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一类卷积型Volterra积分方程解的存在性和吸引性张艳艳;简伟刚【摘要】根据非紧性测度和吸引性的定义,利用经典的Shauder不动点原理,对如下一类带有卷积型的Volterra积分方程:u(t)=p(t)+g(t,u(t))∫t0 a(t-s)f(t,s,u(s))ds,t∈R+(1)进行了研究,其中a∈L1loc(R+)是标量核,函数p,g和f满足定理2.1中的某些条件,得出了方程式(1)存在具有一致局部吸引性的解.【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2017(035)006【总页数】4页(P848-851)【关键词】Volterra积分方程;非紧性测度;Shauder不动点原理;一致局部吸引性【作者】张艳艳;简伟刚【作者单位】江西师范大学数学与信息科学学院,330022,南昌;豫章师范学院自然科学系,330103,南昌【正文语种】中文u(t)=p(t)+g(t,u(t))a(t-s)f(t,s,u(s))ds,t∈R+进行了研究，其中是标量核，函数p,g和f满足定理2.1中的某些条件，得出了方程式(1)存在具有一致局部吸引性的解。
早在1985年，Deimling在文献[1]中研究了二次积分方程形如:x(t)=f(t,x(t))u(t,s,x(s))ds,t∈[0,1]的解的存在性和渐近稳定性。
2003年，Banas在文献[2]中将方程(2)中的t∈[0.1]的推广到了t≥0。
x(t)=f(t,x(t))u(t,s,x(s))ds,t≥0并研究了其解的存在性和渐近稳定性。
同年，Banas和Rzepka在文献[3]中给出了一致局部吸引性和渐近稳定性的概念一致。
在2008年，Banas和O′Regan在文献[4]中研究了包含式(3)在内的二次Volterra积分方程:x(t)=p(t)+ds,t≥0的解的存在性和吸引性。
在式(4)的基础上，本文将主要研究a(t)=·且0<α<1的情况。
文章标题：探索Volterra积分方程和积分微分方程近年来，数学领域中的一个研究热点就是关于Volterra积分方程和积分微分方程的探索。
这两种方程作为微分方程的一种延伸和拓展，具有更广泛的应用领域和更丰富的数学内涵。
在本文中，我们将深入探讨Volterra积分方程和积分微分方程的基本概念、性质和应用，以对这两种方程有更全面的理解。
1. Volterra积分方程Volterra积分方程是由意大利数学家Vito Volterra在20世纪初提出的一种特殊类型的积分方程。
它的一般形式可以表示为：\[ y(t) = f(t) + \int_{a}^{t} K(t, s)y(s)ds \]其中，\( f(t) \) 是已知函数，而 \( K(t, s) \) 是积分核函数。
这种积分方程与常见的微分方程有着本质的区别，它描述了系统状态在过去时间的影响，因此在建模动态系统、生态学、经济学等领域中得到广泛的应用。
2. 积分微分方程积分微分方程是微分方程的一种拓展，它在描述动态系统的行为时更为有效和准确。
一般形式可以表示为：\[ \frac{dy(t)}{dt} = f(t, y(t)) + \int_{a}^{t} K(t, s)y(s)ds \]积分微分方程在研究振动系统、生物学等领域有着重要的应用价值，能够更准确地描述系统状态的演化过程。
3. 深入探讨从数学角度来看，Volterra积分方程和积分微分方程的研究涉及到广泛的数学理论和方法。
通过对积分核函数的性质、解的存在唯一性和稳定性等进行深入的分析，可以揭示这两种方程在动力系统、控制理论中的重要性。
对解的逼近算法、数值求解方法等也是研究的重点之一。
4. 应用领域近年来，随着数据科学和人工智能的发展，Volterra积分方程和积分微分方程在系统建模、数据拟合、信号处理等领域得到了广泛的应用。
通过结合深度学习、强化学习等技术，这两种方程能够更好地挖掘数据之间的关联性，从而为实际问题提供更准确、更有效的解决方案。
东南大学电气工程学院MATLAB数学建模实验报告三种方法解析Volterra方程刘海东（16006213）2008/12/13一、 实验目的：通过MATLAB 实现书上含初值一阶Volterra 方程组的解析，在解析过程之中注意加深对三种方法：向前欧拉公式、改进的欧拉公式和四阶龙格-库塔公式的理解，注意各个方法的细节和精度比较。
进一步熟悉MATLAB 编程。
二、 实验原理：在数学建模理论课上，我们在书上6.4节中介绍了Volterra 模型，并用相平面分析法对问题作了简要分析。
随后我们又在6.7节中学习到了常微分方程数值解，学习了欧拉方法和龙格-库塔方法，所以我们尝试借助6.7节中的数值方法来考虑如下Volterra 方程：.2)0(,25)0(),02.05.0(),1.01(2112'221'1==+-=-=x x x x x x x x为了跟书上的解析图相对应，我选取区间]15,0[∈t ；步长h =0.1。
1)向前欧拉公式(1阶精度)：我们先根据步长将区间分为150等分，在其中任一区间[1,+k k t t ]上（Z k k ∈<≤,1500）取对应左端点j t 的)(1k x 和)(2k x 作为递推)1(1+k x 和)1(2+k x 的初值，将其带入到向前欧拉公式组得到如下方程组：.2)0(,25)0()],(02.05.0)[()1()],(1.01)[()1(21122211==+-=+-=+x x k x j x k x k x j x k x这样，我们就可以根据初值层层递推出对应后面150个t 值的x 值。
