《1.2.2 矩阵变换》课件3-优质公开课-人教B版选修4-2精品

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高二数学选修4-2 矩阵与变换 PPT

X’，根据矩阵变换的性质有
16
矩阵乘法的几何意义——变换的合成乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
17
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成直线，或者变成一个点
直线的向量方程一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量的直线l的方程为
v0
v1
v
2
15
矩阵表示的变换，把直线或者变成直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
1
1 3 y = -2
求解线性方程组即为：求一个向量，它由已知变换变为一个已知向量。
Mx xM1
可以根据变换，讨论可逆解的情况。
21
特征值与特征向量的意义
1 0
矩阵
0
1 2
的特征向量为 1 和
0
0
1
和
矩阵只改变其特征向量的
0 –1
1
0
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量，初步展示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性

]高二数学选修4-2 矩阵与变换ppt课件

1
0
的特征向量为 0 和 1
10 x
1
0
= x· +(–y) ·
0 -1 y
0
1
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
22
矩阵的特征向量是在变换下“基本” 不变的量
23
矩阵表示的变换，把直线或者变成直线，或者变成一个点
直线的向量方程一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量的直线l的方程为
v0
v1
v2
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量，初步展示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性
3
矩阵---几何变换的代数表示
几何代数化----向量平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量
X’，根据矩阵变换的性质有
15
矩阵乘法的几何意义——变换的合成乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
16
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01

人教版B版高中数学选修4-2：矩阵变换_课件1

称为
x y
的像，把

x y

称为
x' y'
的
原像。
为了方便，我们常用Y

AX ,Y

BX 等表示矩阵变换，其中Y

x' y'
，
X
=

x y
；A,
B是二阶矩阵。
例题讲解
例1.设矩阵A=

1 0
0 1

0 0

0 0

。
矩阵变换的性质2：矩阵变换保持向量的线性运算。即，若Y AX是一个矩阵变换，, 是两个列向量，是一个常数，则有
A( ) A A
证明：设
A

a c
b d

,

s t
，求点P(2,2)在A所对应的

线性变换下的象。
解：设点P在矩阵A下的象为Y，则
Y

1

0
02
1

2

=

-2
2

例2.已知矩阵变换Y=AX，其中A=

0 1
1 0
,

求向量X=

0 1
的象。

解：
Y

0 1
10
0

1

=

1 0

由例1、例2可以看出，矩阵变换把平面的向量变成平面内的向量。

高二数学选修42矩阵与变换全章指导精品PPT课件

• 特征多项式：
f()= c a d b，其A 中 =c a d b．
• 学会从几何变换的角度进行解释。
1 0 1 0 0 1 1 1 1 2
0
2
0
1
1
0
0
0
0
1
伸压、反射、旋转、投影、切变
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
（1）A() Βιβλιοθήκη A；（2） A( + ) = A + A。
A( + ) = A + A。
2．3 变换的复合与矩阵乘法
• 连续施行两次变换——矩阵的乘法； • 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律：
1 0
01210
0110
0110
0
1 2
交换律验证
先旋转再压缩
先压缩再旋转
2．4 逆变换与逆矩阵（一）
与ax = b类比引入单位矩阵和逆矩阵→特殊矩阵 (变换)的逆矩阵(变换) 。
• 反射矩阵(变换)的逆矩阵(变换)是其自身；
1 0 1 0 1 0
0
1
0
1
0
1
• 伸压矩阵的逆矩阵是伸压矩阵；
1 0
0
1
2
互逆 1
0
0
2
2．4 逆变换与逆矩阵（二）
• 旋转矩阵的逆矩阵是旋转矩阵；
★
2．2 几种常见的平面变换；
★
2．3 变换的复合与矩阵的乘法； ★ ★
2．4 逆变换与逆矩阵；
★★★

