2020届高考数学理一轮复习课时训练第12章概率随机变量及其分布63

【课时训练】第60节 几何概型一、选择题1.(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A.16.32B.15.32 C .8.68 D.7.68答案为：A解析：设椭圆的面积为S ，则S 4×6=300－96300，故S =16.32.2.(2018辽宁五校联考)若实数k ∈[－3,3]，则k 的值使得过点A (1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k =0相切的概率等于( )A.12B.13C.14D.16答案为：D解析：由点A 在圆外可得k ＜0，由题中方程表示圆可得k ＞－1或k ＜－4，所以－1＜k ＜0，故所求概率为16.故选D.3.(2018宁夏银川模拟)在正三棱锥S －ABC 内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是( )A.78B.34C.12 D.14答案为：A解析：如图，分别取D，E，F为SA，SB，SC的中点，则满足条件的点P应在棱台DEF－ABC内，而S△DEF=14S△ABC，∴V S－DEF=18V S －ABC.∴P=V DEF－ABCV S－ABC=78.故选A.4.(2018石家庄一模)在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使x2＋y2≤1成立的概率为()A.π2 B.π4C.π3 D.π5答案为：B解析：如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得x2＋y2≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的14与x 轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P=π41=π4.故选B.5.(2018湖南十校联考)如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y=x2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是()A.12 B.14C.13 D.25答案为：C解析：由题意可知，阴影部分的面积S阴影=⎠⎛10x2dx=13x310=13，又正方形的面积S=1，故质点落在图中阴影区域的概率P=131=13.故选C.6.(2018武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(),A.34 B.23C.13 D.14,答案为：D ,解析：因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，所以所求概率P =1－341－0=14.故选D.,7.(2018济南模拟)如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P (x ，y )，则以x ，y,1为边长能构成锐角三角形的概率为( ),A.1－π4B.1－π6C.1－π3D.π12答案为：A ,解析：连接AC ，首先由x ＋y ＞1得构成三角形的点P 在△ABC 内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cos α=x 2＋y 2－122xy ＞0，x 2＋y 2＞1，即点P 在以原点为圆心，1为半径的圆外.∴点P 在边AB ，BC 及圆弧AC 围成的区域内.∴所求概率为12－π4×1212=1－π4.故选A. 二、填空题8.(2018重庆检测)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，所表示的平面区域内随机地取一点P ，则点P 恰好落在第二象限的概率为________.答案为：29解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋1≥0，x＋y－2≤0，y≥0，表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S△ABC=12×3×32=94，S△AOD=12×1×1=12，所以点P 恰好落在第二象限的概率为S△AODS△ABC=1294=29.9.(2018邢台摸底考试)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________.答案为：59解析：由题意知，所求的概率为1－⎝⎛⎭⎪⎫4π3×13÷(π×12×3)=59.10.(2018沈阳模拟)某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________.答案为：2125解析：设两盏灯笼通电后发光的时刻分别为x ，y ，则由题意可知0≤x ≤5,0≤y ≤5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|x －y |≤3，做出图形如图所示，根据几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率P =1－2×12×2×25×5=2125.11.(2018河南检测)若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3=0与x 轴，y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________.答案为：23解析：对于直线方程(m ＋2)x ＋(3－m )y －3=0，令x =0，得y =33－m ；令y =0，得x =3m ＋2.由题意可得12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3m ＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－m ＜98，因为m ∈(0,3)，所以解得0＜m ＜2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是23.12.(2018云南昆明统测)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD ，矩形的一边BC 在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________.答案为：12解析：设AD =x ，AB =y ，则由三角形相似可得x a =a －ya ，解得y =a－x ，所以矩形的面积S =xy =x (a －x )≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a －x 22=a 24，当且仅当x =a －x ，即x =a 2时，S 取得最大值a 24，所以该点取自矩形内的最大概率为a 2412×a ×a=12. 三、解答题13.(2018山东德州一模)设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2=0.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率.【解】设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2=0有实根”.当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2=0有实根的充要条件为a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P (A )=3×2－12×223×2=23.。

