2017年长春市基础教育数学质量监测试卷

2017年吉林省长春市名校调研（市命题）中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共24分1．﹣5的绝对值是（ ）A．﹣B．5C．﹣5D．±52．据国家统计局公布，2015年我国国内生产总值约676700亿元，676700亿元用科学记数法表示为（ ）A．6.767×103亿元B．6.767×104亿元C．6.767×105亿元D．6.767×106亿元3．如图所示的几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．4．如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠BOD=82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转（ ）A．8°B．10°C．12°D．18°5．使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x＞﹣26．一元二次方程x2﹣4x+2=0的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根7．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（ ）A．28°B．33°C．34°D．56°8．已知将二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣4x﹣5，则b，c的值为（ ）A．b=0，c=6B．b=0，c=﹣5C．b=0，c=﹣6D．b=0．c=5二、填空题（每小题3分，共18分）9．计算： = ．10．不等式组的解集为 ．11．如图，在正五边形ABCDE中，以BC为一边，在形内作等边△BCF，连结AF．则∠AFB的大小是 度．12．一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，那么这件衣服的成本是 元．13．如图，AB为半圆O的直径，点C在AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D，且AB=2CD=4，则图中阴影部分的面积为 ．14．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．计算：﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．16．先化简，再求值：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x=，y=﹣1．17．如图，按要求涂阴影：（1）将图形①平移到图形②；（2）将图形②沿图中虚线翻折到图形③；（3）将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④．18．把大小完全相同的6个乒乓球分成两组，每组3个，每组乒乓球上面分别标有数字1，2，3，将这两组乒乓球分别放入两个盒子中搅匀，再从每个盒子中各随机取出1个乒乓球，请用画树状图（或列表）的方法，求取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的概率．19．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长．20．某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）21．某学校九年级学生举行朗诵比赛，全年级学生都参加，学校对表现优异的学生进行表彰，设置一、二、三等奖各进步奖共四个奖项，赛后将九年级（1）班的获奖情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）九年级（1）班共有 名学生；（2）将条形图补充完整：在扇形统计图中，“二等奖”对应的扇形的圆心角度数是 ；（3）如果该九年级共有1250名学生，请估计荣获一、二、三等奖的学生共有多少名．22．为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2014年的绿色建筑面积约为950万平方米，2016年达到了1862万平方米．若2015年、2016年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2）2017年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年我市能否完成计划目标？23．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB 的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y=﹣+n的顶点P在直线y=﹣x+4上，与y轴交于点C（点P、C不与点B重合），以BC为边作矩形BCDE，且CD=2，点P、D在y轴的同侧．（1）n= （用含m的代数式表示），点C的纵坐标是 （用含m的代数式表示）．（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数表达式．（3）设矩形BCDE的周长为d（d＞0），求d与m之间的函数表达式．（4）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值．2017年吉林省长春市名校调研（市命题）中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分1．﹣5的绝对值是（ ）A．﹣B．5C．﹣5D．±5【考点】绝对值．【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣5|=5．故选B．2．据国家统计局公布，2015年我国国内生产总值约676700亿元，676700亿元用科学记数法表示为（ ）A．6.767×103亿元B．6.767×104亿元C．6.767×105亿元D．6.767×106亿元【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将676700亿用科学记数法表示为：676700亿=6.767×105亿．故选：C．3．如图所示的几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上往下看，得两个长方形的组合体．故选D．4．如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠BOD=82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转（ ）A．8°B．10°C．12°D．18°【考点】旋转的性质；平行线的性质．【分析】根据平行线的性质，求得∠BOD′的度数，即可确定旋转的角度，即∠DOD′的大小．【解答】解：∵AC∥OD′，∴∠BOD′=∠A=70°，∴∠DOD′=∠BOD﹣∠BOD′=82°﹣70°=12°，故选C．5．使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x＞﹣2【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选B．6．一元二次方程x2﹣4x+2=0的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=﹣4，c=2代入判别式△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=2代，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×2=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．7．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（ ）A．28°B．33°C．34°D．56°【考点】切线的性质．【分析】连结OB，如图，根据切线的性质得∠ABO=90°，则利用互余可计算出∠AOB=90°﹣∠A=56°，再利用三角形外角性质得∠C+∠OBC=56°，加上∠C=∠OBC，于是有∠C=×56°=28°．【解答】解：连结OB，如图，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠AOB=90°﹣∠A=90°﹣34°=56°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，∴∠C+∠OBC=56°，而OB=OC，∴∠C=∠OBC，∴∠C=×56°=28°．故选A．8．已知将二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣4x﹣5，则b，c的值为（ ）A．b=0，c=6B．b=0，c=﹣5C．b=0，c=﹣6D．b=0．c=5【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】首先抛物线平移时不改变a的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左减右加，利用这个规律即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式．【解答】解：∵y=x2﹣4x﹣5=x2﹣4x+4﹣9=（x﹣2）2﹣9，∴顶点坐标为（2，﹣9），∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得（0，﹣6），则原抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣6），∵平移不改变a的值，∴a=1，∴原抛物线y=ax2+bx+c=x2﹣6，∴b=0，c=﹣6．故选C．二、填空题（每小题3分，共18分）9．计算： =　﹣　．【考点】二次根式的加减法．【分析】先化成最简二次根式，再合并即可．【解答】解：原式=﹣2=﹣，故答案为：．10．不等式组的解集为　x≥3　．【考点】解一元一次不等式组．【分析】先求出两个不等式的解集，然后求其公共部分．【解答】解：由①得，x≥2，由②得，x≥3，故不等式组的解集为x≥3．故答案为x≥3．11．如图，在正五边形ABCDE中，以BC为一边，在形内作等边△BCF，连结AF．则∠AFB的大小是　66　度．【考点】多边形内角与外角；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质得到BF=BC，∠FBC=60°，由正五边形的性质得到AB=BC，∠ABC=108°，等量代换得到AB=BF，∠ABF=48°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵△BCF是等边三角形，∴BF=BC，∠FBC=60°，∵在正五边形ABCDE中，AB=BC，∠ABC=108°，∴AB=BF，∠ABF=48°，∴∠AFB=∠BAF==66°，故答案为：66．12．一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，那么这件衣服的成本是　140　元．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设这件夹克的成本是x元，则标价就为1.5x元，售价就为1.5x×0.8元，由利润=售价﹣进价建立方程求出其解即可．【解答】解：设这件衣服的成本是x元，根据题意得：x（1+50%）×80%﹣x=28，解得：x=140．答：这件衣服的成本是140元；故答案为：140．13．如图，AB为半圆O的直径，点C在AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D，且AB=2CD=4，则图中阴影部分的面积为 ．