第一章数与式

第一章 數與式

一、數

1、設x為實數，若ax||，則0,0,xaxax當當

2、設1),(,qpxxqp為有理數

二、多項式

1、設則,)(0111axaxaxaxfnnnn

(1)之領導係數為)(xfan

(2)各項係數總和=)1(210faaaan

(3)常數項=)0(0fa

(4)各奇次項係數和=2)1()1(ff

(5)各偶次項係數和=2)1()1(ff

2、綜合除法

三、餘式定理：)()(afxfax的餘式為除多項式

四、因式定理：0)()(afxfax的因式為多項式

五、一次因式判別法：

0111)(axaxaxaxfnnnn為整係數多項式，ba、為互質的整數，若bax整除)(xf，則naa|且0|ab

六、方程式的解法：

1、方程式之解討論：bax

(1)當)(0恰有一解。時：abxa

(2)當)(0,0無限多組解為任意實數。時：xba

(3)當時：方程式為無解0,0ba 2、方程式02cbxax()0a，則

(1)aacbbxacb240422有相異二實根

(2)abxacb2042有相等二實根

(3))(042有二共軛虛根無實數解acb

3、設、為方程式02cbxax()0a之二根，則

ab，ac

4、常用公式

(1)abbaba2)(222

(2)))(()(3)(22333babababaabbaba

(3)))(()(3)(22333babababaabbaba

(4)yxBA2,其中0yxxyByxA且

5、

(1)解分式方程中，務必要代入原方程式的分母驗算，若使分母的值為0，必須剔除。

(2)解根式方程中，務必要代入原方程式的根號驗算，等號若不成立，必須剔除此解。 第二章 複數

一、 複數的形式

1、虛數單位1i；n為自然數，則

3210114kkkkiiiiknn；；；； ；且03424144rrrriiii

2、為虛部稱為實部，，其中為實數，則、設babiaZba

3、為實數、、、設dcba，則dbcadicbia，

二、複數的四則運算

dicZbiaZ21，設，為實數、、、其中dcba

idbcadicbiaZZ)()()()(121、

iadbcbdacdicbiaZZ)()())((221、

idcadbcdcbdacdicbiaZZ2222213、

三、共軛複數

biaZbiaZba之共軛複數為實數，則、設

四、複數的絕對值：

1、22||baZbiaZba絕對值定義為為實數，則、設

2、複數絕對值的性質：

(1)||||11ZZ

(2)212111||||ZZZZ

(3)||||||2121ZZZZ

(4)nnZZ||||11 (5)||||||2121ZZZZ

五、直角坐標與極坐標

1、坐標轉換：

ryrxyxrrpyxpsincos)()(22；，且，其中，，

2、複數極式：

的稱為複數為實數，複數、設ZiryixZyx)sin(cos

ryrxyxrsin,cos22，且極式，其中

3、複數極式的積和商

)sin(cos)sin(cos22221111irZirZ，設，則

(1))]sin()[cos(21212121irrZZ

(2))]sin()[cos(21212121irrZZ

4、棣美弗定理：

)sin(cos||)sin(cos||ninZZiZZnn，則設

5、複數的n次方根

次方根為的，則設nZiZZ)sin(cos||

1210),2sin2(cos||nknkinkZxnk、、

第三章 指數與對數

一、指數函數

1、指數律：設為實數，則，為正實數，，srba

(1)srsraaa (2)srsraa)(

(3)srsraaa (4)rrrbaab)(

(5)rrrbaba)( (6)nnaa1

(7)10a (8)nnaa1

(9)nmnmaa

2、指數函數的大小：

為底數之指數函數。為以，，對實數設aayxax0

(1)21211xxxaaxxaya為遞增函數，即時，當

(2)212110xxxaaxxaya為遞減函數，即時，當

(3)軸上方軸為漸近線，圖形在，且以，的圖形必通過xxaxfx)10()(

二、指數與對數的關係

1、xyayyaaaxlog11為正實數，，，當

2、對數balog有意義時，其中(1)0)2(1,0baa真數底數

三、對數的運算性質

11bayxba，均為正實數，且、、、，則

1、01log1logaaa； 2、yxyxaaaloglog)(log

3、yxyxaaalogloglog

4、xmnxanamloglog

5、)(logloglog換底公式axxbba

6、xaxalog

四、對數函數的大小關係

1、為增函數，若xyaalog1

2、為減函數，若xyaalog10

3、軸右方軸為漸近線，圖形在且以，的圖形必通過yyxya)01(log

五、首數與尾數

1、10log，稱為尾數。首數為整數稱為首數，，nnxa

2、若nxalog則

(1)位數為為正整數，則若1nxn

(2)的數字。位開始出現不為在小數點後第為負整數，則若0||nxn

第四章 行列式

一、二階行列式：

1、運算規則：bcaddcba

2、二元一次方程組)(222111常數項在等號右邊cybxacybxa

221122112211,cacabcbcbabayx，

(1)yxyx,0若

(2)若無限多組解0yx

(3)無解其中一不為、且00yx

二、三階行列式：

1、321312123123132321333222111bcacbacbabcacbacbacbacbacba

2、行列式的性質：

(1)三階行列式可依某一列(行)展開成二階行列式。

三階行列式降階展開後，每一元素的正、負符號可依下述決定



(2)行列式的行、列互換，其值不變 (3)行列式的任意兩列(行)對調，其值變號

(4)行列式的任一列(行)可提出同公因數

(5)行列式的兩列(行)成比例，其值為0

(6)將行列式的一列(行)的k倍加到另一列(行)，其值不變

3、三元一次方程組333322221111dzcybxadzcybxadzcybxa (常數項在等號右邊)

333222111cbacbacba

333222111cbdcbdcbdx(常數項取代x的係數)

333222111cdacdacday(常數項取代y的係數)

333222111dbadbadbaz(常數項取代z的係數)

zyxzyx,,0若