【高斯数学思维训练】第20讲：直线型计算三.韩涛.初稿

第6讲简单加减法竖式典型问题◇◇兴趣篇◇◇1. 在空格内填入适当的数字，使图中的加法竖式成立。

答案：+=438204642【分析】从个位看，□+4的个位是2，则知□=8，十位上的□=0，百位上的□=4。

2. 在空格内填入适当的数字，使图中的加法竖式成立。

答案：+=849381022【分析】采用首位和末位分析法知：和的千位是1，百位是0。

加数中的百位是9，且个位中的□=4，则知十位上的数的和要进位，十位上的□=3。

3. 在图（1）和图（2）的空格内填入适当的数字，使竖式成立。

答案：+=9819591940；+=169130299 【分析】分析如下： （1）第四步：□＝0第三步：由十位知个位的和有进位，则□＝9第二步：百位不能为0，则知□＝1第一步：因为两数和最大进11+49185（2）+第四步：填9第二步：十位和不能进位，填9第三步：个位和不能进位，填0第一步：百位不能为0，则知□＝196113924. 在图中的空格内填入适当的数字，使减法竖式成立。

答案：-=290917981111【分析】分析如图：第三步：8－□=1，□=7第一步：填8第二步：□－9=1，则知□=0，且需向百位借1第四步：填2－111191995. 在图中的空格内填入适当的数字，使减法竖式成立。

答案：-=102379656581 【分析】第四步：百位向千位借1，则有12－6－1＝5第一步：填15，且需向百位借1第三步：被减数填10，减数填9－8667326. 图中是一个加减混合运算的竖式，在空格内填入适当的数字使竖式成立。

答案：+=919991090；-=109099595【分析】分析如图：第一步：被减数填10，减数填9第七步：9被借走1个后就不够减了，说明此处填9第八步：填9第六步：填5第五步：填0第四步：填9第二步：填9，且十位有进位第三步：□+9=19，□填9，且个位有进位+－5991□－□=2，且只剩3、1，第三步：填47. 在如图所示的竖式里，四张小纸片各盖住了一个数字。

第8讲：直线形计算二内容概述：进一步学习直线形面积公式的运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转化；初步学习添加辅助线的分析方法。

典型问题：兴趣篇1. 如图8-1，四边形ABCD 是直角梯形。

其中12AD =（厘米），8AB =（厘米），15BC =（厘米），且三角形ADE 、四边形DEBF 、三角形CDF 的面积相等。

阴影三角形DEF 的面积是多少平方厘米？【分析】令AE 的长度为x 厘米，则CF 的长度为32x 厘米，则有： ()31158812622x x x ⎡⎤⎛⎫-⨯+-⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 解之得：6x =。

所以阴影三角形DEF 的面积是：612226236630S =⨯÷-⨯÷=-=阴（平方厘米）。

2. 一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图8-2所示（单位：平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？【分析】最后剩下的那块面积应为：40153020⨯÷=（平方米）3. 如图8-3，在三角形ABC 中，BC 是DC 的三倍，AC 是EC 的3倍。

三角形DEC 的面积是3平方厘米。

请问：三角形ABC 的面积是多少平方厘米？27 【分析】111339DECABCS CE CD S BC AB ⨯==⨯=⨯三角形三角形 所以三角形ABC 的面积是27平方厘米。

4.如图8-4，E 是BC 上靠近C 的三等分点，且ED 是AD 的2倍。

三角形ABC 的面积为36平方厘米。

三角形BDE 的面积是多少平方厘米？16【分析】由于三角形ABC 的面积是36平方厘米，而:2:3BE BC =，所以三角形BDE 的面积是24平方厘米。

同理，三角形BDE 的面积是16平方厘米。

4. 如图8-5所示，已知三角形BEC 的面积等于20平方厘米，E 是AB 边上靠近B 点的四等分点。

三角形AED 的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF 的面积是多少平方厘米？【分析】连接AC ，由于三角形BEF 的面积是20平方厘米，而:3:1AE EB =，所以三角形ADE 的面积是60平方厘米，则三角形DEF 的面积是80平方厘米，则平行四边形DECF 的面积是160平方厘米。