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】根据已知条件证得三角形ODC是等腰直角三角形，得到∠DOB=45°，然后根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵AB为半圆O的直径，∴AB=2OD，∵AB=2CD=4，∴OD=CD=2，∵CD与半圆O相切于点D，∴∠ODC=90°，∴∠DOB=45°，∴阴影部分的面积==，故答案为：．14．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是　﹣1＜x2＜0　．【考点】图象法求一元二次方程的近似根；抛物线与x轴的交点．【分析】利用对称轴及二次函数的图象性质，可以把图象与x轴另一个交点的取值范围确定．【解答】解：由图象可知x=2时，y＜0；x=3时，y＞0；由于直线x=1是它的对称轴，则由二次函数图象的对称性可知：x=0时，y＜0；x=﹣1时，y＞0；所以另一个根x2的取值范围为﹣1＜x2＜0．故答案为：﹣1＜x2＜0．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．计算：﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．【考点】有理数的混合运算．【分析】先算乘方和括号里面的，再算乘法，由此顺序计算即可．【解答】解：原式=﹣1﹣0.5××（2﹣9）=﹣1﹣（﹣）=．16．先化简，再求值：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x=，y=﹣1．【考点】整式的加减—化简求值．【分析】先去小括号，再去中括号，合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2）=2x2﹣[﹣x2+2xy﹣2y2]﹣（2x2﹣2xy+4y2）=2x2+x2﹣2xy+2y2﹣2x2+2xy﹣4y2=x2﹣2y2，当x=，y=﹣1时，原式=﹣．17．如图，按要求涂阴影：（1）将图形①平移到图形②；（2）将图形②沿图中虚线翻折到图形③；（3）将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④．【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案；利用平移设计图案．【分析】（1）利用平移的性质直接得出平移后的图形；（2）利用轴对称图形的性质直接得出翻折后的图形；（3）利用中心对称图形的性质直接得出旋转后的图形．【解答】解：（1）如图②所示：（2）如图③所示：（3）如图④所示：18．把大小完全相同的6个乒乓球分成两组，每组3个，每组乒乓球上面分别标有数字1，2，3，将这两组乒乓球分别放入两个盒子中搅匀，再从每个盒子中各随机取出1个乒乓球，请用画树状图（或列表）的方法，求取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的结果数为5，所以取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的概率=．19．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先判定三角形ABC与三角形AED相似，然后利用相似三角形的性质得到比例式即可求得ED的长．【解答】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴，∵AE=5，AB=9，CB=6，∴，解得：DE=．20．某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】求出∠DCA的度数，再判断出BC=CD，据此即可判断出△BCD是等边三角形．过点B 作BE⊥AD，垂足为E，求出∠DAC的度数，利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD 的长．【解答】解：由题意可知∠DCA=180°﹣75°﹣45°=60°，∵BC=CD，∴△BCD是等边三角形．过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°，∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC=60° BD=BC=CD=20km，∴∠ADB=∠DBC﹣∠DAC=15°，∴BE=sin15°BD≈0.25×20≈5m，∴AB==≈7m，∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m．答：从A地跑到D地的路程约为47m．21．某学校九年级学生举行朗诵比赛，全年级学生都参加，学校对表现优异的学生进行表彰，设置一、二、三等奖各进步奖共四个奖项，赛后将九年级（1）班的获奖情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）九年级（1）班共有　50　名学生；（2）将条形图补充完整：在扇形统计图中，“二等奖”对应的扇形的圆心角度数是　57.6°　；（3）如果该九年级共有1250名学生，请估计荣获一、二、三等奖的学生共有多少名．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据“不得奖”人数及其百分比可得总人数；（2）总人数乘以一等奖所占百分比可得其人数，补全图形，根据各项目百分比之和等于1求得二等奖所占百分比，再乘以360°即可得；（3）用总人数乘以荣获一、二、三等奖的学生占总人数的百分比即可．【解答】解：（1）九年级（1）班共有=50（人），故答案为：50；（2）获一等奖人数为：50×10%=5（人），补全图形如下：∵获“二等奖”人数所长百分比为1﹣50%﹣10%﹣20%﹣4%=16%，“二等奖”对应的扇形的圆心角度数是360°×16%=57.6°，故答案为：57.6°；（3）1250×（10%+16%+20%）=575（名），答：估计荣获一、二、三等奖的学生共有575名．22．为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2014年的绿色建筑面积约为950万平方米，2016年达到了1862万平方米．若2015年、2016年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2）2017年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年我市能否完成计划目标？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程从而可以求得这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2）根据（1）中的增长率可以求得实际到2017年绿色建筑的面积，然后与计划的作比较，即可解答本题．【解答】解：（1）设这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为x，950（1+x）2=1862，解得，x1=0.4，x2=﹣2.4（舍去），即这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40%；（2）由题意可得，1862（1+40%）=2606.8，∵2606.8＞2400，∴2017年我市能完成计划目标，即如果2017年仍保持相同的年平均增长率，2017年我市能完成计划目标．23．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB 的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．【考点】角的计算；角平分线的定义．【分析】（1）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根据∠AON=∠CON，即可得出OM平分∠BOC；（2）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM=45°，再根据转动速度从而得出答案；（3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MOB画图即可．【解答】解：（1）①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，∵∠AOC=30°，∴∠BOC=2∠COM=150°，∴∠COM=75°，∴∠CON=15°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，解得：t=15°÷3°=5秒；②是，理由如下：∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC；（2）5秒时OC平分∠MON，理由如下：∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，∵∠MON=90°，∴∠CON=∠COM=45°，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∵∠AOC﹣∠AON=45°，可得：6t﹣3t=15°，解得：t=5秒；（3）OC平分∠MOB∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∴∠COM为（90°﹣3t），∵∠BOM+∠AON=90°，可得：180°﹣（30°+6t）=（90°﹣3t），解得：t=秒；如图：24．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y=﹣+n的顶点P在直线y=﹣x+4上，与y轴交于点C（点P、C不与点B重合），以BC为边作矩形BCDE，且CD=2，点P、D在y轴的同侧．（1）n=　﹣m+4　（用含m的代数式表示），点C的纵坐标是　﹣m2﹣m+4　（用含m的代数式表示）．（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数表达式．（3）设矩形BCDE的周长为d（d＞0），求d与m之间的函数表达式．（4）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据二次函数的解析式写出顶点P的坐标（m，n），又因为点p在直线y=﹣x+4上，将p点坐标代入可求出n，将二次函数化成一般式后得出点C的纵坐标，并将其化成含m 的代数式；（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，由CD=2可知，点P的横坐标为2，可求得纵坐标为2，则P（2，2），得出抛物线对应的函数表达式；（3）根据坐标表示出边BC的长，由矩形周长公式表示出d；（4）首先点B与C不能重合，因此点B不会在抛物线上，则分两类情况讨论：①点C、D在抛物线上时；②点C、E在抛物线上时；由（1）的结论计算出m的值．【解答】解：（1）y=﹣（x﹣m）2+n=﹣x2+mx﹣m2+n，∴P（m，n），∵点P在直线y=﹣x+4上，∴n=﹣m+4，当x=0时，y=﹣m2+n=﹣m2﹣m+4，即点C的纵坐标为：﹣m2﹣m+4，故答案为：﹣m+4，﹣m2﹣m+4；（2）∵四边形BCDE是矩形，∴DE∥y轴．∵CD=2，∴当x=2时，y=2．∴DE与AB的交点坐标为（2，2）．∴当点P在矩形BCDE的边DE上时，抛物线的顶点P坐标为（2，2）．∴抛物线对应的函数表达式为．（3）∵直线y=﹣x+4与y轴交于点B，∴点B的坐标是（0，4）．当点B与点C重合时，．解得m1=0，m2=﹣3．i）当m＜﹣3或m＞0时，如图①、②，．．ii）当﹣3＜m＜0时，如图③，．．（4）如图④⑤，点C、D在抛物线上时，由CD=2可知对称轴为：x=±1，即m=±1；如图⑥⑦，点C、E在抛物线上时，由B（0，4）和CD=2得：E（﹣2，4）则4=﹣（﹣2﹣m）2+（﹣m+4），解得：、．综上所述：m=1、m=﹣1、、．　2017年4月10日。

