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如何评价克莱因方程
克莱因方程（Klein-Gordon equation）是一种描述自旋0粒子运动的方程，它在量子场论中具有重要的地位。
这个方程由物理学家奥斯卡·克莱因和沃尔夫冈·高登于1926年提出。
克莱因方程可以用数学形式表示为：
(∂²/∂t²-∇²+ (m²c⁴/ħ²))ψ= 0
其中，∂²/∂t²是对时间的二阶偏导数，∇²是拉普拉斯算符，m 是粒子的质量，c 是光速，ħ是约化普朗克常数，ψ是粒子的波函数。
这个方程描述了自旋0粒子的运动方程，其中涉及到时间和空间上的导数，以及粒子的质量。
克莱因方程是由量子力学和相对论的原理推导而得，它融合了相对论的能量-动量关系和量子力学的波粒二象性。
克莱因方程的解（波函数）描述了粒子的运动状态和能量，它的形式通常是复数的。
这个方程在量子场论中被广泛应用，特别是对于描述自旋0粒子的实验研究和理论计算。
克莱因方程的解可以用来计算粒子的能谱，即不同能量对应的可能运动状态。
总之，克莱因方程是描述自旋0粒子运动的重要方程，它在量子场论中扮演着重要的角色。
它通过对时间和空间上的导数的运算，结合了相对论和量子力学的原理，描述了粒子的运动状态和能量。
Xe、Ba和Ce同位素偶偶核形变演化研究黄海;郭建友【摘要】利用反射不对称相对论平均场理论( reflection asymmetric relativistic mean field,简称RAS-RMF)对Xe、Ba和Ce同位素偶偶核形状演化进行研究。
结果表明：RAS-RMF理论能很好地描述Xe、Ba和Ce同位素偶偶核的基态性质,计算出的结合能和四极形变与已有的实验数据一致,八极形变对基态性质有重要影响。
获得的物质密度分布清晰地展现出Xe、Ba和Ce同位素偶偶核的形状演化规律,反射不对称自由度在其中起重要作用。
%The ground state properties and the shape evolution of even-even Xe, Ba and Ce isotopes were investigated by the Reflection Asymmetric Relativistic Mean Field ( RAS-RMF ) theory. Calculations showed that the RAS-RMF theory presented a good description on the properties of ground states for the consideration of reflecting asymmetric degree of freedom. The calculated binding energy agreed with the experimental data well. The shape evolution of even-even Xe, Ba and Ce isotopes were clearly demonstrated by the deformation parameters and matter density distributions. The results showed that octupole deformation had a significant influence on the ground state properties of nuclei, in which reflection asymmetric degree of freedom played an important role.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】7页(P43-49)【关键词】反射不对称相对论平均场;八极形变;形状演化【作者】黄海;郭建友【作者单位】安徽大学物理与材料科学学院，安徽合肥 230039; 安徽医科大学生命科学学院，安徽合肥 20032;安徽大学物理与材料科学学院，安徽合肥230039【正文语种】中文【中图分类】O571.21+1形状演化和相变是原子核理论和实验研究的热点之一［1］.实验方面，陆续发现了形状演化的关键点核，如具有X(5)和E(5)对称的原子核［2］.特别需要指出的是:实验上发现稳定的八极形变存在于锕系区 Ra～Th(Z=88，N=136)和镧系区 Ba～Sm(Z=56，N=88)附近的原子核当中［2］，如在252Cf由于自发裂变产生的γ光谱分析中，Phillips等指出144Ba和146Ba呈现明显的八极形变［3］，同样的现象也在148Nd、150Sm 和146～150Ce 核中被发现［4］.八极形变的发现，使原子核的形状演化和相变研究受到更加广泛的关注.理论方面，相对论微观自洽计算的HFB(Hartree－Fock－Bogoliubov)方法常被用于原子核形状演化和相变研究.近年来，相对论平均场理论［5－10］(relativistic mean field，简称为RMF)在描述原子核形变和相变领域中取得了一系列进展［11－14］.文献［15］通过引入反射不对称自由度参数，在平均场模型中采用双中心谐振子(TCHO)势［16－17］本征函数作为基展开Dirac旋量的方法，将RMF理论进一步发展为能反映原子核八极形变的反射不对称相对论平均场理论(RAS－RMF).文献［18－19］利用RAS －RMF模型，分别计算分析了Sm及Th同位素链的形状演化及位能曲线，研究表明在Sm及Th同位素链中具有X(5)对称性的形状相变点分别是152Sm及224Th核.作者利用RAS－RMF理论模型，深入探讨并研究了八极形变对Xe、Ba 和Ce同位素偶偶核基态性质的影响，理论计算结果能清晰地展现Xe、Ba和Ce 同位素偶偶核形状演化的规律.1 理论框架在相对论平均场(RMF)模型中，运动在介子场中的核子被视为Dirac粒子，依靠交换光子和介子传递核子之间的相互作用，其拉格朗日量为其中:ψ为质量为M核子的Dirac旋量;ρ为矢量－矢量介子;ω为提供短程排斥力的标量－矢量介子;σ为提供中程吸引的标量－标量介子;A为光子场，描述原子核的电磁属性.利用变分原理，可得到核子运动的Dirac方程和介子的Klein－Gordon方程严格求解非线性方程(2)和(3)是十分困难的，通常采用双中心谐振子(TCHO)势的本征函数作为基展开Dirac旋量和，同时在RMF计算中引入反射不对称自由度(RAS－RMF)的方法来近似求解方程(2)和(3).在RAS－RMF理论模型中，Dirac旋量ψi形式为双中心谐振子势为其中:M为核子质量;ω1(ω2)分别表示z＜0(z≥0)情况下的谐振子振荡频率;z1及z2分别表示2个椭球体的中心到它们相交平面的垂直距离.在此表示形式下，可由以下3个参数完全确定双中心谐振子势:第1个参数是描述双中心谐振子基中心之间的距离Δz(Δz=z1+z2);第2个参数为四极形变参数δ2;第3个参数是反射不对称自由度参数δ3.2 计算及其结果讨论在利用RAS－RMF计算的过程中，对关联采用固定能隙的BCS近似处理，对能隙MeV，选取一组最佳双中心谐振子基的参数(不对称自由度δ3=0.99、形变δ2=0.20、大小 N=17)［20］，相互作用取广泛使用的PK1［21］参数组.以质子数Z=56为中心，选取了Xe、Ba和Ce核，计算并比较分析了它们同位素偶偶核的核子结合能、形变参数及物质密度分布.表1为由RAS－RMF计算得到的核子结合能与其实验值［22］的比较.对比表1数据可以看出:RAS－RMF理论计算结果与已知的实验数据相符合.在质量数A较小范围内，随着质量数的增加，Xe、Ba和Ce核子结合能逐渐递增;138Ba和140Ce核子结合能最大时，对应的中子数N均为满壳数82，原子核状态最稳定;随着中子数N继续增大，核子结合能又逐步减小，即原子核稳定性逐步变弱.表1 由RAS－RMF计算得到的核子结合能与其实验值的比较Tab.1 The comparison between the experimental values and the calculated nuclear binding energies by RAS-RMF MeVA Xe(E/A)exp(E/A)cal Ba(E/A)exp(E/A)cal Ce(E/A)exp(E/A)cal 120 －8.404 03 －8.392 24 －8.280 3 －8.274 27 －8.10－8.286 42 7 －8.115 54 122 －8.424 66 －8.412 98 －8.323 76 －8.315 82 －8.173 －8.178 46 124 －8.437 554 －8.427 97 －8.355 82 －8.348 03 －8.228 －8.230 06 126 －8.443 71 －8.439 03 －8.379 72 －8.370 76 －8.273 26 －8.269 36 128 －8.443 296 －8.443 38 －8.396 24 －8.390 3 －8.306 93 －8.300 13 130 －8.437 74 －8.440 78 －8.405 549 －8.404 33 －8.333 22 －8.328 2 132 －8.427 633 －8.435 75 －8.409 373 －8.412 55 －8.352 36 －8.350 76 134 －8.413 689 －8.428 48 －8.408 171 －8.418 87 －8.365 79 －8.365 86 136 －8.396 16 －8.421 16 －8.402 775 －8.421 36 －8.373 47 －8.376 62 138 －8.346 －8.353 19 －8.393 42 －8.426 94 －8.377 06 －8.403 59 140 －8.290 9 －8.296 56 －8.353 17 －8.369 26 －8.376 368 －8.419 07 142 －8.234 9 －8.238 14 －8.310 84 －8.315 84 －8.347 108 －8.372 57 144 －8.176 －8.174 93 －8.265 47 －8.264 78 －8.314 795 －8.317 43 146 －8.115 －8.109 14 －8.216 4 －8.220 53 －8.278 8原子核的形状演化规律主要由四极形变决定，同时八极形变的出现也会影响到原子核形状演化及相变.