学习-----好资料第8讲直线形计算二内容概述进一步学习直线形面积公式酌运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转T七；初步学习添加辅助线酌分析方法．典型问题兴趣篇1．如图8-1，四边形ABCD是直角梯形，其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC= 15（厘米），且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米？2．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图8-2所示（单位：平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？的面积DEC的3倍，三角形3DC的倍，AC是EC8-33．如图，在三角形ABC中，BC是的面积是多少平方厘米？3平方厘米．请问：三角形ABC是的面积为倍，三角形ABC的ED是AD2是4．如图8-4，EBC上靠近C的三等分点，且BDE 的面积是多少平方厘米？36平方厘水．三角形边上靠近日点的四等AB20BEC的面积等于平方厘米，E是所示，5．如图8-5已知三角形的面积是多少平方厘米？平行四边形分点，三角形AEDDECF的面积是多少平方厘米？BOC的面积为36，三角形AOD8．三角形的面积为，已知平行四边形．如图68-6ABCD的面积为多少？更多精品文档．学习-----好资料7．如图8-7，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？8．如图8-8，将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三的长是多少？的边BE角形的5倍．三角形ABE平方厘米715厘米，结果面积增加了8-9，把一个正方形的相邻两边分别增加3和9．如图．原正方形的面积为多少平方厘米？（阴影部分）厘米，四边形的周，D点到四条边的垂线都是410．如图8-10，四边形ABCD内有一点D 长是36厘米，四边形的面积是多少平方厘米？拓展篇平方、20、8、12、1691．如图8-11，有个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4 4个长方形的面积分别是多少平方米？米．其余倍，三是AE的3的中点，中三角形8-12ABC的面积是180平方厘米，D是BCAD2．图ABE角形的面积是多少平方厘米？6AE=3EDCD=3DF，，而且三角形BFC的面积为ABCD3．如图8-13，在四边形中，已知的面积是多少？平方厘米．大四边形ABCD7平方厘米，四边形BEDF的面积为的面积倍后得到三角形ABCABC，三角形1DEF8-144．如图，把三角形的各边向外延长为1的面积是多少？．三角形DEF更多精品文档．学习-----好资料面积AECABCD的面积是三角形是AB边上靠近A点的三等分点，梯形5．如图8-15，E 倍．请问：梯形的下底长是上底长的几倍？的5平方厘米，红色三角形的面积是9，一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，8-166．如图那么蓝色三角形的面10平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是积是多少平方厘米？个等分点与正方3等分，然后将这8．图8-17中，正方形ABCD的面积为1．把每条边都7个空白的三角形，阴影部分的总面个阴影的四边形和4形内部的某一点P相连接，形成4 积是多少？平方厘米，35是AB的中点．已知梯形ABCD的面积为8-188．如图，在梯形ABCD中，E 平方厘米．三角形的面积为13BCE的面积为多少平方厘米？三角形ABD三．ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6和4和正方形8-199．在图中，正方形ADEB 角形ACG和三角形BDF的面积分别是多少？边平行12AB厘米、8厘米的正方形构成，有一条与厘米、是由边长分别为．图108-2010 BFEF 的直线将此图形分成面积相等的两部分，那么的长度为多少厘米？更多精品文档．学习-----好资料11．(1)如8-21中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米，结果面积增加了50平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？(2)如8-21中右图所示，把一个正方形的相邻两边分别减少3厘米和5厘米，结果面积减少了65平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？长边上，直角边AC，E点恰好在AB12.如图8-22，直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF 12厘米．正方形的边长为多少厘米？厘米，BC长20超越篇厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的96，三角形ABC的每边长都是1．如图8-23和CF的长度之和．四个三角形．请求出CEABCD如果的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH.-242．如图8 ，把四边形ABCD 5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米？的面积是IMABCD是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米）．过，点的线段3．图8-25中BM 的长度是多少厘米？将五边形EFGHI分成面积相等的两部分．线段边．若边的中点，MD、BCEC都垂直于ABMABC-26．如图48 ，在钝角三角形中，为平方厘米，则三角形的面积是三角形BDE3ABC的面积是多少？更多精品文档．学习-----好资料5．在图8 -27中，大正方形面积比小正方形面积大40平方厘米，大正方形面积是多少平方厘米？BC= 24，AB=18AC= 30（分米），（分米）．如图68-28，直角三角形ABC的三边长分别为的边长是多少厘米？（厘米）．问正方形BFEGAC（分米），ED垂直于，且ED= 95突三百回合大战后，两人不分胜负．争夺武林盟主的地位，7．菜鸟和大虾在武林大会上相遇，然，菜鸟向对手发出一枚飞镖，说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速的一声，飞镖被劈成了两半，如瞠”抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较5图8-29，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为小的那部分残片占到整体面积的几分之几？的正方形组合在一起，中间的正方形的两个顶点恰好是另外，将三个边长为．如图88-30l两个正方形的中心．请问：图中阴影部分的面积是多少？更多精品文档．。

