锐角三角函数的经典测试题及解析

锐角三角函数的经典测试题及解析

一、选择题

1．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12CD为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（ ）

A．60ABC B．2ABEADESS C．若AB=4，则47BE D．21sin14CBE

【答案】C

【解析】

【分析】

由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE得到S△ABE=2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，则可计算出CH=12CE=1，EH=3CH=3，利用勾股定理可计算出BE=27 ；利用正弦的定义得sin∠CBE=2114EHBE．

【详解】

解：由作法得AE垂直平分CD，

∴∠AED=90°，CE=DE，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD=2DE，

∴∠DAE=30°，∠D=60°，

∴∠ABC=60°，所以A选项的说法正确；

∵AB=2DE，

∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的说法正确；

作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，

在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，

CH=12CE=1，EH=3CH=3，

在Rt△BEH中，BE=22(3)527，所以C选项的说法错误；

sin∠CBE=3211427EHBE，所以D选项的说法正确．

故选C．

【点睛】

本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．

2．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )

A．(543+10) cm B．(542+10) cm C．64 cm D．54cm

【答案】C

【解析】

【分析】

过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．

【详解】

如图所示，

过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则

Rt△ACE中，AE=12AC=12×54=27（cm），

同理可得，BF=27cm，

又∵点A与B之间的距离为10cm，

∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），

故选C．

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．

3．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（ ）

A．35 B．45 C．34 D．43

【答案】C

【解析】

试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，

∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.

∵∠A=12∠BOC，∴∠A=∠BOD.

∴tanA=tan∠BOD=43BDOD.

故选D．

考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．

4．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（ ）

A．53 B．35 C．22 D．23

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据翻折变换的性质得到DEFAEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BEDCDF，设1CD，CFx，则2CACB，再根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：∵△DEF是△AEF翻折而成，

∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，

∴∠BED＝∠CDF，

设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，

∴DF＝FA＝2﹣x，

∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，

CF2+CD2＝DF2，

即x2+1＝（2﹣x）2，

解得：34x，

3sinsin5CFBEDCDFDF．

故选：B．

【点睛】 本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．

5．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图：

（1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；

（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；

（3）连接BD，BC．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）

A．∠ABD＝90° B．CA＝CB＝CD C．sinA＝32 D．cosD＝12

【答案】D

【解析】

【分析】

由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论．

【详解】

由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确；

∴点B在以AD为直径的圆上，

∴∠ABD＝90°，故A正确；

∴点C是△ABD的外心，

在Rt△ABC中，sin∠D＝ABAD＝12，

∴∠D＝30°，∠A＝60°，

∴sinA＝32，故C正确；cosD＝32，故D错误，

故选：D．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．

6．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是( )

A．4 B．83

C．6 D．43

【答案】B

【解析】

【分析】

设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.

【详解】

设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，

由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，

∴∠OAB=60°，

在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=43，

∴光盘的直径为83．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.

7．如图，在RtABC中，90C＝，30B，AD是BAC的角平分线，6AC＝，则点D到AB的距离为( )

A．33 B．3 C．23 D．33

【答案】C

【解析】

【分析】 如图，过点D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠BAC=60°，由AD为∠BAC的角平分线可得∠DAC=30°，根据角平分线的性质可得DE=CD，利用∠DAC的正切求出CD的值即可得答案．

【详解】

∵∠B=30°，∠C=90°，

∴∠BAC=60°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=30°，DE=CD，

∵AC=6，

∴CD=AC·tan∠DAC=6×33=23，即DE=23，

∴点D到AB的距离为23，

故选：C．

【点睛】

本题考查解直角三角形及角平分线的性质，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边；角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．

8．如图所示，RtAOB中，90AOB ，顶点,AB分别在反比例函数10yxx与50yxx的图象器上，则tanBAO的值为（ ）

A．55

B．5

C．255 D．10

【答案】B

【解析】

【分析】

过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO=52，S△AOC=12，根据相似三角形的性质得到=5OBOA，根据三角函数的定义即可得到结论．

【详解】

解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，

则∠BDO=∠ACO=90°，

∵顶点A，B分别在反比例函数10yxx与50yxx的图象上，

∴S△BDO=52，S△AOC=12，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，

∴∠DBO=∠AOC，

∴△BDO∽△OCA，

∴251522BODOACSOBSOA△△，

∴5OBOA，

∴tan∠BAO=5OBOA.

故选B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．