通过引入反射不对称自由度，RAS－RMF理论计算不仅获得了原子核的四极形变参数β2，同时获得了八极形变参数β3.图1、2分别展示了Xe、Ba和Ce同位素偶偶核质量数A变化时，其四极形变参数β2与八极形变参数β3随之变化的规律.在图1中，圆圈(○)代表RAS－RMF计算获得的四极形变数值，方框(□)代表实验值［23］.从图1可以看出，RAS－RMF模型计算结果与已知的实验值基本吻合，原子核的四极形变参数β2随质量数A变大均呈现先减小后增大的变化规律.当质量数A较小时，如120－134Xe、120－132Ba和120－134Ce，四极形变参数β2均较大，原子核为轴对称长椭球形四极形变核;当质量数A增大时，如136－140Xe、136－142Ba和136－144Ce，四极形变参数β2值迅速减小为零，原子核形状由轴对称长椭球形四极形变核向近球形演化.当质量数A再继续增大时，Xe、Ba和Ce的四极形变参数β2又逐渐变大，原子核又为轴对称长椭球形四极形变核.由图2可以看出，Xe、Ba、Ce同位素偶偶核只在一些特定较小质量数A范围内，如108－118Xe、144－156Ba和148－156Ce，有较为明显的八极形变出现，而其余的同位素偶偶核均无八极形变，这与理论预言镧系区Ba～Sm(Z=56，N=88)附近，原子核有比较稳定的八极形变相吻合，且与实验上观测到的八极形变不稳定现象相一致.综合四极形变参数β2和八极形变参数β3变化的规律，可知Xe、Ba和Ce同位素偶偶核均有四极形变与八极形变共存现象(八极形变β3的数值相比于四极形变β2的数值要小得多)，并且随着质量数A的增大，八极形变β3逐渐减小，而四极形变β2逐渐增大，表明原子核八极形变较弱，逐渐向四极形变转化.图1 Xe、Ba和Ce同位素偶偶核的四极形变随质量数变化的规律Fig.1 Quadrupole deformation for the even－even Xe，Ba and Ce isotopes as functions of mass number图2 Xe、Ba和Ce同位素偶偶核的八极形变随质量数变化的规律Fig.2 Octupole deformation for the even－even Xe，Ba and Ce isotopes as functions of mass number为了更直观地展示并比较Xe、Ba和Ce同位素偶偶核形状演化规律，分别给出了Xe、Ba和Ce同位素偶偶核在x=0平面的物质密度分布图，如图3所示.对Xe同位素偶偶核，如图3a，当质量数A=106时，原子核为轴对称椭球形四极形变核，随着质量数的增大，当A=110时，原子核出现明显的八极形变，为不对称的梨形，随质量数的进一步增加，八极形变变弱，四极形变增强，原子核又呈现轴对称长椭球形.相同的情况也出现在Ba和Ce同位素偶偶核形状演化规律之中，如图3b、c 所示.分析可知:Xe、Ba和Ce同位素偶偶核都有八极形变出现的质量数A取值范围(对Xe核，A为108～112;对Ba核，A为144～154;对Xe核，A为146～154)，在此范围内，原子核处于四极形变与八极形变共存状态，形状均呈不对称的梨形，由于四极形变相对于八极形变要强，且八极形变不稳定，原子核又转呈轴对称长椭球形，这一直观的形状演化规律亦与图1、2给出的四极形变β2和八极形变β3的变化规律相一致.图3 Xe、Ba和Ce同位素偶偶核分别在x=0平面的质量密度分布Fig.3 Matterdensity distributions of the ground state of the even-even Xe，Ba and Ce isotopes on the x=0 plane3 结束语利用反射不对称相对论平均场(RAS－RMF)理论，计算且对比分析了Xe、Ba和Ce同位素偶偶核的基态性质及原子核形状演化.结果表明:RAS－RMF理论计算获得的核子结合能与已知的实验数据基本吻合.物质密度分布图直观地展现了Xe、Ba 和Ce同位素偶偶核基态形状演化的规律.RAS－RMF理论很好地描述了Xe、Ba 和Ce同位素偶偶核的基态性质.Xe、Ba和Ce同位素偶偶核都有着出现八极形变的质量数A取值范围(对Xe核，A为108～112;对Ba核，A为144～154;对Xe 核，A为146～154)，质量数A在此特定范围附近取值时，原子核形状由轴对称的近球形逐渐变为不对称的梨形，最后又演化回轴对称长椭球形.参考文献:［1］Wood J L，Heyde K，Nazarewicz W，et al.Coexistence in even－mass nuclei［J］.Phys Rep，1992，215:101－201.［2］Asaro F，Stephens F S，Perlman plex alpha spectra of radiothorium(Th228)and thorium－X(Ra224)［J］.Phys Rev，1953，92:1495－1500.［3］Stephens F S，Asaro F，Perlman I.Low－lying 1－states in even－even nuclei［J］.Phys Rev，1954，96:1568－1572.［4］Leander G A，Sheline R K，Möller P.The breaking of intrinsic reflection symmetry in nuclear ground states［J］.Nucl Phys A，1982，388:452－476.［5］Ring P.Relativistic mean field theory in finite nuclei［J］.Prog Part Nucl Phys，1996，37:193－263.［6］Meng J，Zhang W，Zhou S G，et al.Shape evolution for Sm isotopes in relativistic mean－field theory［J］.Eur Phys J A，2005，25:23－27. ［7］Meng J，Peng J，Zhang S Q，et al.Possible existence of multiple chiraldoublets in106Rh［J］.Phys Rev C，2006，73:037303.［8］Li Z P，Yao J M，NikšićT，et al.Energy density functional analysis of shape evolution in N=28 isotones［J］.Phys Rev C，2011，84:054304. ［9］Yao J M，Meng J，Ring P，et al.Microscopic description of quantum shape fluctuation in C isotopes［J］.Phys Rev C，2011，84:024306. ［10］NikšićT，Vretenar D，Lalazissis G A，et al.Microscopic description of nuclear quantum phase transitions［J］.Phys Rev Lett，2007，99:092502.［11］Meng J，Peng J，Zhang S Q，et al.Possible existence of multiple chiraldoublets in 106Rh［J］.Phys Rev C，2006，73:037303.［12］NikšićT，Li Z P，Vretenar D，et al.Beyond the relativistic mean－field approximation.III.collective hamiltonian in five dimensions［J］.Phys Rev C，2009，79:034303.［13］Li Z P，NikšićT，Vretenar D，et al.Microscopic analysis of nuclear quantum phase transitions in the n approximate to 90 region［J］.Phys Rev C，2009，79:054301.［14］Li Z P，NikšićT，Vretenar D，et al.Microscopic analysis of order parameters in nuclear quantum phase transitions［J］.Phys Rev C，2009，80:061301.［15］Geng L S，Meng J，Toki H.Reflection asymmetric relativistic mean field approach and its application to the octupole deformed nucleus226Ra［J］.Chin Phys Lett，2007，24:1865－1868.