2021-2022年高三数学二轮复习 10.导数及其应用(无答案)教学案 旧人教版

延边大学研究生教案（案例教学）周次第周，第次课章节名称案例10《导数及其应用》第二轮复习教学设计教学目的要求1.要深刻理解导数的有关概念，掌握导数的运算，会运用导数求切线的方程；2.要学会用导数的方法研究函数，特别是会运用导数处理函数单调性相关问题；3.掌握函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决单调性、参数的范围等问题；4.通过导数的综合应用培养学生的划归思想、数形结合思想、分类讨论思想.教学重点难点重点：如何运用导数解决单调性问题以及问题转化后一些函数问题的处理.难点：函数问题的转化教学方法讲授法（√）谈话法（）讨论法（）演示法（√）实验法（√）练习法（）读书指导法（√）教学策略事实性（案例）教学策略（√）直观（活动、情景剧）教学策略（√）联系实际（体验、诊断）教学策略（√）情感态度（感悟）教学策略（）教学组织形式课堂教学（√）团队学习（）专题研讨（）现场教学（√）案例分析（√）教育调查（）学生学习模式科学探究模式（√）自主学习模式（）合作学习模式（）“读读、议议、讲讲、练练”的模式（√）案例讨论的课前准备阶段回忆函数的基本概念，性质与图像，讲解导数的概念与几何意义，案例（一）课堂引入问：导数能帮我们解决哪些问题？设计目的：抛砖引玉，帮助学生回忆导数作为工具的作用。

（1）代数方面：可用导数研究函数的单调性、数值等相关问题；（2）几何方面：可用导数求切线，处理交点个数等问题（二）典例分析例1：已知函数()()0221l n 2≠--=a x ax x x f（1）若()x f 在区间[]3,1上是增函数，求a 的取值范围； （2）若()x f 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （3）若()x f 在区间[]3,1上不单调，求a 的取值范围； 【设计目的，通过问题链向学生展示题目间的存在关系，揭示解题的通体通解】（1）问：()x f 在区间[]3,1上是增函数与()x f 的导数有什么关系？要使()x f 在区间[]3,1上是增函数，等价于()012212'≥+--=--=xx ax ax x x f 在区间[]3,1上恒成立问：处理恒成立问题的基本方法有哪些？ 参数分离法、图像分析法：111121012222-≤∴-⎪⎭⎫⎝⎛-=-≤⇒≥+--a x x x a x ax（2）问：()x f 存在单调递减区间与()x f 的导数有什么关系？若()x f 存在单调递减区间，即()012212'<xx ax ax x x f +--=--=在()+∞,0上解集不为空。

2021年高考数学第二轮专题复习函数讲义教案一、本章知识结构：二、高考要求（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．三、热点分析函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。

在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。

以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。

考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。

②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。

③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。

四、复习建议1. 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等； ⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。