吉林省长春市2017届高三数学质量监测试题(四)文(扫描版)长春市普通高中2017届髙三质量监测(四)数学试题卷(文科)考生须钿：h 本试卷分试题卷和答題卡，满分150分，考试时间120分种.， x 答题前，在答題卡拾定位匱上填写学桧，班级，■窑和准考证号’ 3, 所有答塞必须写在答题卡上，写在试卷上无效，4. 考试结束"只需上交答题昆第I 卷选摆题：本题共12小题，毎小歡企在每小题给出的四个透项申■只有一项是碍 合题目要求的" (1) f 为虚数单忆则汁孑异屏二(A) 0(B) i(O 2i ①-I(2)己知集合启=｛即|耳<一2或X 》耳｝・2[ 1 <S| f 则=(A) {xj J > 4} (0) {xjx>4} (C ){x i J 5= -2} (D) {x 1J < -2}已辄函数/(x)=；\X 2-2.X <-\则函数f ⑴的恆城为[2X鼻—1(A 〕卜 1+^)(B )卜I,H °)(C ) \—，+U)下曲四个建更閤中可以反映出回归模型担合韩度较軒的为图丨B(A)图 I<B )[§2公元2&3年左右+我国古代数学第刘徽用捌内接正 多边形的面积去遇近圆的面积求园周率JT ・刘穌: 这个方法为“劃圆术3并且把“削圜术”的特点槪 扌舌为声割之弥姗 所失弥少.割壬乂割■以至于不 可割,则与圆周合体而无闻失矣”茁圈是很弼诽诫 的“割圜术"也想设11的亠个卅序阳却」込彳小 程序则输出的/I 的僧为；燼号融fth J3-L732. sin 15^ 0.2588 ・ sinZ5°fc QJ3O5). tA)1 4ft LB) 36(C) 30( in 24033(C)團 3n山〕用」实根之和为 (A)一5(B) -7敕学试题巻(丈科)和“共4恥⑹ 将函数/(x)-cos2x-sin2i 的图象向左平移少个单位后得到函数尸⑴的图 象・则下列说法中正确的是 (A) F(x)&奇函数.最小值是-2(B) F(x)是偶函数，最小值是一2(C)只巧是奇函散.城小优是-Jj (D) F(x)是偶函燈，最小值是一迈某四面体的三视图如图所示，则其四个面中最大 面的瓯积是 (A) 4 (B) 2近 (C) 2v ，f 6(D) 4^2函数的大致gl 象为\nx(9)已知数列8」是等差数列，其前丹项和乞有最大値•且则使得乂 >0 a 20l6的H 的帕大值为 (A) 2016 (B) 2017 (C) 4031 (D) 4033U0J 球面t”有月』工V 点+球心0到平面的距离是球半径的且AB = 2j2^ACl!iC ・则球0的表而积是8 \n 9用 (A)罷兀(B) 9江 (C) —〔D)—44X ? y 2(11) 已知耳，巧是取曲线C-^-^ = \(a>Q,b>Q)的两个嵐虬P 是双曲线E 匕 一点，若| PF 、+1 PF\ >6a * flA PF 、％ M 小内角的人小为30°，则认曲纯C 的 渐近线方程是(A ) V2x±y = 0 (EJ) x±V2y -0 c c) 2.V±J=O ⑴】\±2\-0[A 1+ 2 .V£[0J}(12) 己知定义在H 上的前数/⑴满巴/("二临2 | J “2" 5/(x+2) = /(x). «(x) = —△ zd2 ~ =•涔y i 、b t11 1(C)1 '厂则办艸/\x} x(.r) (i 心训6J| I 的所M第【［卷本卷包括必考题和选考題两部分炉第13-2!迺为必考題. 第眈切题为选考題、考生根据要求件答• 二旗空题；本题找4小题’每小题§分。