［16］Holzer P，Mosel U，Greiner W.Double－centre oscillator and its application to fission［J］.Nucl Phys A，1969，138:241－252.［17］Maruhn J，Greiner W.The asymmetric two center shell model［J］.Z Phys，1972，251:431－457.［18］Zhang W，Li Z P，Zhang S Q，et al.Octupole degree of freedom for the critical－point candidate nucleus152Sm in a reflection－asymmetric relativistic mean－field approach［J］.Phys Rev C，2010，81:034302. ［19］Guo J Y，Jiao P，Fang X Z.Microscopic description of nuclear shape evolution from spherical to octupole－deformed shapes in relativistic mean－field theory［J］.Phys Rev C，2010，82:047301.［20］黄海，焦朋，郭建友.反射不对称自由度对原子核基态性质的影响［J］.中国科学G，2010，40:1416－1421.［21］Long W H，Meng J，Giai N V，et al.New effective interactions in relativistic mean field theory with nonlinear terms and density－dependent meson－nucleon coupling［J］.Phys Rev C，2004，69:034319.［22］Moller P，Nix J R.Nuclear ground－state masses and deformations ［J］.At Data Nucl Data Tables，1995，59:185－381.［23］Raman S，Nestor W J R.Transition probability from the ground to the first－excited 2+state of even－even nuclides［J］.At Data Nucl Data Tables，2001，78:1－128.。
非线性Klein-Gordon方程的最低阶混合元超收敛分析新模式樊明智;王芬玲【摘要】针对一类非线性Klein-Gordon方程利用最简单的双线性元Q11及Q01×Q10元建立了最低阶且自然满足Brezzi-Babuska条件的混合元逼近格式.基于双线性元的积分恒等式结果,建立了插值与Riesz投影之间的超收敛估计,再结合Q01×Q10元的高精度分析结果和插值后处理技术,在半离散和全离散格式下,导出了关于原始变量u和流量p分别在H1模和L2模意义下单独利用插值或Riesz投影所无法得到的超逼近性和超收敛结果.【期刊名称】《许昌学院学报》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】9页(P1-9)【关键词】非线性Klein-Gordon方程;超逼近性和超收敛结果;混合有限元新模式;半离散和全离散格式【作者】樊明智;王芬玲【作者单位】许昌学院数学与统计学院,河南许昌461000;许昌学院数学与统计学院,河南许昌461000【正文语种】中文【中图分类】O242.21本文考虑如下的非线性Klein-Gordon方程其中Ω⊂R2为有界矩形区域，∂Ω为Ω的边界，X=(x,y)，f(X,t)∈L2(Ω)，γ是正常数，u0(X)，u1(X)是已知充分光滑的函数，假设a(u)，g(u)满足如下条件：(i)a(u)关于u一致有界，即存在正常数a0,a1满足,a0≤a(u)≤a1；(ii)a(u)和g(u)对变量满足Lipschitz条件，即存在正常数L使得Klein-Gordon方程具有丰富的实际背景和物理意义，它用于描述相对论量子力学和量子场论中自旋为零的粒子的最基本方程和Schrödinger方程的相对论形式，对于它的研究值得物理学家和数学家的高度关注.关于Klein-Gordon方程已有研究, 例如文献[1]对无界区域上一维Klein-Gordon方程建立一个显式差分格式, 并给出该格式的稳定性和收敛性结果；文献[2]和[3]研究了一维情形下的数值解；文献[4]讨论了二维Klein-Gordon方程存在唯一的整体解.不难看出,当a(u)=1和g(u)=sinu时，问题(1)变成了sine-Gordon方程, 因此sine-Gordon方程是问题(1)的特殊情况, 并得到一些有价值的成果[5～8], 由于Klein-Gordon方程比sine- Gordon方程复杂, 使问题的处理更为困难. 因此据我们所知到目前为止尚未见到有关问题(1)混合元格式的高精度分析.混合有限元方法与传统Galerkin有限元方法相比具有对空间的光滑度要求较低、并能同时得到原始变量和流量的误差估计等突出优势, 已成为一种常用的数值逼近方法.对于经典的混合有限元格式来说,混合元空间要满足Brezzi-Babuška条件[9，10] (简记为B-B条件),给构造合适的空间对带来一定的困难. 最近文献[11、12]给出了二阶椭圆问题新的混合有限元逼近格式, 具有自由度小且当逼近空间对满足包含关系时, B-B条件成立,同时又能避开散度算子带来的困扰等特点,文献[13]将此方法应用到线性抛物方程, 给出关于时间半离散混合格式和全离散化混合有限元格式,但仅仅得到了最优误差估计,文献[14]及[15]进一步研究了二阶椭圆问题和线弹性问题在新格式下的超收敛性,文献 [16]将其推广到线性Sobolev方程得到了非协调混合元格式半离散格式下的超收敛性和向后欧拉全离散格式下关于空间步长的超逼近性.该文目的是将Riesz投影的优势和插值的高精度分析方法的特色有机的结合起来, 利用Q11及Q01×Q10元针对方程(1)给出了最低阶混合元超收敛分析新模式. 借助于双线性元的高精度分析结果[17],得到了精确解的双线性插值与其Riesz投影之间的超收敛估计. 进一步的结合插值后处理技巧, 在半离散和全离散格式下,分别导出了原始变量u和分别在H1模和L2模意义下单独利用Riesz投影和插值技巧所无法得到的超逼近性和超收敛结果.设Th为Ω上的一族矩形剖分，∀K∈Th定义单元K的中心为(xK,yK)，其边长分别为2hx,K，2hy,K，取}.单元K的顶点为a1(xK-hx,K,yK-hy,K)，a2(xK+hx,K,yK-hy,K)，a3(xK+hx,K,yK+hy,K)，a4(xK-hx,K,yK+hy,K)，单元K的边为(mod4). 定义有限元空间：其中Qij=span{xrys,0≤r≤i，0≤s≤j}.设和分别为和所诱导的插值算子,且满足这里是对应边∂K的单位切向量.引理1[17] 若u∈H3(Ω)，则进一步地，若u∈H4(Ω)，则若，则利用文献[17]中类似的方法可得如下的结论：引理2 若u∈H3(Ω)则证明为了得到高精度估计引进误差函数[17]：令u-Ihu=φ，对ω1∈Q01做Taylor展开有于是注意到‴，根据分部积分公式得∫Kφxdxdy=∫KF″(y)φxdxdy=(∫l3-∫l1)F′(y)φxdxdy-∫KF′(y)φxydx= F′(yK+hy,K)(φ(xK+hx,K,yK+hy,K)-φ(xK-hx,K,yK+hy,K))-F′(yK-hhy,K)(φ(xK+hx,K,yK-hy,K)-φ(xK-hx,K,yK-hy,K))-(F(yK+hy,K)∫l3φxydx-F(yK-hy,K)∫l1φxydx)+∫KF(y)φxyy=∫KF(y)uxyy,∫Kφx(y-yK)dxdy=‴y.根据式(6)～(8)和逆不等式可知∫Kφxω1dxdy=.同理可证利用式(9)和(10)该引理2得证.设的Riesz(或椭圆)投影算子,即对，满足并且Rh具有性质：设，有接下来，我们给出插值和投影之间的超收敛估计.引理3 若,则.证明根据式(2)和(11)得((Rhu-Ihu)，(Rhu-Ihu))=((Rhu-u)，(Rhu-Ihu))+((u-Ihu)，(Rhu-Ihu))≤ch2|u|3|Rhu-Ihu|1.从而引理3得证.令=-u，则方程(1)可改写为令则问题(13)的变分形式为：求,使得其满足变分问题(14)的有限元逼近方程为：求满足定理1 设和分别是(14)和(15)的解,则有其中.证明首先令ξ.∀，根据式(14)和(15)有如下误差方程在(19a)和(19b)中分别令vh=ξt和ξt，并将(19a)+γ(19b)得(ξ,(η,.由Cauchy和Young不等式及式(12)可知基于式(11)得由假设(i)和(ii)可知,,根据式(21)～(24)将(20)变形为对(25)从0到t积分,并注意到ξ(X,0)=ξt(X,0)=0得将Gronwall引理应用于(26)可知借助(27)和引理3有，从而(16)式得证.另一方面，利用引理2和引理3得在 (19b)中利用引理2和式(4)、(26)及(27)得,即，从而式(17)成立，定理1证毕.注1 若将式(15)和(18)中的Rh换成插值Ih时可得如下结论：(1)结合式(3)可得半离散超逼近结果此时，u∈H4(Ω)的要求比本文定理1中的u∈H3(Ω)的光滑度要高.