2021年高考数学二轮复习第一部分专题六函数、不等式、导数教学案理主要考查函数的定义域、分段函数求值或已知函数值取值范围求字母的值取值范围等. C ．9D ．12(2)(xx·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．[解析] (1)∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.(2)由题意知，当x ≤0时，原不等式可化为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0；当0<x ≤12时，原不等式可化为2x＋x ＋12>1，显然成立；当x >12时，原不等式可化为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.[答案] (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞[方法技巧]1．函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小 解不等式 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数 “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程 利用函数 性质求值 必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解[演练冲关]1．(xx 届高三·浙江名校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －4，x >2，e x，－2≤x ≤2，f －x ，x <－2，则f (－2 017)＝( )A ．1B ．e C.1eD ．e 2解析：选B 由已知可得，当x >2时，f (x )＝f (x －4)，故f (x )在x >－2时的周期为4，则f (－2 017)＝f (2 017)＝f (2 016＋1)＝f (1)＝e.2．(xx·山东高考)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1≥1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝6. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：选B 因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.考点(二) 主要考查根据函数的解析式选择图象或利用函数的图象选择解析式、利用函数的图象研究函数的性质、方程的解以及解不等式、比较大小等问题.函数的图象及应用[典例感悟][典例] (1)(xx·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )(2)(xx·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )[解析] (1)令函数f (x )＝sin 2x1－cos x，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2. ∵22<1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B.[答案] (1)C (2)B[方法技巧]由函数解析式识别函数图象的策略[演练冲关]1．(xx·惠州调研)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：选A 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x，则当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.2．(xx·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：选D 法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2＞0，故排除选项A 、C.故选D.3.如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )解析：选B 如图，设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α.在Rt △AOM 中，|AO |＝1－t ，cos x 2＝|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1.又0≤t ≤1，故选B.考点(三) 主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性以及函数值的取值范围、比较大小等.函数的性质及应用[典例感悟][典例] (1)(xx·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m(2)(xx·成都模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝( )A ．－18 B.18C ．－1258 D.1258(3)(xx·四川模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足下列三个条件： ①对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )； ②对任意的0≤x 1<x 2≤2，都有f (x 1)<f (x 2)； ③f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系是________．(用“<”连接)[解析] (1)因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m .(2)由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18. (3)由①可知，f (x )是一个周期为4的函数；由②可知，f (x )在[0,2]上是增函数；由③可知，f (x )的图象关于直线x ＝2对称．故f (4.5)＝f (0.5)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (1.5)，f (7)＝f (3)＝f (1)，f (0.5)<f (1)<f (1.5)，即f (4.5)<f (7)<f (6.5)．[答案] (1)B (2)B (3)f (4.5)<f (7)<f (6.5)[方法技巧] 函数3个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．[演练冲关]1．(xx 届高三·湖北七市(州)联考)函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，函数y ＝g (x )为 R 上的奇函数，f (x )＝g (x ＋2)，f (0)＝－4，则g (x )可以是( )A ．4tan πx8B ．－4sin πx2C ．4sin πx4D ．－4sin πx4解析：选D ∵f (x )＝g (x ＋2)，f (0)＝－4，∴g (2)＝－4.而4tan 2π8＝4tan π4＝4，－4sin2π2＝－4sin π＝0,4sin 2π4＝4sin π2＝4，－4sin 2π4＝－4，∴y ＝g (x )可以是g (x )＝－4sin πx4，经检验，选项D 符合题干条件．故选D.2．(xx·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.3．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x ，x ≠12，0，x ＝12，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( )A ．增函数且f (x )>0B ．增函数且f (x )<0C ．减函数且f (x )>0D ．减函数且f (x )<0解析：选D 由f (x )为奇函数，f (x ＋1)＝f (－x )得，f (x )＝－f (x ＋1)＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的周期函数．根据条件，当x ∈12，1时，f (x )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x －2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，－(x －2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴f (x )＝f (x －2)＝－f (2－x )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.设2－x ＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，x ＝2－t ，∴－f (t )＝log 1232－t ，∴f (t )＝－log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－t ，∴f (x )＝－log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，可以看出当x 增大时，32－x 减小，log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 增大，f (x )减小，∴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，f (x )是减函数．而由1<x <32得0<32－x <12.∴log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x >1，∴f (x )<0.故选D.[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期．(二) 二级结论要用好1．函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f (x )，g (x )同为增(减)函数时，f (x )＋g (x )为增(减)函数．(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．(3)f (x )为奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称；f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称．(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f (0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f (x )＝0.(6)f (x )＋f (－x )＝0⇔f (x )为奇函数；f (x )－f (－x )＝0⇔f (x )为偶函数．2．抽象函数的周期性与对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，T ＝2a . ②若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，T ＝2a . ③若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x )是周期函数，T ＝2a .(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．3．函数图象平移变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象沿x 轴左右平移|c |个单位(c ＞0时向左移，c ＜0时向右移)得到函数y ＝f (x ＋c )的图象(c 为常数)．(2)把y ＝f (x )的图象沿y 轴上下平移|b |个单位(b ＞0时向上移，b ＜0时向下移)得到函数y ＝f (x )＋b 的图象(b 为常数)．(三) 易错易混要明了1．求函数的定义域时，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不能遗漏．2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．3．判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．4．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题． [针对练1] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________.解析：令t ＝cos x ，且t ∈[－1,1]，则f (t )＝1－t 2，t ∈[－1，1]，即f (x )＝1－x 2，x ∈[－1,1]．答案：1－x 2，x ∈[－1,1]5．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[针对练2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＝－1，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (－1)＝e －1＝1e .答案：1e[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题 1．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos 6π＋x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )是减函数C ．函数f (x )是周期函数D ．函数f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 由函数f (x )的解析式，知f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数．当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x ) ∈[－1,1]．所以函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.3．(xx·合肥模拟) 函数y ＝x 2ln |x ||x |的图象大致是( )解析：选D 易知函数y ＝x 2ln |x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D.4．