【课时训练】第61节离散型随机变量及其分布列一、选择题1．(2018江西九校联考)已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量X1；②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数X2；③某一天中长江的水位X3；④某次大型车展中销售汽车的车辆数X4.其中不是离散型随机变量的是()A．①中的X1B．②中的X2C．③中的X3D．④中的X4【答案】C【解析】①②④中的随机变量可能取的值都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量；③中的X3可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X3不是离散型随机变量．故选C.2．(2018湖南湘阳联考)某射手射击所得环数X的分布列为A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51【答案】C【解析】P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.3．(2018福建南平一模)随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a值为()A.1110B．155C．110 D．55【答案】B【解析】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k ＝1,2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a ＝155.4．(2018兰州模拟)有一个公用电话亭，观察使用过电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P (n )，且P (n )与时刻t 无关，统计得到P (n )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ·P (0)(1≤n ≤5)，0(n ≥6)，那么P (0)的值是( )A ．0B ．1C ．3263D ．12【答案】C【解析】由题意得P (1)＝12P (0)，P (2)＝14P (0)，P (3)＝18P (0)，P (4)＝116P (0)，P (5)＝132P (0)，P (n ≥6)＝0，所以1＝P (0)＋P (1)＋P (2)＋P (3)＋P (4)＋P (5)＋P (n ≥6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116＋132·P (0)＝6332P (0)，所以P (0)＝3263. 5．(2018四川资阳联考)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)【答案】C【解析】X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，故X ＝k ＝4.6．(2018衡水中学模拟)若随机变量X 的分布列为则当P (X ＜a )＝A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2)【答案】C【解析】由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．7．(2018湖北八校联考)已知随机变量ξ的分布列如下表：其中a ，b ，c d 的取值范围分别是( )A.23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13B ．23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 C.23⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 D ．13⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 【答案】A【解析】∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23， 则a ＝13－d ，c ＝13＋d .根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23， ∴－13≤d ≤13.故选A. 二、填空题8．(2018浙江温州模拟)设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X ＜4)＝0.3，那么n ＝________.【答案】10【解析】由于随机变量X 等可能取1,2,3，…，n .∴取到每个数的概率均为1n .∴P (X ＜4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n ＝10.9．(2018甘肃联合诊断)抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________.【答案】16【解析】相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X ＝2对应(1,1)；X ＝3对应(1,2)，(2,1)；X ＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝136＋236＋336＝16.10．(2018广东珠海三模)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．【答案】【解析】ηP(η＝0)＝C11C11C12C12＝14；P(η＝1)＝C11C11×2C12C12＝12；P(η＝2)＝C11C11C12C12＝14.∴η的分布列为三、解答题11．(2018石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列．【解】5件抽测品中有2件优等品，则ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝C23C25＝0.3；P(ξ＝1)＝C13·C12C25＝0.6；P(ξ＝2)＝C22C25＝0.1.∴优等品数ξ的分布列为。

第十二章§6：离散型随机变量及其分布列、期望与方差(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某射击手击中目标的概率是0.9，从开始射击到击中目标所需要的射击次数为X ，则EX 等于A ．109B ．910C ．19D ．10812．给出下列A 、B 、C 、D 四个表，其中能成为随机变量X 的分布列的是3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧的个数X 是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X ＝4)的值为 A ．1220 B ．2755 C ．27220 D ．21554．有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件，若X 表示取到次品的个数,则EX 等于A ．35B ．815C ．1415D ．15．已知X 的分布列X ＝－1,0,1，对应P ＝12，16，13，且设η＝2X ＋1，则η的期望是A ．－16B ．23C ．2936D ．1二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．设随机变量X 的概率分布为P(X ＝k)＝c2k ，k ＝1,2,3.其中c 为常数，则EX ＝________.7．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若EX ＝0，DX ＝1，则 a ＝_____，b ＝_______.8．甲、乙二人独立解出某一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36，则甲独立解出该题的概率是________；若X表示解出该题的人数，则EX＝________.三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设X＝m2，求X的分布列及其数学期望EX.10．