课时作业13

课时作业13 酸碱中和滴定
1．在一支25.00 mL的酸式滴定管中盛入0.1 mol/L的HCl溶液，其液面恰好在5.00 mL的刻度处，若把滴定管中的溶液全部放入烧杯中，然后以0.1 mol/L的NaOH溶液进行中和，则所需NaOH溶液的体积( ) A．大于20 mL B．小于20 mL
C．等于20 mL D．等于5 mL
2．下列有关酸碱中和滴定的操作，会引起误差的是( )
A．酸碱中和滴定时，在锥形瓶中准确地加入一定体积的待测液和滴入2～3滴指示剂后，为了便于观察现象而加入了适量的蒸馏水B．酸碱中和滴定时，拿用蒸馏水洗净但未干燥的锥形瓶装待测液
C．酸碱中和滴定时，拿用蒸馏水洗净但留有水珠的滴定管直接装标准液
D．用NaOH标准溶液滴定未知浓度的稀盐酸时，选用酚酞作指示剂，实验时不小心多加入了一滴指示剂
3．关于下列各实验或装置的叙述中，不正确的是( )
A．①可用于测溶液pH
B．②是用酸性KMnO4溶液滴定Na2SO3溶液
C．③是滴定操作时手的操作
D．④中最后一滴NaOH标准液使溶液由无色变为红色，即达到滴定终
图变化趋势正确的是( )
5．用已知物质的量浓度的HCl溶液滴定未知浓度的NaOH溶液时，下
如图曲线a和b是盐酸与氢氧化钠溶液在常温下相互滴定的滴定曲线，
A．电离常数K(HX)＝1.0×10－6
然后轻轻挤压玻璃珠使尖嘴部分充满碱液。

④在上述实验中，下列操作(其他操作正确)会造成测定结果偏高的有
________mL。

(4)某同学根据3次实验分别记录有关数据如下表：
(3)步骤②中在调节起始读数时，滴定管的尖嘴部分必须充满溶液，。

齐桓晋文之事(一)选择题指出下列句子中加点字字意与例句相同的一项( )。

1．例句：吾不忍其觳觫，若无罪而就．死地。

A.金就．砺则利B.然赢欲就．公子之名，故久立公子车骑市中。

C.就．能破之，尚不可有也。

D.自是指物作诗立就．。

2．例句：百姓皆以王为爱．也，臣固知王之不忍也。

A.吴广素爱．人，士卒多为用者。

B.父母之爱．子，则为之计深远。

C.向使三国各爱．其地，……。

D.齐国虽褊小，吾何爱．一牛?3．例句：天下欲疾．其君者，皆欲赴于王。

A.君有疾．在腠理，不治将恐深。

B.吾疾．贫富不均，今为汝均之。

C.顺风而呼，声非加疾．也，而闻者彰。

D.膑至，庞涓恐其贤于已，疾．之。

(二)判断正误1.《孟子》的《齐桓晋文之事》是孟子说服齐宣王施行保民的仁政的言论。

说明王天下的关键在于保民，保民的根源在于有不忍之心，不忍之心的作用在于推行仁政，推行仁政的具体措施在于制民之产。

( )2.先秦时代，“王道”与“霸道”是一对相辅相成的概念。

王道是儒家提出的以仁义治天下的政治主张。

霸道指君主凭借武力、刑法、权势等进行统治。

( )3.“挟太山以超北海”中“超”字的意思与“左右免胄而下，超乘者三百乘”中的“超”意思不同。

( )4.“欲辟土地，朝秦楚，莅中国而抚四夷也。

”中的“中国”一词属古今异义中的词义缩小。

( )5.孟子散文的特点是气势充沛，感情强烈，笔调锋芒，富于鼓动性，有纵横家，雄辩家的气概，充分反映了战国时代尖锐激烈的阶级斗争。

( )(三)填空题1.是故明君制民之产，必使仰，俯；，；然后，。

2．五亩之宅，，；，，；百亩之田，，；谨，申，。

老者，黎民，然而不王者，未之有也。

(四)课内阅读(甲)戴盈之曰：“什一，去关市之征，今兹未能；请轻之，以待来年然后已。

何如?”孟子曰：“今有人日攘其邻之鸡者，或告之曰：‘是非君子之道。

’曰：‘请损之，月攘一鸡，以待来年然后已!如知其非义，斯速已矣，何待来年?”(乙)“无恒产而有恒心者，惟士为能；若民，则无恒产，因无恒心。

贺新郎一、语言运用1．依次填入下列各句横线处的词语，最恰当的一组是( )①随着经济社会的迅速发展，当地的人们渐渐地把________转向了文化事业上，从而大大促进了旅游业的发展。