具体在MATLAB 中的实现过程：首先将各自初值赋予初始变量，并将步长输入。
根据步长，在取定循环值t=0.1:0.1:15形成一个150次的循环，循环过程为：根据上面方程组的前两行带入初值求解下一次数值，然后将下次数值作为初值不停迭代下去，即得到150个要求的值。
volterra积分方程
Volterra积分方程是一种常见的积分方程，其形式为：
$$y(t)=y_0+\int_0^tK(t,s)y(s)ds$$
其中，$y(t)$ 是未知函数，$y_0$ 是初值，$K(t,s)$ 是称为积分核的函数。
Volterra积分方程常用来描述动态系统的行为，特别是在描述动态系统中的反馈过程时。
它在工程、物理学、生物学、经济学等领域都有广泛的应用。
求解Volterra积分方程的方法有很多，其中常用的方法有：分段常数法、分段线性法、拉普拉斯变换法、小波变换法、Laplace变换法等。
具体使用哪种方法，取决于积分核的性质和解题的目的。
总之，Volterra积分方程是一种常见的积分方程，在描述动态系统行为时有广泛的应用，有多种方法可以用来求解这种方程。
第一类Volterra积分方程论文：第一类Volterra积分方程数值方法的研究【中文摘要】第一类Volterra积分方程是很重要的一类积分方程，它是在二十世纪发展并成熟起来的。
物理，力学等领域中的许多实际问题都可以通过转化为第一类Volterra积分方程来求解。
当核函数是连续或具有弱奇性时，通常精确解很难给出。
因此，Tolterra 积分方程的数值解法占有了很重要的地位，通过研究它们有很多有益的分析结果得以实现。
本文正是考虑在数据没有扰动的情况下第一类Volterra积分方程的数值解法。
本文结构如下：第一章主要介绍第一类Volterra积分方程的历史背景，国内外研究现状以及发展趋势。
第二章是一些求解第一类Volterra积分方程的预备理论，包括不适定问题，本文所需要使用的正则化方法：Tikhonov，正则化方法，全变差正则化方法等知识。
第三章研究在数据没有扰动的情况下，求解第一类、Volterra积分方程。
主要利用配置点方法，包括方法的格式构造以及收敛性分析。
第四章数值实验，主要利用Tikhonov正则化方法及全变差正则化方法，正则化参数选取方法为L-曲线法。
【英文摘要】The first-kind Volterra integral equations are a very important kind of integral equa-tions. It has been developed and matured since the twentieth century. Many practicalproblems about physics and mechanics can be solved by changing into the first-kindVolterra integral equations. Whenthe kernel function is continuous or weakly singu-lar, the exact solution is always di?cult to work out. Therefore, the numerical methodsof the first-kind Volterra integral equations play a very important role in mathematics. Byresearching the first-kind Volterra integral equations, there are many wonderful analysis .This article considers the numerical methods of the first-kind Volterra integral equationswhen the data are undisturbed and disturbed.This structure is as follows:In chapterⅠ, we introduce the background , the domestic and foreign researchingsituation and the developping tendency of the first-kind Volterra integral equations. Thisarticle lists some classical methods of solving thefirst-kind Volterra integral equations.In chapterⅡ,we show some preparatory theory of solving the first-kind Volterraintegral equations, ill-posed problems, the regularization methods using in this article:Tikhonov regularization method,total variation regularization method .In chapterⅢ, we research the numerical methods of the first-kind Volterra integralequations when the data is undisturbed, The format structure and convergence analysisare also introduced in this article.In chapterⅣ, we give a numerical experiment based on Tikhonov regularizationmethodand total variation regularization method.The regularization parameter method isthe L-curve method.