（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n＝4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X＝|1－a1|＋|2－a2|＋|3－a3|＋|4－a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．(1)写出X的可能值集合．(2)假设a1，a2，a3，a4等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X的分布列．(3)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，①试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立)；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：由题意知X 服从几何分布，其中P ＝0.9，所以EX ＝10.9＝109.答案：A2．解析：对于A 项，由于0.6＋0.3＝0.9<1，故不能成为随机变量X 的分布列；仿上可知，对于C 项，有12＋14＋18＋…＋12n ＝1－12n <1；对于D 项，知13＋13·23＋13·(23)2＋…＋13(23)n ＝13[1＋23＋(23)2＋…＋(23)n ]＝1－(23)n ＋1<1，故C 、D 两项均不能成为随机变量X 的分布列；对于B 项，由于0.902 5＋0.095＋0.002 5＝1，故表B 可以成为随机变量X 的分布列． 答案：B3．解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案：C4．解析：X ＝1时，P ＝C 17C 13C 210；X ＝2时，P ＝C 23C 210，∴EX ＝1×C 17C 13C 210＋2×C 23C 210＝7×3＋2×3C 210＝35，故选A 项． 答案：A5．解析：EX ＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16，∵η＝2X ＋1，∴Eη＝2EX ＋1＝2×(－16)＋1＝23.答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：P(X ＝1)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝c 2＋c 4＋c 8＝1得c ＝87，故EX ＝1×P(X ＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X ＝3)＝117.答案：1177．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112－a ＋c ＋16＝0，a ＋c ＋13＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512b ＝14c ＝14.答案：512 148．解析：(1)设甲、乙二人独立解出该题的概率为x ，则该题不能被甲或乙解出的概率为(1－x)2，由题意可知1－(1－x)2＝0.36， 解方程得x ＝0.2，或x ＝1.8(舍)． (2)解出该题的人数X 的分布列为EX ＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4. 答案：0.2 0.4三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3， 即S ＝{x|－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)， (－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以X ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9， 且有P(X ＝0)＝16，P(X ＝1)＝26＝13，P(X ＝4)＝26＝13，P(X ＝9)＝16. 故X 的分布列为所以EX ＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.10.（本小题满分18分，（1）小问5分，（2）小问6分，（3）小问7分）解：(1)X的可能值集合为{0,2,4,6,8}．在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个，所以a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，因此|1－a1|＋|3－a3|与|2－a2|＋|4－a4|的奇偶性相同，从而X＝(|1－a1|＋|3－a3|)＋(|2－a2|＋|4－a4|)必为偶数．X的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得X的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子．(2)可用列表或树状图列出1,2,3,4的一共24种排列，计算每种排列下的X值，在等可能的假定下，得到(3)①首先P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝424＝16，将三轮测试都有X≤2的概率记做P，由上述结果和独立性假设，得P＝163＝1216.②由于P＝1216<51 000是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．。

【课时训练】第59节 古典概型一、选择题1．(2018昆明模拟)小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A.15 B ．25 C ．35 D ．45【答案】B【解析】语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A 22A 22A 23＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有A 22A 22A 33＝24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A 55＝120种摆放方法．故所求概率为1－48＋24120＝25.故选B.2．(2018湖南常德模拟)某校食堂使用除面值外，大小、手感完全一样的餐票，某同学口袋中有2张一元餐票，3张两元餐票，1张五元餐票，他从口袋中随机摸出2张餐票，则这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为( )A.715 B ．815 C ．35 D ．23【答案】B【解析】该同学从口袋中随机摸出2张餐票，总的基本事件数是C 26＝15，若这2张餐票的面值之和不少于4元，则这2张餐票为2张两元的或1张两元的、1张五元的或1张一元的、1张五元的，包含的基本事件数为C 23＋C 13C 11＋C 12C 11＝8，根据古典概型的概率计算公式可知，这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为815.3．(2018江苏常州一模)一袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从袋中一次性随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为( )A.35 B ．45 C ．23 D ．56【答案】D【解析】从袋中一次性随机摸出2只球的所有可能情况有C 24＝6(种)，设“这2只球颜色不同”为事件N ，这2只球颜色可能为1白1红，1白1黄，1红1黄，事件N 包含的情况C 11C 11＋C 11C 12＋C 11C 12＝5(种)，故这2只球颜色不同的概率P (N )＝56.4．(2018贵州遵义模拟)从集合A ＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限的概率为( )A.112 B ．16 C ．14 D ．