②尽管德国方面出面证实了西班牙黄瓜的“清白”，但自德国肠道疾病疫情________以来，西班牙蔬菜种植业蒙受了巨大损失。

③最新一项研究表明：手机已经成为大众生活的重要部分，每位智能手机用户平均每天________手机34次，频率有时高达10分钟1次。

A．视线暴发查看B．视线爆发查看C．视野爆发察看D．视野暴发察看2．依次填入下列各句横线处的成语，最恰当的一组是( )①针对周边事务，土耳其很多时候都不再________，其在诸如调停伊朗核问题、打击“伊斯兰国”(ISIS)上的“暧昧”态度更是被外界视为“不是合格北约成员”。

②靳文生深谙艺术贵在创新，不重复自己，也不________，以自己的收藏又走出根、石、翰墨天人合一之途，另辟“组合展览”新形式，令人击掌称绝。

③毋庸置疑，现实工作中的一些不良风气，比如说讲排场、比阔气、报喜不报忧等问题，往往是________、投其所好的结果，根子就出在领导干部身上。

A．上行下效亦步亦趋步人后尘B．亦步亦趋上行下效步人后尘C．亦步亦趋步人后尘上行下效D．步人后尘上行下效亦步亦趋3．下列各句中，有语病的一项是( )A．《贺新郎》，词牌名之一。

此调始见苏轼词，原名《贺新凉》，因词中有“乳燕飞华屋，悄无人，桐阴转午，晚凉新浴”句得名。

B．在毛泽东逝世后出版的多种版本的《毛泽东诗词》中，《贺新郎》毫无例外地排列于卷首，由此可见它在毛泽东诗词中的重要地位。

C．他诗才横溢，是毋庸置疑的。

他的诗词，在正式发表前，都曾经过反复的修改、推敲。

D．《贺新郎》赠别的是夫人杨开慧。

这首词体现了一个革命家的浪漫情怀，其中的婉约风格是毛泽东诗词中少见的。

4．根据所给情景，以“菊花”为描写对象，写一段话。

要求：①语言优美，有文采。

有无相生一、夯基训练1.对下列加点词的解释,不正确的一项是( )A.音声相和．和:应和B.故有道者不处．处:处于、居于C.企．者不立企:踮着脚跟D.自是者不彰．彰:表彰2.下列句中不含通假字的一项是( )A.其脆易泮B.死而不亡者寿C.自见者不明D.知人者智,自知者明3.下列句中加点词的意义与现代汉语相同的一项是( )A.企者不立,跨者不行．．者有志．． B.强行C.其死也枯槁．．．． D.自矜者不长4.下列句中加点词语的活用类型,与其他三项不同的一项是( )(导学号50730032)A.是以圣人犹难．之B.非能水．也,而绝江河C.为无为,事．无事D.环．而攻之而不胜5.下列句子的句式类型,不同于其他三项的一项是( )A.图难于其易B.知人者智,自知者明C.为之于未有D.合抱之木,生于毫末二、课内阅读阅读下面的文字,完成6-8题。

其安易持．,其未兆易谋,其脆易泮,其微易散。

为之于未有,治之．于未乱。

合抱之．木,生于毫末。

九层之台,起于累．土。

千里之行,始于足下。

民之．从事,常于几成而败之。

慎终如始,则无败事。

(《老子》第六十四章)人之．生也柔弱,其死也坚强．．。

草木之生也柔脆,其死也枯槁。

故坚强者死之徒．,柔弱者生之徒。

是以兵强则灭,木强则折。

强大处下,柔弱处上。

(《老子》第七十六章)6.对下列句中加点词语的解释,不正确的一项是( )A.其安易持．持:持守B.九层之台,起于累．土累:积累C.其死也坚强．．坚强:僵硬D.故坚强者死之徒．徒:同类的(事物)7.下列各句中加点词语与例句相同的一项是( )例句:人之．生也柔弱A.治之．于未乱B.合抱之．木,生于毫末C.民之．从事,常于几成而败之D.蚓无爪牙之．利8.将材料中画横线的句子翻译成现代汉语。