(Ⅱ)借助于文献[5～7]中的导数转移技巧有显然与定理1相比对ut的光滑度要求稍高.注2 若仅用投影时虽然可以得到关于空间步长的超逼近性，但如何构造关于投影的后处理算子仍然是悬而未决的问题.因此，到目前为止无法直接得到关于投影的超收敛结果.为了得到整体超收敛，我们先把Th相邻的四个小单元合并构成一个大单元(如图1).并设Zi(i=1,2,…,9)为四个小单元的所有顶点.在上根据文献[17]构造具有如下性质的插值后处理算子:其中)为上的连续函数空间，则算子分别满足如下性质：定理2 在定理1的条件下，有如下的整体超收敛结果证明利用定理1和(29)可知，).即式(31)得证.同理借助定理1和式(30)可证式(32)，定理2证毕.在本节中我们将主要讨论全离散格式下的误差估计，仅讨论a(u)=a(X)的情形.设0=t0≤t1≤…tN-1≤tN=T是上步长为τ=T/N的剖分，tn=nτ, n=0,1,2,…,N,Un 代表t=tn时u(tn)在Vh中的逼近.为了方便起见，我们引入下面一些记号：定义(14)全离散逼近格式为：求满足其中utt(X,0)=-a(X)u1(X)+γΔu0(X)-g(u0(X))+f(X,0).定理和分别是(14)和(33)的解，则有其中.证明为了进行误差估计，记∀由(14)和(33)可导出如下误差方程其中根据(37b)可得在(37a)和(38)中分别取,并将(37a)+γ(38)有,不难看出，(39)的右端各项分别变形为接下来我们给出(39)式右端的估计，注意到借助于(43)有根据(11)可知利用假设(i)和插值理论得G3=.利用假设(i)和(43)将G4估计为.借助泰勒展开式直接计算有利用式(48)有.综合式(40)～(42)、(44)～(47)及(49)并取得其中.对式(50)关于j从1到n-1求和得).由初始条件和泰勒展开式得因此，再结合U1的定义可知再借助于式(52)并注意到ξ0=0得利用式(53)将式(51)变形为其中(ξn，ξn-1).根据Young不等式得，(ξn，，得选择适当小的τ，使1-cτ>0，再根据离散的Gronwall引理得.利用引理3和三角不等式有即式(34)得证.在式(37b)中令h=θn，再利用(4)和引理2及1的估计结果得，定理3得证.注3 若将式(36)中的Rh换成插值Ih时，结合(3)可得如下结论：其中.此时式(55)和式(56)中对解的光滑度要求比定理3偏高.注4 本文方法对抛物方程、双曲方程、抛物积分微分方程、双曲积分微分方程均使用.【相关文献】[1] Han H D. Zhang Z W. An analysis of the finite difference method for one-dimensional Klein- Gordon equation on unbounded domain[J]. Appl Numer Math, 2009, 59(7): 1 568-1 583.[2] Khalifa M E, Elgamal M. A numerical solution to Klein-Gordon equation with Dirichlet doundary condition[J]. Applied Mathematics Computation, 2005, 160(2): 451-475.[3] Wang Q F, Cheng D Z. Numerical solution of damped-nonlinear Klein-Gordon equations using variational method and finite element approach[J]. Applied Mathematics Computation, 2005, 162(1): 381-401.[4] Nakao H, Pavel I N. Wave operators to a quadraticnon nonlinear Klein-Gordon equation in two space dimensions[J]. Nonlinear Analysis TMA, 2009, 71(9): 3 826-3 833. [5] Shi D Y, Zhang D. Approximation of nonconforming quasi-Wilson element for sine-Gordon equa-tion[J]. Journal of Computational Mathematics, 2013,31(3):271-282.[6] 石东洋,张斐然.Sine-Gordon方程的一类非协调有限元分析[J].计算数学,2011,33(3):289- 297.[7] 王芬玲,石东洋.非线性sine-Gordon方程Hermite型有限元新的超收敛分析及外推[J].应用数学学报,2012,35(5):777-788.[8] 石东洋,王芬玲,赵艳敏.非线性sine-Gordon方程的各向异性线性元高精度分析新模式[J].计算数学,2014,36(3):245-256.[9] Babuska I. Error-bounds for finite element method[J]. Numerical Mathematics, 1971,16: 322- 333.[10] Brezzi F.On the existence,uniqueness and approximation of saddle-point problems arising from Lagrangian multipliers[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1974, 13: 185-197.[11] 陈绍春,陈红如.二阶椭圆问题新的混合元格式[J].计算数学,2010,32(2):213-218.[12] 史峰,于佳平,李开泰.椭圆型方程的一种新型混合有限元格式[J].工程数学学报,2011,28(2):231-236.[13] 李磊,孙萍,罗振东.抛物方程一种新混合有限元格式及误差分析[J].数学物理学报,2012,32A(6):1 158-1 165.[14] 石东洋,李明浩.二阶椭圆问题一种新格式的高精度分析[J].应用数学学报,2014,37(1):45-58.[15] Shi D Y, Li M H. superconvergence anaalysis of a stable conforming rectangular mixed finite ele-ments for the linear elasticity problem[J]. Journal of Computational Mathematics, 2014, 32(2): 205-214.[16] Shi D Y, Zhang Y D. High accuracy analysis of a new nonconforming mixed finite element sch-eme for Sobolev equation[J]. Applied Mathematics Computation, 2011, 218(7): 3 176-3 186.[17] 林群,严宁宁.高效有限元构造与分析[M].保定:河北大学出版社,1996.。
复Schrodinger场和实Klein—Gordon场相互作用下一类
方程组的拟谱方法
李光晔
【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》
【年(卷),期】1990(007)004
【摘要】本文建立了复Schrodinger场和实Klein—Gordon场相互作用下一类方程组的周期初值的拟谱格式,并得到了误差估计式‖x(nk)-x_c^n‖_1+‖∮(nk)-∮_c^n=O(k^2+n-(r-1))。
【总页数】7页(P9-15)
【作者】李光晔
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O241
【相关文献】
1.复Schrodinger场和实Boussinesq场相互作用下一类方程组的拟谱方法 [J], 张法勇
2.复Schrodinger场和实Boussinesq场耦合作用下一类方程组的谱方法 [J], 任宗修
3.关于《复Schrodinger场和实Klein-Gordon场相互作用下一类方程组某些定解问题的整体解》一文的注记 [J], 于涛;刘亚成;谢瑰林
4.复Schrodinger场和实Boussinesq场耦合作用下一类方程组的拟谱方法 [J],
任宗修
5.复Schr dinger场和实Klein-Gordon场相互作用下一类方程组守恒差分格式的收敛性和稳定性 [J], 张鲁明;常谦顺
