【走向高考】2015高考数学(通用版)二轮复习课件 专题1 第1讲 集合与常用逻辑用语

国家高中数学课程标准正在研究的15个课题

编者按：国家高中数学课程标准正在制订。一个以“课程标准”为主题的高级研讨班己在南京举行。为了集思广益，我们征得有关方面同意，将正在研究的15个课题内容在此发表，供关心中国未来课程发展的同志参考。

1、高中数学的选择性

高中数学课程是否要有选择性，意见差异很大。一种意见是应当文理兼通，数学不分文理。前几年高考数学文理分卷的做法被认为不合适，某些地方己决定文理全卷。另一种意见则相反，高中阶段应当有更大的选择空间。一部分喜欢数学的学生，应该学得比现在课程中的数学多得多，而另一部分需要数学相对少的专业，则不必学得那么多（例如某些艺术类、高等职业类）。文科类、一般理工类、数理科学类的学生，所要求的数学不应该是一样的。从国际比较来看，绝大多数国家的高中数学都设置了多种选修系列。日本高中实行学分制。学生毕业的数学学分，从3学分到18不等，差异很大。

2、信息技术在高中课程中的位置及其作用

众所周知，中国要想在科学技术领域与当今世界发达国家一较高下，必须充分发展信息技术。这使得信息技术进入整个高中数学课程己是必然。如何依据国家的相关需求与发展趋势，明确信息技术在未来高中数学课程中的地位与作用，将是该课题研究的主要任务。具体内容凶手：从学生数学学习的角度不看，信息技术的意义究竟是什么；哪些信息技术可以（必须）进入高中数学课堂；科学计算器、图形计算器和CBL、计算机、网络？由于相关信息技术的介入，函数、几何、微积分、数据处理等内容将做相应的调整，有哪些需要调整、如何调整？

更进一步，信息技术的介入，特别是一网以后将对学生学数学和教师教数学的方式产生什么样的影响？

3、算法内容的设计与安排

算法，是古代中国数学的一大特色，也是现代数学发展的一个重要方向随着计算机技术的迅猛发展，诸如排序算法、图论中的算法、无限的迭代算法等等，己为当代数学教育所密切关注。遗憾的是，中国数学教育对此尚缺乏应有的重视。在未来的高中数学课程体系中，算法是单独列一个学习主题，还是在有关数学内容中穿插相应的知识；对应于不同的课程系列，应当安排哪些具体学习内容；算法的学习如何与计算机技术相结合；如何帮助学生在实施运算的过程中理解算法、合理选择有效的算法；将成为本课题研究的主要方向。

逻辑、推理与证明、复数、框图

一．【课标要求】

1．常用逻辑用语

（1）命题及其关系

① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；

（2）简单的逻辑联结词

通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义

（3）全称量词与存在量词

① 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；

② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定

2．推理与证明

（1）合情推理与演绎推理

①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；

②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；

③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异

（2）直接证明与间接证明

①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；

②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法--反证法；了解反证法的思考过程、特点；

（3）数学归纳法

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；

（4）数学文化

①通过对实例的介绍（如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想；

②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用；

3．数系的扩充与复数的引入

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件； （3）了解复数的代数表示法及其几何意义；

（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。

4．框图

（1）流程图

- 1 - 专题一

集合与常用逻辑用语、不等式

第1讲 集合与常用逻辑用语

考情解读 1．集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.

2．高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．

1．集合的概念、关系

（1）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．

（2）集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.

2．集合的基本运算

（1）交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

（2）并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

（3）补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.

3．四种命题及其关系

四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．

4．充分条件与必要条件

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．

5．简单的逻辑联结词

（1）命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．

（2）命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．

6．全称量词与存在量词

“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.

热点一 集合的关系及运算

例1 （1）(2014·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于( )

A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1} C．{0,1} D．{－1,0}

（2）(2013·广东)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，„，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x

第三讲 逻辑联结词、全称量词与存在量词

知识梳理·双基自测

知识点一 简单的逻辑联结词

(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，

(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，

(3)对一个命题p的否定记作¬ p，

(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表

p q ¬ p p∨q p∧q

真 真 假 真 真

真 假 假 真 假

假 真 真 真 假

假 假 真 假 假

知识点二 全称量词与存在量词

1．全称量词与全称命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．

(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．

(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．

2．存在量词与特称命题

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．

(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．

(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．

3．含有一个量词的命题的否定

(1)

命题 命题的否定

∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，¬ p(x0)

∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，¬ p(x)

(2)p∨q的否定是(¬ p)∧(¬ q)；

p∧q的否定是(¬ p)∨(¬ q)．

重要结论

1．逻辑联结词与集合的关系．

(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；

(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；

(3)“非”与集合中的补集相类似．

2．常用短语的否定词

若给定语为 等于 大于 是 且 或 一定 都是 至多有一个 至少有一个 至多

有n个

其否定

语为 不等

于 小于或

等于 不是 或 且 一定