(1)民之从事,常于几成而败之。

慎终如始,则无败事。

(2)是以兵强则灭,木强则折。

强大处下,柔弱处上。

三、延伸阅读阅读下面的文言文,完成9-10题。

曲则．．全,枉则直,洼则盈,敝．则新,少则得,多则惑。

章末检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分。

1～6题为单项选择题，7～10题为多项选择题。

)1.下列关于机械能守恒的说法中正确的是()A.做匀速运动的物体，其机械能一定守恒B.物体只受重力，机械能才守恒C.做匀速圆周运动的物体，其机械能一定守恒D.除重力做功外，其他力不做功，物体的机械能一定守恒解析匀速运动所受合力为零，但除重力外可能有其他力做功，如斜面上的物体在阻力作用下匀速向下运动，其机械能减少了，A错误；物体除受重力或弹力也可受其他力，只要其他力不做功或做功的代数和为零，机械能也守恒，B错误；做匀速圆周运动物体的动能不变，但势能可能变化，故C错误；由机械能守恒条件知，D正确。

答案D2.如图1所示，某人用力F将物体沿斜面向下拉，拉力大小等于摩擦力，则下列说法正确的是()图1A.物体做匀速运动B.合力对物体做功等于零C.物体的机械能保持不变D.物体的机械能减小解析物体在沿斜面方向上除受拉力F和摩擦力F f外，还有重力沿斜面方向的分力，拉力大小等于摩擦力，方向相反，因此物体不可能做匀速运动，且合力对物体做功不为零。

物体在运动过程中，合力做的功等于重力做的功，机械能守恒。

答案 C3.如图2甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆。

则小物块运动到x 0处时F 做的总功为( )图2A.0B.12F m x 0C.π4F m x 0D.π4x 20解析 F 为变力，但F －x 图象包围的面积在数值上表示拉力做的总功。

