椭圆经典例题分类汇总
1. 椭圆第一定义的应用
例1椭圆的一个顶点为()02，
A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2
1=e ，求k 的值．
例3 已知方程1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆，求k 的取值范围．
例4 已知1cos sin 2
2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．
例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322
=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
2.焦半径及焦三角的应用
例1 已知椭圆13
42
2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
例2已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b
y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．
3.第二定义应用
例1椭圆112
162
2=+y x 的右焦点为F ，过点()
31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．
例2已知椭圆1422
22=+b
y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．
例3已知椭圆15
92
2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．
(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；
(2) 求22
3PF PA +
的最小值及对应的点P 的坐标．
4.参数方程应用
例1求椭圆13
22
=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．
例2 (1)写出椭圆14
92
2=+y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
例3椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．
5.相交情况下--弦长公式的应用
例1已知椭圆142
2=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为
5
102，求直线的方程．
例2已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3
π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．
6.相交情况下—点差法的应用
例1已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
例2已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．
例3已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过()12，
A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2
1-
=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．
例4已知椭圆13
42
2=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．
例5已知)2,4(P 是直线l 被椭圆19
362
2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．
椭圆经典例题分类汇总
1.椭圆第一定义的应用
例1椭圆的一个顶点为()02，
A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：（1）当()02，
A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11
42
2=+y x ； （2）当()02，
A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116
42
2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
例2已知椭圆19822=++y k x 的离心率2
1=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2
1=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12
． 由21=
e ，得4191=-k ，即4
5-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．
例5 已知方程1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩
⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<∴满足条件的k 的取值范围是53<