吉林省长春市2017届高三数学质量监测试题（四）理（扫描版）长春市普通高中2017届高三质量监测（四） 数学（理科)参考答案与评分标准一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分）1。

A 2. B3. B4. A5。

D6. C7. D 8. B9。

D10. B 11。

A12。

A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算.【试题解析】A 由21i =-可知，原式110i i =--+=. 故选A. 2. 【命题意图】本题考查集合交、补运算。

【试题解析】B 由{|24}A x x x =<->或，{|4}B x x =<， 故(){|4}AB x x =>R 。

故选B 。

3. 【命题意图】本题考查分段函数的图像与性质.【试题解析】B 根据分段函数的()f x 的图像可知，该函数的值域为(1,)-+∞. 故选B.4. 【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念。

【试题解析】A 根据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A. 5. 【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.【试题解析】D 运行算法可获得结果24，故选D.6. 【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质.【试题解析】C 由()cos 2sin 2)4f x x x x π=-=+，则())))2842F x x x x πππ=++=+=。

故选C 。

7. 【命题意图】本题考查三视图。

【试题解析】D 由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图，再求得该几何体的表面积为：1111224442222S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+故选D 。

8. 【命题意图】本题考查二项式相关问题.【试题解析】B 102()2x -的展开式中773102(()2C x -= 故选B 。

9. 【命题意图】本题主要考查正态分布的相关知识。

【试题解析】D0.6826(6 6.8)0.34132P x <==≤。

2016-2017学年吉林省长春市名校调研七年级（上）第一次月考数学试卷（省命题）一、选择题（每小题2分，共12分） 1．﹣9的相反数是（ ） A ．9B ．﹣9C ．19D ．−192．计算﹣2﹣（﹣3）的结果是（ ） A ．1 B ．﹣1C ．﹣5D ．﹣63．化简−36−12的结果是（ ）A ．3B ．﹣3C ．﹣4D ．244．下列四组数中：①﹣1和﹣1；②﹣1和1；③0和0；④−23和﹣112，互为倒数的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③④D ．①④5．在数5，﹣2，7，﹣6中，任意三个不同的数相加，其中最小的和是（ ） A ．10B ．6C ．﹣3D ．﹣16．实数a 、b 在数轴上表示如图，下列判断正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ＞1C ．b ＞﹣1D ．b ＜﹣1二、填空题(每小题3分，共24分)7．长春市夏季的某一天的最高气温是零上32℃，记作+32℃，则冬天某一天的最低气温是零下25℃，记作 ℃．8．比较大小：−227 ﹣3（填“＞”“＜”或“＝”） 9．计算：﹣2÷|−23|＝ ．10．计算：﹣2016×2017×0×（﹣2018）＝ ． 11．大于0.06，而小于2.016的所有整数的和是 ． 12．计算：6÷（−12）×2÷（﹣2）＝ ．13．在数轴上与表示﹣2的点距离3个单位长度的点表示的数是 ．14．某班男生平均身高为160cm ，高于平均身高记为正，低于平均身高记为负，若甲、乙学生的身高分别记为﹣5cm 、+1cm ，则乙学生比甲学生高 cm ．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）把下列各数分别填入相应的集合内： 4，−13，1.5，0.10%，﹣5． 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 正有理数集合{ …}； 负有理数集合{ …}； 自然数集合{ …}．16．（5分）计算：18﹣（﹣12）+（﹣15）﹣6． 17．（5分）计算：−35−（﹣234）﹣（+125）+114．18．（5分）计算：3×（﹣12）﹣（﹣5）÷（﹣114）．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）在所给数轴上画出表示数﹣3，﹣112，|﹣312|，﹣（﹣2），0的点，并把这组数从小到大用“＜”号连接起来．20．（7分）计算：（12−23）×313÷56．21．（7分）用简便方法计算：（−512+23−34）×（﹣12）． 22．（7分）已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为1，求式子2016（a +b ）+2017cd 的值．五、解答题（每小题8分，共16分） 23．（8分）阅读材料，回答问题： 计算：（﹣4945）×5解：方法一：原式＝﹣（49+45）×5 ＝﹣（49×5+45×5） ＝﹣（245+4） ＝﹣249方法二：原式＝﹣（50−15）×5 ＝﹣（250﹣1） ＝﹣249请选用较简便的方法计算：﹣99956÷16．24．（8分）第31届夏季奥林匹克运动会，又称2016年里约热内卢奥运会，于2016年8月5日至8月21日在巴西的里约热内卢举行，奥运会期间，某吉祥物店在一周的销售中，盈亏情况如表（盈余为正，单位：万元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五星期六 星期日 合计 ﹣25.6﹣72.7200﹣4128.3168494表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数，并说明星期五是盈还是亏？盈亏是多少万元？六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）某饮料加工厂从所生产的瓶装饮料中抽取了50瓶检查质量，质量超过标准质量的用正数表示，质量低于标准质量的用负数表示，结果记录如表： 与标准质量的偏差（单位：克）﹣7﹣6﹣1510瓶数46101398（1）这50瓶饮料平均每瓶的质量比每瓶的标准质量多多少克？ （2）若这种饮料每瓶的标准质量是400克，求这50瓶饮料的总质量． 26．（10分）定义一种新的运算．观察下列式子：1⊙3＝1×3+3＝6；3⊙（﹣1）＝3×3﹣1＝8；5⊙4＝5×3+4＝19 （1）请你仿照上述运算方法，计算4⊙（﹣3）的值；（写出计算过程） （2）请你想一想：a ⊙b ＝ ．（3）若a ≠b ，则a ⊙b b ⊙a （填“＝”或“≠”）． （4）若a ＝﹣2，b ＝4，求（a +b ）⊙（a ﹣b ）的值．2016-2017学年吉林省长春市名校调研七年级（上）第一次月考数学试卷（省命题）参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共12分） 1．﹣9的相反数是（ ） A ．9B ．﹣9C ．19D ．−19解：根据相反数的定义，得﹣9的相反数是9． 故选：A ．2．计算﹣2﹣（﹣3）的结果是（ ） A ．1B ．﹣1C ．﹣5D ．﹣6解：﹣2﹣（﹣3）， ＝﹣2+3， ＝1． 故选：A ． 3．化简−36−12的结果是（ ）A ．3B ．﹣3C ．﹣4D ．24解：−36−12=（﹣36）÷（﹣12），＝36÷12， ＝3． 故选：A ．4．下列四组数中：①﹣1和﹣1；②﹣1和1；③0和0；④−23和﹣112，互为倒数的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③④D ．①④解：①﹣1的倒数是﹣1，故①正确，②错误； ③0没有倒数，故③错误； ④−23的倒数是﹣112，故④正确．故选：D ．5．在数5，﹣2，7，﹣6中，任意三个不同的数相加，其中最小的和是（ ）A．10B．6C．﹣3D．﹣1解：由题意，得﹣2，5，﹣6是三个最小的数，﹣2+（﹣6）+5＝﹣3，故选：C．6．实数a、b在数轴上表示如图，下列判断正确的是（）A．a＜0B．a＞1C．b＞﹣1D．b＜﹣1解：从图上可以看出，0＜a＜1，b＜﹣1．故选：D．二、填空题(每小题3分，共24分)7．长春市夏季的某一天的最高气温是零上32℃，记作+32℃，则冬天某一天的最低气温是零下25℃，记作﹣25℃．解：∵最高气温是零上32℃，记作+32℃，∴最低气温是零下25℃，记作﹣25℃．故答案为：﹣25．8．比较大小：−227＜﹣3（填“＞”“＜”或“＝”）解：−227＜−3，故答案为：＜9．计算：﹣2÷|−23|＝﹣3．解：﹣2÷|−23|＝﹣2÷23=−2×32=−3，故答案为：﹣3．10．计算：﹣2016×2017×0×（﹣2018）＝0．解：﹣2016×2017×0×（﹣2018）＝0，故答案为：0．11．大于0.06，而小于2.016的所有整数的和是3．解：大于0.06且小于2.016的整数有：1、2．1+2＝3．故答案为：3．12．计算：6÷（−12）×2÷（﹣2）＝12．解：6÷（−12）×2÷（﹣2）＝﹣12×2×（−1 2）＝12；故答案为：12．13．在数轴上与表示﹣2的点距离3个单位长度的点表示的数是1或﹣5．解：在数轴上与表示﹣2的点距离3个单位长度的点表示的数是﹣2+3＝1或﹣2﹣3＝﹣5．14．某班男生平均身高为160cm，高于平均身高记为正，低于平均身高记为负，若甲、乙学生的身高分别记为﹣5cm、+1cm，则乙学生比甲学生高6cm．解：1﹣（﹣5），＝1+5，＝6cm．故答案为：6．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）把下列各数分别填入相应的集合内：4，−13，1.5，0.10%，﹣5．整数集合{4，0，﹣5…}；分数集合{−13，1.5，10%…}；正有理数集合{4，1，5，10%…}；负有理数集合{−13，﹣5…}；自然数集合{4，0…}．解：整数：4，0，﹣5；分数：−13，1.5，10%；正有理数：负有理数：−13，﹣5；自然数：4，0；16．（5分）计算：18﹣（﹣12）+（﹣15）﹣6． 解：原式＝18+12﹣15﹣6＝9．17．（5分）计算：−35−（﹣234）﹣（+125）+114．解：原式=−35−125+234+114＝﹣2+4 ＝2．18．（5分）计算：3×（﹣12）﹣（﹣5）÷（﹣114）．解：3×（﹣12）﹣（﹣5）÷（﹣114）＝﹣36﹣4 ＝﹣40四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）在所给数轴上画出表示数﹣3，﹣112，|﹣312|，﹣（﹣2），0的点，并把这组数从小到大用“＜”号连接起来．解：表示如图，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得 ﹣3＜﹣112＜0＜﹣（﹣2）＜|﹣312|．20．（7分）计算：（12−23）×313÷56．解：原式=−16×103×65=−23． 21．（7分）用简便方法计算：（−512+23−34）×（﹣12）． 解：原式＝5﹣8+9＝6．22．（7分）已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为1，求式子2016（a +b ）+2017cd 的值．解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，∴a +b ＝0，cd ＝1．∴2016（a +b ）+2017cd ＝2016×0+2017×1＝2017． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23．（8分）阅读材料，回答问题： 计算：（﹣4945）×5解：方法一：原式＝﹣（49+45）×5 ＝﹣（49×5+45×5） ＝﹣（245+4） ＝﹣249方法二：原式＝﹣（50−15）×5 ＝﹣（250﹣1） ＝﹣249请选用较简便的方法计算：﹣99956÷16．解：原式＝﹣（1000−16）×6＝﹣6000+1＝﹣5999．24．（8分）第31届夏季奥林匹克运动会，又称2016年里约热内卢奥运会，于2016年8月5日至8月21日在巴西的里约热内卢举行，奥运会期间，某吉祥物店在一周的销售中，盈亏情况如表（盈余为正，单位：万元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五星期六 星期日 合计 ﹣25.6﹣72.7200﹣4128.3168494表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数，并说明星期五是盈还是亏？盈亏是多少万元？解：由题意，得494﹣[（﹣25.6）+（﹣72.2）+200+（﹣4）+128.3+168]＝494﹣（﹣25.6﹣72.7﹣4+＝200+128.3+168）＝100（万元）， 答：期五是盈余100万元． 六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）某饮料加工厂从所生产的瓶装饮料中抽取了50瓶检查质量，质量超过标准质量的用正数表示，质量低于标准质量的用负数表示，结果记录如表：与标准质量的偏差﹣7﹣6﹣10510（单位：克）瓶数46101398（1）这50瓶饮料平均每瓶的质量比每瓶的标准质量多多少克？（2）若这种饮料每瓶的标准质量是400克，求这50瓶饮料的总质量．解：（1）由题意，得4×（﹣7）+6×（﹣6）+10×（﹣1）+13×0+9×5+8×10＝﹣28﹣36﹣10+45+80＝51（克），51÷50＝1.02（克）；答：这50瓶饮料平均每瓶的质量比每瓶的标准质量多1.02克；（2）由题意，得400×50+51＝20051（克）；答：这50瓶饮料的总质量是20051克．26．（10分）定义一种新的运算．观察下列式子：1⊙3＝1×3+3＝6；3⊙（﹣1）＝3×3﹣1＝8；5⊙4＝5×3+4＝19（1）请你仿照上述运算方法，计算4⊙（﹣3）的值；（写出计算过程）（2）请你想一想：a⊙b＝3a+b．（3）若a≠b，则a⊙b≠b⊙a（填“＝”或“≠”）．（4）若a＝﹣2，b＝4，求（a+b）⊙（a﹣b）的值．解：（1）4⊙（﹣3）＝4×3+（﹣3）＝9．（2）3a+b（3）∵a⊙b＝3a+b，b⊙a＝3b+a，∴a⊙b≠b⊙a；（4）当a＝﹣2，b＝4时，∵a+b＝﹣2+4＝2，a﹣b﹣2﹣4＝﹣6∴（a+b）⊙（a﹣b）＝2⊙（﹣6）＝2×3+（﹣6）＝0．故答案：（2）3a+b；（3）≠。