第八讲复杂直线型计算我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了直线形中的各种比例关系．下面我们就对这些知识作一下总结． 本讲知识点汇总：我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了直线形中的各种比例关系．下面我们就对这些知识作一下总结． 一、角度问题1. n 边形的内角和是()1802n ︒⨯-；2. n 边形的外角和是360°． 二、基本直线形的面积计算：三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形面积公式（详细公式略）． 三、直线形中的比例关系1. 等高三角形：面积比等于底的比．2. 共角三角形：面积比等于共角夹边比的乘积．如右图所示，阴影三角形与大三角形共享一个角，它的左侧边占大三角形左侧边的13，右侧边占大三角形右侧边的12，那么它的面积就是大三角形的111236⨯=． 3. 沙漏三角中的比例关系：如下图所示，上下两个三角形底边平行，另两边呈交叉关系，则有比例关系a c eb d f==成立．4. 长方形中的比例关系：bbb12::S S a b=abS 2 S1aba b（1） 共边长方形的面积比等于另一组边的比．如右图所示，12S a S b=．（2） 如右图所示，长方形被一对分别平行于长、宽的线段一分为四，则有面积比例：3124S S aS S b ==．将其写成交叉相乘的形式可得1423S S S S ⨯=⨯．5. 一般四边形中的比例关系：（1） 如右图所示，当四边形被对角线分为四个部分的时候，这四块的面积有3124S SS S =的比例关系成立．（2） 如右图所示，连接四边形的一条对角线CD ，并在CD 上取一点O ，连接OA 和OB ，将四边形分为四部分．立．上述两个比例关系还可以通过交叉相乘，写成1423S S S S ⨯=⨯6. 金字塔模型：右图三角形中添加一条与底边平行的平行线，就是金字塔模型．金字塔模型的比例关系如右图： 1122a b a b =和11112122a b c a a b b c ==++． 7. 燕尾三角形：上面的等高三角形中我们学过等高三角形的比例关系，如下左图所示，△ABC 被线段AD 一分为二，且有比例关系12::S S a b =． 如下右图所示，在增加了两条线段后，图中有4个小三角形，这4个小三角形的面积之间的比例关系如图中所示．a b= 外比：3124S S BD S S CD== BC D内比：1234S S AO S S OD== 12cc = 金字塔模型面积之间的比例关系如图中所示．例1．A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度．则A、B中阴影部分的周长之差是多少厘米？「分析」根据图中标出的字母，你能用字母a、b分别表示出长方形的长和宽以及两图中阴影部分的周长之差吗？练习1、下图中，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形．如果阴影部分的周长是l20(阴影部分周长由内、外两部分组成)，那么大正六边形的周长是多少？例2．如图，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，那么∠BFE等于多少度？「分析」正五边形的每个内角是多少度？等边三角形每个内角又是多少度？由此如何求出∠BFE的度数？AC DEFBBaA练习2、如下图，已知ABCDEF是正六边形，ABIJK是正五边形，ABGH是正方形，图中∠AFK、∠AHK哪个大，它们的差是多少度？例3．如图，四边形ABCD与四边形CNMP都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF 的面积分别是21和43，则三角形BNE的面积为多少？「分析」两个平行四边形为我们提供了几组平行线这个条件，那么如何使用平行线作为我们的解题突破口呢？练习3、图中的长方形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么阴影部分的面积是多少？例4．已知四边形ABCD 是平行四边形，三角形AEF 的面积为4，三角形CDE 的面积为9，那么平行四边形的面积等于多少？「分析」这道题中有一个“沙漏形”是可以用在解题中的请你找出．练习4、图中的梯形被分成四小块，其中两块的面积已经标出，那么梯形的面积是多少？例5．如图，大长方形被分为四个小长方形，面积分别为12、24、35、49．那么图中阴影图形的面积为多少？「分析」图中的阴影三角形是包含在长方形中的．如何利用三角形与长方形的面积比来求阴影部分呢？AB CDO 416例6．如图所示，ABCD 是一个长方形，点E 在CD 延长线上．