由于图线为半圆，又因在数值上F m ＝12x 0，故W ＝12πF 2m ＝12π·F m ·12x 0＝π4F m x 0。

答案 C4.一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔t 内位移为s ，动能变为原来的9倍。

课时作业(十三)[全员参与·基础练]1．下列现象中，哪些物体受到了滑动摩擦力的作用()A．同学们在操场的跑道上跑步熬炼身体时的脚B．同学们在饮水机上接水时手拿着的水杯C．渐渐行驶在校内内的汽车的轮胎D．同学们考试过程中写字时的钢笔笔尖【解析】A、B、C选项中，两个物体的接触面没有发生相对运动，物体所受的摩擦力属于静摩擦力；D选项中，钢笔笔尖在写字过程中相对纸面滑动，受到的摩擦力为滑动摩擦力．【答案】 D2．关于物体受静摩擦力的叙述中，正确的是()A．静摩擦力的方向不肯定与物体运动方向相反B．静摩擦力的方向不行能与物体运动方向相同C．静摩擦力的方向可能与物体相对运动趋势的方向垂直D．静止物体所受静摩擦力肯定为零【解析】静摩擦力的方向与物体间相对运动趋势的方向相反，与运动方向之间没有关系，既可以相同，可以相反，也可以有任意夹角，但肯定与相对运动趋势方向相反，故A对，B、C 错；静止物体可以受到静摩擦力的作用，比如用力推桌子而桌子没动，说明有静摩擦力平衡了推力，D错．【答案】 A3．下列关于摩擦力的说法中正确的是()A．物体在运动时才受到摩擦力B．摩擦力的方向肯定与物体的运动方向相反C．摩擦力总是成对地消灭D．摩擦力的大小总是与正压力的大小成正比【解析】放在水平地面上的物体，受水平拉力作用处于静止状态时，物体就受到了静摩擦力作用，所以A错误；摩擦力的方向肯定与物体的相对运动方向相反，可以与运动方向相同，B错误；摩擦力是相互接触物体间的相互作用，肯定是成对消灭的，C正确；静摩擦力的大小与正压力的大小之间没有正比关系，D错误．【答案】 C4．(多选)有三个相同的物体叠放在一起，置于粗糙水平地面上，物体之间不光滑，如图3－3－11所示．现用一水平力F作用在乙物体上，物体仍保持静止，下列说法正确的是()图3－3－11A．丙受到地面的摩擦力大小为F，方向水平向左B．甲受到水平向右的摩擦力作用C．乙对丙的摩擦力大小为F，方向水平向右D．丙对乙的摩擦力大小为F，方向水平向右【解析】对于选项A，以甲、乙、丙三者整体为争辩对象，此整体在水平方向上受平衡力的作用，因此丙受到地面的摩擦力大小等于拉力F，方向水平向左，选项A正确；对于选项B，以甲为争辩对象，甲不受摩擦力，选项B错误；对于选项C，乙对丙的摩擦力与丙对乙的摩擦力大小相等、方向相反，由此可知，乙对丙摩擦力的大小等于F，方向水平向右，故选项C 正确，选项D错误．【答案】AC5．(2022·武汉二中高一检测)如图3－3－12所示，用水平恒力F推放置在水平面上的物体m，物体保持静止，关于物体受力状况的说法正确的是()图3－3－12A．推力小于物体所受摩擦力B．物体所受摩擦力的方向与推力的方向相反C．物体所受摩擦力的大小可由F＝μF N直接计算D．物体受到三个力的作用【解析】由于物体保持静止，由二力平衡知，推力大小等于物体所受摩擦力，物体所受摩擦力的方向与推力的方向相反，A错，B对．物体所受摩擦力不是滑动摩擦力，大小不能由F ＝μF N计算，C错．物体受到重力、支持力、摩擦力和推力四个力的作用，D错．【答案】 B6．如图3－3－13所示，在水平放置的传送带上放有一物体，当皮带不动时，要使物体向右匀速运动，作用在物体上的水平拉力为F1；当皮带向左运动时，要使物体仍向右匀速运动，作用在物体上的水平拉力为F2，则()图3－3－13A．F1＝F2B．F1＞F2C．F1＜F2D．以上三种状况都有可能【解析】两种状况下，物体相对于传送带均向右匀速运动，物体均受传送带向左的滑动摩擦力，滑动摩擦力大小均为f＝μmg，依据二力平衡条件得F1＝F2＝f＝μmg，故正确选项为A.【答案】 A7．(2021·万州高一检测)如图3－3－14所示，水平传送带上放一物体，当传送带向右以速度v匀速传动时，物体在轻弹簧水平拉力的作用下处于静止状态，此时弹簧的伸长量为Δx；当传送带向右的速度变为2v时，物体处于静止状态时弹簧的伸长量为Δx′.则关于弹簧前、后的伸长量，下列说法中正确的是()图3－3－14A．