第2课时利用导数证明不等式
考点一直接构造函数证明不等式
例1(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna＋3
2.
解(1)因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，
所以f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，
故f′(x)＝aex－1<0恒成立，
所以f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0，
解得x＝－lna，
当x<－lna时，f′(x)<0，
则f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，
当x>－lna时，f′(x)>0，
则f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．
(2)证法一：由(1)得，
f(x)min＝f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna，
要证f(x)>2lna＋3
2，即证1＋a2＋lna>2lna＋3
2，
即证a2－1
2－lna>0恒成立，
令g(a)＝a2－1
2－lna(a>0)，
则g′(a)＝2a－1
a＝2a2－1
a，
令g′(a)<0，则0
<2
2，
令g′(a)>0，则a
>2
2，
所以g(a)
在0，2
2上单调递减
，在2
2，＋∞
上单调递增，所以g(a)min＝
g2
2
＝222
－1
2－ln2
2＝ln2>0，
则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna＋3
2恒成立，证毕．
证法二：令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，
当x<0时，h′(x)<0，当x>0时，h′(x)>0，
所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故h(x)≥h(0)＝0，则ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立，
因为f(x)＝a(ex＋a)－x＝aex＋a2－x＝ex＋lna＋a2－x≥x＋lna＋1＋a2－x，
当且仅当x＋lna＝0，即x＝－lna时，等号成立，
1 课题：集合的含义与表示
考纲要求：
① 了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.
② 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题
教材复习
集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和
常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集
有理数集 实数集
集合的表示方法1. 2. 3.
不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的
基本知识方法 1.集合的三个特征 2.集合的表示3.典型集合的特征
数集 ：
点集：
典例分析：
问题1．1 下列说法中①全中国的大胖子，②小于100的所有质数，③幸福中学高三1班同学，④2008年北京奥运会的所有比赛项目，
以上四个说法不能组成集合的是
2集合2,2Akkk,则实数k的取值范围是
问题2．解释集合2{|20}Axxx，10(,)|230xyBxyxy，
22(,)|12516xyCxy的含义
问题3．已知2{1,0,}xx，求实数x
2 走向高考：
1.（07江西）若012M，，，{,210Nxyxy且210xy，,}xyM
则N中元素的个数为 .A9 .B6 .C4 .D 2
2.（08江苏）设集合2{|(1)37}Axxx，则集合AZ中有 个元素.
课后练习作业：
1. 下列各种对象的全体，可以构成集合的是
第一节集合课标解读考向预测1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关
系；能用自然语言、图形语言、符号语言刻
画集合.2.理解集合之间的包含与相等关系，能识别给
定集合的子集，了解全集与空集的含义.3.理解集合之间的交、并、补的含义，能求两
个集合的并集与交集，能求给定子集的补集.4.能使用Venn图表达集合之间的基本关系与
基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.集合是高考必考内容，重点考查集合的基本
运算，以小题形式出现，常联系不等式的解
集，试题难度较低.2025年备考仍以小题为主
训练，在注重集合概念的基础上，牢固掌握
集合的基本关系与运算，适当加强与函数、不等式等知识的联系，借助数轴和Venn图等
工具解决相关问题.必备知识——强基础
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：01确定性、02互异性、03无序性．
(2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作a04∈A；若b不属于集合A，记作b05∉A.
(3)集合的三种表示方法：06列举法、07描述法、图示法．(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集
记法08N09N*或N＋10Z11Q12R(5)集合的分类：有限集和无限集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中13任意一个元素都是集合B中的元
素，就称集合A为集合B的子集．记作A14⊆B(或B15⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但16存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，
记作A17B(或B18A)．
(3)相等：若A⊆B，且B19⊆A，则A＝B.3．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图
并集由所有属于集合A或属于
集合B的元素组成的集合A∪B＝
20{x|x∈A，
或x∈B}
交集由所有属于集合A且属于
集合B的元素组成的集合A∩B＝
21{x|x∈A，
且x∈B}
补集对于一个集合A，由全集U
中不属于集合A的所有元
素组成的集合∁UA＝
22{x|x∈U，
1 专题1 集合中元素的性质
集合中元素的性质
★★★
○○○○
集合中元素的三个性质
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
三种性质中特别注意互异性，特别是在含参的集合中要注意对参数的讨论。
已知集合A由方程(x－a)(x－a＋1)＝0的根构成，且2∈A，则实数a＝________.
【答案】2或3
【精细解读】由(x－a)(x－a＋1)＝0得x＝a或x＝a－1.又∵2∈A，∴当a＝2时，a－1＝1，集合A中的元素为1,2，符合题意；
当a－1＝2时，a＝3，集合A中的元素为2,3，符合题意． 2 综上可知，a＝2或a＝3.
1．【河南省平顶山市郏县第一高级中学2017-2018学年高一上学期第一次月考数学试题】已知含有三个实数的集合既可表示成,,1baa，又可表示成2,,0aab，则2ab__________．
【答案】2；
点睛:本题考查集合的三大特性,尤其考察互异性,突破口为0,a=0 或者0ba．
2．【浙江省诸暨市牌头中学2017-2018学年高一上学期必修1（1.1.1）集合的含义与表示（巩固练习）数学试题】
已知2∈{3，x，x2-x}，则x=_________。
【答案】-1；
【解析】2222{ { 122xxxxxxx或
点睛:已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