已知AB =5，BC =12，三角形AFE 的面积等于15，那么三角形CFE 的面积等于多少？「分析」在这道题中你首先能求出哪些部分的面积请先求出，然后再根据这些面积的关系去寻找图中的线段长度关系．A BCDE几何原本《几何原本》（希腊语：Στοιχεῖα）是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13卷．这本著作是现代数学的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍．这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作．在《原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，把人们公认的一些事实列成定义和公理，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学．而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作．《几何原本》集整个古希腊数学的成果和精神于一书．既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识．除《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比．《几何原本》大约成书与公元前300年，原书早已失传，如今见到的《几何原本》是经过后来的数学家们修改过的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，书中大部分内容有关图形的知识（即几何知识）．1582年，意大利人利玛窦到我国传教，带来了15卷本的《原本》．1600年，明代数学家徐光启（1562- 1633）与利玛窦相识后，便经常来往．1607年，他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为《几何原本》．后9卷是1857年由我国清代数学家李善兰（1811-1882）和英国人伟烈亚历译完的．《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）．《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设．（其中最后一条公设就是著名的平行公设，这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础．全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的．比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证．都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明．欧几里得的《几何原本》是中学生学习数学基础知识的好教材．它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材．历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而做出了伟大的贡献．两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材．哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就．课堂内外作业1. 如图，它是由若干块面积为12平方厘米的小长方形砖和3块白色小正方形砖砌起来的一面墙，问这块墙的面积是多少？2. 如图，将一个正方形的左上角和左下角折起来，并且交于A 点，求∠1等于多少度？3. 如图，ABCD 是一个长方形，E 为CD 边的一个三等分点，如果图中阴影部分面积为1，求长方形ABCD 的面积．4. 如图，面积为4的正方形ABCD 中，E 、F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．5. 如图，三角形ABC 的面积是1，D 、E 、F 分别是相应边的三等分点，三角形ADO 的面积是多少？CBFBCDC EDCFE第八讲 复杂直线型计算例题：例7． 答案：16厘米详解：长方形的长为2a b +，宽为a b +．再根据长比宽多8厘米，就能求出8b =厘米．长方形A 中，阴影部分的周长为()6424b a b a b +-=+．长方形B 中，阴影部分有6条边，它的周长其实就等于大长方形的周长，等于()2246a b a b a b +++⨯=+．两者相差22816b =⨯=厘米．例8． 