弹簧伸长量将减小，即Δx′＜ΔxB．弹簧伸长量将增加，即Δx′＞ΔxC．弹簧伸长量不变，即Δx′＝ΔxD．无法比较Δx和Δx′的大小【解析】两种状况下m相对于传送带均向左匀速运动，m均受传送带向右的滑动摩擦力，其大小均为f＝μmg，依据二力平衡的条件F1＝F2＝f＝μmg，又F1＝F2，即kΔx＝kΔx′，故Δx′＝Δx，正确的选项为C.【答案】 C8．用劲度系数k＝490 N/m的弹簧沿水平方向拉一木板，在水平桌面上做匀速直线运动，弹簧的长度为12 cm，若在木板上放一质量为5 kg的物体，仍用原弹簧沿水平方向匀速拉动木板，弹簧的长度变为14 cm，试求木板与水平桌面间的动摩擦因数μ.(g取9.8 N/kg) 【解析】设木板质量为m，弹簧原长为L0，由题意知k(L1－L0)＝μmg，①k(L2－L0)＝μ(m＋Δm)g，②解得①②两式得μ＝(l2－l2)kΔmg代入数据μ＝0.02×4905×9.8＝0.2.【答案】0.2[超越自我·提升练]9．(多选)(2022·福州一中高一检测)如图3－3－15所示，A叠放在B上，B放在斜面上，A、B均处于静止状态，下列叙述正确的是()图3－3－15A．B相对A与B相对斜面的运动趋势相同B．B相对A的运动趋势方向沿斜面对上C．A相对B的运动趋势方向沿斜面对上D．B相对斜面的运动趋势方向沿斜面对下【解析】对A分析，假设A、B间光滑，则A相对B向下运动，故A相对B的运动趋势沿斜面对下，由相对运动知，B相对A的运动趋势沿斜面对上，假设B与斜面间光滑，则B相对斜面对下滑动，故B相对斜面的运动趋势沿斜面对下，所以B、D正确．【答案】BD10．木板甲、乙分别重50 N和60 N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25.夹在甲、乙之间的轻弹簧被压缩了2 cm，弹簧的劲度系数为400 N/m.系统置于水平地面上静止不动．现将F＝1 N的水平拉力作用在木块乙上，如图3－3－16所示，力F作用后()图3－3－16A．木块甲所受摩擦力大小是12.5 NB．木块甲所受摩擦力大小是11.5 NC．木块乙所受摩擦力大小是9 ND．木块乙所受摩擦力大小是7 N【解析】由题意可得木块乙受到的最大静摩擦力F max＝μF N＝0.25×60 N＝15 N，弹簧的弹力F弹＝kx＝400×0.02 N＝8 N，木块乙受到向右的力F弹＋F＝9 N＜F max，故木块乙仍静止．由平衡条件可得木块乙受到向左的摩擦力F f乙＝F弹＋F＝9 N，故C正确，D错误；木块甲受到的最大静摩擦力F max′＝μF N＇＝0.25×50 N＝12.5 N，弹簧的弹力F弹＝8 N＜F max＇，故甲仍静止，受到向右的摩擦力F f甲＝F弹＝8 N，故A、B错误．【答案】 C11．如图3－3－17所示，在粗糙水平面上有两个质量分别为m1、m2的木块1和2，中间用一原长为L、劲度系数为k的轻弹簧连接起来，木块与地面间动摩擦因数为μ，现用一水平力向右拉木块2，当两木块一起匀速运动时两木块之间的距离是多少？图3－3－17【解析】以木块1为争辩对象，它所受到的摩擦力为F＝μF N＝μm1g，依据二力平衡条件，弹簧弹力T＝F＝μm1g，而依据胡克定律T＝k(d－L)所以两木块之间的距离d＝μm1gk＋L.【答案】μm1gk＋L12．(2022·衡水高一检测)如图3－3－18所示，在水平桌面上放一个重G A＝20 N的木块，木块与桌面间的动摩擦因数为0.14，使这个木块沿桌面做匀速运动时的水平拉力F为多少？假如再在木块A上加一块重为G B＝10 N的木块B，B与A之间的动摩擦因数为0.2，那么当A、B 两木块一起沿桌面匀速滑动时，对木块A的水平拉力应为多少？此时木块B受到木块A的摩擦力多大？图3－3－18【解析】未放上木块B时，F N＝G A＝20 N，桌面对A的摩擦力为F f1＝μF N＝μA G A＝0.4×20 N＝8 N依据二力平衡条件，拉力F＝F f1＝8 N加上木块B后，F′N＝G A＋G B＝20 N＋10 N＝30 N，桌面对A的摩擦力为：F′f1＝μA F′N＝μA(G A＋G B)＝0.4×30 N＝12 N，故拉力F′＝F′f1＝12 N由于A、B两木块间无相对运动，所以A、B两木块间不产生摩擦力，即B受到的摩擦力F f2＝0.【答案】8 N12 N0。