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选B 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象．因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，故选B.5．(xx·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选D 选项A ，B 是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．故选D.6．(xx·陕西质检)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，则f (8)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－2解析：选B 由奇函数f (x )的定义域为R ，可得f (0)＝0，由f (x ＋2)为偶函数，可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，故f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f [－(x ＋2)＋2]＝f (－x )＝－f (x )，则f (x ＋8)＝f [(x ＋4)＋4]＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以f (8)＝f (0)＝0，故选B.7．函数y ＝ln |x |x 2＋1x2在[－2,2]上的图象大致为( )解析：选B 当x ∈(0,2]时，函数y ＝ln |x |＋1x 2＝ln x ＋1x2，x 2>0恒成立，令g (x )＝ln x ＋1，则g (x )在(0,2]上单调递增，当x ＝1e 时，y ＝0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，y ＝ln x ＋1x 2<0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，2时，y ＝ln x ＋1x 2>0，∴函数y ＝ln x ＋1x 2在(0,2]上只有一个零点1e ，排除A ，C ，D ，只有选项B 符合题意．8．(xx·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数． 因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0， 所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)， 20．8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3， 所以b <a <c .9．已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 由题意知当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.10．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A x ≤0时，f (x )＝2－x－1， 0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故当x >0时，f (x )是周期函数，f (x )的图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．11．(xx 届高三·广西三市联考)已知函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤4，4e 5－x，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，则m 的取值范围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：选D 作出函数y 1＝e|x －2|和y ＝g (x )的图象，如图所示，由图可知当x ＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e5－x，得e2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.12．(xx·洛阳统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得{ a >1，－a ＋3≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，故选A.二、填空题13．(xx·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：614．(xx·陕西质检)已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的结论：①y ＝f (x )的值域为R ；②y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；④y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点． 其中正确结论的序号是________．解析：函数f (x )＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ≥0，1－x －1，x <0，其图象如图所示，由图象可知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；f (x )在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，而在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f (x )的图象关于y轴对称，故③正确；由于f (x )在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④15．(xx·惠州调研)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件fx ＋32＝－f (x )，且函数y ＝fx－34为奇函数，给出以下四个结论： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中正确结论的序号为________．解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数fx－34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f －32＋x ，又f ⎝⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫－32＋x ＋32＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数，在R 上不可能是单调函数，④错误．故正确结论的序号为①②③.答案：①②③16．(xx·合肥质检)函数f (x )＝－x 3＋3x 2－ax －2a ，若存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)>0，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )>0可得，a (x ＋2)<－x 3＋3x 2，原问题等价于不等式a (x ＋2)<－x 3＋3x 2的解集中只包含唯一的正整数，结合函数g (x )＝a (x ＋2)，h (x )＝－x 3＋3x 2的图象(图略)可知唯一的正整数只可能是1或2.若x 0＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，g 2≥h 2，g 1<h 1，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4a ≥4，3a <2，解得a ∈∅；若x 0＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，g 2<h 2，g 1≥h 1，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4a <4，解得23≤a <1，3a ≥2，答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B 组——能力小题保分练1．(xx·郑州质检)函数f (x )＝1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )解析：选C 依题意，f (－x )＝1－2－x1＋2－x cos(－x )＝2x1－2－x 2x1＋2－xcos x ＝2x－12x ＋1cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当0<x <1时，1－2x1＋2x <0，cos x >0，f (x )<0，结合选项知，C 正确，故选C.2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．3．(xx·成都模拟)已知函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12.若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)<g (3)<g (2)B ．g (π)<g (2)<g (3)C ．g (2)<g (3)<g (π)D ．g (2)<g (π)<g (3)解析：选C 因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以a 12＝22，即a ＝12，函数f (x )在R 上单调递减．函数g (x ＋2)为偶函数，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )且g (x )单调递减，所以x ∈[2,6]时，g (x )单调递增，根据对称性，可知在[－2,6]上距离对称轴x ＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g (2)<g (3)<g (π)．故选C.4．(xx·广州模拟)已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋34x ＋18，则∑k ＝12 016f ⎝⎛⎭⎪⎫k 2 017的值为( )A ．0B ．504C ．1 008D ．2 016解析：选B 因为f (1－x )＝(1－x )3－32(1－x )2＋34(1－x )＋18＝－x 3＋32x 2－34x ＋38，所以f (x )＋f (1－x )＝x 3－32x 2＋34x ＋18－x 3＋32x 2－34x ＋38＝12，所以∑k ＝12 016f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2 017＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝1 008×⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝1 008×12＝504.故选B.5．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝________.解析：依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.答案：236.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④∫20f (x )d x ＝π＋12.其中判断正确的序号是________．(写出所有正确的序号)解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每过4个单位长度图象重复出现一次，且在区间[2,3]上其函数值随x 增大而增大，所以①②正确，③错误；又函数图象与直线x ＝0，x ＝2，x 轴围成的图形由一个半径为2、圆心角为π4的扇形，一个半径为1、圆心角为π2的扇形和一个直角边长为1的等腰直角三角形组成，其面积S ＝18×π×2＋14×π＋12＝π＋12，所以④正确．答案：①②④第二讲 小题考法——基本初等函数、函数与方程考点(一)主要考查指数函数、对数函数、幂函数的图象辨析以及比较大小问题.基本初等函数的图象与性质[典例感悟][典例] (1)若当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |(a >0且a ≠1)满足f (x )≤1，则函数y ＝log a (x ＋1)的图象大致为( )(2)(xx·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z[解析] (1)由a|x|≤1(x∈R)，知0<a<1，又函数y＝log a(x＋1)的图象是由y＝log a x的图象向左平移一个单位而得，故选C.(2)设2x＝3y＝5z＝k>1，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝2log k2－3log k3＝2log k3－3log k2 log k2·log k3＝log k32－log k23 log k2·log k3＝log k98log k2·log k3>0，∴2x>3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝3log k3－5log k5＝3log k5－5log k3log k3·log k5＝log k53－log k35log k3·log k5＝log k125243log k3·log k5<0，∴3y<5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝2log k2－5log k5＝2log k5－5log k2log k2·log k5＝log k52－log k25log k2·log k5＝log k2532log k2·log k5<0，∴5z>2x.∴5z>2x>3y.[答案] (1)C (2)D[方法技巧]3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较． (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．[演练冲关]1．(xx·北京高考)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：选A 因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． 