答案：168︒详解：因为△CDF 是正三角形，所以60CFD FCD ∠=∠=︒．正五边形的内角和是()521803180540-⨯︒=⨯︒=︒，每个内角是5405108︒÷=︒．因此1086048BCF ∠=︒-︒=︒．△BCF 是等腰三角形，所以()18048266BFC ∠=︒-︒÷=︒，同理DFE ∠也等于66︒．因此看得到360360666066168BFE BFC CFD DFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒．例9． 答案：22详解：如图连接AM ，因为PM ∥AD ，所以由蝴蝶模型可知三角形DFP 与三角形AFM 面积相等；同样道理三角形BEN 与三角形AEM 面积相等，所以三角形BEN 面积=43－21=22． 例10． 答案：30详解：三角形AFE 与三角形DCE 构成沙漏模型，而已知面积比为4:9，所以对应边长比为EF :EC =2:3，因此FE :FC =2:5．三角形AFE 又与三角形BFC 构成金字塔模型，所以三角形AFE 与三角形BFC 的面积比为4:25，因此三角形BFC 的面积为25，所以四边形ABCE 的面积为25－4=21，因此平行四边形的面积为21+9=30．例11． 答案：15详解：:12:241:2GE EH ==，所以13GE GH =．:49:357:5GF FH ==，所以512FH GH =．由此可得，15113124EF GH =--=．而1128ACDJ S EF S GH =⨯=阴影，因此阴影部分的面积等于()11122449351588ACDJ S ⨯=⨯+++=．例12． 答案：30详解：三角形ABF 与三角形DEF 构成沙漏模型，所以AB AFDE FD=，即21530AB FD DE AF ⋅=⋅=⨯=，所以306FD AB =÷=，又因为AD=12，所以AF=6，因此2155DE AF =⨯÷=．所以三角形CFE 的面积=()230CD DE FD +⨯÷=．练习：1. 答案：90简答：阴影部分的外周长与大正六边形相同，而阴影部分的外周长等于内周长的3倍，因此阴影部分外周长等于总周长的34，即3120904⨯=．2. 答案：3︒简答：四边形内角等于90°，五边形内角等于108°，六边形内角等于120°，所以1089018KAH ∠=︒-︒=︒，12010812KAF ∠=︒-︒=︒．△AFK 与△AHK 都是等腰三角形，因此()18018281AHK ∠=︒-︒÷=︒， ()18012284AFK ∠=︒-︒÷=︒，两者相差3︒．3. 答案：25简答：如图作辅助线构造蝴蝶模型即可．4. 答案：36简答：三角形AOD 与三角形BOC 构成沙漏模型，而已知面积比为4:16=1:4，所以对应边长比为OD :OB =1:2，因此三角形AOD 与三角形BOA 的面积比为1:2，所以三角形BOA 的面积为8．由蝴蝶模型可知三角形COD 的面积也是8，所以梯形的面积是4+16+8+8=36．作业：1. 答案：270简答：设小长方形的长为x ，宽为y ．从水平方向的线段可以看出533x x y =+，因此23x y =．所以小长方形的长宽比为3:2，而相应小正方形的边长就是321-=份．由此可得小长方形的面积是白色小正方形的326⨯=倍，即1262÷=．接着把小长方形与小正方形的面积相加即可得到答案．2. 答案：75°简答：如右图，添加一个点F ．△ADE 是正三角形，所以，因此，由于△AFE 是由△BFE 折叠而来的，因此两个三角形完全相同，都是直角三角形，而且．因此．3. 答案：24简答：由，得：，．又由，得，所以整个长方形的面积为24． 4. 答案：1简答：不妨设．由EF 与AB 平行，得． 所以，，16ABFE S a =四边形．又，所以，阴影部分面积为． 5. 答案：简答：AD :AB =1:3由金字塔模型可知．在三角形ADO 与三角形EFO 中由沙漏模型可知DO :OE =AD :EF ，而由金字塔模型可知EF :AB =2:3，所以DO :OE =AD :EF =1:2，因此，因此三角形ADO 的面积为．127:1:3ADO ADE S S =△△ :1:9ADE ABC S S =△△ 1276=1a 816=3a 28==33ADE BCF ABFE ABCD ABCD S S S S S --=△△四边形四边形四边形 9AOB S a =△ 3EOA FOB S S a ==△△ :::1:3OE OB OF OA EF AB === =OEF S a △ 3=12DAC ACE S S =△△ 3CD CE = =4ACE S △ =3=3OAE OCE S S △△ ::1:3CO OA EC AB == 19075FEA ∠=︒-∠=︒ 1152FEA FEB BEA ∠=∠=∠=︒ =906030BEA ∠︒-︒=︒ 60AED ∠=︒ FCD。