【关键词】第一类Volterra积分方程不适定问题离散的正则化方法 Tikhonorv正则化方法全变差正则化方法【英文关键词】The first-kind Volterra integral equation Ill-posed problem Discrete regular-ization method Tikhonov regularization method Total variation regularization method【备注】索购全文在线加好友：1.3.9.9.3.8848同时提供论文写作一对一指导和论文发表委托服务【目录】第一类Volterra积分方程数值方法的研究中文摘要3-4Abstract4第1章绪论7-12 1.1 第一类Volterra积分方程的发展历史7-8 1.2 第一类Volterra积分方程的基本理论8-12第2章预备理论12-29 2.1 不适定问题的简介12 2.2 不适定定问题的正则化方法12-29 2.2.1 Titkhonov正则化方法14-16 2.2.2 离散的正则化方法16-19 2.2.3 全变差正则化方法19-26 2.2.4 正则化参数的选取方法26-29第3章数据没有扰动情况下第一类Volterra方程的数值解法29-46 3.1 线性第一类Volterra积分方程的离散正则化方法29-35 3.1.1 方法的格式构造29-30 3.1.2 方法的理论分析30-35 3.2 非线性第一类Volterra积分方程的离散正则化方法35-45 3.2.1 方法的格式构造35-40 3.2.2 方法的理论分析40-45 3.3 本章小结45-46第4章数值实验46-53 4.1 Tikhonov正则化方法的数值实验47 4.2 全变差正则化方法的数值实验47-52 4.3 本章小结52-53结论53-54参考文献54-59致谢59-60攻读学位期间发表的学术论文60。
第二类Volterra积分方程的一种特殊解法王金婵【摘要】In this paper,we study the method of solving the second kind of Volterra integral equations,propose a new numerical method for solving Volterra integral equations based on spectral method,Legendre preparation method is fully applied and a rigorous error analysis is done.The results show that the numerical error is the index fell.When kernel function and the original function is sufficiently smooth%研究了求解Volterra型积分方程的方法,重点介绍了基于谱方法解决Volterra型积分方程的一种新的数值解法,legendre配制法得到充分的应用,并进行了严格的误差分析,表明在核函数和原函数充分光滑时,数值误差是指数下降的.【期刊名称】《德州学院学报》【年(卷),期】2012(028)004【总页数】3页(P11-13)【关键词】legendre谱方法;Volterra积分方程;收敛性分析【作者】王金婵【作者单位】德州学院数学系,山东德州253023【正文语种】中文【中图分类】O175.5首先考虑第二类Volterra积分方程其中k（x，s，u（s））是核函数.假定（1）式的解充分光滑，在此情况下，有必要利用高次数值方法例如谱方法来解方程（1）.对于方程（1），现已有很多数值方法例如配制法、内积积分法，见Brunner［1］.然而，很少有人提及利用谱逼近法，在文献［2］中，作者用chebyshev谱方法在多重代数精度下求解第一类，但这些方法理论上不能获得高次精度.这种方法一直未能得到很好的应用.众所周知，Fredholm方程类似边界值问题见文献［5］，因此，许多边界值问题有效的数值方法例如谱方法能直接用来解决Fredholm方程，而方程（1）类似初值问题，因此用谱方法解是非常困难的.主要原因在于方程（1）是一个局部方程而谱方法用到全部基函数.主要困难在于如何执行这种算法使其能最终得到精确谱.此外，方程（1）的数值解法有可能不同于标准初值问题.从这个意义上说，前者需要储存网格点的所有值而后者只需固定数目网格点的信息.对于方程（1）的这种储存，更加可以接受应用谱方法的全局基函数.不失一般性，假定解的区域为［－1，1］，第二类线性积分方程一维形式如下设定N＋1个配置点作为Legendre Gauss点集假定方程（2）在xi处成立，则有得到高次精度的主要困难在于解（3）式中的积分项，特别的，对于xi充分小的值，u（s）有很少的信息可以利用，为此，把积分区间［－1，xi］转换到［－1，1］上，然后选择恰当的求积规则.事实上，首先作一个线性变换则（3）式转换为然后利用N＋1个点的Gauss积分法，以及Legendre权重｛ωi｝，则有其中其中｛θj｝j＝0，…N，与配置点相一致.用ui，0≤i≤N代替u（s（xj，θj）），用lagrange插值多项式表示u即.