又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．2．(xx·洛阳统考)已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (c )<f (b )<f (a )B ．f (c )<f (a )<f (b )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：选C 依题意，注意到21.2>20.8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8>1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，故选C.3.(xx 届高三·西安八校联考)如图所示，已知函数y ＝log 24x 图象上的两点A ，B 和函数y ＝log 2x 图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当△ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为________．解析：依题意，当AC ∥y 轴，△ABC 为正三角形时，|AC |＝log 24x－log 2x ＝2，点B 到直线AC 的距离为3，设点B (x 0,2＋log 2x 0)，则点A (x 0＋3，3＋log 2x 0)．由点A 在函数y ＝log 24x 的图象上，得log 24(x 0＋3)＝3＋log 2x 0＝log 28x 0，则4(x 0＋3)＝8x 0，x 0＝3，即点B 的横坐标是 3. 答案： 3考点(二)主要考查利用函数零点存在性定理或数形结合函 数 的 零 点法确定函数零点的个数或其存在范围，以及应用零点求参数的值或范围.[典例感悟][典例] (1)(xx·南昌模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(xx·成都模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( )A ．－7B ．－6C ．－3D ．－1(3)(xx·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12 B.13C.12D ．1[解析] (1)当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x－1＝1－xx，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象，如图，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)有2个零点．故选C.(2)因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，如图所示．由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图，得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A. (3)由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时等号成立．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时等号成立． 若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.[答案] (1)C (2)A (3)C[方法技巧]1．判断函数零点个数的方法 直接法 直接求零点，令f (x )＝0，则方程解的个数即为函数零点的个数 定理法 利用零点存在性定理，利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点 数形 结合法 对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[演练冲关]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －22，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A 由已知条件得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x <0，函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的个数，分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的草图，观察发现有2个交点．故选A.2．(xx·洛阳统考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1＋e e 2D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋e e 2解析：选B 依题意，关于x 的方程ax －1＝ln x x有两个不等的正实数根．记g (x )＝ln xx，则g ′(x )＝1－ln x x2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1e，当0<x <1时，g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1－ln xx 2，a 1x 0－1＝ln x 0x，由此解得x 0＝1，a 1＝1.在坐标平面内画出直线y ＝ax －1与函数g (x )的大致图象，结合图象可知，要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1)，故选B.3．(xx·山东高考)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞)解析：选B 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m<1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢1．指数函数与对数函数的对比表解析式y ＝a x (a ＞0与a ≠1) y ＝log a x (a ＞0与a ≠1)图象定义域 R (0，＋∞)值域(0，＋∞)R单调性0＜a ＜1时，在R 上是减函数；a＞1时，在R 上是增函数0＜a ＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a ＞1时，在(0，＋∞)上是增函数两图象的对称性 关于直线y ＝x 对称2.方程的根与函数的零点 (1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．所以方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(2)函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )·f (b )<0，那么函数f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的实数根．[针对练1] 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析：选C 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，所以f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.(二) 易错易混要明了1．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如讨论函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的单调性时忽视字母a 的取值范围，忽视a x>0；研究对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)时忽视真数与底数的限制条件．2．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有且只有一个零点，要注意讨论a 是否为零．[针对练2] 函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围为________．解析：当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，则x ＝12为函数的零点．当m ≠0时，若Δ＝4－4m ＝0，即当m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点． 若Δ＝4－4m ≠0，即m ≠1时，显然x ＝0不是函数的零点．这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1有一个正根一个负根． 因此1m<0.则m <0.综上知实数m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}．答案：(－∞，0]∪{1}[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(xx·沈阳质检)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )解析：选A 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D.故选A.2．(xx·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝523.∵y ＝x 23在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .3．(xx·陕西质检)已知a ＝2－13，b ＝(2log 23)－12，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a解析：选C 依题意得，a ＝2－13，b ＝3－12，c ＝－14cos x π0＝12，所以a 6＝2－2＝14，b 6＝3－3＝127，c 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164，则a 6>b 6>c 6，即a>b>c ，故选C . 4．函数f(x)＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C ∵f(0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，∴f(0)·f(1)<0，故函数f(x)＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，故选C .5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司xx 年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年解析：选B 设xx 年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．6．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x≤0，2x －6＋ln x ，x>0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当x≤0时，f(x)＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x>0时，f(x)＝2x －6＋ln x ，f′(x)＝2＋1x ，由x>0知f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f(1)＝－4<0，f(e )＝2e －5>0，f(1)·f(e )<0，从而f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．故函数f(x)的零点个数是2.7．(xx·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x ＋ln (2－x)，则( )A ．f(x)在(0,2)单调递增B ．f(x)在(0,2)单调递减C ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f(x)的图象关于点(1,0)对称解析：选C 由题易知，f(x)＝ln x ＋ln (2－x)的定义域为(0,2)，f(x)＝ln [x(2－x)]＝ln [－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x ＋ln (2－x)在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A 、B ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝ln 34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝ln 34， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 34，所以排除D .故选C .8．(xx·贵阳检测)已知函数f(x)＝ln (x 2－4x －a)，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域包含(0，＋∞)，因此对于方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)，故选D.9．(xx 届高三·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52D.92解析：选D 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以A 点的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2n m ·m n ＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D. 10．(xx·长春质检)已知定义域为R 的函数f (x )的图象经过点(1,1)，且对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，则不等式f (log 2|3x －1|)<3－log 2|3x－1|的解集为( )A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(0，＋∞)。