第7讲 直线形计算一内容概述掌握正方形，长方形，平行四边形，三角形以及梯形的面积计算公式，并能够熟练应用；计算平行四边形和三角形的面积时，学会选择适当的底和高.典型问题兴趣篇1. 如图7-1，由十六个同样大小的正方形组成一个“5”字，如果这个图形的周长是102厘米，那么它的面积是多少平方厘米？分析：简单的图形知道周长求解面积，图是由相同的小正方形组成即每一边长相等。

周长是由34个边长组成，算出边长的长度就可以算出面积。

）（面积：）（2cm 1441633cm 334102=⨯⨯=÷2. 如图7-2，用两块长方形纸片和一块小正方形纸片拼成了一个大正方形纸片，其中小正方形纸片面积是49平方厘米，其中一个长方形纸片的面积为28平方厘米，那么最后拼成的大正方形纸片面积是多少平方厘米？分析：分别由小正方形的面积知道边长，从而知道另外长方形的宽，求解大正方形的边长。

解： ）（）（）（2cm 1211111cm 1174cm 47287749=⨯=+=÷⨯=3. 如图7-3，小、中、大三个正方形从左到右依次紧挨着摆放，边长分别是3、7、9, 图中两个阴影平行四边形的面积分别是多少？分析：阴影部分的面积是由两个平行四边形组成。

根据边长相差求解底，而高为正方形的高 解：399273=⨯+⨯4. 如图7-4，从梯形ABCD 中分出两个平行四边形ABEF 和CDFG ，其中ABEF 的面积等于60平方米，且AF 的长度为10米，FD 的长度为4米，平行四边形CDFG 的面积等于多少平方米？分析：利用平行四边形的面积=底*高，知道面积求解出高就能算出面积了。

解：（平方米）（平方米）244661060=⨯=÷5. 如图7-5，把大、小两个正方形拼在一起，它们的边长分别是8厘米和6厘米，那么左图和右图中阴影部分的面积分别是多少平方厘米？分析：第一个阴影部分的面积是利用两底之差求得面积，第二个阴影部分的面积找底边所对应上的高即可。

第7讲 行程问题四内容概述流水行船问题与环形问题。

流水行船问题中，注意水速对实际速度的影响，初步了解速度的相对性；环形问题中，注意相遇和追及的周期性。

典型问题兴趣篇1.一条船顺流行驶40千米需要2小时。

水流速度为每小时2千米。

这条船逆流行驶40千米需要多少小时？【解析】V 顺=40÷2=20 km/h ∴V 船=20-2=18 km/h ∴V 逆=18-2=16 km/h∴逆行行驶40 km 需40÷16=2.5 h 。

2.两地相距480千米，一艘轮船在两地之间往返航行，顺流行驶一次需要16小时，逆流返回需要20小时，该轮船在静水中的速度是多少？水流速度是多少？ 【解析】 ==48016=30km /h V V V +÷顺静水==48020=24km /h V V V -÷逆静水 ∴ =(30+24)2=27km /h V ÷静=(3024)2=3km /h V ÷水－3.A B 、两港相距560千米，甲船在两港间往返一次需105小时，其中逆流航行比顺流航行多用了35小时。

乙船的静水速度是甲船静水速度的2倍，乙船在两港间往返一次需要多少小时？【解析】对甲船：=35=270h =105=703535h==km/h =3516km/h =164=12km/h=560708km/h t t t t t t V V V V V V -÷=⎧⎧⇒⎨⎨+-=⎩⎩÷÷=⎧⎧∴⇒⎨⎨-÷=⎩⎩顺逆逆顺逆顺顺顺水逆静逆(105+35)(-)24560对乙船：V ＇静＝2×12＝24km/h∴V ＇顺＝24＋4＝28km/h, V ＇逆＝24－4＝20km/h∴t ＇＝560÷28＋560÷20＝20＋28＝48h4.A B 、两个码头间的水路为90千米，其中A 码头在上游，B 码头在下游。