2017年长春市初中毕业生学业水平考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共24分)一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.3的相反数是()A.-3B.-C.D.32.据统计,2016年长春市接待旅游人数约67000000人次,67000000这个数用科学记数法表示为()A.67×106B.6.7×105C.6.7×107D.6.7×1083.下列图形中,可以是正方体表面展开图的是()4.不等式组的解集为()A.x<-2B.x≤-1C.x≤1D.x<35.如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC.若∠A=62°,∠AED=54°,则∠B的大小为()A.54°B.62°C.64°D.74°6.如图,将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形,若拿掉边长为2b的小正方形后,再将剩下的三块拼成一块矩形,则这块矩形较长的边长为()A.3a+2bB.3a+4bC.6a+2bD.6a+4b7.如图,点A、B、C在☉O上,∠ABC=29°,过点C作☉O的切线交OA的延长线于点D,则∠D 的大小为()A.29°B.32°C.42°D.58°8.如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶点A的坐标为(-4,0),顶点B在第二象限,∠BAO=60°,BC交y轴于点D,BD∶DC=3∶1.若函数y=(k>0,x>0)的图象经过点C,则k的值为()A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题,共96分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)9.计算:×=.10.若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根,则a的值是.11.如图,直线a∥b∥c,直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若AB∶BC=1∶2,DE=3,则EF的长为.12.如图,在△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC=4,以点B为圆心,BA长为半径作圆弧,交BC于点D,则的长为.(结果保留π)13.如图①,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图②,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为.14.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B、C的坐标分别为(2,1)、(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交x轴于点P.若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为.三、解答题(本大题共10小题,共78分)15.(6分)先化简,再求值:a(a2+2a+4)-2(a+1)2,其中a=2.16.(6分)一个不透明的口袋中有三个小球,上面分别标有字母a、b、c,每个小球除字母不同外其余均相同.小园同学从口袋中随机摸出一个小球,记下字母后放回并搅匀,再从口袋中随机摸出一个小球记下字母.用画树状图(或列表)的方法,求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率.17.(6分)如图,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米.求大厅两层之间的距离BC的长.(结果精确到0.1米)(参考数据:sin31°=0.515,cos31°=0.857,tan31°=0.601)18.(7分)某校为了丰富学生的课外体育活动,购买了排球和跳绳.已知排球的单价是跳绳的单价的3倍,购买跳绳共花费750元,购买排球共花费900元,购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个,求跳绳的单价.19.(7分)如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,点E是菱形ABCD内一点,连接CE,将线段CE绕点C顺时针旋转110°得到线段CF,连接BE、DF.若∠E=86°,求∠F的度数.20.(7分)某校八年级学生会为了解本年级600名学生的睡眠情况,将同学们某天的睡眠时长t(小时)分为A、B、C、D、E(A:9≤t≤24;B:8≤t<9;C:7≤t<8;D:6≤t<7;E:0≤t<6)五个选项,进行了一次问卷调查,随机抽取n名同学的调查问卷并进行了整理,绘制成如下条形统计图.根据统计图提供的信息解答下列问题:(1)求n的值;(2)根据统计结果,估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数.21.(8分)甲、乙两车间同时开始加工一批服装.从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时,乙车间在中途停工一段时间维修设备,然后按停工前的工作效率继续加工,直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止.设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件),甲车间加工的时间为x(小时),y与x之间的函数图象如图所示.(1)甲车间每小时加工服装的件数为,这批服装的总件数为;(2)求乙车间维修设备后,乙车间加工服装的数量y与x之间的函数关系式;(3)求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间.22.(9分)【再现】如图①,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点.可以得到:DE∥BC,且DE=BC.(不需要证明)【探究】如图②,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点.判断四边形EFGH的形状,并加以证明.【应用】(1)在【探究】的条件下,四边形ABCD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?你添加的条件是:;(只添加一个条件)(2)如图③,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,对角线AC、BD相交于点O.若AO=OC,四边形ABCD的面积为5,则阴影部分图形的面积和为.23.(10分)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6.点P从点A出发,沿折线AB—BC 向终点C运动,在AB上以每秒5个单位长度的速度运动,在BC上以每秒3个单位长度的速度运动.点Q从点C出发,沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动.P、Q两点同时出发,当点P停止时,点Q也随之停止.设点P运动的时间为t秒.(1)求线段AQ的长;(用含t的代数式表示)(2)连接PQ,当PQ与△ABC的一边平行时,求t的值;(3)如图2,过点P作PE⊥AC于点E,以PE、EQ为邻边作矩形PEQF,点D为AC的中点,连接DF.设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S.①当点Q在线段CD上运动时,求S与t之间的函数关系式;②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1∶2时t的值.24.(12分)定义:对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x≥0时,它们对应的函数值相等.我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数y=x-1,它的相关函数为y=(1)已知点A(-5,8)在一次函数y=ax-3的相关函数的图象上,求a的值;(2)已知二次函数y=-x2+4x-.①当点B在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值;②当-3≤x≤3时,求函数y=-x2+4x-的相关函数的最大值和最小值;(3)在平面直角坐标系中,点M、N的坐标分别为、,连接MN.直接写出线段MN 与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围.答案全解全析：一、选择题1.A只有符号不同的两个数互为相反数,所以3的相反数为-3,故选A.2.C67000000=6.7×10000000=6.7×107,故选C.3.D动手操作,只有D选项中的图形可以折叠成正方体,故选D.4.C由x-1≤0,得x≤1;由2x-5<1,得x<3,∴原不等式组的解集为x≤1.故选C.5.C∵∠A=62°,∠AED=54°,∴∠ADE=180°-62°-54°=64°,∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE=64°.故选C.6.A矩形较长的边长为(3a-2b)+2b×2=3a+2b.故选A.7.B连接OC,∵∠ABC=29°,∴∠AOC=58°,∵CD为☉O的切线,∴∠OCD=90°,∴∠D=180°-∠OCD-∠AOC=32°.故选B.8.D∵A(-4,0),∴OA=4,∵四边形OABC为平行四边形,∴BC OA,∠C=∠BAO=60°,∴BC=4,∵BD∶DC=3∶1,∴BD=3,DC=1,∴OD=,∴C(1,),将C点坐标代入y=(k>0,x>0),得k=.故选D.二、填空题9.答案解析×==.10.答案4解析依题意得42-4a=0,∴a=4.11.答案6解析∵a∥b∥c,∴=,∵=,DE=3,∴EF=6.12.答案π解析∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=40°,∴的长为=π.13.答案10解析∵四边形EFGH为正方形,∴EH=EF=2,又∵DE=8,∴DH=6,∵△DHC≌△BFA≌△AED,∴AF=DE=8,BF=DH=6,∴AB===10.14.答案(-2,-3)解析∵B(2,1),C(6,1),∴BC=4,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴A(4,3),∴直线AB的解析式为y=x-1,当y=0时,x=1,∴P(1,0).由题意知点A与点A'关于点P对称,∴A'(-2,-3).三、解答题15.解析原式=a3+2a2+4a-2(a2+2a+1)=a3+2a2+4a-2a2-4a-2=a3-2.当a=2时,原式=23-2=6.16.解析画树状图如下:共有九种等可能的情况,其中两次摸出的小球上的字母相同的有三种,∴所求概率P==.17.解析在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=31°,AB=12米,∴BC=ABsin∠A=12sin31°=12×0.515≈6.2(米).答:大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.18.解析设跳绳的单价为x元,则排球的单价为3x元,由题意得-=30,解得x=15.经检验:x=15是原方程的根且符合题意.答:跳绳的单价为15元.19.解析由旋转得∠ECF=110°,EC=CF.∵四边形ABCD为菱形,∴BC=DC,∠BCD=∠A=110°.∴∠BCD=∠ECF,即∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,∴∠BCE=∠DCF.在△BCE和△DCF中,∴△BCE≌△DCF,∴∠E=∠F,∵∠E=86°,∴∠F=86°.20.解析(1)n=12+24+15+6+3=60.(2)600×=90(人).答:估计该年级600名学生中睡眠时长不足7小时的人数为90.21.解析(1)80;1140.(2)乙车间的工作效率为120÷2=60(件/时),∴可设乙车间维修设备后,乙车间加工服装的数量y与x之间的函数关系式为y=60x+b.将x=9,y=420代入得420=60×9+b,解得b=-120.(420-120)÷60=5,9-5=4.∴y=60x-120(4≤x≤9).(3)设甲车间加工服装的数量y与x之间的函数关系式为y=ax(a≠0).将点(9,720)代入,得9a=720,解得a=80.所以y=80x(0≤x≤9).由题图得,当0≤x≤4时,甲、乙两车间不能共同加工完1000件服装,所以4<x≤9,则80x+(60x-120)=1000,解得x=8.∴甲、乙两车间共同加工完1000件服装时,甲车间所用的时间为8小时.22.解析【探究】四边形EFGH是平行四边形.证明:连接AC,∵E是AB的中点,F是BC的中点,∴EF∥AC,EF=AC,同理,HG∥AC,HG=AC,∴EF∥HG,EF=HG,∴四边形EFGH是平行四边形.【应用】(1)添加条件:AC=BD.证明:连接AC,BD,∵E是AB的中点,F是BC的中点,∴EF∥AC,EF=AC,同理,FG=BD,∵AC=BD,∴EF=FG,∵四边形EFGH是平行四边形,∴四边形EFGH是菱形.(答案不唯一)(2).如图.∵EF∥AC,E是AB的中点,∴点M为OB的中点.∴EM∥OA,EM=OA,∴△BEM∽△BAO,∴S△BEM=S△BAO.同理,S△AEN=S△BAO.∴S四边形EMON=S△BAO.∵OA=OC,∴S△BAO=S△ABC.∴S四边形EMON=S△ABC.同理,S四边形OKGI=S△ADC.∴S阴影=S四边形ABCD.∵四边形ABCD的面积为5,∴S阴影=.23.解析(1)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=10,BC=6,∴AC===8,∵CQ=t,∴AQ=8-t(0≤t≤4).(2)如图,当PQ∥BC时,△APQ∽△ABC,∴=,即=,解得t=.如图,当PQ∥AB时,△CPQ∽△CBA,∴=,∵BP=3(t-2),∴CP=6-3(t-2)=-3t+12,∴=,解得t=3.综上所述,t=或3时,PQ与△ABC的一边平行.(3)①当点P在AB上时,∵sin A==,cos A==,∴PE=AP·sin A=3t,AE=AP·cos A=4t.(i)当0≤t≤时,如图.EQ=AC-AE-CQ=8-4t-t=8-t,∴S=PE·EQ=3t·=-16t2+24t.(ii)当<t≤2时,如图.∵QG∥BC,∴=,即=,∴QG=6-t.QE=AE+CQ-AC=4t+t-8=t-8.∴S=(QG+PE)·QE=(6-t+3t)·=t2+8t-24. (iii)当2<t≤3时,如图.∵PH∥AC,∴=,即=,∴PH=4t-8.∴FH=QC-PH=t-(4t-8)=-t+8,∵PC=FQ=-3t+12,QG=6-t,∴FG=-3t+12-(6-t)=-2t+6.∴S=S矩形PCQF-S△FGH=CQ·PC-FH·FG=t·(-3t+12)-··(-2t+6)=-t2+32t-24.②或.详解:当0≤t<1时,如图.∵点E在点D的左侧,∴S△DFQ<S矩形PEQF.若DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1∶2,则S△DFQ=S矩形PEQF.∵S矩形PEQF=FQ·QE,S△DFQ=FQ·DQ,∴DQ=QE,即4-t=,解得t=.当1≤t≤时,如图.∵点E在点D的右侧,∴S△PMF<S矩形PEQF.若DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1∶2,则S△PMF=S矩形PEQF.∵S矩形PEQF=FQ·QE,S△PMF=PM·QE,∴PM=PE,易知△DME∽△FMP,∴==,即=.解得t=.综上所述,当t=或时,若DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1∶2.24.解析(1)由题意得,y=ax-3的相关函数为y=∵点A(-5,8)在函数y=的图象上,且-5<0,∴将点A(-5,8)代入y=-ax+3,得-a·(-5)+3=8,解得a=1.(2)①由题意得,y=-x2+4x-的相关函数为y=当m<0时,将点B代入y=x2-4x+,得m2-4m+=,解得m1=2-,m2=2+(舍).当m≥0时,将点B代入y=-x2+4x-,得-m2+4m-=,解得m3=2-,m4=2+.所以m的值为2-或2-或2+.②当-3≤x<0时,y=x2-4x+=(x-2)2-,∴<y≤.当0≤x≤3时,y=-x2+4x-=-(x-2)2+,∴-≤y≤.∴当x=-3时,所求函数取得最大值,为;当x=0时,所求函数取得最小值,为-.(3)n的取值范围为-3<n≤-1或1<n≤,详解:二次函数y=-x2+4x+n的相关函数为y=当x≥0时,y=-x2+4x+n=-(x-2)2+4+n,其图象的顶点坐标为(2,4+n),①当n<0时,二次函数y=-x2+4x+n的相关函数图象如图1.图1当-n=1,即n=-1时(如图2),4+n=3>1,∴顶点(2,4+n)在线段MN的上方,∴线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点.注:二次函数y=-x2+4x+n的相关函数y=的图象不包含点(0,-n),但包含点(0,n)图2当4+n=1,即n=-3时(如图3),顶点(2,4+n)在线段MN上,线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象只有一个公共点.图3所以n<0时,线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时,n的取值范围为-3<n≤-1.②当n>0时,二次函数y=-x2+4x+n的相关函数图象如图4.图4当n=1时(如图5),4+n=5>1,∴顶点(2,4+n)在线段MN的上方,当x=-时,y=x2-4x-1=-4×-1=>1,此结论说明当n=1时,y=x2-4x-n(x<0)的图象与线段MN相交.∴当n=1时,线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象有三个公共点.图5若点M在y=x2-4x-n(x<0)图象上(如图6),即-4×-n=1,解得n=,此时线段MN 与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点.图6所以n>0时,线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数图象有两个公共点时,n的取值范围为1<n≤.综上所述,线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围为-3<n≤-1或1<n≤.。