人教B版高中数学选修4-2课件 1.2.2 矩阵变换课件2

1 0
0 1 2
x y
x y 2
T
:
x y
x
y
x y 2
1 0 2 0
0
2 , 0
1
2.2 几种常见的平面变换
4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵.
1 0
0
1
x
y
y
x
x x x
T
:
y
1 1
0
0
x y
11
x0 0x
1 , 0
0 0 0, 1T
0x
0: y
x
y
x x
2.2 几种常见的平面变换
8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵.
设A（a,b）, A(a
m, b)，则T
:
a
b
a b
m
变换矩阵为
1 0
k 1
,
k
m b
2.2 几种常见的平面变换
θ的变换矩阵.其中θ称为旋转角,点O为旋转中心.
P(x, y) r
r P(x, y)
x r cos
y
r
sin
x r cos( ) r cos cos r sin sin x cos y sin
y
r
sin(
)
r
sin
cos
r
cos
sin
y
cos
x sin
cos sin
sin cos
x
y
x x
cos sin
y sin y cos
x y
2.2 几种常见的平面变换
cos sin

高二数学选修系列4-2矩阵与变换教学建议课件

关于技术的使用
两种不同层次的课件：一种用于揭示数学
的本质，一种用于分步演示。前者要求——即时、透明、互动；后者要求——清楚、流畅、简洁。
支架式教学（ Scaffolding Instruction ）
矩阵与变换
具体与抽象——通过学生熟悉的情境提出问
题，引入内容（包括数学理论、思想方法），并在分析和解决问题过程中，加深对数学的理解。力图通过学生熟悉的语言、实例、图形等多种方式介绍有关数学内容，尽量避免过度形式化。
操作与理解——系列4既不是科普读物，也
不是理论专著。应在充分的活动、操作的基础上，使学生理解专题中的核心概念和基本数学思想。
选修 4 - 8 —— 统筹法与图论初步
选修 4 - 9 —— 风险与决策
选修 4 - 10——开关电路与布尔代数
延伸、拓展某些中学课程内容——几何证明选讲、不等式证明选讲、坐标系与数方程。体现数学的应用价值——优选法与试验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策。反映重要的数学思想——矩阵与变换、数列与差分。体现数学的科学价值——初等数论初步、开关电路与布尔代数。
基础与拓展 —— 从已有的内容出发，引导学
生自主探究，做适当的拓展与延伸，在处理问题的思想方法、在思维发展上获得突破。
局部与整体 —— 突出学生解决问题的思想方
法，不求完美的科学体系。例如，矩阵与变换。
总结与提高 —— 学会查阅资料，整理、思考
本专题所学的内容并与同学交流。
教学过程问题情境提出问题学生活动体验数学
选修 4 - 1 —— 几何证明选讲 ★
选修系列的个专题
选修 4 - 2 —— 矩阵与变换 ★

高中数学选修4-2矩阵切变变换课件.ppt

ABC
变换成 △
ABC
的变换，其中
A(2,1)
，
。
五、小结
1．切变变换与切变变换矩阵的概念。
1 k 0 1
2．是沿x轴方向的切变变换，x轴上的点是不动点。
3．是沿y轴方向的切变变换，y轴上的点是不动点。 4．切变变换保持图形面积不变。六、作业课本P34. 11 课课练第5课
三、应用
D(2, 2) C (2, 2) ， B(2,0) ，例1．已知矩形的项点 A(2,0)，。
1 0 1 2 1
⑴求矩形ABCD在矩阵几何图形。
作用下变换得到的
1 ⑵求矩形ABCD在矩阵 1 2 何图形。
0 1
作用下变换得到的几
例2．如图所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形 ABCD，试求变换T对应的矩阵M。
试求变换对应的矩阵M，并指出矩形区域 ABCD变换过程中的不变线段。
AB C D
1 2．考虑直线 x y 2 在矩阵 1 作用下变换得到的 0 1 几何图形。
3．如图，求把△
A(2, 3) ， B(0,1) ，C（0，-1）， B(0,1)，C (0, 1)
图2
图1
问题2：仔细观察，你发现了什么
问题3：你能将问题数学化吗？
图3
图4
1．切变变换、切变变换矩阵 1 k 1 0 象由矩阵确定的变换通常叫做切变变换，对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
1 k 2． 0 1 沿x轴方向的切变变换。对于原图形中的任
0 1
S
F
一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的大小相等方向相反的力作用时，形状就要发生改变，如图，这种形式的形变叫切变。