第三讲基本直线形面积公式在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形．在日常生活中，我们最常见的直线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形．在有关直线形的计算中，计算周长和计算面积是最常见的两类．我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线形的面积．№1. 正方形和长方形的面积正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如下图：例题1如下图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜．其中栽种茄子的面积是16平方米，栽种黄瓜的面积是28平方米，栽种豆角的面积是32平方米，栽种莴笋的面积是72平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方形．请问：剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少？「分析」左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？ 练习1如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形．请问：剩下的黄瓜地的宽面积是多少？№2. 平行四边形的面积如下图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来．为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形，如下图．这个平行四边形的面积和拼成的长方形的面积相同，都等于长方形的长乘以宽．长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段．在平行四边形中，这两条线段分别叫做底和高．于是我们有：如图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离．36 1824底当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如下面左图所示．同样得到相对于这条底的若干条高，如下面右图所示，这些高也是相等的，都等于左右两条平行线间的距离．要计算平行四边形的面积，需要知道一条底，以及它所对应的高．大家看看下面的几个图形，试着画出与底边相对应的高．例题2下图是由两个边长分别为4和7的正方形拼成的，请求出阴影平行四边形的面积．「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？练习2如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四边形．如果大正方形的边长是20厘米，小正方形的边长是8厘米．那么阴影平行四边形的面积是多少？BCF底高高高№3. 三角形的面积三角形中也有相对应的底和高．过三角形的一个顶点向所对的边做一条垂线，所得的垂线段叫做三角形的高，所对的边叫做三角形的底．每个三角形有三组对应的底和高．要计算三角形的面积，同样要利用底和高的长度．观察下图，我们把一个三角形倒过来和原图形拼在一起，可以得到一个平行四边形．平行四边形的底与三角形的底相等，高也与三角形的高相等．而平行四边形的面积等于“⨯底高”，正好是三角形面积的2倍，所以我们有三角形面积公式：从形状上讲，三角形有三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．由于三角形的形状多变，在初学阶段要找准三角形相对应的底和高很不容易．因此要想算出三角形的面积，最关键的还在于准确地找到底与相应的高．．．．．．．．．．．．下面是一个简单的作图练习，大家不妨画一画．例题3如下图所示，两个正方形并排放在一起，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米．请问：阴影三角形的面积是多少？「分析」阴影部分是三角形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？ 练习3右图是由两个边长分别为4和6的正方形拼成的，请求出阴影三角形的面积．№4. 梯形的面积三角形和平行四边形都有“底”和“高”的概念，梯形中也有．在梯形中，平行的一组对边分别叫做上底和下底，不平行的一组对边叫做腰，上底和下底之间的距离叫做梯形的高．如下图所示，把两个相同的梯形拼在一起，可以得到一个平行四边形．从图中可以看出，这个平行四边形的面积是梯形面积的2倍．同时平行四边形的底由梯形的上底和下底拼接而成，高与梯形的高相等．所以：86下底例题4一个正方形和一个长方形按下图的方式排放，已知正方形的面积是49平方厘米，长方形的长为11厘米，宽为8厘米，那么阴影部分的面积是多少？「分析」阴影部分是梯形，要求面积，关键是找清楚它的上底、下底、高分别是多少．练习4如下图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米．请问：图中的阴影图形的面积是多少平方厘米？例题5如下图所示，两个边长10厘米的正方形相互错开3厘米，那么图中阴影平行四边形的面积是多少？「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？例题6如图，把两个正方形拼在一起，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米．请问：阴影部分的面积是多少？ 「分析」阴影部分由两个三角形组成，你能分别求出这两个三角形的面积吗？以哪条边作为底最容易计算呢？11课堂内外小欧拉与大羊圈欧拉是著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就．不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生．小欧拉因为问老师天上星星有多少颗，老师也答不上来，只知道天上的星星是上帝镶上去的．小欧拉感觉上帝真是太粗心了，竟然忘记了星星的数目！在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考．小欧拉没有与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家．回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童．他一面放羊，一面读书．他读的书中，有不少数学书．爸爸的羊渐渐增多了，达到了100只．原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈．他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米．正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用．若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米．父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米．小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划．他有办法．父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他．小欧拉急了，大声说，只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了．父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样简单的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美．父亲终于同意让儿子试试看．