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多辛sine-Gordon方程高阶保能量格式郭钰卓;孙建强;孔嘉萌【摘要】1维sine-Gordon方程通过适当的变换转化成相应多辛Hamilton偏微分方程,其中与时间变量偏导数有关的矩阵是可逆的,利用Hamilton系统的4阶平均向量场方法和Boole离散线积分方法得到了多辛sine-Gordon方程的一个新的4阶整体保能量格式.利用新格式数值模拟sine-Gordon方程.数值结果表明:新格式能较好地模拟sine-Gordon方程在不同初值条件下孤立波的运动,且保持了孤立波的能量守恒特性.【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(043)004【总页数】5页(P343-347)【关键词】多辛高阶保能量方法;平均向量场方法;Boole离散线积分法;sine-Gordon方程【作者】郭钰卓;孙建强;孔嘉萌【作者单位】海南大学理学院,海南海口 570228;海南大学理学院,海南海口570228;海南大学理学院,海南海口 570228【正文语种】中文【中图分类】O241.50 引言构造能量守恒格式在数值求解能量守恒微分方程中具有重要的作用.近年来，O. Gonzalez等[1]提出了保Hamilton系统能量守恒的离散梯度方法.文献[2-4]在离散梯度方法的基础上构造了Hamilton系统的保能量守恒的平均向量场方法.文献[5-6]利用离散梯度法和平均向量场方法构造了多辛Hamilton偏微分方程的2阶和高阶保能量方法.对于多辛Hamilton偏微分方程高阶保能量格式，由于格式复杂，通常难以计算.在多辛Hamilton偏微分方程中，与时间变量偏导数有关的矩阵是可逆的，相应多辛Hamilton偏微分方程实际上可转化成Hamilton系统，利用Hamilton系统的4阶平均向量场方法,可得到多辛Hamilton偏微分方程的高阶保能量格式.已应用新的保能量格式于非线性薛定谔方程的计算[7].1维sine-Gordon方程在适当的变换下同样可以转化成多辛Hamilton偏微分方程，其中与时间变量偏导数有关的矩阵是可逆的.本文利用多辛Hamilton偏微分方程的4阶整体保能量格式和Boole离散线积分方法构造1维sine-Gordon方程的高阶保能量格式.本文首先把sine-Gordon方程转化成多辛Hamilton偏微分方程，利用多辛4阶整体保能量守恒格式和Boole离散线积分法构造1维sine-Gordon方程的高阶保能量格式，并证明新格式的精度和保能量守恒特性;再利用构造的新格式对sine-Gordon方程在不同初值条件下进行数值模拟，分析孤立波的数值行为，验证格式的保能量守恒特性;最后得出相应的结论.1 多辛sine-Gordon方程的高阶保能量格式1维sine-Gordon方程是一类重要的数学物理方程，具有多个孤立子解和能量守恒特性.sine-Gordon孤立波方程用来描述流体力学、气象学、场论等领域的物理现象.考虑如下的1维sine-Gordon方程utt-uxx=-sin u,(1)初始条件为u(x,0)=u0(x),x∈R,t>0.许多学者利用数值方法求解sine-Gordon方程.L. Vu-Quoc等[8]研究了波动方程能量动量守恒的有限差分格式.R.I. Mclachlan等[9]利用辛几何算法模拟了波动方程的演化行为.陈景波等[10]用多辛拟谱方法构造了Klein-Gordon方程的多辛格式.Li Haochen等[11]构造了sine-Gordon方程的一种新的显式多辛格式.1维sine-Gordon方程可通过适当的变换转化成多辛Hamilton偏微分方程，其中与时间变量偏导数有关的矩阵是可逆的.令v(x,t)=ut(x,t),w(x,t)=ux(x,t),φ(x,t)=0.将方程(1)转化为(2)方程(2)可写成如下的多辛结构形式(3)其中Z1=(u,v,w,φ)T∈R4，S1(Z1)=v2/2-w2/2-cos u，矩阵M1、K1分别为其中M1是可逆矩阵.用傅里叶谱方法对多辛sine-Gordon方程(3)进行空间离散[10,12]，可转化成为如下方程(4)其中Z=(u1,u2,…,uN1,v1,v2,…,vN1,w1,w2,…,wN1,φ1,φ2,…,φN1)T，矩阵D为D1为相应的1阶谱微分矩阵,其中该矩阵的元素为其中μ=2π/l,k,h=1,…,N-1,N是一个正偶数，l是空间积分区间的长度.矩阵M和K为反对称矩阵，且矩阵M可逆，分别为其中O是N1阶的零矩阵，I1是N1阶的单位矩阵，S(Z)是如下标量光滑函数在这里，利用Hamilton系统4阶平均向量场方法对方程(4)进行时间离散，可得到如下格式:(5)其中Tφφ=Tuv=Tuw=Tuφ=Tvw=Tvφ=Twφ=O.I 是一个4N1阶的单位矩阵，τ为时间步长.格式(5)可以转化成如下格式数值计算[I/τ+(I-τ2J2/12)M-1KD/2]Zn+1=[I/τ-(I-τ2J2/12)M-1KD/2]Zn+(I-τ2J2/12)M-1·(6)在格式(6)右边函数S(z)中三角函数sin u积分会产生奇异积分,相应的积分函数为cos un+1)/(un+1-un).当un和un+1的值充分接近时，相应的积分值趋向于无穷大.为避免格式(6)在数值计算中积分值趋于无穷大的情况，对格式(6)的积分项采用Boole离散线积分法进行逼近[13-14],可得到对应于格式(6)的如下离散线积分格式[I/τ+(I-τ2J2/12)M-1KD/2]Zn+1=[I/τ-(I-τ2J2/12)M-1KD/2]Zn+(I-τ2J2/12)M-1·(7)设格式(7)可简化为[I/τ+(I-τ2J2/12)M-1KD/2]Zn+1=[I/τ-(I-τ2J2/12)M-1KD/2]Zn+(I-τ2J2/12)M-1F(Zn,Zn+1)/90,其中F2,F3,F4以此类推.sine-Gordon方程在tn=nτ 时刻相应的离散能量格式为定理1 新格式(5)在时间方向上具有4阶精度.证格式(4)可以写成如下常微分方程组：(8)其中M-1是反对称矩阵，然后把4阶平均向量场格式应用到格式(8)，可以得到(9)其中显然，格式(9)具有4阶精度，通过计算，格式(9)等价于新格式(5).因此，新格式(5)在时间方向上具有4阶精度.定理2 新格式(5)具有整体能量守恒特性:E(Zn+1)=E(Zn),其中E(Z)=S(Z)-ZTKDZ/2.证格式(9)等价于以下形式(Zn+1-Zn)/τ=(M-1-τ2J2M-1/12)·其中根据其中M-1-τ2J2M-1/12是反对称方阵，可以得到E(Zn+1)=E(Zn)，新格式(5)具有整体能量守恒特性.2 数值模拟应用新的4阶保能量格式(7)对sine-Gordon方程(1)进行数值模拟.为了分析格式的保能量守恒特性，令相对能量误差为e(t)=| (E(Zn)-E(Z0))/E(Z0)| ,其中E(Z0)表示在t=0时刻的初始能量，E(Zn)表示在t=nτ时刻的离散能量.例1 研究双刃孤立波的情况.设sine-Gordon方程(1)的精确解为-∞<x<+∞.对t和x求偏导数并令t=0可得到初始条件，选择循环边界条件u(-10,t)=u(10,t)，取空间步长h=0.5，时间步长τ=0.05.图1表示新格式的双刃孤立波在t∈[0,20]内的数值解，可以看出双刃孤立波的数值解波形光滑，较平稳地随时间进行传播，新格式可较好地模拟双刃孤立波的演化行为.图2表示多辛sine-Gordon方程双刃孤立波数值解的相对能量误差随时间的变化，误差为10-14，达到机器精度，可忽略不计.这表明新格式可较好地模拟多辛sine-Gordon方程中双刃孤立波的演化行为，并精确地保持方程离散能量守恒特性.图1 双刃孤立波在t∈[0,20]内的数值解图2 双刃孤立波在t∈[0,20]内的相对能量误差例2 研究纽结和反纽结孤立波的情况.设sine-Gordon方程(1)的精确解为初始条件由对t和x求偏导数并令t=0得到，选择循环边值条件u(-30,t)=u(30,t)，取空间步长h=0.2，时间步长τ=0.02,x0=10和β=0.5.图3表示新的高阶保能量格式的纽结和反纽结孤立波在t∈[0,90]内的数值解，可以看出:纽结和反纽结孤立波的数值解波形光滑，较平稳地随时间进行传播，新的高阶保能量格式可以较好地模拟纽结和反纽结孤立波的碰撞行为.图4表示多辛sine-Gordon方程纽结和反纽结孤立波数值解的相对能量误差随时间的变化，误差为10-13,也达到了机器精度，可忽略不计.这表明新的高阶保能量格式可以较好地模拟多辛sine-Gordon方程中纽结和反纽结孤立波的碰撞行为，并精确地保持方程的离散能量守恒特性.图3 纽结和反纽结孤立波在t∈[0,90]内的数值解图4 纽结和反纽结孤立波在t∈[0,90]内的相对能量误差3 结论本文把1维sine-Gordon方程通过适当的变换转化成多辛Hamilton偏微分方程，利用Hamilton系统的4阶平均向量场方法和Boole离散线积分方法得到了多辛sine-Gordon方程的一个新的4阶整体保能量格式,并数值求解1维sine-Gordon 方程.数值结果表明新格式能很好模拟sine-Gordon方程孤立波的运动和保能量守恒特性.本文进一步表明对于一些特定能量守恒的偏微分方程，通过适当的变换可转化成特定的多辛Hamilton偏微分方程,利用Hamilton系统的高阶保能量方法,可构造多辛Hamilton偏微分方程的高阶保能量格式.4 参考文献【相关文献】[1] Gonzalez O.Time integration and discrete Hamiltonian systems [J].NonlinearSci,1996,6(5):449-467.[2] Celledoni E,Mclachlan R I,Mclaren D I,et al.Energy-preserving Runge-Kutta methods [J].Math Model Numer Anal,2009,43(4):645-649.[3] Mclachlan R I,Quispel G R W,Robidoux N.Geometric integration using discrete gradients [J].Phil Trans R Soc Lond A,1999,357(1754):1021-1045.