固体物理学例题ppt课件

证：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为 = vq。
• 色散关系没有方向性(qx,qy 无区分), 等频率面在二维
情况下为圆环，圆环周长为：dl 2 q
qy
g() S
dl S 2 q
(2 )2 q(q) (2 )2 v
q qx
g()
S
v
S
2 v 2 v2
二维晶格有两支格波，一支横波、一支纵波， 速度分别为vL , vT 。
固体物理学例题ppt课件
补充例题 01 做出石墨烯Graphene 的原胞
Graphene
Graphene (石墨烯) 的两种原胞取法， 每个原胞有2个碳原子
补充例题 02 做出石墨 Graphite的原胞
Graphite
石墨原胞取法，
A层
每层2个原子，
取两层
原胞有4个碳原子
B层
简单立方的WS原胞 ——原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体
dx 是常数，
0 (ex 1)2
0 (ex 1)2
=AT CV
SkB
v2p
kBT
2
D /T 0
ex x3 (ex 1)2
dx
2
热容与温度平方成正比.
习题3.2
提示：
• 固体物理教程--王矜奉 习题 3.10
g()
V
2
3
ds
q(q)
其中ds为该支格波的等频面，
由于题中色散关系没有方向性ds 4 q2
4 | cos aq |
m
2
4 | sin aq |
m
2
等价性？
一维单原子链：
2 sin(aq)
m2
等质量一维双原子链相当于取单原子链原胞两倍为晶胞，对应1BZ大小 减半，单原子链超出部分的色散曲线折叠入1BZ成为光学支，保持1BZ 总格波模式为 “N=原子数”-----------这也是为什么使用原胞概念.
面心立方晶格的WS原胞
—— 为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成 的正十二面体
体心立方的WS原胞
——为原点和8个近邻格点 连线的垂直平分面围成的正 八面体，和沿立方轴的6个 次近邻格点连线的垂直平分 面割去八面体的六个角，形 成的14面体（截角八面体）
其中八个面是正六边形，六个面是正四边形
• 习题1.1
• 习题1.2
• 习题1.3
晶格常数为 a 的简立方晶格，与 正格矢 R 正交 的晶面 族指数是什么
？
R 4ai 2aj 2ak
• 习晶面题间1.距4d是？绘画石墨烯的普通原胞 和WS原胞
六角晶格特殊的晶面指数表示
- a1
a3
- a2
a2
- a2
- a1 a2
a1 [1, 1/2, 0] [2, 1, 0]
BCC
:
a1
a 2
(i
j k ),
a2
a (i 2
j k ),
a3
a 2
(i
j k)
FCC: a1 a( j k ) / 2, a2 a(k i ) / 2, a3 a(i j ) / 2
• 习题1.8
证明：倒格子矢量 G h1b1 h2b2 h3b3 垂直于密勒指
数为 (h1 h2 h3) 的晶面系。
练习 3.1
解释概念 • 格波 • 色散关系 • 声子
几种简单情况下振动模式密度的表示 例1：计算一维单原子链的振动模式密度。
一维情况下 单位长度里的波矢密度： dq长度里的波矢数： 振动模式密度定义：
每个波矢占据宽度
— 最大频率
考虑到一个频率可以有 振动模式密度
两个值
g() 2N 1 m2 2
a1
- a3
[1,0,-1,0]
三指数晶向指数取与坐标轴的平 行四边形截距 (坐标)。
四指数晶向指数，取与坐标轴的垂直截距， 而非平行四边形截距。
（为取指数方便，例子中红色的晶向的表示矢量可以任意伸缩）
• 习题1.5 计算二维六角的倒格子基矢，画出其1BZ • 习题1.6 (试用倒格矢关系证明)
• 习题1.7 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方； 面心立方晶格的倒格子是体心立方 。
弹性波态密度呈 现抛物线形。
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方法2.
直接利用公式：
g()
V
(2
)3
ds
q(q)
由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频 面为球面，ds 积分即该球面面积：
于是：
习题3.1
• 固体物理教程--王矜奉 习题 3.10
g()
V
(2
)3
ds
q(q)
例3： N个相同原子组成二维简单晶格，面积为S， 用徳拜模型计算比热, 证明其低温下与 T2 正比。
习题二
提示1) ：
提示2) ：
双原子链：
2
(m M ) {1[1 mM
4mM (m M )2
sin2
1
aq]2 }
M=m: 2 2 {1 | cos aq |} 4 1 | cos aq |
m
m
2
得到等质量一维双原子链：
4 | cos aq |
m
2
4 | sin aq |
m
2
等质量一维双原子链：
其中D
D
kB
高温时 ，
x 是小量，ex 1 x 对积分内只保留x的一阶小量,
kBT
CV
SkB
v2p
kBT
2
D /T 0
ex x3 (ex 1)2
dx
SkB
v2p
kBT
2
D2
2T 2
2NkB 与经典热容理论一致.
低温时 ， D / T
积分 D /T
ex x3
dx
ex x3
一维单原子链的振动模式密度 g() 2N 1 m2 2
类似的， 一维双原子链的振动模式密度
几种简单情况下振动模式密度的表示
例2：计算三维长声学波在弹性波近似下的振动模式密度。 其中弹性波色散关系，
1. 由于波速(色散关系)与传播方向q无关， 故在q空间等频面为球面，球壳体积：
直接由态密度定义，dn = 密度*体积
，故为球面：
推广可以证明：如果色散关系
三维
二维
一维
习题3. 3
对一维简单晶格(一维单原子链)，按照徳拜模型，求晶格热容； 并证明高温热容为常数 NkB , 低温热容正比于 T。
令 211 vp2 vL2 vT 2
g()
S
2
vL2
S
2
vT 2
S
vp2
• 先确定德拜频率 D：
二维格波总模式数 2N,
2N
D S
0
vp2
d
S
2 v2p
2
D 0
S
2
v
2 p
D2
D
4
N S
vp
•
把态密度和德拜频率 D带入热容公式：
g ( )
S 2Hale Waihona Puke v2CVD 0
kB
(
kBT
)2
(e
e /kBT /kBT 1)2
g()d
S
v2p
D 0
kB
(
kBT
)2
(e
e /kBT /kBT 1)2
d
做变量代换, x
kBT
热容表示为， CV
SkB
v
2 p
kBT
2
D /T 0
ex x3 (ex 1)2
dx,
其中D
D
kB
热容表示为，
CV
SkB
v
2 p
kBT
2
D /T ex x3 dx, 0 (ex 1)2