新华教育高中部数学同步人教A版必修二第四章 圆与方程-直线、圆的位置关系强化训练

人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0， 解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)， 半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0， 得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72， 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。

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1 直线与圆的位置关系[课时作业][A组基础巩固］1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．相切或相交解析：圆心到直线的距离为d＝错误!＝1＜4.所以直线与圆相交．答案：A2．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )A.错误!x＋y－5＝0 B。

错误!x＋y＋5＝0C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0解析：设过点M的圆的切线上任一点的坐标为(x,y),∵点M(2,1）在圆x2＋y2＝5上，∴错误!·错误!＝－1，即2x＋y－5＝0。

答案：C3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点,则|AB|＝（）A．1 B.错误! C.错误!D．2解析：由于直线y＝x过圆心(0,0）,所以弦长｜AB|＝2R＝2.答案：D4．已知圆C:x2＋y2－4x＝0，l是过点P（3，0)的直线，则（)A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析：将点P(3,0）的坐标代入圆的方程,得32＋02－4×3＝9－12＝－3〈0，∴点P（3,0)在圆内．∴过点P的直线l一定与圆C相交．答案：A5．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P,Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为（)A．±错误! B．±错误! C．±1 D．不存在解析：由已知利用半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形可得圆心O到直线y＝kx＋1的距离为错误!，由点到直线的距离公式得错误!＝错误!,解得k＝±错误!.答案：A6．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆（x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A,B两点，且△ABC为等边三角形,则实数a＝________。