[4] Quispel G R W,Mclaren D I.A new class of energy-preserving numerical integration methods [J].J Phy A:Math Theor,2008,41(4):045206.[5] Yang Yanhong,Wang Yushun,Song Yongzhong.A new local energy-preserving algorithm for the BBM equation [J].Applied Mathematics and Computation,2018,324:119-130.[6] Gong Yuezheng,Cai Jiaxiang,Wang Yushun.Some new structure-preserving algorithms for general multi-symplectic formulations of Hamiltonian PDEs [J].Journal of Computational Physics,2014,279:80-102.[7] 袭春晓.多辛结构偏微分方程保能量方法 [D].海口:海南大学,2019.[8] Vu-Quoc L,Li Shaofan.Invariant-conserving finite difference algorithms for the nonlinear Klein-Gordon equation [J].Compt Methods Appl Mech Eng,1993,107(3):341-391.[9] Mclachlan R I.Symplectic integration of Hamiltonian wave equations [J].Numer Math,1993,66(1):465-492.[10] Chen Jingbo.Symplectic and multisymplectic Fourier pseudospectral discretizations for the Klein-Gordon equation [J].Lett Math Phys,2006,75(3):293-305.[11] Li Haochen,Sun Jianqiang,Qin Mengzhao.New explicit multi-symplectic scheme for nonlinear wave equation [J].Appl Math Mech:English Edition,2014,35(3):369-380.[12] Wang Jian.A note on multisymplectic Fourier pseudospectral discretization for the nonlinear Schrödinger equation [J].Appl Math Comput,2007,191(1):31-41.[13] Iavernaro F,Pace B.s-stage trapezoidal methods for the conservation of Hamiltonian functions of polynomial type [J].AIP Conf Proc,2007,936(1):603-606.[14] Brugnano L,Iavernaro F.Line integral methods and their application to the numerical solution of conservative problems [R].Beijing:Chinese Academy of Sciences,2013.。
Comparison among Klein-Gordon equation,Dirac equation and relativisticstationary Schr¨o dinger equationGuang-jiong NiDepartment of Physics,Fudan University,Shanghai,200433,P.R.ChinaE-mail:Gjni@Weimin Zhou and Jun YanDepartment of Physics,New York University,4Washington Place,New York,NY,10003,USAE-mail:wz214@ and jy272@AbstractA particle is always not pure.It always contains hiding antiparticle ingredientwhich is the essence of special relativity.Accordingly,the Klein-Gordon(KG)equation and Dirac equation are restudied and compared with the RelativisticStationary Schr¨o dinger Equation(RSSE).When an electron is bound in a Hydro-genlike atom with pointlike nucleus having charge number Z,the critical valueof Z,Z c,equals to137in Dirac equation whereas Z cµ137in RSSE withM andµbeing the total mass of atom and the reduced mass of the electron.1IntroductionThe Einstein mass-energy relation E mc2reveals the simple proportionality be-tween energy E and mass m of any matter with c being the speed of light.For a free particle moving with velocity v,the mass m is related to its rest mass m0as m m01vM137with M andµbeing the total restαµ1mass(M m e m N)and reduced massµm e m N2α1α137respectively.Being an improvement ofone-body equation,the two-body relativistic stationary Schr¨o dinger equation(RSSE) is discussed further in section III to derive a much larger value Z cµ137.The experimental implication of this improvement and the relevant problems are discussed at thefinal section V.2Klein-Gordon equationFor simplicity,we begin from a particle with mass m0but without spin.It is described in nonrelativistic quantum mechanics by the Schr¨o dinger equation.Then its kinetic energy reads14πε0r(1)The binding energy B is well known as(αe2137with¯h being the Plankconstant)BZ2α2c2would decrease without lower boundif the charge number of nucleus Z is sufficiently large.However,the situation becomes quite different in the theory of special relativity. Consider a mesonπbound in a point nucleus(with infinite mass m N∞).Its wave functionψx t satisfies the Klein-Gordon(K-G)equation.12i¯h∂21Vm0c2˙ψχ1m0c2ψi¯hThen Eq.(3)can be recast into the form of coupling Schr¨o dinger equations:i¯h∂2m0∇2ϕχi¯h∂2m0∇2χϕ(5)Eq.