浅析由一个方程所确定的隐函数的导数及其应用

第18章 隐函数定理及其应用第1节 隐函数求导法在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如)sin sin (sin ,1zx yz xy eu x y xyz++=+=这种形式的函数称为显函数。

但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的。

这种形式的函数称为隐函数。

本节将介绍由一个方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数求导法以及由方程组⎩⎨⎧==0),,,,(0),,,,(v u z y x G v u z y x F 所确定的隐函数求导法。

一 一个方程0),,(=z y x F 的情形在《数学分析》上册，第六章 导数与微分（第三节 高阶导数和其它求导法则P149）——曾对形如0),(=y x F 的方程,认定是x y 是的函数,介绍过隐函数求导法）。

不过,那里只是对具体方程未求的.利用偏函数符号, 我们可以得出一般的结果。

根据复合函数求导法则, 在),(y x F 两边对x 求导, 得到：yX y Y X F F y F y F F -=≠⇒=⋅+''00时，当方程中的变量多于2个时, 例如, 设方程0),,(=z y x F 确定了y x z 和是的函数, 并且?,yz xz y x z ∂∂∂∂前，如何求的偏导数都存在，在此，关于对0),,(=z y x F 求导，利用链式法则：，关于y x0(0);0(0)z z FFF F z zF F z z y xF F F F xz xxxz yyzz∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=⇒=-≠+=⇒=-≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂说明：（1） 求yz xz ∂∂∂∂,需要假定,0)(≠∂∂z F zF ，这一假设是很重要的；（2） 这里只用到了“链式法则”；（3） 对0),,(=z y x F 求导，只在假定y x z 和是的函数的情况下，求导数，如何确定),(y x z z =。

方程组的隐函数求导
（实用版）
目录
1.方程组的隐函数求导概述
2.隐函数的定义和性质
3.隐函数的求导方法
4.隐函数求导的实际应用
5.总结
正文
一、方程组的隐函数求导概述
在微积分中，方程组的隐函数求导是一种重要的求导方法。