小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁．他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米．父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了．”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米．经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形．然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了．”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光．面积也足够了，而且还稍稍大了一些．父亲心里感到非常高兴．孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息．父亲感到让这么聪明的孩子放羊实在是太可惜了．后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利．通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生．这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生．作业1. 在下面的每个平行四边形与三角形中，作出以AB 为底的高．2. 如图，大正方形被分成三块区域．左上角的正方形面积为4，右上角的长方形面积为6，请问：大正方形的面积是多少？3.下图中，大正方形的面积是64，小正方形的面积是36．求平行四边形的面积．4. 下面两幅图都是边长为8和6的两个正方形拼成的，根据图中所示的线段长度，求两个阴影三角形的面积．5. 如图，两个正方形并排放在一起，小正方形的边长是9厘米，大正方形的边长是13厘米．请问阴影梯形的面积是多少平方厘米？66 846BD C第三讲基本直线形面积公式1.例题1答案：8平方米详解：方法一：正方形的面积是16平方米，所以正方形的边长是4米，黄瓜的面积是28平方米，黄瓜的宽是4米，长就是2847÷=米．豆角的面积是32平方米，豆角的宽是4米，所以长是3248÷=米．所以苦瓜的宽是÷=米，莴笋的宽是8米，面积是72平方米，所以长是7289⨯=平方米；方法二：豆角是茄子面积的2倍，972-=米，长是4米，所以苦瓜的面积是248所以莴笋是黄瓜和苦瓜面积和的2倍，黄瓜和苦瓜的面积是72236÷=平方米，所以苦瓜的面积是36288-=平方米．2.例题2答案：28详解：阴影平行四边形的底BC是4，高FG是7，所以平行四边形的面积是4728⨯=．3.例题3答案：42平方厘米详解：阴影三角形的底是6厘米，高是6814+=厘米，所以阴影三角形的面积是614242⨯÷=平方厘米．4.例题4答案：30平方厘米详解：阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是正方形上面的边，正方形的面积是49平方厘米，所以正方形的边长是7厘米，梯形的下底是长方形的宽即8厘米，梯形的高即长方形长与正方形边长之差，为1174-=厘米，所以梯形的面积是()+⨯÷=平方厘米．7842305.例题5答案：91平方厘米详解：由于两个大小一样的正方形错开了3厘米，可以知道图中两个小的直角三角形的直角边都是3厘米，所以阴影平行四边形的底就是1037+=厘米，所以其面积-=厘米，高就是10313是71391⨯=平方厘米．6.例题6答案：12平方厘米详解：小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米．阴影部分是由两个三角形组成的，这两个三角形的底都是752-=厘米，左面三角形的高是5厘米，右面三角形的高是7厘米，所以面积分别是2525⨯÷=平方厘米，2727+=平⨯÷=平方厘米，所以阴影部分的面积是5712方厘米．7.练习1答案：12平方米详解：西瓜地是正方形，面积为36平方米，所以边长为6米；冬瓜地面积为24平方米，长为6米，所以宽为2464÷=米；南瓜地面积为18平方米，长为6米，所以宽为1863÷=米；黄瓜地长为4米，宽为3米，所以面积为4312⨯=平方米．8. 练习2答案：96平方厘米详解：阴影平行四边形的底是小正方形边长即8厘米，高是两正方形边长之差，即20812-=厘米，所以平行四边形的面积是81296⨯=平方厘米．9. 练习3答案：30简答：阴影三角形的底是6，高是6410+=，所以阴影三角形的面积是610230⨯÷=．10. 练习4答案：14平方厘米简答：阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是小正方形的边长，即6厘米；梯形的下底是大正方形的边长即8厘米，梯形的高即两正方形边长之差，为862-=厘米，所以梯形的面积是()682214+⨯÷=平方厘米．11. 作业1答案：如图所示简答：12. 作业2答案：25简答：小正方形的边长为2，小长方形的长为3，那么大正方形的边长为5，面积为5525⨯=．13. 作业3答案：48简答：小正方形的边长为6，大正方形的边长为8，平行四边形的面积是6848⨯=．14. 作业4答案：24；18简答：左图阴影三角形的底选为6，高为8，面积是68224⨯÷=．右图阴影三角形的底选为6，高为6，面积是66218⨯÷=．15.作业5答案：242平方厘米简答：梯形的上底为小正方形的边长，即9厘米．梯形的下底为大正方形的边长，即13厘米．梯形的高为大、小正方形边长和为22厘米．梯形的面积为(913)222242+⨯÷=平方厘米．6.。

第20讲幻方与数阵图扩展兴趣篇1、把1，2，…，9填入图中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等。

2、（1）如图1，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等。

（2）如图2，在4×4的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等。

3、在图所示的3×4方格表的每个方格中填入恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等。

现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？4、如图，请在空格中填入适当的数，组成一个三阶幻方。

5、请将图所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，1、2、3、4、5 恰好各出现一次。

请问：标有符号“△”，“▽”和“◯”的方格中所填的数分别是什么？6、请将1至9这9个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立。

所有满足要求的填法共有多少种？7、请在图所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、5、6、7。

8、将1至5这5个数字填入图中的圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等。

9、请在图中的六块区域内填入1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等。

10、将0至9填入图的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是相等的。

请问：这个和最小是多少？最大是多少？拓展篇1、将1，2，3，…，24，25分别填入图的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等。

现在已经填入了一些数，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？2、请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等。