(完整版)初二数学动点问题练习(含答案)
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n
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动态问题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想:分类思想数形结合思想转化思想
1、如图1,梯形ABCD中,AD∥ BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从
A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动,
如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t秒。
当t= 时,四边形是平行四边形;6
当t= 时,四边形是等腰梯形. 8
2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任
意一点,则DN+MN的最小值为5
3、如图,在Rt ABC
△中,9060
ACB B
∠=∠=
°,°,2
BC=.点O是AC的中点,
过点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转,交AB边于点D.过点
C作CE AB
∥交直线l于点E,设直线l的旋转角为α.
(1)①当α=度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为;
②当α=度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为;
(2)当90
α=°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.
解:(1)①30,1;②60,1.5;
(2)当∠α=900时,四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900,∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形
在Rt△ABC中,∠ACB=900,∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.
∴AB=4,AC∴AO=
1
2
AC
.在Rt△AOD中,∠A=300,∴AD=2.
∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形,
∴四边形EDBC是菱形
4、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于
D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等
A
A
(备用图)C
B
A
E
D
图1
N
M
A B
C
D
E
M
N
图2
A
C
B
E
D
N
M
图3
量关系,并加以证明.
解:(1)① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB
② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ,CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ,CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE
(3) 当MN 旋转到图3的位置时,DE=BE-AD(或AD=BE-DE ,BE=AD+DE 等)
∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE , 又∵AC=BC ,
∴△ACD ≌△CBE , ∴AD=CE ,CD=BE , ∴DE=CD-CE=BE-AD.
5、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点.
90AEF ∠= ,且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ,求证:AE =EF .
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB 的中点M ,连接ME ,则AM =EC ,易证AME ECF △≌△,所以AE EF =.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上(除B ,C 外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE =EF ”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E 是BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE =EF ”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
解:(1)正确.证明:在AB 上取一点M ,使AM EC =,连接ME .BM BE ∴=.45BME ∴∠=°,135AME ∴∠=°.
CF 是外角平分线,45DCF ∴∠=°,135ECF ∴∠=°. AME ECF ∴∠=∠.90AEB BAE ∠+∠= °,90AEB CEF ∠+∠=°,∴BAE CEF ∠=∠. AME BCF ∴△≌△(ASA )
. AE EF ∴=.(2)正确.
证明:在BA 的延长线上取一点N .使AN CE =,连接NE .
BN BE ∴=. 45N PCE ∴∠=∠=°.
四边形ABCD 是正方形, AD BE ∴∥.DAE BEA ∴∠=∠. NAE CEF ∴∠=∠.
ANE ECF ∴△≌△(ASA )
.AE EF ∴=.
6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动,设P 的运动时间为t.
求(1)△ PAB 为等腰三角形的t 值;(2)△ PAB 为直角三角形的t 值;
(3) 若AB=5且∠ABM=45 °,其他条件不变,直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值
A
D F C G
B
图1
A
D
F
C G
E
B
图3
A D
F
C G
B 图2
A
D F
C G
E B M
A
D
F
G
E B
N