它是指当一个函数由一组方程所确定时，对该函数进行求导的过程。

方程组的隐函数求导在实际问题中具有广泛的应用，如物理、力学等领域。

二、隐函数的定义和性质
1.隐函数的定义：假设有一个或多个方程约束下的变量关系式，这个关系式称为隐函数。

2.隐函数的性质：隐函数的导数满足链式法则，即如果 f(x) 是关于
x 的隐函数，那么它的导数 df(x)/dx 等于 f(x) 关于 x 的偏导数之和。

三、隐函数的求导方法
求解方程组的隐函数求导，一般采用以下步骤：
1.确定方程组：首先，找出约束方程，即决定变量之间关系的方程。

2.构造函数：将方程组中的变量用一个函数表示出来，从而形成一个关于该函数的隐函数。

3.求导：利用链式法则求出隐函数关于自变量的导数。

4.解出导数：将求得的导数等于 0，解出关于自变量的方程，得到隐函数的表达式。

5.代回原方程：将求得的隐函数表达式代入原方程组，验证是否满足约束条件。

四、隐函数求导的实际应用
方程组的隐函数求导在实际问题中有广泛应用，如力学中的牛顿运动定律、万有引力定律等。

通过隐函数求导，可以更好地理解物体的运动规律，为实际问题的解决提供理论支持。

五、总结
本篇文章介绍了方程组的隐函数求导的相关知识，包括隐函数的定义和性质、求导方法以及实际应用。

第五节 隐函数的求导法则教学目的：使学生掌握隐函数存在定理，掌握隐函数的求导法则 教学重点：一个方程的隐函数的求导法则教学过程：一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy -=. 求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F (x , f (x ))≡0,等式两边对x 求导得0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dx dy -=. 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值. 解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dy y x -=-=, 00==x dx dy ;332222221)(yy x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=,1022-==x dx yd .隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0,将上式两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+xz F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22xz∂∂. 解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,z x z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422, 3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂. 二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=, 22y x x v +=. 事实上, xu -yv =0 ⇒u y x v =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒22y x y u +=, 如何根据原方程组求u , v 的偏导数？隐函数存在定理3设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:vG u Gv F u F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),( 在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有vu v u v x vx G G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u x u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u v y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u y u y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1.隐函数的偏导数:设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则 偏导数x u ∂∂, x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定; 偏导数y u ∂∂, y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定.例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求x u ∂∂, xv ∂∂, y u ∂∂和y v ∂∂. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于x u ∂∂和xv ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v xu y x v y x u x u , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yv xu x u ++-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂. 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于y u ∂∂和yv ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂, 22yx yv xu y v ++-=∂∂. 另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx udy xdv ydu udx vdy ydv xdu . 解之得 dy yx yu xv dx y x yv xu du 2222+-+++-=, dy yx yv xu dx y x xv yu dv 2222++-+-=. 于是 22yx yv xu x u ++-=∂∂, 22y x yu xv y u +-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂, 22yx yv xu y v ++-=∂∂. 例 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又0),(),(≠∂∂v u y x . (1)证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x 在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数.解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F , 则按假设 .0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J 由隐函数存在定理3, 即得所要证的结论.(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7), 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x , 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=xvv y x u u y x v v x x u u x 01. 由于J ≠0, 故可解得v y J x u ∂∂=∂∂1, uy J x v ∂∂-=∂∂1. 同理, 可得v x J y u ∂∂-=∂∂1, ux J y v ∂∂=∂∂1.。

隐函数求导的几何意义与应用隐函数是一种通过等式来定义的函数，其中自变量和因变量之间的关系不是显式地表达出来的。

在数学中，隐函数存在于许多问题中，并且经常需要求取其导数。

隐函数求导在解析几何学、物理学以及工程学等领域中有着重要的几何意义和广泛的应用。

本文将探讨隐函数求导的几何意义以及一些实际应用。

一、隐函数求导的几何意义隐函数求导的几何意义在于揭示了曲线或曲面的切线和法线的性质，以及曲线或曲面上某一点的局部几何特性。

通过对隐函数求导，我们可以了解到曲线的斜率、曲率以及曲面上的切平面和法线。

1. 曲线的切线和斜率对于给定的隐函数，若能求得其导数，即可获得曲线上任一点的切线斜率。

设隐函数为 F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数。

根据隐函数定理，如果 F(x, y) 在某一点 (a, b) 处连续且具有连续偏导数，且偏导数不同时都不为零，那么在点 (a, b) 处必然存在一条唯一的切线。

这条切线的斜率可以通过对隐函数隐含地对 x 求导而得到。

2. 曲线的曲率除了切线的斜率，我们还可以通过隐函数的二阶导数来求取曲线的曲率。

曲率可以用来衡量曲线的弯曲程度。

通过对隐函数的一阶和二阶求导，我们可以得到曲线上任一点的曲率。

曲率的计算可以帮助我们分析曲线的几何形状，并研究曲线的特性。

3. 曲面的切平面和法线对于二元隐函数 F(x, y, z) = 0，其中 z 是 x 和 y 的函数，我们可以通过隐函数求导来求取曲面上任一点的切平面和法线。

与曲线类似，隐函数的一阶偏导数可以给出切平面的方程，而法线则是切平面的垂线。

二、隐函数求导的应用隐函数求导在许多实际问题中具有重要的应用。

以下是几个常见的应用例子：1. 几何分析通过隐函数求导，我们可以分析曲线和曲面的几何性质。

例如，在解析几何中，通过对平面曲线的隐函数求导，可以求取切线的斜率，从而揭示曲线的切线方向和斜率变化。

一些特殊曲线的求导结果，如圆的导数等，可以帮助我们研究曲线的性质和特征。