12【答案】B【解析】根据题意可知，总的基本事件(k ，b )共有4×3＝12个，直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限，则k ＞0，b ＞0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线y ＝kx ＋b 不经过第四象限的概率P ＝212＝16.故选B.5．(2018大同调研)有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次．事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率是( )A.3281B ．512C ．12D ．1645【答案】D【解析】由题意知，这10件产品中有2件次品，8件正品，每次抽取1件，抽检后不放回，共抽2次，共有A 210＝90种情况，其中事件“抽到1件正品，1件次品”包含的情况有A 22C 18C 12＝32种情况，根据古典概型的概率计算公式知，事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率P ＝3290＝1645.6．(2018郑州质检)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79 B ．13 C ．59 D ．23【答案】D【解析】对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)＞0，即a ＞b .又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a ＞b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P ＝69＝23.7．(2018太原模拟)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角为α，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4的概率为( )A.518 B ．512 C ．12 D ．712 【答案】B【解析】由题意知，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，即n ＜m 的(m ，n )可根据n 的具体取值进行分类计数：第一类，当n ＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五类，当n ＝5时，m 有1个取值．因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝512.8．(2018江西新余模拟)在三行三列的方阵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33中有9个数a ij (i ＝1,2,3，j ＝1,2,3)，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是( )A.37 B ．47 C ．114 D ．1314【答案】D【解析】从9个数中任取3个数共有C 39＝84种不同的取法．若3个数中有2个数位于同行或同列，则有C 19C 14C 14A 22＝72种不同的取法，若3个数均位于同行或同列，则有6种不同的取法．设事件M 为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M 包含的取法共有72＋6＝78(种)，根据古典概型的概率计算公式得P (M )＝7884＝1314.故选D.二、填空题9．(2018珠海综合测试)高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班的男生人数为________．【答案】33【解析】由题意可设该班的男生人数为x ，则女生人数为63－x ，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63－x63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63－x 63＝1011×x 63，解得x ＝33，故这个班的男生人数为33.10．(2018合肥质检)为了庆祝五四青年节，某书店制作了3种不同的精美卡片，每本书中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现某人购买了5本书，则其获奖的概率为________．【答案】5081【解析】“获奖”即每种卡片至少一张，而5＝1＋1＋3＝1＋2＋2，有3种卡片，购买5本书，基本事件总数为35，故所求概率为3C 15C 14C 33＋3C 15C 24C 2235＝5081.三、解答题11．(2018郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？【解】用(x ，y )(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．则P (A )＝1025＝25.(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C .事件B 所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个．则P (B )＝1025＝25，所以P (C )＝1－P (B )＝35. 因为P (B )≠P (C )，所以这样规定不公平．。

【课时训练】第63节 离散型随机变量的均值与方差、正态散布一、选择题1．(2018浙江嘉兴一中质检)随机变量X 的散布列如下表，且E(X )＝2，那么D(2X －3)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】p ＝1－16－13＝12，E (X )＝0×16＋2×12＋a ×13＝2⇒a ＝3，因此D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，因此D (2X －3)＝22D (X )＝4，应选C.2．(2018广东广雅中学期中)口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号别离为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以X 表示掏出球的最小号码，则E (X )＝( )A ．0.45B ．0.54 C.0.55 D ．0.6【答案】B【解析】易知随机变量X 的取值为0,1,2，由古典概型的概率计算公式得P (X ＝0)＝6C 35＝0.6，P (X ＝1)＝3C 35＝0.3，P (X ＝2)＝1C 35＝0.1.因此E (X )＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5，应选B.3．(2018浙江东阳模拟)假设随机事件A 在1次实验中发生的概率为p (0＜p ＜1)，用随机变量ξ表示A 在1次实验中发生的次数，则2D (ξ)－1E (ξ)的最大值为( ) A ．2＋2 2B ．22C ．2－ 2D ．2－22【答案】D【解析】随机变量ξ的所有可能取值为0,1，且P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，即ξ～B (1，p )，则E (ξ)＝p ，D (ξ)＝p (1－p )，2D (ξ)－1E (ξ)＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2p ＋1p .而2p ＋1p ≥22p ·1p＝22，当且仅当2p ＝1p ，即p ＝22时取等号．因此当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取得最大值2－2 2.4．