长春市普通高中2017届高三质量监测（三）数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则A B =A. [1,0]-B. [1,2]-C. [0,1]D. (,1][2,)-∞+∞ 2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=A. 1i +B. 1i -C. 1i --D. 1i -+ 3. 已知1,==ab ，且()⊥-a a b ，则向量a 与向量b 的夹角为A. 6π B. 4π C. 3π D. 23π4. 已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为A. 12B. 1 5. 已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是A. 25B. 35C. 12D. 3106. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是A. 6n =B. 6n <C. 6n ≤D. 8n ≤7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A. 323B. 64D. 6438. 在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥，则2x y +的最大值是A. 2B. 8C. 14D. 16 9.已知直线1)y x =-与抛物线:C x y 42=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅，则=mA.B.2C. 21 D. 010. 对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M函数：(i) 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；(ii) 当12120,0,1x x x x +≥≥≤时，总有1212()()()f x f x f x x ++≥成立. 则下列四个函数中不．是M 函数的个数是 ① 2()f x x = ② 2()1f x x =+③ 2()ln(1)f x x =+ ④ ()21x f x =- A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数y 的图象交于点P ，若函数y =的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是A.12B.22C.12D. 3212. 若对,[0,)x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax e e +---++≤恒成立，则实数a 的最大值是A. 14B. 1C. 2D. 12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.函数1sin 2y x x =+([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________. 14.61()2x x-的展开式中常数项为__________. 15.已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(1)0f =，则不等式(2)f x -≥的解集是__________.16. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R . 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是 . 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-2()n ≥.⑴ 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；⑵ 证明：当2n ≥时，1231113 (232)nSS S S n ++++<. 18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD是菱形，∠DAB ＝60，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点,E F分别为AB 和PD 中点.⑴ 求证：直线AF //平面PEC ； ⑵ 求PC 与平面PAB 所成角的正弦值. 19.(本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进⑴ 从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；⑵ 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X 和Y ，试求X 和Y 的分布列和数学期望. 20.(本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)，且离心率为2.⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 证明：过椭圆1C :22221(0)x y m n m n +=>>上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ymn+=； ⑶ 从圆2216x y +=上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为,A B ，当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M、N 两点时，求MN 的最小值. 21.(本小题满分12分)定义在R 上的函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x e x f x -'=⋅+-，21()()(1)24x g x f x a x a =-+-+.⑴ 求函数()f x 的解析式； ⑵ 求函数()g x 的单调区间；⑶ 如果s 、t 、r 满足||||s r t r --≤，那么称s 比t 更靠近r . 当2a ≥且1x ≥时，试比较e x和1x e a -+哪个更靠近ln x ，并说明理由.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. (本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图所示，AB 为圆O 的直径，CB ，CD 为圆O的切线，B ，D 为切点.⑴ 求证：OC AD //；⑵ 若圆O 的半径为2，求OC AD ⋅的值.23. (本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）.⑴ 以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；⑵ 已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ∆面积的最大值.24.(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲⑴已知,a b都是正数，且a b≠，求证：3322a b a b ab+>+；⑵已知,,a b c都是正数，求证：222222a b b c c aabca b c++++≥.长春市普通高中2017届高三质量监测（三）数学(理科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. C2. A3. B4. C5. B6.C7. D 8. C 9. B 10. A 11. A 12. D. 简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题. 【试题解析】C ∵[0,2]B =，∴A B = [0,1]，故选C.2. 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是复数的除法和平方运算，对考生的运算求解能力有一定要求. 【试题解析】A ∵1z i =+，∴i i i i i+=+-=+++121)1(122，故选A.3. 【命题意图】本小题主要考查平面向量的的位置关系以及平面向量的数量积运算，特别突出对平面向量运算律的考查，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.【试题解析】B ∵()⊥-a a b ，∴2()0⋅-=-⋅=a a b a a b ，∴2⋅=a b a ，∵1,==a b 2cos ,||||||||⋅<>===a b a a b a b a b ，∴向量a 与向量b 的夹角为4π，故选B.4. 【命题意图】本小题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积的求法，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】C ∵222a b c bc =+-，∴1cos 2A =，∴3A π=，又4bc =，∴ABC ∆的面积为1sin 2bc A =C.5. 【命题意图】本小题通过一次函数的单调性和系数的关系，考查古典概型的理解和应用，是一道综合创新题.【试题解析】B ∵2()(2)f x a x b =-+为增函数，∴22a ->0， 又{}2,0,1,3,4a ∈-，∴{}2,3,4a ∈-，又{}1,2b ∈，∴函数2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是35，故选B.6. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析. 【试题解析】C ∵1111124612++=，因此应选择6n =时满足，而8n =时不满足的条件∴6n ≤，故选C.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】D 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4， ∴其体积为643，故选D.8. 【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.【试题解析】C 根据线性规划的方法可求得最优解为点)6,2(，此时2x y +的值等于14，故选C.9. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质. 本题不但对考生的运算求解能力、推理论证能力有较高要求，而且对考生的化归与转化的数学思想也有较高要求.【试题解析】B)2,21(),22,2(-B A ，∵),1(m M -，且0=⋅，∴01=+m m 22-22，解得2m =B.10. 【命题意图】本小题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图像的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A (i)在[0,1]上，四个函数都满足；(ii)12120,0,1x x x x ≥≥+≤；对于①，0222≥=+-+=+-+21212212121)()()]()([)(x x x x x x x f x f x x f ，满足； 对于②，22212121212()[()()][()1][(1)(1)]f x x f x f x x x x x +-+=++-+++02<-=121x x ，不满足.对于③，)]1ln()1[ln(]1)ln[()]()([)(212212121+++-++=+-+22x x x x x f x f x x f112ln)1)(1(1)(ln)]1)(1ln[(]1)ln[(212212122212122121221++++++=++++=++-++=2222222x x x x x x x x x x x x x x x x而12120,0,1x x x x ≥≥∴≥+≥∴41≤21xx ，∴212121x x x x x x 24122≤≤， ∴1222≥++++++11221221212221x x x x x x x x ，∴0222≥++++++112ln21221212221x x x x x x x x ，满足；对于④，)121()]()([)(21212121-+--=+-++x x xx x f x f x x f 21)-(20222≥--=+--=)12)(12(12212121x x x x x x ，满足；故选A.11. 【命题意图】本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求. 【试题解析】A 设),(00x xP，又∵在点P 处的切线过双曲线左焦点)0,1(-F ，0=解得01x =，∴(1,1)P ，因此152,22-==a c ，故双曲线的离心率是215+，故选A ；12. 【命题意图】本小题主要考查基本不等式的应用，以及利用导数求取函数最值的基本方法，本题作为选择的压轴题，属于较难题，对学生的运算求解能力和推理论证能力提出一定要求. 【试题解析】D 因为)1(22)(22222+≥++=++------+x y y x y x y x e e e e e e ，再由,4)1(22ax ex ≥+-可有x e a x 212-+≤，令x e x g x 21)(-+=，则22(1)1()x e x g x x---'=，可得(2)0g '=，且在),2(+∞上()0g x '>，在)2,0[上()0g x '<，故)(x g 的最小值为1)2(=g ，于是,12≤a 即21≤a ，故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. [0,]6π 14. 52- 15. (,1][3,)-∞+∞ 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本小题主要考查辅助角公式的应用以及三角函数单调区间的求取，属于基本试题.