2022高考数学二轮复习 专题导数教学设计一、教学目标1利用导数研究函数的性质（1）用导数研究函数的增减性、单调性，求函数的单调区间。

（2）函数的极大值、极小值以及最大值、最小值的概念。

用导数求简单函数的极大值、极小值以及最大值、最小值。

（3）导数在解决实际问题中的应用。

2.利用导数解决综合性问题二、教学过程【1】例题讲解 已知函数f (x )=ax 2-x ln x.(1)若f (x )在(0,+∞)上单调递增,求a 的取值范围;(2)若a =e(e 为自然对数的底数),证明:当x >0时,f (x )<x e x +1e. 解：(1)f '(x )=2ax -ln x -1.因为f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以当x >0时,f '(x )≥0恒成立, 即2ax -ln x -1≥0恒成立,即2a ≥lnx +1x恒成立.设g (x )=lnx +1x,则2a ≥g (x )max .g'(x )=-lnx x2,由g'(x )>0,得ln x <0,即0<x <1;由g'(x )<0,得ln x >0,即x >1.所以g (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则g (x )max =g (1)=1.所以2a ≥1,即a ≥12,故a 的取值范围是[12,+∞). (2)当a =e 时,要证f (x )<x e x +1e,即证e x 2-x ln x <x e x +1e. 因为x >0,所以只需证e x -ln x <e x+1ex,即证ln x +1ex>e x -e x .设h (x )=ln x +1ex,则h'(x )=1x−1e x 2=ex -1e x 2(x >0). 由h'(x )<0,得0<x <1e;由h'(x )>0,得x >1e.则h (x )在(0,1e)上单调递减,在(1e,+∞)上单调递增.所以h (x )min =h (1e)=0,从而h (x )≥0,即ln x +1ex≥0. 设φ(x )=e x -e x (x >0),则φ'(x )=e -e x (x >0).由φ'(x )>0,得0<x <1;由φ'(x )<0,得x >1.则φ(x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.所以φ(x )max =φ(1)=0,从而φ(x )≤0,即e x -e x ≤0.因为h (x )和φ(x )不同时为0,所以ln x +1ex>e x -e x ,故原不等式成立.【2】变式巩固已知函数f(x)=ln x-a(x-1),g(x)=e x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数h(x)=f(x+1)+g(x),当x>0时,h(x)>1恒成立,求实数a的取值范围.【解析】本题考查导数、函数的单调性、不等式恒成立等知识,综合考(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x -a=1-axx(x>0),①若a≤0,对任意的x>0,均有f'(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;①若a>0,当x①(0,1a )时,f'(x)>0,当x①(1a,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(0,1a),单调递减区间为(1a ,+∞).综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1a ),单调递减区间为(1a,+∞).(2)因为h(x)=f(x+1)+g(x)=ln(x+1)-ax+e x,所以h'(x)=e x+1x+1-a.令φ(x)=h'(x),因为x①(0,+∞),φ'(x)=e x-1(x+1)2=(x+1)2e x-1(x+1)2>0,所以h'(x)在(0,+∞)上单调递增,h'(x)>h'(0)=2-a,①当a≤2时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,h(x)>h(0)=1恒成立,符合题意;①当a>2时,h'(0)=2-a<0,h'(x)>h'(0),所以存在x0①(0,+∞),使得h'(x0)=0,所以h(x)在(x0,+∞)上单调递增,在(0,x0)上单调递减,又h(x0)<h(0)=1,所以h(x)>1不恒成立,不符合题意.综上,实数a的取值范围是(-∞,2].查考生运用数学知识分析和解决问题的能力、推理论证和运算求解能力,是一道难题.【3】课堂练习1．若存在x0∈N+,n∈N+，使f(x0)+f(x0+1)+⋯+f(x0+n)=63成立，则称(x0,n)为函数f(x)的一个“生成点”.已知函数f(x)=2x+1,x∈N+的“生成点”坐标满足二次函数g(x)=a x2+bx+c，则使函数y=g(x)与x轴无交点的a的取值范围是A.0<a<2+√316B.2−√316<a<2+√316C.a<2+√38D.0<a<2−√316或a>2+√3162．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为() .3．已知x①(0,＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是A.2－2√2<m<2＋2√2B.m<2C.m<2＋2√2D.m≥2＋2√24．定义在R 上的函数f (x )满足f (0)=0,f (x )+f (1−x )=1,f (x 5)=12f (x ),且当0≤x 1<x 2≤1时,f (x 1)≤f (x 2).则f (12015)等于 A.12B.116C.132D.1645．若实数a 满足x+lgx =2,实数b 满足x +10x =2,函数f (x )={ln (x +1)+a +b 2,x ≤0x 2−2,x >0,则关于x 的方程f (x )=x 解的个数为A.1B.2C.3D.46．函数f :{1,2,3}→{1,2,3}满足f (f (x ))=x,则这样的函数个数共有A.1个B.4个C.6个D.10个7．定义在上的函数的单调增区间为，若方程恰有6个不同的实根，则实数的取值范围是8．若关于x 的不等式xe x −ax +a <0的解集为(m ,n )(n <0),且(m ,n )中只有两个整数,则实数a 的取值范围为 .9．函数f (x )=log 0.5(3x 2-ax+5)在(-1,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是 . 10．已知函数f (x )={log 2(x +1),x >0−x 2−2x ,x ≤0,若函数g (x )=f (x )−m 有3个零点,则实数m 的取值范围是 ．11．函数f (x )=min {2√x,|x −2|}，其中min {a ,b }={a ,a ≤b b ,a >b，若动直线y =m 与函数y =f (x )的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是___________________．12．函数y=f (x )的图象与y =2x 的图象关于y 轴对称，若y =f −1(x )是y =f (x )的反函数，则y =f −1(x 2−2x )的单调递增区间是___________.13．已知函数f (x )=x -a ln x ,g (x )=-1+a x,其中a ①R .(1)设函数h (x )=f (x )-g (x ),求函数h (x )的单调区间; (2)若存在x 0①[1,e],使得f (x 0)<g (x 0)成立,求a 的取值范围.14．已知函数f (x )=x 2−axln x +a +1.(1)试讨论函数f (x )的导函数y =f ′(x )的极值;(2)若任意的x ∈[1,e ](e 为自然对数的底数),f (x )>0恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案123456B AC C B B7.()【解析】本题考查函数与方程，导数在研究函数中的应用。