4.2.1直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．知识点直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断类型一直线与圆的位置关系的判断例1求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离．解圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝6m2＋1，圆的半径为r＝2.①若相交，则d＜r，即6m2＋1＜2，所以m＜－22或m＞22；②若相切，则d ＝r ，即6m2＋1＝2，所以m ＝±22；③若相离，则d ＞r ，即6m2＋1＞2，所以－22＜m ＜22.反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．跟踪训练1对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是() A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 答案C解析直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x 2＋y 2＝2内，则直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2一定相交．又直线y ＝kx ＋1的斜率存在，则该直线必不过圆心(0,0)，故选C. 类型二切线问题 命题角度1求切线方程例2过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程． 解因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)，即kx －y －4k －3＝0. 设圆心为C ，因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k|k2＋1＝1，即|k ＋4|＝k2＋1，所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－158.所以切线方程为－158x －y ＋152－3＝0，即15x ＋8y －36＝0. ②若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离为1，这时直线x ＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4. 引申探究若本例的条件不变，求其切线长． 解因为圆心C 的坐标为(3,1)， 设切点为B ，则△ABC 为直角三角形， |AC |＝(3－4)2＋(1＋3)2＝17，又|BC |＝r ＝1， 则|AB |＝|AC|2－|BC|2＝(17)2－12＝4，所以切线长为4.反思与感悟求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．(1)求过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k ，则由垂直关系，切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程．如果k ＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0.(2)求圆外一点P (x 0，y 0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．跟踪训练2若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． 答案x ＋2y －5＝0解析点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x 2＋y 2＝5，所以该圆在点P 处的切线方程为1×x ＋2×y ＝5，即x ＋2y －5＝0. 命题角度2已知直线与圆相切，求圆的方程例3过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为_______． 答案(x －3)2＋y 2＝2 解析由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3,0)，半径r ＝(4－3)2＋(1－0)2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.反思与感悟此类题易错点是求最值时，对参数无法破解而致错，避免此类错误的关键：一是会用公式，即会利用点到直线的距离公式求距离；二是会转化，把要求的半径最大问题，转化为求代数式的最值；三是会利用圆的标准方程写出圆的方程.跟踪训练3已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为() A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 答案B解析设圆心为C (a ，－a )， 则|a ＋a|2＝|a ＋a －4|2，解得a ＝1，所以r ＝|1＋1|2＝2，圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选B. 类型三弦长问题 例4(1)过圆x 2＋y 2＝8内的点P (－1,2)作直线l 交圆于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB 的长为________．(2)圆心为C (2，－1)，截直线y ＝x －1的弦长为22的圆的方程为_________________．答案(1)30(2)(x －2)2＋(y ＋1)2＝4解析(1)方法一(交点法)由题意知，直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x2＋y2＝8， 解得A (1＋152，1－152)，B (1－152，1＋152)．∴|AB |＝(1－152－1＋152)2＋(1＋152－1－152)2＝30.方法二(弦长公式)由题意知，直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x2＋y2＝8，消去y ，得2x 2－2x －7＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72.∴|AB |＝1＋k2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1·12＋4·72＝30.方法三(几何法)由题意知直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0，圆心O (0,0)到直线l 的距离为d ＝|－1|2＝22，则有|AB |＝2r2－d2＝28－12＝30.(2)设圆的半径为r ，由条件，得圆心到直线y ＝x －1的距离为d ＝|2＋1－1|2＝2.又直线y ＝x －1被圆截得的弦长为22，即半弦长为2，∴r 2＝2＋2＝4，得r ＝2，∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4.(3)直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2＋y 2＝25相交于A 、B 两点，截得的弦长为45，求直线l 的方程．解方法一若直线l 的斜率不存在， 则l ：x ＝5与圆C 相切，不合题意， ∴直线l 的斜率存在， 设其方程为y －5＝k (x －5)， 即kx －y ＋5(1－k )＝0.如图所示，|OH |是圆心到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的一半， 在Rt △AHO 中，|OA |＝5， |AH |＝12|AB |＝12·45＝25.∴|OH |＝|OA|2－|AH|2＝5，∴|5(1－k )|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝2.∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0. 方法二若直线l 的斜率不存在， 则l ：x ＝5与圆C 相切，不合题意， ∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)， 且与圆相交于A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)两点．由⎩⎨⎧y －5＝k (x －5)，x 2＋y 2＝25，消去y ， 得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0， ∴Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)·25k (k －2)>0， 解得k >0.又∵x 1＋x 2＝－10k (1－k )k 2＋1，x 1x 2＝25k (k －2)k 2＋1， 由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)[100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1]＝45，两边平方，整理得2k 2－5k ＋2＝0，解得k ＝12或k ＝2，均符合题意．故直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0. 反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2求解． (2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．(3)几何法：如图，直线与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有(|AB|2)2＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r2－d2.通常采用几何法较为简便．跟踪训练4已知直线l ：kx －y ＋k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝8. (1)证明：直线l 与圆相交；(2)当直线l 被圆截得的弦长最短时，求直线l 的方程，并求出弦长．(1)证明∵l ：kx －y ＋k ＋2＝0， 直线l 可化为y －2＝k (x ＋1)， ∴直线l 经过定点(－1,2)， ∵(－1)2＋22<8， ∴(－1,2)在圆C 内， ∴直线l 与圆相交．(2)解由(1)知，直线l 过定点P (－1,2)， 又圆C ：x 2＋y 2＝8的圆心为原点O ， 则与OP 垂直的直线截得的弦长最短． ∵k OP ＝－2，∴k l ＝12，∴直线l ：y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.设直线l 与圆交于A 、B 两点， |AB |＝2r2－|OP|2＝28－5＝23.∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0，弦长为23.1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是() A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离 答案B解析圆心到直线的距离为d ＝11＋1＝22<1，又直线y ＝x ＋1不过圆心(0,0)，故选B.2．直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是() A ．－2或12B ．2或－12 C ．－2或－12D ．2或12 答案D解析圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0， 可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，由圆心(1,1)到直线3x ＋4y －b ＝0的距离为|7－b|5＝1，得b ＝2或12，故选D.3．圆x 2＋y 2＝16上的点到直线x －y ＝3的距离的最大值为() A.322B ．4－322C.322＋4D ．0答案C解析圆心(0,0)到直线x－y＝3的距离为|－3|12＋(－1)2＝322，则该圆到直线x－y＝3的距离的最大值为322＋4.4．圆x2＋y2＝4截直线3x＋y－23＝0所得的弦长为() A．2B．1C.3D．23答案A解析圆心(0,0)到直线3x＋y－23＝0的距离为|－23|(3)2＋12＝3，则弦长为222－(3)2＝2.5．