当仁,不让于师一、语基落实1.下列加点字的注音全都正确的一项是( )A.论．语(lùn)诋．毁(dǐ)绥．之斯来(suí)B.喟．然(kuì)弦．歌(xuán)诲．人不倦(huì)C.莞．尔(wǎn)饥馑．(jǐn)偃．仰啸歌(yǎn)D.恸．哭(tònɡ)户牖．(yǒu)千乘．之国(chéng)2.对下列句子中加点词的解释,正确的一项是( )A.仰之弥高,钻．之弥坚钻:钻研。

无以为．．也!仲尼不可毁也以为:认为。

B.昔者偃也闻诸．夫子曰诸:诸位,各位。

小人．．学道则易使小人:地位低的人。

C.予所否者,天厌．之厌:满足。

夫子循循然．．．善诱人循循然:一步一步有次序地。

D.噫!天丧．予丧:使……丧。

如其礼乐,以俟君子．．君子:德行高的人。

3.下列词类活用现象不同于其他三项的一项是( )A.犹天之不可阶．而升也B.博．我以文C.如会同,端．章甫D.风．乎舞雩4.下列句子与例句句式相同的一项是( )例句:其何伤于日月乎A.吾无行而不与二三子者,是丘也B.加之以师旅,因之以饥馑C.贤哉,回也D.亡之,命矣夫二、阅读理解(一)阅读下面的文字,完成5-9题。

子路、曾皙、冉有、公西华侍坐。

子曰:“以吾一日长乎尔,毋吾以也。

居则曰:‘不吾知也!’如或知尔,则何以哉?”子路率尔而对曰:“千乘之国,摄．乎大国之间,加之以师旅,因之以饥馑;由也为之,比及三年,可使有勇,且知方也。

”夫子哂之。

“求,尔何如?”对曰:“方六七十,如．五六十,求也为之,比及三年,可使足民。

如其礼乐,以俟君子。

”“赤,尔何如?”对曰:“非曰能之,愿学焉。

宗庙之事,如会．同,端章甫,愿为小相焉。

”“点,尔何如?”鼓瑟希,铿尔,舍瑟而作,对曰:“异乎三子者之撰．。

”子曰:“何伤．乎?亦各言其志也。

”曰:“莫春者,春服既成,冠者五六人,童子六七人,浴乎沂,风乎舞雩,咏而归。

”夫子喟然叹曰:“吾与．点也!”三子者出,曾皙后。

课时作业13 基本不等式的实际应用基础强化1.在欧几里得之后，获得与均值不等式等价结果的数学家是芝诺多鲁斯，他写了一本名为《论等周图形》的书，专门研究等周问题，在书中他给了这样一个命题：“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大．”由此可知，若一个矩形的长为a ，宽为b ，则与这个矩形周长相等的所有四边形中，面积最大值为( )A ．⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2B ．a 2C ．b 2D ．ab2．某商场春节前t 天年糕销售总量f (t )＝t 2＋12t ＋16(0<t ≤30)，则该商场前t 天的年糕平均销售量最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．163．某公司计划建造一间体积为600 m 3的长方体实验室，该实验室高为3 m ，地面每平方米的造价为120元，天花板每平方米的造价为240元，四面墙壁每平方米的造价为160元，则该实验室造价的最小值约为(参考数据：2 ≈)( )万元 B ．万元C ．万元D ．万元4.校庆当天，学校需要用围栏围起一个面积为225平方米的矩形(小矩形)场地用来展示校友的书画作品．它的左、右两侧都留有宽为2米的自由活动区域，顶部和底部都留有宽为2米的自由活动区域，则整个书画展区域(大矩形)面积的最小值是( )A ．360平方米B ．384平方米C ．361平方米D ．400平方米5．(多选)某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x 吨，运费为8万元/次．已知一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则下列说法正确的是( )A ．当x ＝40时，y 取得最小值B ．当x ＝45时，y 取得最小值C ．y min ＝320D ．y min ＝3606．(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则( )A ．0<a ≤1B ．0<ab ≤1C ．a 2＋b 2≥2D ．0<b <27．已知某产品总成本C (单位：元)与年产量Q (单位：件)之间的关系为C ＝40Q 2＋16 000.设年产量为Q 时的平均成本为f (Q )(单位：元/件)，那么f (Q )的最小值是________．8．已知直角三角形的面积等于50 cm 2，则该三角形的周长的最小值为________ cm. 9.如图，欲在山林一侧建一矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道与苗圃之间由栅栏隔开．(1)若苗圃面积为1 250 m 2，求栅栏总长的最小值；(2)若栅栏总长为200 m ，如何设计可使苗圃面积最大？10.如图，长为6米，宽为4米的长方形(ABCD )草坪，截去一个三角形(DEF )区域，得到一个五边形(ABCFE )区域．设DE ＝a 米，DF ＝b 米．(1)用a ，b 表示△DEF 的周长L ，并写出a ，b 的取值范围；(2)当△DEF 的周长L ＝4＋22 米时，求五边形ABCFE 的面积S 的最小值，并求此时a ，b 的值． 能力提升11.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a ，b ，设物体的真实质量为G ，则( )A ．a ＋b 2 ＝GB ．a ＋b 2<G C ．a ＋b 2>G D ．ab <G 12．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后水池中该药品的浓度C (单位：mg/L)随时间t (单位：h)的变化关系为C ＝30t t 2＋9，则当水池中药品的浓度达到最大时，t ＝( )h B ．3 h C ．5 h D ．6 h13．白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元/斤(a ≠b )，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是( )A ．m 1＝m 2B ．m 1>m 2C ．m 2>m 1D ．m 1，m 2的大小无法确定14．(多选)《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”．若一小城，如图所示，出东门1 200步有树，出南门750步恰能见到此树(注：1里≈300步)，则该小城的周长可能为( )A ．410 里B ．610 里C ．910 里D ．1010 里15.一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(v 20)2 km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.16.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD ，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH ＝2EF )，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm 2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm ，设EF ＝x cm.(1)当x ＝100 cm 时，求海报纸的面积；(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD 的面积最小)?。