2021年高三数学二轮复习 专题二第三讲 导数的应用教案 理类型一 利用导数研究切线问题 导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)；(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． [例1] (xx 年高考安徽卷改编)设函数f (x )＝a e x ＋1a e x＋b (a >0)．在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值． [解析] ∵f ′(x )＝a e x －1a e x， ∴f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32， 解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)，所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12.跟踪训练已知函数f (x )＝x 3－x .(1)求曲线y ＝f (x )的过点(1，0)的切线方程；(2)若过x 轴上的点(a ，0)可以作曲线y ＝f (x )的三条切线，求a 的取值范围．解析：(1)由题意得f ′(x )＝3x 2－1.曲线y ＝f (x )在点M (t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，即y ＝(3t 2－1)·x －2t 3，将点(1，0)代入切线方程得2t 3－3t 2＋1＝0，解得t ＝1或－，代入y ＝(3t 2－1)x －2t 3得曲线y ＝f (x )的过点(1，0)的切线方程为y ＝2x －2或y ＝－x ＋.(2)由(1)知若过点(a ，0)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则方程2t 3－3at 2＋a ＝0有三个相异的实根，记g (t )＝2t 3－3at 2＋a .则g ′(t )＝6t 2－6at ＝6t (t －a )．当a >0时，函数g (t )的极大值是g (0)＝a ，极小值是g (a )＝－a 3＋a ，要使方程g (t )＝0有三个相异的实数根，需使a >0且－a 3＋a <0，即a >0且a 2－1>0，即a >1；当a ＝0时，函数g (t )单调递增，方程g (t )＝0不可能有三个相异的实数根；当a <0时，函数g (t )的极大值是g (a )＝－a 3＋a ，极小值是g (0)＝a ，要使方程g (t )＝0有三个相异的实数根，需使a <0且－a 3＋a >0，即a <0且a 2－1>0，即a <－1.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．类型二 利用导数研究函数的单调性 函数的单调性与导数的关系在区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减．[例2] (xx 年高考山东卷改编)已知函数f (x )＝(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．[解析] (1)由f (x )＝ln x ＋ke x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝(1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0，1)时，h (x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.又e x >0，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．跟踪训练若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解析：由题知f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x，因为函数f (x )存在单调递减区间，所以f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x≤0有解．又因为函数的定义域为(0，＋∞)，则应有ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)上有实数解． (1)当a >0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线，所以ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)上恒有解； (2)当a <0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线，要使ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)上有实数解，则Δ＝>0，此时－1<a <0；(3)当a ＝0时，显然符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(－1，＋∞)． 类型三 利用导数研究函数的极值与最值1．求函数y ＝f (x )在某个区间上的极值的步骤 (1)求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根x 0； (3)检查f ′(x )在x ＝x 0左右的符号； ①左正右负⇔f (x )在x ＝x 0处取极大值； ②左负右正⇔f (x )在x ＝x 0处取极小值．2．求函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的极值(极大值或极小值)；(2)将y ＝f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． [例3] (xx 年高考北京卷)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． [解析] (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线， 所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)． 即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b . 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当b ＝14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.a >0时，h (x )与h ′(x )的变化情况如下：所以函数h (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(－6，＋∞)；单调递减区间为(－2，－6)．当－a2≥－1，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2.当－a 2<－1，且－a6≥－1，即2<a ≤6时，函数h (x )在区间(－∞，－a 2)上单调递增，在区间(－a2，－1]上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－a2)＝1.当－a6<－1，即a >6时，函数h (x )在区间(－∞，－a 2)上单调递增，在区间(－a 2，－a 6)上单调递减，在区间(－a6，－1]上单调递增，又因为h (－a 2)－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－a2)＝1.跟踪训练(xx 年珠海摸底)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1（x ≤0）e ax （x >0），在[－2，2]上的最大值为2，则a 的取值范围是( )A ．[12ln 2，＋∞)B ．[0，12ln 2]C ．(－∞，0]D ．(－∞，12ln 2]解析：当x ≤0时，f ′(x )＝6x 2＋6x ，易知函数f (x )在(－∞，0]上的极大值点是x ＝－1，且f (－1)＝2，故只要在(0，2]上，e ax≤2即可，即ax ≤ln 2在(0，2]上恒成立，即a ≤ln 2x在(0，2]上恒成立，故a ≤12ln 2.答案：D析典题（预测高考）高考真题【真题】 (xx 年高考辽宁卷)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0，0)点相切．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当0<x <2时，f (x )<9x x ＋6. 【解析】 (1)由y ＝f (x )过(0，0)点，得b ＝－1. 由y ＝f (x )在(0，0)点的切线斜率为32，又y ′⎪⎪x ＝0＝(1x ＋1＋12x ＋1＋a )⎪⎪x ＝0＝32＋a ，得a ＝0.(2)证明：证法一 由均值不等式，当x >0时，2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x2＋1.记h (x )＝f (x )－9x x ＋6， 则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54（x ＋6）2＝2＋x ＋12（x ＋1）－54（x ＋6）2<x ＋64（x ＋1）－54（x ＋6）2＝（x ＋6）3－216（x ＋1）4（x ＋1）（x ＋6）2. 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)， 则当0<x <2时，g ′(x )＝3(x ＋6)2－216<0. 因此g (x )在(0，2)内是递减函数．又由g (0)＝0，得g (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(0，2)内是递减函数． 又h (0)＝0，得h (x )<0.于是当0<x <2时，f (x )<9xx ＋6.证法二 由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1－1.由均值不等式，当x >0时，2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x2＋1.①令k (x )＝ln(x ＋1)－x ， 则k (0)＝0，k ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1<0， 故k (x )<0，即ln(x ＋1)<x .②由①②得，当x >0时，f (x )<32x .记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0<x <2时，h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9<32x ＋(x ＋6)·(1x ＋1＋12x ＋1)－9＝12（x ＋1）[3x (x ＋1)＋(x ＋6)·(2＋x ＋1)－18(x ＋1)]<12（x ＋1）[3x (x ＋1)＋(x ＋6)·(3＋x 2)－18(x ＋1)]＝x4（x ＋1）(7x －18)<0.因此h (x )在(0，2)内单调递减． 又h (0)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9xx ＋6. 【名师点睛】 本题主要考查导数的应用和不等式的证明以及转化与化归能力，难度较大．本题不等式的证明关键在于构造函数利用最值来解决．考情展望高考对导数的应用的考查综合性较强，一般为解答题，着重考查以下几个方面：一是利用导数的几何意义来解题；二是讨论函数的单调性；三是利用导数研究函数的极值与最值．常涉及不等式的证明、方程根的讨论等问题名师押题【押题】 已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论a ＝1时，f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 【解析】 (1)由题知当a ＝1时，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，因为当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减， 当1<x <e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增， 所以f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明因为f (x )的极小值为1，即f (x )在(0，e]上的最小值为1.令h (x )＝g (x )＋12＝ln x x ＋12，h ′(x )＝1－ln xx 2，当0<x <e 时，h ′(x )>0，h (x )在(0，e]上单调递增， 所以h (x )max ＝h (e)＝1e ＋12<12＋12＝1＝f (x )min ，所以在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.(3)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，因为x ∈(0，e]，所以f ′(x )<0，而f (x )在(0，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)，此时f (x )无最小值；②当0<1a <e 时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a，e]上单调递增，所以f (x )min ＝f (1a)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件；③当1a≥e 时，因为x ∈(0，e]，所以f ′(x )<0，所以f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)此时f(x)无最小值．综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.。