直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，且|MN|≥23，则k的取值范围是________．答案(－∞，0]解析因为|MN|≥23，所以圆心(1,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于22－(3)2＝1，即|k＋1|k2＋1≤1，解得k≤0.1．直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知，或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单．(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单．2．过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．(2)若点在圆外时，过该点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在．3．与圆相关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法．(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法．课时作业一、选择题1．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，则直线x0x＋y0y＝R2与圆的位置关系是() A．相切B．相交C．相离D．不确定答案B解析因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，所以x20＋y20＞R2，圆心到直线x0x＋y0y＝R2的距离为|R2|x20＋y20＜R2R＝R，所以直线与圆相交，故选B.2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是() A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案C解析圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝2⇔|a＋1|2≤2⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1.3．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9答案C解析由圆心为(2，－1)可排除B，D.由(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离为d＝3知，r＝3.∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为( )A．x－y＋5＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0D．x＋y－3＝0答案A解析由圆的一般方程，可得圆心为M(－1,2)．由圆的性质易知，M(－1,2)与C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有k AB×k MC＝－1⇒k AB＝1.故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.5．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为() A．52B．102C．152D．202答案B解析圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC |＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，且与AC 垂直，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)．故|EF |＝5，∴|BD |＝210－(5)2＝25， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝102.6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案D解析由已知得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx－y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k2＋1＝1， 解得k ＝－43或k ＝－34，故选D. 7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有() A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案C解析圆的一般方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8.圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为22，圆心到直线l 的距离为|－1－2＋1|12＋12＝22＝2.因此和l 平行的圆的直径的两端点及与l 同侧且与l 平行的圆的切线的切点到l 的距离都为2. 二、填空题8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案4±15解析圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以(|a ＋a －2|a2＋1)2＋12＝22，解得a ＝4±15. 9．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为____________．答案(x －3)2＋y 2＝4解析设圆心坐标为(x 0,0)(x 0>0)．由于圆过点(1,0)，则半径为r ＝|x 0－1|，圆心到直线x －y －1＝0的距离为d ＝|x0－1|2. 由弦长为22可知，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|x0－1|22＝(x 0－1)2－2， 解得(x 0－1)2＝4，∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)．故圆心坐标为(3,0)，半径为2，∴所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4.10．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．答案7解析切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心的距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.三、解答题11．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解设圆心坐标为(3m ，m )，∵圆C 和y 轴相切，∴圆C 的半径为3|m |.∵圆心到直线y ＝x 的距离为|2m|2＝2|m |， 由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1.∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.12．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点O .解假设存在且设l 为y ＝x ＋m ，圆C 化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，y ＋2＝－(x －1)， 得AB 的中点N 的坐标为N (－m ＋12，m －12)． 由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN |＝|ON |.又|AN |＝|CA|2－|CN|2＝9－(m ＋3)22， |ON |＝(－m ＋12)2＋(m －12)2. 所以9－(3＋m )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122， 解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆C 是相交于两点的．13．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：对任意m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)设l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝17，求直线l 的倾斜角．(1)证明由已知得直线l ：y －1＝m (x －1)，所以直线l 恒过定点P (1,1)，因为12＝1<5，所以点P 在圆C 内，所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点．(2)解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧x2＋(y －1)2＝5，mx －y ＋1－m ＝0，消去y 得 (m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，则x 1，x 2是一元二次方程的两个实根，x 1＋x 2＝2m2m2＋1， x 1x 2＝m2－5m2＋1. 因为|AB |＝1＋m2|x 1－x 2|＝1＋m2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，即17＝1＋m2·16m2＋201＋m2，所以m 2＝3，m ＝±3，所以直线l 的倾斜角为60°或120°.四、探究与拓展14．过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0的弦，其中弦长为整数的有________条．答案32解析由题意可知过点A (11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26，所以弦长为整数的有2＋2×(26－10－1)＝32(条)．15．已知圆C 过点M (0，－2)，N (3,1)，且圆心C 在直线x ＋2y ＋1＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)问是否存在满足以下两个条件的直线l ：①直线l 的斜率为1；②直线l 被圆C 所截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆C 1过原点．若存在这样的直线l ，请求出其方程；若不存在，请说明理由．解(1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ －D 2－E ＋1＝0，4－2E ＋F ＝0，10＋3D ＋E ＋F ＝0，解得D ＝－6，E ＝4，F ＝4，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0.(2)假设存在这样的直线l ，其方程为y ＝x ＋b .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－6x ＋4y ＋4＝0，y ＝x ＋b ，消去y 得 2x 2＋2(b －1)x ＋b 2＋4b ＋4＝0，(*) ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x1＋x2＝1－b ，x1·x2＝b2＋4b ＋42，∴y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2.∵AB 为直径，圆C 1过原点，∴∠AOB ＝90°，∴|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，∴x21＋y21＋x2＋y2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，得x1x2＋y1y2＝0，∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，即b2＋4b＋4＋b(1－b)＋b2＝0，解得b＝－1或b＝－4.容易验证b＝－1或b＝－4时方程(*)有实根．故存在这样的直线l，其方程是x－y－1＝0或x－y－4＝0.。