(2018南阳模拟)设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则D (3Y ＋1)＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7【答案】C【解析】由题意得P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22p 2＝59，因此p＝13，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，故D (Y )＝3×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝23，因此D (3Y ＋1)＝9D (Y )＝9×23＝6. 5．(2018江西宜春质检)已知随机变量ξ的所有可能取值别离为1,2,3,4,5.假设数学期望E (ξ)＝4.2，则ξ取值为5的概率至少为( )A ．0.1B ．0.15C ．0.2D ．0.25【答案】C【解析】设ξ的取值为1,2,3,4,5的概率别离为p 1，p 2，p 3，p 4，p 5，p i ∈[0,1]，i ＝1,2,3,4,5，则p 1＋p 2＋p 3＋p 4＋p 5＝1，则p 1＋2p 2＋3p 3＋4(1－p 1－p 2－p 3－p 5)＋5p 5＝4.2，p 5＝0.2＋3p 1＋2p 2＋p 3≥0.2，当p 1＝p 2＝p 3＝0时等号成立．6．(2018吉林长春质检)据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X(单位：万)服从正态散布X～N(6,0.82)，那么日接送人数在6万到6.8万之间的概率为(P(|X－μ|<σ)＝0.682 6，P(|X－μ|<2σ)＝0.954 4，P(|X－μ|<3σ)＝0.997 4)() A．0.682 6 B．0.954 4C．0.997 4 D．0.341 3【答案】D【解析】因为μ＝6，σ＝0.8，因此P(6<X<6.8)＝P(5.2<X<6.8)2＝0.682 62＝0.341 3.应选D.7．(2018广东惠州二调)设随机变量ξ服从正态散布N(4,3)，若P(ξ<a－5)＝P(ξ>a ＋1)，那么实数a等于()A．7 B．6C．5 D．4【答案】B【解析】由随机变量ξ服从正态散布N(4,3)可得正态散布密度曲线的对称轴为直线x＝4，又P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，∴x＝a－5与x＝a＋1关于直线x＝4对称，∴(a－5)＋(a＋1)＝8，即a＝6.应选B.8．(2018河北石家庄一模)设X～N(1，σ2)，其正态散布密度曲线如下图，且P(X≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC中随机抛掷20 000个点，那么落入阴影部份的点的个数的估量值为()附：(随机变量ξ服从正态散布N(1，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4)．A．12 076 B．13 174C．14 056D．7 539【答案】B【解析】由题意，得P(X≤－1)＝P(X≥3)＝0.022 8，∴P (－1<x <3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4， ∵P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P (0<X <1)＝12P (0<X <2)＝0.341 3，故估量落入阴影部份的点的个数为20 000×(1－0.341 3)＝13 174，应选B.二、填空题9．(2018南高中期中)设随机变量X 的概率散布列为则P (|X －3|＝1)＝【答案】512【解析】由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.10．(2018河南新乡三模)在某项测量中，测量结果ξ服从正态散布N (1，σ2)(σ＞0)．假设ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【答案】0.8【解析】由正态散布N (1，σ2)(σ＞0)的图象关于直线x ＝1对称，且ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，知ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4，故ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.11．(2018内蒙古包头调研)已知X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.假设E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为________． 【答案】3【解析】由题意得X 的所有可能取值为x 1，x 2，因此E (X )＝23x 1＋13x 2＝43，D (X )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432＝29，整理得⎩⎨⎧2x 1＋x 2＝4，6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23，(舍去)，故x 1＋x 2＝3.12．(2018开中学一模)2021年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2017年清明节前后车辆通行数量，发觉该站近几天天天通行车辆的数量ξ服从正态散布ξ～N (1 000，σ2)，若P (ξ>1 200)＝a ，P (800<ξ<1 000)＝b ，则1a ＋9b的最小值为________． 【答案】32【解析】由ξ～N (1 000，σ2)，P (ξ>1 200)＝a ，P (800<ξ<1 000)＝b 得a ＝0.5－b ，因此a ＋b ＝12，则1a ＋9b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b (a ＋b )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋9a b ≥2⎝⎛⎭⎪⎫10＋2b a ·9a b ＝32，因此1a ＋9b的最小值为32. 三、解答题13．(2018淄博模拟)某4S 店在一次促销活动中，让每位参与者从盒子中任取一个由0～9中任意三个数字组成的“三位递减数”(即个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字)．假设“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除，那么能够享受5万元的优惠；假设“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除，那么能够享受3万元的优惠；其他结果享受1万元的优惠．(1)试写出所有个位数字为4的“三位递减数”；(2)假设小明参加了这次汽车促销活动，求他取得的优惠金额X 的散布列及数学期望E (X )．【解】(1)个位数字为4的“三位递减数”有：984,974,964,954,874,864,854,764,754,654，共10个．(2)由题意知，不同的“三位递减数”共有C 310＝120(个)． 小明取得的优惠金额X 的取值可能为5,3,1. 当X ＝5时，三个数字之和可能为20或10，当三个数字之和为20时，有983,974,965,875，共4个“三位递减数”； 当三个数字之和为10时，有910,820,730,721,640,631,541,532，共8个“三位递减数”．因此P (X ＝5)＝4＋8120＝110.当X＝3时，三个数字之和只能被2整除，即这三个数字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数，但不包括能被10整除的“三位递减数”，故P(X＝3)＝C35＋C25C15－12120＝48120＝25.故P(X＝1)＝1－P(X＝5)－P(X＝3)＝1－110－25＝12.因此他取得的优惠金额X的散布列为数学期望E(X)＝5×110＋3×25＋1×12＝2.2(万元)．。