【试题解析】∵1sin sin()23y x x x π==+，∴函数的增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈，又[0,]2x π∈，∴增区间为[0,]6π. 14. 【命题意图】本小题是二项式定理的简单应用，求取二项展开式中某项的系数是考生的一项基本技能. 【试题解析】∵61()2x x -的通项为k kk k k k k x x x T C C 2--+-=-=66661)21()21(，令026=-k ，∴3=k ，故展开式中常数项为52-；15. 【命题意图】本小题主要考偶函数的性质以及函数图像的平移变换等，同时对考生的数形结合思想.【试题解析】由已知21x -≥或21x -≤-，∴解集是(,1][3,)-∞+∞ .16. 【命题意图】本小题通过对球的内接几何体的特征考查三角函数的计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题. 【试题解析】如图，右侧为该球过SA 和球心的截面，由于三角形ABC 为正三角形，所以D 为BC 中点，且BC BC BC ⊥⊥⊥MD SD AD ,,，故βα=∠=∠MDA SDA ,. 设P ABC 平面SM = ，则点P 为三角形ABC 的重心，且点P 在AD 上，a ==AB ，2R SM∴236AD a PA a PD a ===，，，因此 222tan tan tan()1tan tan 1SP MP PD SM PD SM PD PD SP MP PD SP MP PD PA PD PDαβαβαβ++⋅⋅+====--⋅--⋅2226.123RR a a ⋅==- 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查有关于数列的基础知识，其中包括数列基本量的求取，数列前n 项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题，虽存在着一定的难度，但是与高考考查目标相配合，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：（1）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-，112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列.(6分)（2）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，121n S n ∴=- ∴当2n ≥时，11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=----- 从而123111111111313...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<- .(12分) 18. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、线面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：（1）证明：作FM ∥CD交PC于M .∵点F 为PD 中点，∴CD FM21=. 形，∴FM AB AE ==21，∴AEMF 为平行四边∴AF ∥EM ，∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面， ∴直线AF //平面PEC. (6分)（2）60DAB ∠= ，DE DC ∴⊥ 如图所示，建立坐标系，则 P (0，0，1)，C (0，1，0)， E(20，0)，A(2，12-，0)，1(,0)22B∴1(,1)22AP =- ，()0,1,0AB = .设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =.∵0n AB ⋅= ，0n AP ⋅=，∴1020y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取1x =，则2z =，∴平面PAB的一个法向量为2n =.∵(0,1,1)PC =-，∴设向量n PC θ 与所成角为，∴cos n PCn PCθ⋅===∴PC平面PAB(12分)19.【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的数学期望的求法. 本题主要考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：（1）两个班数据的平均值都为7，（2）X可能取0，1，2211(0)525P X==⨯=，31211(1)52522P X==⨯+⨯=，313(2)5210P X==⨯=，所以X 分布列为：6分 数学期望11311012521010EX =⨯+⨯+⨯= 8分Y可能取0，1，2313(0)5525P Y ==⨯=，342114(1)555525P Y ==⨯+⨯=，248(2)5525P Y ==⨯=，所以Y10分 数学期望314860122525255EY =⨯+⨯+⨯=. 12分20. 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中最值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：（1）1b = ，c e a=， 2,1a b ∴==，∴椭圆C 方程为2214x y +=.2分（2）法一：椭圆1C :22221x y m n +=，当0y >时，y =故2nx y m'=-∴当00y >时，2000222001x nn n k x x y mm m y n =-=-=-⋅. 4分切线方程为()200020x n y y x x m y -=-⋅-，222222220000n x x m y y m y n x m n +=+=，00221x x y ym n+=. 6分 同理可证，00y <时，切线方程也为00221x x y ym n +=. 当0=0y 时，切线方程为x m =±满足00221x x y ym n+=. 综上，过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=. 7分法二：. 当斜率存在时，设切线方程为y kx t =+，联立方程：22221x y m ny kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222()n x m kx t m n ++=，化简可得： 22222222()2()0n m k x m ktx m t n +++-=，①由题可得：42222222244()()0m k t m n m k t n ∆=-+-=， 4分 化简可得：2222t m k n =+，① 式只有一个根，记作0x ，220222m kt m kx n m k t=-=-+，0x 为切点的横坐标，切点的纵坐标200n y kx t t=+=，所以2020x m k y n =-，所以202n x k m y =-，所以切线方程为：2000020()()n x y y k x x x x m y -=-=--，化简得：00221x x y ymn+=. 6分当切线斜率不存在时，切线为x m =±，也符合方程00221x x y ymn+=， 综上：22221x y m n+=在点00(,)x y 处的切线方程为00221x x y y m n +=. 7分（3）设点P (,)p p x y 为圆2216x y +=上一点，,PA PB 是椭圆2214x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的椭圆的切线为1114x x y y +=，过点B 的椭圆的切线为2214x x y y +=.两切线都过P 点，12121,144p p p p x x x x y y y y ∴+=+=.∴切点弦AB 所在直线方程为14p p xx yy +=.9分1(0)p M y ∴，，4(,0)pN x ，2222222161161=16p pp p p p x y MN x y x y ⎛⎫+∴=++⋅⎪ ⎪⎝⎭22221125=171617161616p p p p x y y x ⎛⎛⎫ ++⋅≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝. 当且仅当222216p p ppx y y x =，即226416,55P P x y ==时取等，54MN ∴≥，MN ∴的最小值为54. 12分21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：（1）22'()'(1)22(0)x f x f e x f -=+-，所以'(1)'(1)22(0)f f f =+-，即(0)1f =. 又2(1)(0)2f f e -'=⋅， 所以2'(1)2f e =，所以22()2x f x e x x =+-. 4分 （2）22()2x f x e x x =-+ ，222111()()(1)(1)(1)2444x x x g x f x a x a e x x x a x a e a x ∴=-+-+=+--+-+=-- ()x g x e a '∴=-. 5分①当0a ≤时，()0g x '>，函数()f x 在R 上单调递增； 6分②当0a >时，由()0x g x e a '=-=得ln x a =，∴(),ln x a ∈-∞时，()0g x '<， ()g x 单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.综上，当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时， 函数()g x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞. 8分（3）解：设1()ln ,()ln x e p x x q x e a x x-=-=+-，21'()0e p x x x=--<，∴()p x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，又()0p e =， ∴当1x e ≤≤时，()0p x ≥，当x e >时，()0p x <. 11'()x q x e x -=-，121''()0x q x e x-=+>， ∴'()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，又'(1)0q =，∴[1,)x ∈+∞时，'()0q x ≥，∴()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数， ∴()(1)20q x q a ≥=+>.①当1x e ≤≤时，1|()||()|()()x e p x q x p x q x e a x--=-=--，设1()x e m x e a x -=--，则12'()0x em x e x-=--<， ∴()m x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴()(1)1m x m e a ≤=--，2a ≥，∴()0m x <，∴|()||()|p x q x <，∴e x比1x e a -+更靠近ln x .②当x e >时，11|()||()|()()2ln 2ln x x e p x q x p x q x x e a x e a x---=--=-+--<--， 设1()2ln x n x x e a -=--，则12'()x n x e x-=-，122''()0x n x e x-=--<，∴'()n x 在x e >时为减函数，∴12'()'()0e n x n e e e-<=-<， ∴()n x 在x e >时为减函数，∴1()()20e n x n e a e -<=--<， ∴|()||()|p x q x <，∴e x比1x e a -+更靠近ln x .综上：在2,1a x ≥≥时，e x比1x e a -+更靠近ln x . 12分22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴， 又AB 为直径，DB AD ⊥∴，∴//AD OC .5分(2)由//AD OC ，DAB COB ∴∠=∠，BAD Rt ∆∴∽Rt COB ∆，AD ABOB OC=，∴8AD OC AB OB ⋅=⋅=. 10分23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x . 2分∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ.5分（2）点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离为2|9sin 2cos 2|+-=θθd 7分ABM∆的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S所以ABM ∆面积的最大值为229+10分24. 【命题意图】本小题主要考查不等式证明的相关知识，具体涉及到利用比较法等证明方法. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：（1）证明：33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-. 因为,a b 都是正数，所以0a b +>. 又因为a b ≠，所以2()0a b ->.于是2()()0a b a b +->,即3322()()0a b a b ab +-+>所以3322a b a b ab +>+； 5分 （2）证明：因为2222,0b c bc a +≥≥，所以2222()2a b c a bc +≥. ① 同理2222()2b a c ab c +≥. ② 2222()2c a b abc +≥. ③ ①②③相加得2222222222()222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++从而222222()a b b c c a abc a b c ++≥++.由,,a b c 都是正数，得0a b c ++>，因此222222a b b c c a abc a b c++≥++. 10分。