直线、圆的位置关系【知识要点梳理】1.直线与圆的位置关系判断的两种方法：代数方法（联立法）： ；几何方法（r d ,法）： ；2．直线与圆相交所得的弦长的计算方法：代数方法（联立法）： ；几何方法（弦长、弦心距、半径）：3.圆与圆的位置关系设圆1C ：(x-a)2+(y-b)2=r 12和圆2C ：(x-m)2+(y-n)2=r 22(r 1≥r 2)，且设两圆圆心距为d ，则有： 4.圆的切线求法:(1)点P 在圆上:过圆222x y r +=上．一点00(,)P x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=;(2)若点P 在圆外,则过点P 的圆的切线有两条：设切线的斜率为k （存在），用含k 的式子表示切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求出k ，如果有两个解，正常现象（2条切线），如果只有一个解，则另一条切线的斜率必不存在。

5.两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线：两圆方程作差，消去二次项所得的直线方程即为所求。

6.圆系方程：①设圆1C ∶011122=++++F y E x D y x 和圆2C ∶022222=++++F y E x D y x ． 若两圆相交，则过交点的圆系方程为11122F y E x D y x +++++λ(22222F y E x D y x ++++)=0(λ为参数，圆系中不包括圆2C ，λ=-1时为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C ∶022=++++F Ey Dx y x 与直线l ：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为F Ey Dx y x ++++22+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)【典型例题】题型一 直线与圆的位置关系判断例1.已知直线l ：x ＋y －5=0和圆Ｃ：0126422=-+-+y x y x ，判断直线和圆的位置关系.变式训练 1. 直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是（ ）A ．21)-B ．221)C ．(221)-D ．21)2．判断直线x －y ＋5=0和圆Ｃ：0126422=-+-+y x y x 的位置关系.题型二 直线和圆相交的弦长的求法例2．求直线l ：3x-y-6=0被圆Ｃ：04222=--+y x y x 截得的弦ＡＢ的长．变式训练1.设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23 a =___________．2.过点P(3,6)且被圆2522=+y x 截得的弦长为8的直线方程是（ ）A.01543=+-y xB.0643=+-y xC.01543=+-y x 或3=xD.0643=+-y x 或3=x 题型三 圆的切线问题例3.自点（－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，求入射光线L 所在直线方程．变式训练1.过点P （3，－2）与圆25)1()2(22=-++y x 相切的切线方程为_________________ _．2. 分别求过点A(3,-4)、B(5,15)向圆x 2+y 2=25所引的切线方程.题型四 几种最值问题例4.已知P （x ,y ）为圆C:x 2+y 2-6x -4y +12=0上的点.（1）求y x 的最大值与最小值. （2）求22y x +的最大值与最小值 （3）求x -y 的最大值与最小值.变式训练1.若),(y x P 在圆6)3()3(22=-+-y x 上运动，则xy 的最大值是_____________2.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： (1)11-+x y 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2-2x 最大值和最小值．题型五 圆与圆的位置关系例5.两圆012422=++-+y x y x 和014422=--++y x y x 的公切线有_____条．变式训练1.圆0222=-+x y x 和0422=++y y x 位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切2.已知两圆x 2+y 2=m 与x 2+y 2+6x –8y –11=0有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）m <1 （B ）1≤m ≤121 （C ）m >121 （D ）1<m <1213.已知圆P 与圆0222=-+x y x 外切，并与直线03=+y x 相切于点Q （3，3-），求圆P 的方程。