§13.3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明2n >n 2(n ≥5，n ∈N *)，第一步应验证( )A ．n ＝4B ．n ＝5C ．n ＝6D ．n ＝72．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D. 13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 3．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)34．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．65．用数学归纳法证明n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N *)时，若记f (n )＝n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)，则f (k ＋1)－f (k )等于( )A ．3k －1B ．3k ＋1C ．8kD ．9k6．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为 ( )A ．n ＋1B ．2n C. n 2＋n ＋22 D ．n 2＋n ＋17．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n ； 正方形数N (n,4)＝n 2；五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ； 六边形数N (n,6)＝2n 2－n .可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝( )A ．500B ．1000C ．1500D ．20008．若数列{a n }满足a n ＋5a n ＋1＝36n ＋18，n ∈N *，且a 1＝4，猜想其通项公式为( )A ．3n ＋1B ．4nC ．5n －1D ．6n －2二、填空题9．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝______. 10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝______.12．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．三、解答题13．设等差数列{a n }的公差d >0，且a 1>0，记T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1. (1)用a 1，d 分别表示T 1，T 2，T 3，并猜想T n ；(2)用数学归纳法证明你的猜想．14．在数列{a n }中，a n ＝cos π3×2n －2(n ∈N *)． (1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式；(2)若数列{b n}满足b n＝1－2n·n！(n∈N*)，猜想a n与b n的大小关系，并证明你的结论．15．已知等差数列{a n}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{b n}的前n项和为T n且T n＝1－1 2b n.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，试比较1b n与S n＋1的大小，并说明理由．16．函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{x n}如下：x1＝2，x n＋1是过两点P(4,5)，Q n(x n，f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n<x n＋1<3；(2)求数列{x n}的通项公式．参考答案一、选择题1．【答案】B【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证n取第一个值时命题成立，又n≥5，故第一步证n＝5.故选B.2．【答案】 B【解析】 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2.故选B.3．【答案】 A【解析】 假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．故选A.4．【答案】 C【解析】 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)都能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明如下：当n ＝1,2时，由以上得证．假设当n ＝k (k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k ＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)，∴f (k ＋1)能被36整除．∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 的值为36.5．【答案】 C【解析】 因为f (k )＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)，f (k ＋1)＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋(3k )＋(3k ＋1)，则f (k ＋1)－f (k )＝3k －1＋3k ＋3k ＋1－k ＝8k .故选C.6．【答案】 C【解析】 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．故选C. 7．【答案】 B【解析】 由已知得，N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ，N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n ，根据归纳推理可得，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n .所以N (10,24)＝24－22×102＋4－242×10＝1100－100＝1000，故【答案】为1000.选B.8．【答案】 D【解析】 由a 1＝4求得a 2＝10，a 3＝16，经检验a n ＝6n －2.故选D.二、填空题9．【答案】 12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n 【解析】 S n ＋1＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1 S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n. 10．【答案】 3n 2－3n ＋1【解析】 由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋[f (n －2)－f (n －3)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f (n )＝3n 2－3n ＋1.11．【答案】 n n ＋1【解析】 由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12； 由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23； 由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34. 猜想S n ＝n n ＋1. 12．【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22【解析】 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22.