《1.2.1 二阶矩阵与平面向量的乘法》课件3-优质公开课-人教B版选修4-2精品

k 1
s
( i=1,2,· · · , m; j=1,2,· · · , n ). 并把此乘积记作C=AB. 记号AB常读作A左乘B或B右乘A。注意: 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘.
§2 矩阵的运算
例5：求矩阵
4 2 4 2 A 1 2 与B 3 6
§2 矩阵的运算
上节例3中的线性变换
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x , 2 21 1 22 2 2n n ym am1 x1 am 2 x2 amn xn .
xn

线性变换(1)把X变成Y，相当于用矩阵A去左乘X得到Y。
§2 矩阵的运算
方阵的幂：若A是n 阶方阵, 则Ak为A的k次幂, 即
k
Ak 1 Ak A AA AA
(Am)k=Amk,
并且满足幂运算律: AkAm=Ak+m, 其中k, m为正整数.
注意: 由于矩阵乘法不满足交换律, 则:
(1)( AB)k Ak Bk
(2) A2 B2 ( A B)( A B)
(3)( A B)2 A2 2 AB B 2
(4)( A B)2 A2 2 AB B 2
§2 矩阵的运算
四、矩阵的转置定义:把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做 A的转置矩阵,记作AT. 例：
§2 矩阵的运算
矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C都是m×n 矩阵)： (1) 交换律：A+B= B+A, (2) 结合律：(A+B) +C= A+ (B+C), (3) 若记：-A = - (aij),称为矩阵A的负矩阵，则有： A+ (-A)=O,

人教版B版高中数学选修4-2：几类特殊的矩阵变换_课件2

0
k

来表示。
例如：在平面直角坐标系中，以（ 0 ， 0 ），（ 0 ，
1 ），（ 1 ， 0 ），（ 1 ， 1 ）四点为顶点的正
方形，在矩阵

2 0
0 2

的作用下的象是什么？
解：在这一变换中，正方形的四个顶点的象分别为（ 0 ， 0 ），（ 0 ， 2 ），（ 2 ， 0 ），（ 2 ， 2 ），所以原来的正方形变换成为一个以（ 0 ， 0 ），（ 0 ， 2 ），（ 2 ， 0 ），（ 2 ， 2 ）为顶点、边长为2的正方形。
0 0

01 几类特的矩阵变换学习目标1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换。 2.掌握恒等、反射、伸压、旋转、投影变换的矩阵表示。 3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并知道二阶矩阵对应的变换往往将直线变成直线。
知识导入
在学习平面几何知识的过程中，我们接触了平移、旋转、对称、伸缩等变换，这些变换都具有非常鲜明的特点。事实上矩阵中也存在类似的变换，主要包括恒等变换、反射变换、伸压变换、旋转变换、投影变换，等等。下面我们一起来认识一下。
旋转变换的矩阵特征
旋转变换可以用二阶来表示。
矩阵
cos sin
sin
cos

如：点（1，1）在矩阵
cos sin

2

2
sin
2
cos
2

作用下
的象为（-1，1），即为点（1，1）围绕原点按逆时针方向旋转90度所得点的坐标。
1 02 2

0
1
1

高中数学选修4-2矩阵与变换ppt版

a b x bx ax＋by ＋＝，这是矩阵与向量的乘 y d y cx＋dy c d ＋
5．线性变换的基本性质．性质 1.设 A 是一个二阶矩阵，α，β 是平面上的任意两个向设是一个二阶矩阵，，是任意实数，量，λ 是任意实数，则 ①A(λα)＝λAα. ＝
理科
│知识梳理
a A＝＝ c x b ＝，a＝y ，规定二阶矩阵 A 与向量 a 的乘积为 d
设
ax＋by ＋向量，记为 cx＋dy ＋
Aa
a 或 c
bx ， d y
即法．
a Aa＝＝ c
理科
│要点探究
【点评】要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常点评】要理解二阶矩阵变换的定义，见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．
理科
│要点探究
变式题已知变换 T 把平面上的点 A(2,0)，B(3,1)分，分别变换成点 A′(2,1)，B′(3,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M. ，，
理科
│二阶矩阵与平面图形的变换
理科
│知识梳理
知识梳理
1．二阶矩阵的定义． (1)由 4 个数 a，b，c，d 由，，，矩阵．矩阵． (2)元素全为 0 元素全为
1 矩阵 0 0 的二阶矩阵 0 a 排成的正方形数表 c
b 称为二阶 d
0 0 . 称为零矩阵，称为零矩阵，简记为 0
0 E 称为二阶单位矩阵，称为二阶单位矩阵，记为 2 . 1
理科
│知识梳理
2．几种特殊线性变换． (1)旋转变换旋转变换直线坐标系 xOy 内的每个点绕原点 O 按逆时针方向旋转 α 角的旋转变换的坐标变换公式是

