∠B互余的角有 。
（2）与∠A相等的角有 。
（3）与∠B相等的角有 。
（二）直角三角形的判定定理1
提问：“ 在△ABC中，∠A +∠B =90°那么△ABC是直角三角形吗？” 归纳：______________________________________
练习3:若 ∠A= 60°，∠B =30°，那么△ABC是什么三角形？
（三）直角三角形性质定理2
实验操作： 要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片
（l）量一量斜边AB的长度
（2）找到斜边的中点，用字母D表示
1.2.1直角三角形的性质与判定练习题
一、选择题
1. 如图，带阴影的矩形面积是（ ）平方厘米．
A．9 B．24 C．45 D．51
2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）．
A．12 B．7＋7 C．12或7＋7 D．以上都不对
3. 等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）
A．13 B．8 C．25 D．64
4. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（ ）
A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+1
5. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．7 C．5和7 D．25或7
6. 将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）．
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
7. 如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2 二、填空题
8. 在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=
．
9. 如图，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．
10. 如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是 ．
11. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．