三、解答题13．(1)解：T 1＝1a 1a 2＝1a 1(a 1＋d )； T 2＝1a 1a 2＋1a 2a 3＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 3＝2a 1a 3＝2a 1(a 1＋2d )； T 3＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋1d ⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 4＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 4＝3a 1a 4＝3a 1(a 1＋3d )； 由此可猜想T n ＝n a 1(a 1＋nd ). (2)证明：①当n ＝1时，T 1＝1a 1(a 1＋d )，结论成立， ②假设当n ＝k 时(k ∈N *)时结论成立，即T k ＝k a 1(a 1＋kd )， 则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝T k ＋1a k ＋1a k ＋2 ＝k a 1(a 1＋kd )＋1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k [a 1＋(k ＋1)d ]＋a 1a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝(a 1＋kd )(k ＋1)a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k ＋1a 1[a 1＋(k ＋1)d ]. 即n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，T n ＝1a 1(a 1＋nd )对于一切n ∈N *恒成立． 14．解：(1)a n ＝cos π3×2n －2＝cos 2π3×2n －1＝2⎝⎛⎭⎫cos π3×2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ∴a n ＋1＝± a n ＋12， 又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1>0，∴a n ＋1＝a n ＋12. (2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1>b 1， 当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2， 当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3<b 3. 猜想：当n ≥3时，a n <b n ，下面用数学归纳法证明：①当n ＝3时，由上知，a 3<b 3，结论成立．②假设n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k <b k 成立，即a k <1－2k ·k ！， 则当n ＝k ＋1，a k ＋1＝a k ＋12< 2－2k ·k ！2 ＝1－1k ·k ！，b k ＋1＝1－2(k ＋1)·(k ＋1)！， 要证a k ＋1<b k ＋1，即证明⎝⎛⎭⎪⎫1－1k ·k ！2<⎝⎛⎭⎫1－2(k ＋1)·(k ＋1)！2， 即证明1－1k ·k ！<1－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎡⎦⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2， 即证明1k ·k ！－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎡⎦⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0，即证明 (k －1)2k (k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎡⎦⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0，显然成立． ∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n <b n 成立．综上可得，当n ＝1时，a 1>b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2； 当n ≥3，n ∈N *时，a n <b n .15．解：(1)设a n 的首项为a 1，∵a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝12，a 2·a 5＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， ∴a n ＝2n －1.∵n ＝1时，b 1＝T 1＝1－12b 1，∴b 1＝23. n ≥2时，T n ＝1－12b n ①，T n －1＝1－12b n －1②， ①－②得b n ＝13b n －1数列是等比数列． ∴b n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝23n . (2)S n ＝1＋(2n －1)2n ＝n 2，S n ＋1＝(n ＋1)2， 以下比较1b n与S n ＋1的大小： 当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，1b 1<S 2， 当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，1b 2<S 3， 当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，1b 3<S 4， 当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，1b 4>S 5， 猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1， 即3k 2>(k ＋1)2，那么，n ＝k ＋1时，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1.综合①②，当n ≥4时，1b n>S n ＋1. 16．(1)证明：用数学归纳法证明2≤x n <x n ＋1<3.①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f (2)－52－4(x －4)， 令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3. ②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3. 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4(x －4)， 令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1. 由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3，x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.(2)解：由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n 2＋x n. 设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，即1b n ＋1＋14＝5⎝⎛⎭⎫1b n ＋14， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列，因此1b n ＋14＝－34·5n －1， 即b n ＝－43·5n －1＋1. 故数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.。