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两种形式形异而质同
由矩阵M 确定的变换T，通常记为TM . 根据变换的定义，它是平面内的点集到其自身的一个映射.
x 当表示某个平面图形F 上的任意点时， y 这些点就组成了图形F，它在TM 的作用下，将得到一个新的图形F — —原象集F的象集.
几种常见的平面变换
m 4
的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑体的拉丁字母A、B、C…表示，或者用(aij)表示，其中i,j 分别表示元素aij 所在的行与列. 同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列. 组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。
1 0 M 垂直伸压变换矩阵： 0 1 2
2 0 N 0 1

将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵. 伸压变换：伸压变换矩阵对应的变换称为垂直伸压变换,简称伸压变换.
一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换，其中（2）叫做中心反射，其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动；当ky<0时，沿x轴负方向移动；当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
1 k 确定的变换通常叫做切变变换, 像由矩阵 0 1
对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
变换的复合与矩阵的乘法
1 矩阵乘法的概念
2 矩阵乘法的的简单性质
建构数学
规定：矩阵乘法的法则是:
a b e f ae bg af bh c d g h ce dg cf dh
b11 a11 a12 ＝ a11 b11 a12 b21 , b21 x0 a11 a12 二阶矩阵与列向量的乘法规则为 b21 b22 y0 a11 a12 x0 a11 x0 a12 y0 b b y ＝ b x b y . 21 22 0 21 0 22 0
二阶矩阵与平面向量
矩阵的概念 1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵; 2.矩阵的表示；
3.相等的矩阵;
二阶矩阵与平面列向量的乘法 1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则; 2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射; 3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法.
1 80 90 2 3 形如 , , 3 60 85 3 2
旋转变换
cos sin 矩阵通常叫做旋转变换矩阵. sin cos 对应的变换称做旋转变换.
其中的角做旋转角. 点O叫做旋转中心.
旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状. 图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
投影变换
1 0 1 0 像 0 0 1 0 这类将平面内图形投影到某条直线
1 恒等变换
2 伸压变换
3 反射变换
4 旋转变换
5 投影变换
6 切变变换
恒等变换矩阵(单位矩阵): 对平面上任何一点(向量)或图形施以 1 0 矩阵 0 1 对应的变换,都把自己变成自己。这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵(单位矩阵). 恒等变换: 恒等变换矩阵实施的对应变换称为恒等变换。二阶单位矩阵一般记为E
一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量）（x, y), 则称T 为一个变换，简记为 T： ( x, y ) （x, y)，或 x x T： y y .
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为 x x ax by T： y y cx dy , 坐标变换的形式那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y c d y 矩阵乘法的形式的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
2 1矩阵
1 3
80 90 60 85
2 2矩阵
2 3 3 2
2 3矩阵
m 4
所有元素均为0的矩阵叫做0矩阵.
对于两个矩阵A、B的行数与列数分别相等，且对应位置上的元素也分别相等时，A和B才相等, 记作A B.
规定：行矩阵 a11 b11 a12 与列矩阵的乘法法则为 b21
(或某个点) 上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,
相应的变换称做投影变换.
(1)投影变换的几何要素: 投影方向, 投影到的某条直线L. (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点 (4)投影变换是映射,但不是一一映射
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x, y)沿x轴方向
M(l1l2b) l1Ml2Mb 上式表明，在矩阵M的作用下，直线 l1l2b 变成直线 l1Ml2Mb.
这种把直线变成直线的变换，通常叫做线性变换。
' x ax by (即形如 ' 的几何变换叫做线性变换) y cx dy
反之，平面上的线性变换可以用矩阵来表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的性变换。