高考第二轮专题复习（教学案）：导数考纲指要：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。

考点扫描：导数在研究函数中的应用① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

考题先知：例1．设函数B A Cx Bx Ax x f ++++=6)(23，其中实数A 、B 、C 满足： ①9841218+≤+≤+-B C A B ； ②A B A 63≤-<。

（1）求证：49)1(,41)1(''≤-≥f f ； （2）设π≤≤x 0，求证：0)sin 2(≥x f 。

证明：（1）由9841218+≤+≤+-B C A B 得：,4123≥++C B A 4923≤+-C B A ，又C Bx Ax x f ++=23)(2'，所以4123)1('≥++=C B A f ，4923)1('≤+-=-C B A f（2）当π≤≤x 0时，0)sin 2(≥x f 等价于当20≤≤u 时，0)(≥u f ，所以只须证明当20≤≤x 时，0)(≥x f ，由②知：,0>A 且(]2,13∈-AB，所以C Bx Ax x f ++=23)(2'为开口向上的抛物线，其对称轴方程(]2,13∈-=ABx ，又由A B A 63≤-<得：0)6)(3(≤++B A B A ，即AB A B 91822+≥-，所以，当20≤≤x 时，有 B A C AABA AC AB AC A B f x f 363918312412)3()(22''++=++≥-=-≥B BC B A B A C B A +-+++≥++++=)21(23323=)]1()1([4121)1('''--⨯+f f f=049814189)1(81)1(89''=⨯-⨯≥--f f ，所以)(x f 为[0，2]上的增函数。

2021年高考数学专题复习函数导数教案文第一部分：函数一、考试内容及要求2.函数考试内容：函数，函数的单调性；；指数概念的扩充，有理指数幂的运算性质，指数函数.；对数、对数的运算性质，对数函数. 函数的应用举例.考试要求：⑴了解映射的概念，理解函数的概念.⑵了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.⑶了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.⑷理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质.⑸理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质.⑹能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二导数、考试要求：1、了解导数概念的实际背景。

2、理解导数的几何意义。

3、掌握函数y=x n(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。

4、理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。

5、会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题。

一、函数基本性质【10湖北】函数的定义域为（）A.( ,1) B(,∞) C（1，+∞） D. ( ,1)∪（1，+∞）【11重庆二模】函数1lg(2)yx=+-的定义域是（）A. B. C. D.【11唐山三模】函数y=log a (3x-2x 2 )(0<a<1)的定义域为（ ） A ． B ． C ． D ．【11唐山二模】函数的定义域为（ ） A ． B ．C ．D ． 【11拉萨一模】函数)2()2(log )(2>-+=x x xx f 的最小值 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【11湖南一模】求函数的值域。

【11合肥一模】求函数的值域。

【11江苏二模】求函数y=x+4+的值域。

2）热门考点1——“零点”的讨论【10浙江】已知x 是函数f(x)=2x + 的一个零点.若∈（1，），∈（，+），则（ ）A.f()＜0，f()＜0B.f()＜0，f()＞0C.f()＞0，f()＜0D.f()＞0，f()＞0【10天津】函数f(x)=的零点所在的一个区间是（ ）A.（-2，-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）【10福建】函数的零点个数为 ( )A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【11北京宣武一模】设函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【11河北一模】对于函数,若将满足的实数叫做函数的零点,则函数的零点有 ( ) A .0 个 B. 1个 C .2个 D. 3个四、热门考点2——导函数【11成都二模】已知)2('),1('3)(2f xf x x f 则+==（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【11北京石景山一模】已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）【11江苏南通三模】已知函数的导数为，若<0（a <x <b ）且，则在(a ，b)内必有（ ）A. =0B.>0C.<0D.不能确定五、热门考点3——“恒成立”问题1、分离变量型 ——求给定x 区间内值域，m/t 比最大大或最小小，取等讨论。

高三文科数学第二轮复习专题导数教案文科数学第二轮专题导数及其应用（一）教学目标1、知识与技能：1、利用导数求函数的单调区间、极值和最值2、解决基本的含参问题2、过程与方法：利用导数研究函数，作出图形，再通过图形反馈函数的性质，进一步体会数形结合及分类讨论的思3、情感态度与价值观：这是一堂复习课，教学难度有所增加。

培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。

强化讨论意识，不断提高解题的灵活性和变通性（二）重点、难点教学重点：利用导数求多项式函数的单调性极值和最值教学难点：含参的讨论教具准备：与教材内容相关的资料教学设想：通过学习，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。

强化讨论意识，不断提高解题的灵活性和变通性（三）教学过程一、学生自学自探1、某物体的运动方程为s(t) 5t2（位移单位：m，时间单位：s）则它在t＝2s时的速度是2、曲线y 4x x3在点(-1，-3)处的切线方程是3、求f(x) lnx 4x的单调增区间4、121f(x) x4 x3 x2 1的极值点是4325、函数y x4 4x 3在区间[-2,3]上的最小值为二、合作交流分小组讨论：回顾以前做过的题目思考、讨论以下问题1、利用导数求瞬时变化率常见的问题及解决方法？2、利用导数研究函数的切线方程的方法和步骤？高三文科数学第二轮复习专题导数教案3、利用导数研究函数的单调性的方法和步骤？4、利用导数研究函数极值的方法和步骤？5、利用导数研究函数的最值的方法和步骤？三、展示评价以小组为单位:展示讨论的结论，其他小组可以补充。