(5)is invariant under the transformation(x x t t andϕx tχx t(6)V x t V x t(7) The meaning ofϕandχcan be seen from the continuity equation:∂ρ2m0ϕ∇ϕϕ∇ϕχ∇χχ∇χϕ∇χχ∇ϕχ∇ϕϕ∇χ(10)We explain thefieldϕbeing the“particle(matter)ingredient”of a particle, whereasχbeing the hiding“antiparticle(antimatter)ingredient”inside a particle.Seefirst the free motion case V0.The particle is described by a plane wave function along z axis:ψexpiπ12σe i kzωt dk(13)with¯hω2m03Assume¯h,thenψz tσ4m0121iσ¯ht¯h(14)If considerσ¯ht∞∞ϕ2dz1c21v112α137ϕ2d x 142y12y1212,it is described by a Diracspinor wave function4Ψϕχ(18)with four components.Hereϕandχ,(each with two components)usually called as the“positive”and“negative”energy components in the literature1,2are just the counterpart ofϕandχfor particle without spin.However,in this case,instead of(9),we haveρDiracΨ†Ψϕ†ϕχ†χ(19) Hence for a freely moving electron wave packet,instead offigure1,we have figure3.One sees that bothϕ†ϕandχ†χare increasing with the velocity v.But they are constrained within the boostingρand the invariant quantity during the boosting process is1v1c 2(21)On the other hand,when the electron is bound inside a hydrogenlike atom,the energy level of1S state isE Dirac1Sm0c2α137as shown infigure4.Meanwhile the ratioR Dirac 1S 1 1SR is equivalent to the coexistence ofϕandχstates in a particle with the symmetry of transmutation between them under the space-time inversion(x x t t)as shown at the Eq.(6).45So we manage to establish an equation for two-particle system based on this symmetry.Denote the coordinates and masses of two particles by r1,r2 and m1,m2.The particle and antiparticle ingredients are described by wave functions ϕr1r2t andχr1r2t.We propose the coupling equation as follows(¯h c1):i∂ϕ2m1∇21ϕχ1∂tm1m2χV r1r2ϕχ12m2∇22ϕχ(24)Note that,however,here V r1r2t V r1r2t in contrast with the Eq.(7).The reason lies on the dynamical nature of nucleus(particle1)which would transform into antinucleus under space-time inversion whereas the V in Eq.(7)is treated as an external potential imposed by the inert core without change in space-time inversion.Furthermore,here bothϕandχis involved in the term containing V in contrast with Eq.(5).Of course,these two points can only be verified by the equation derived and eventually by experiment.6Introducing the coordinate of center of mass R c1M ∂2ϕχµ∇2rϕχ1M∂ϕχ¯hP R Et(26)where E is the total energy of system,yielding12M E2M2P2(27)For a binding state,the binding energy B of system is defined as(P0)B M E soB M112εEq.(27)shows that the stationary Schr¨o dinger equation is essentially relativistic as long as its eigenvalueεbeing not directly(B)but indirectly related to B via Eq.(28).This RSSE has an important feature that its eigenvalueεhas a lower boundεmin M2as shown in Eq.(28),corresponding to B max M or E min0.Just like in the case of KG or Dirac equation,this lower bound is also characterized by the condition. lim E0χϕas shown by Eq.(25).But this time it leads to the critical value of Z for a Hydrogenlike atom beingZ cµ1Mµ1.This is nosurprise because of the different meaning of V discussed above.Actually the concept of binding energy B is related to the whole system composed of two particles,so in Eq.(29)two mass parameters M andµare involved.To treat the nucleus as an inert core is not so reasonable.We would like to stress that in RSSE case there is no any singularity at B m2m e(when Z chand,the energy of a binding particle can decrease without a lower limit either.Itsmass m0remains unchanged in any case.(c)In relativistic quantum mechanics,a particle is always not pure.It is accom-panied by its hiding antiparticle ingredient essentially.If a free rest particle with massm0described byϕx t the accompanyingχx t will be excited coherently once the particle is set into motion or bound in a system.Then its velocity v is boundfrom above by a limiting speed c(E max∞)while its energy E of bound system is bound from below:E min0.At both sides(E∞or0),the ratio of ingredient of antiparticle to that of particle:Rχ2d xϕ2d x 1.(d)The common essence of any matter is the basic symmetry Eq.(6).Itcould be stated as a postulate that“the space-time inversion x x,t t is equivalent to the transformation between particle and antiparticle”.45(e)However,inside a particle,ϕalways dominatesχ,i.e.,ϕχ.So they do not exhibit the symmetry Eq.