其中Fj是第j个lagrange基函数，代入（7）式，得从（8）式可以看出，为了计算u（xi）的近似值，需要的完全解信息和的半局部信息.其中－1≤s（xi，θj）≤xi，这不同于配制法或内积积分法，原因在于它们用到和的半局部信息.谱配制算法的执行令得到方程的矩阵形式其中矩阵A中元素如下给出下面讨论Fj（s（xi，θp）的计算效率，由于αp，j是Fj的离散的多项式系数，它的递推关系如下（见文献［5］）其中由（10）式和（11）式可得结合LP（s）的递推公式，能有效的得出Fj（s（xi，θp）），这种情况也可以推广到非线性方程及二维情况（见文献［3］）.下面从数值方面对Volterra方程进行收敛性分析，目的在于表明它的收敛率是指数型的，既谱精度可以从以提出的谱逼近中得到.引理1［5］假设N＋1个点Gauss求积公式，及lagrange权重应用积分内积uφ，其中u∈Hm（I），I＝（－1，1）m≥1，φ∈PN，则存在不依赖于N的常数C，使得其中引理2［5］假定u∈Hm（I），INu表示与它的N＋1个Gauss点相关的插值多项式，即则引理3［5］假定Fj（x）是第N个Gauss点相关的Lagrange插值多项式，则其中是一个有界常量.引理4（Gronwall不等式），如果非负积分函数E（t）满足其中 G（t）是可积函数，则定理1 令u是Volterra方程（2）的精确解，假定其中uj由（8）给出，Fj（x）是同高斯点相关的第j个Lagange基函数，若，则对于这里N充分大，s（xi，θ）由（6）式给出，C是不依赖于N的常数（证明见文献［3］）.由定理1知，收敛速度似乎是不可以选择的，应为Ο（Nm），而不应为（11）式给出的，如果引理3的估计能够进一步改进，这个结果应该是正确的，一个可能的改进是证明，假设这是正确的，则在定理1中应用‖J1‖L1（I）＝O（N－m），在这种情况下，收敛阶O（N－m）能够得到.本文总结了Volterra积分方程的解法，并对他们的优缺点进行分析.同时给出了不同解法的收敛情况.重点介绍了基于谱方法解决二维第一类型Volterra积分方程的数值解法，借助离散Gronwall不等式，给出了一系列漂亮的结果.【相关文献】［1］H.Brunner.Couocation Methods for Volerra Integral and Related Functional Equations Methods［M］.Cambridge University Press，2004.［2］H.Fujiwara.High－accurate Numerical Methed for Integral Equations of the First Kind under Muttipleprecision Arithmetic［M］.Preprint RIMS，kyoto，University，2006. ［3］T.Tang，X.Xu，J.Cheng.On Spectral Methods for Volerra Type Integral Equations and the Convergence Analysis［J］pwl Math，2007.［4］H.C.Tian.Spectral Methods for Volerra Integral Equations［M］.Msc Thesis，Simon Fraser University，1995.［5］C.Caunto，M.Y.Hussaini，A.Quarteroni，etal.Spectral Methodes Fundamentals inSingle Domains［M］.Springer－Verlag，2006.。
近年来，随着科学技术的不断发展，对于微分方程数值解法的研究也愈发深入。
其中，volterra积分微分方程数值解法备受关注。
在本文中，我将为您深入解析volterra积分微分方程数值解法，并共享我个人对这一研究的理解和观点。
1. 了解volterra积分微分方程volterra积分微分方程最早由意大利数学家Vito Volterra在20世纪提出，是描述系统动力学行为的重要数学工具。
它所描述的系统通常包括了历史信息对当前状态的影响，因此对于这类方程的数值解法，要求更高的深度和广度。
2. volterra积分微分方程的数值解法在volterra积分微分方程的数值解法中，常常涉及到离散化、插值、逼近等数值计算方法。
对于不同类型的volterra积分微分方程，如延迟型、非线性型等，需要采用不同的数值解法。
在研究过程中，研究者们不断探索新的数值解法，以提高计算精度和效率。
3. 我的观点和理解在我看来，volterra积分微分方程数值解法是一个非常值得深入研究的课题。
在实际应用中，许多系统对历史信息的依赖程度较高，因此对于这类系统的数值模拟和预测，需要充分理解和掌握volterra积分微分方程的数值解法。
尤其是在生态系统、经济模型等领域，volterra 积分微分方程数值解法的研究将有着更为广阔的应用前景。
4. 总结与回顾通过本文的深度探讨，我们对volterra积分微分方程数值解法有了更为清晰的认识。
在数值解法的研究中，我们需要不断探索新的方法，提高计算精度和效率，以满足实际应用的需求。
我也希望更多的科研工作者能够投入到这一领域的研究中，共同推动数值解法的发展。
通过对volterra积分微分方程数值解法的研究，我们将能够更好地理解系统的动力学行为，并为实际应用提供更有力的支持。
希望本文能够为您对这一课题的理解提供一定的帮助。
5. 进一步探讨volterra积分微分方程数值解法的应用领域除了生态系统和经济模型领域，volterra积分微分方程数值解法还有许多其他的应用领域。