四、规律总结1、利用导数求瞬时速度、加速度问题：规律如下：路程对时间求导得到的是瞬时速度；瞬时速度对时间求导得到的是加速度。

s (t) v(t)，v (t) a(t)步骤如下：先求导，再把对应的时刻，带进导数式子，就是所求的某时刻的瞬时速度，加速度。

2、利用导数求切线问题：步骤如下：先求导，把切点(x0,y0)的横坐标x0带入导数，得到切线的斜率k f (x0)，然后用点斜式y y0 k(x x0)得出切线方程3、利用导数求函数的单调区间的方法和步骤：(1) 确定函数的定义域(2) 求函数的导数f (x)(3) ①若求单调区间（或证明单调性）只需要在函数f(x)的定义域内解（或证明）不等式f (x) 0（或f (x) 0）②若已知f(x)的单调性，则转化成不等式f (x) 0或f (x) 0在单调区间上恒成立问题求解4、利用导数求函数的极值的步骤（1）求函数的导数f (x)（2）求方程f (x)=0的根x0（3）检验f (x)在方程f (x)=0的根x0的左右的符号，高三文科数学第二轮复习专题导数教案若当x x0，若当x x0，f (x) 0，当x x0，f (x) 0，则x0是极小值点，f(x0)是函数的极小值 f (x) 0，当x x0，f (x) 0，则x0是极大值点，f(x0)是函数的极大值5、利用导数研究函数的最值的方法和步骤？（1）求函数的导数f (x)（2）求方程f (x)=0的根x0（3）①定义域是[a,b]，若x0 [a,b]，比较f(x0),f(a),f(b)之间的大小，最大的是最大值，最小的是最小值，若x0 [a,b]，比较f(a),f(b)的大小，最大的是最大值，最小的是最小值。

高三数学二轮复习教案导数及其应用专题一、高考要求：⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．⑵熟记基本导数公式（,n C x (n 为有理数),sin .cos ,log ,,,ln x x a x x x a e x 的导数）．掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．二、复习要点：（1）近几年各地高考题一直保持对导数知识考查力度，体现了在知识网络交汇点出题的命题风格，重点考查导数概念、单调性、极值等传统、常规问题，这三大块内容是本专题复习的主线，在复习中应以此为基础展开，利用问题链展示题目间的内在联系，揭示解题的通法通解，如利用导数处理函数单调性问题时，可设计这样的问题链：已知函数求单调区间→知函数在区间上单调求参数→若函数不单调如何求参数．（2）要认识到新课程中增加了导数内容，增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域，在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的单调性、极值等方面的作用，这种作用体现在导数为解决函数问题提供了有效途径。

（3）有意识的与解析几何（特别是切线、最值）、函数的单调性，函数的最值极值，二次函数，方程，不等式，代数不等式的证明等进行交汇，综合运用。

特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题、切线问题的典型问题，以及一些实际问题中的最大（小）值问题三、知识点回顾（多媒体演示）四、典型问题剖析题型一：导数的概念及几何意义导数的几何意义即是曲线在某点的切线的斜率，进而可解决有关切点、切线方程等相关问题。

1①过点(1,1)作曲线y=x 4的切线, 求切线方程。

②过点(1,0 )作曲线y=x 2的切线, 求切线方程。

二轮复习《导数的综合》教学设计二轮复《导数的综合应用》教学设计一、考情分析导数是微积分的核心概念之一，在高中数学中具有相当重要的地位和作用。

它是解决函数、不等式、数列、几何等众多重要问题的工具，具有很强的知识交汇联结作用。

导数是对函数知识的深化，对极限知识的发展，是初、高等数学知识的重要衔接点。

因此备受高考的青睐。

近年来，导数试题每年必考，并且考查的广度和深度也在不断加重，尤其是全国新课标Ⅰ卷，近十年来基本都是以函数与导数为压轴题，难度大，区分度高，得分率低。

二、考纲要求1.了解导数的实际背景，理解导数的几何意义。

2.能用导数解决函数的单调性、极值与最值等问题。

三、教学目标1.引导学生回顾导数的应用，让学生感受导数的工具性作用，激发学生进一步探究导数应用的欲望。

2.通过引例分析、题后总结、拓展延伸，让学生自主总结、概括导数的综合应用一般规律，增强数形结合、分类讨论等数学思想解题的能力，培养学生的思维灵活性。

3.通过导数的综合应用分析，培养学生灵活运用导数工具分析、解决问题的能力，感受数学的魅力。

四、教学过程设计：复回顾、引入探究】问题1：导数是解决函数相关问题的工具，请你说出导数能解决哪些问题？教师提问，学生作答。

切线问题、单调性问题、极值问题，最值问题等）设计意图】引导学生回顾总结导数的应用，培养学生的概括能力，也为引入例题做铺垫。

问题2：你能否用导数解决下列问题？例1：求函数y=lnx在点(1,0)处的切线方程。

师生共同回顾在曲线上y=f(x)上某点(x,f(x))处的切线方程为：y-f(x)=f'(x)(x-x)让学生自主计算，得出切线方程为：y=x-1.然后教师引导学生做题后反思，画出函数y=lnx，y=x-1的图像，引导学生从“形”的角度认识并提炼出不等式：lnx≤x-1(x>0)并要求学生严格证明之。

拓展延伸】例2：证明：对于任意x>0，都有lnx≤x-1.师生先共同分析解题思路，需要构造函数f(x)=lnx-x+1.求其最大值即可，然后让学生板书，教师或学生点评。