(6)explicitly.Being the“slave”in the particle,χhas to obey the“master”ϕ.In particular,the wave function for an electron in freely motion reads always asiΨeϕχexpp x E tχcϕc(31)¯hwith the same momentum p and energy E0.The observation of Eqs.(30)and (31)was put forward quite early by Schwinger8,Konopinski and Mahmand9and even essentially by St¨u eckelberg10and Feynman11.See also Refs.[12]and[13].(f)The ratio R1could be viewed as an order parameter characterizing the status of a“particle”.Formally,if we always define Rχ2d xϕ2d x,then R1will characterize the status of an“antiparticle”.In other words,we look at the“negative energy”state of a particle directly as the“positive energy”state of its antiparticle, either for KG particle or for Dirac particle.It seems to us that the historical mission of the concept of hole theory for electron is coming to an end.(g)Actually,all the strange effects(including the Lorentz transformation)in spe-cial relativity can be derived by the symmetry Eq.(6)in combination with the princi-ples of quantum mechanics.456(h)For further discussion on the concept in contemporary physics,see Ref.[14].8AcknowledgmentsWe thank Profs.R.Brandt,J.J.Griffin,and D.Zwanziger for discussions.We also thank Mr.Sangtian Liu in NYU for giving us a lot of help in L A T E Xandfigures of this paper.This work was supported in part by the NSF in China.References1.J.D.Bjorken and S.D.Drell,Relativistic Quantum Mechanics,McGraw-HillBook Company,1964.2.J.J.Sakurai,Advanced Quantum Mechanics,Addison-Wesley,1967.3.H.Feshbach and F.Villars,Rev.Mod.Phys.30(1958)24.4.Guang-jiong Ni,The relation between space-time inversion and particle-antiparticle transformation,Journal of Fudan University(Natural Science), 1974,No.3-4,125-134,G-J Ni and S-q Chen,Internet,hep-th/9508069(1995), to appear in a book“Photon and Poincare Group”,Edited by V.Dvoeglazov (NOV A Science Publishers,Inc.1999).5.G-j Ni and S-q Chen,On the essence of special relativity,ibid,35(3),(1996)325-334.6.Guang-jiong Ni and Su-qing Chen,Relativistic stationary Schr¨o dingerequation for many-particle system,ibid,36(3)(1997)247-252,Guang-jiong Ni,hep.th/9708156.7.J.J.Griffin,“An Alternative window upon the GSI sharp lepton problem”in In-ternational Conference on Physics Since Parity Symmetry Breaking,in Memory of Professor C.S.Wu,Editor F.Wang(World Scientific1998),537.8.J.Schwinger,Proc.Nat.Acad.Sc USA,44(1958)223.9.E.J.Konopinski and H.M.Mahmand,Phys.Rev.92(1953)1045.10.E.C.G.St¨u eckelberg,Helv.Phys.Acta14(1941)32L,588.11.R.P.Feynman,Phys.Rev.76(1949)749,769.12.G-j Ni and H.Guan,Einstein-Podolsky-Rosen Paradox and Antiparticles,Preprint,quant-ph/9901046.13.G-j Ni,W-m Zhou,and J.Yan,The Klein paradox of Klein-Gordon equationand antiparticle,Preprint,quant-ph/9905044.14.G-j Ni,To enjoy the morningflower in the evening——Is special relativitya classical theory?Kexue(Science)50(1)(1998)29-33;Internet,quant-ph/9803034;To enjoy the morningflower in the evening——Where is the subtlety of quantum mechanics?ibid,50(2)(1998)38-42;Internet,quant-ph/9804013;To enjoy the morningflower in the evening——What does the appearance of infinity in physics imply?ibid,50(3)(1998)36-40;Internet, quant-ph/9806009.The English version of these three papers will be pub-lished in a book“Photon:Old Problems in Light of New Ideas”,Edited by9V.Dvoeglazov(NOV A Science Publishers,Inc.).10−5005000.010.020.030.040.050.060.07ξKG v=0.5caFigure 1:The wave packet of Klein-Gordon particle (e.g.π)for four velocities.(a)v=0.5c.(b)v=0.9c.(c)v=0.99c.(d)v=0.99999c.The +,.,and -curves denote the profiles of ϕ2,χ2and ρϕ2χ2respectively.ξm 0c z vt ¯his a dimensionless quantity.110.20.40.60.8100.20.40.60.81Z/68.5E (*) a n d R (+)Energy and RFigure 2:The *and +curve denote E KG 1S m 0c 2and R KG 1Sversus Z 685respectively.12−5005000.010.020.030.040.050.060.07ξDirac v=0.5caFigure 3:The wave packet of Dirac particle (e.g.the electron)for four velocities.(a)v=0.5c.(b)v=0.9c.(c)v=0.99c.(d)v=0.99999c.The +,.,and -curves denote the profiles of ϕ†ϕ,χ†χand ρϕ†ϕχ†χrespectively.ξm 0c z vt ¯h is a dimensionless quantity.130.20.40.60.8100.20.40.60.81Z/137E (*) a n d R (+)Energy and RFigure 4:The *and +curve denote E Dirac 1S m 0c 2and R Dirac 1Sversus Z/137respectively.14。