2017年初中毕业生第一次试考数学参考答案及评分标准一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9. 6a ； 10. )3)(3(2+-x x ；11. π65；12. 4；13. 1＜a ＜3 ；14. 4. 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15. 解：2)1()1(--+a a a=1222-+-+a a a a （2分） =13-a （4分） 当32=a 时 原式= 1323-⨯=1 （6分） 16. 解：画树状图如下：（不计算和不扣分） （4分）∴P (两张扑克牌上的数字之和是9)=92． （6分）（列表略） 17．解：设骑自行车的速度为x 千米/时，则驾车的速度为4x 千米/时． （1分）根据题意，得15154x x -＝4560． （3分） 解得x ＝15. （5分） 经检验，x ＝15是原方程的解，且符合题意． （6分） 答：骑自行车的速度为15千米/时．107 第一张 第二张 和 4 9 6 7 6 8 9 4 2 4 4 5 5 4 518．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .由题意可知在Rt △ADC 中，∠ADC =90°，∠CAD =45°，CD =98，∴∠ACD =∠CAD =45°.∴AD =CD =98. （3分）在Rt △ABD 中，BD =AD ×tan ∠BAD =98×1.28=125.44.∴BC =BD +CD =125.44+98=223. 44≈223.4（米）.答：塔高BC 约为223.4米. （7分）19.．(1)1+1+3+5+4+3+2+1=20(户),所以小丽一共调查了20户家庭.(2分) (2)4 4.5(4分) (3)1×1+2×1+3×3+4×5+5×4+6×3+7×2+8×1=92(吨).∴ 2002092⨯2=920(吨).所以这个小区4月份的用水总量约为920吨.(7分) 20．（1） ∵AE ∥BC ，DE ∥AB ．∴四边形ABDE 是平行四边形．（2分）∴AE=BD又∵BD=DC∴AE=DC （3分）又∵AE ∥DC∴四边形ADCE 是平行四边形 （4分）（2）∵四边形ADCE 是平行四边形，AC=6，∴AG=GC=3 （5分）又∵AE ∥BC∴△AEF ∽△CBF∴21==BC AE CF AF∴ AF=2 （6分）∴ FG=1` （7分）21．解：（1）840128560÷⨯=（米）．第8天时，甲队修了560米． （2分）（2）设所求函数关系式为y kx b =+0k ≠（）．将点（4，360），（8，560）代入，得85604360.k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得50160.k b =⎧⎨=⎩， 50160(416)y x x =+≤≤． （5分）（3）当16x =时，=5016160960y ⨯+=甲． （6分） 当12x =时，=840y 乙． （7分）∴=9608401800y y ++=乙甲． （8分） 答：这条公路的总长度1 800米．22. 初步探究：△BCD 的面积为212a . （2分） 如图，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E∴∠BED=∠ACB=90º.∵线段AB 绕点B 顺时针旋转90º得到线段BE ，∴AB=BD ，∠ABD=90º.∴∠ABC+∠DBE=90º.∵∠A +∠ABC =90º.∴∠A=∠DBE .∴△ABC ≌△BDE .（5分）∴DE=BC=a .∴△BCD 的面积为212a .（7分）_简单应用：214a .(9分)23．解：（1）∵PQN ∆与ABC ∆都是等边三角形，∴当点N 落在边BC 上时，点Q 与点B 重合．∴23t =． A解得32t =． （2分） （2）∵当点N 到点A 、B 的距离相等时，点N 在边AB 的中线上，∴PD DQ =．∴62t t =-．解得2t =． （4分）（3）如图①，当30t <≤时，2PQMN S S ==菱形． （6分）如图②，当3352t <≤时，223)PQMN MEF S S S t ∆=-=-菱形． 2S =+． （8分） （4）1t =或157t =． （10分）24．（1）把(1,0)A 、(5,0)B 代入2+5y ax bx =+50,25550.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩（2分） ∴26 5.y x x =-+（2）对称轴为：6 3.22b x a -=-=-= 由3223m -=，得53m =． 由3123m -=，得73m =． （4分） （3）当6x =时，22656665 5.y x x =-+=-⨯+=∴点D 的坐标为（6,5）．射线AD 所对应的函数表达式为1y x =-(x ＞1)． A M 图① 图②∴2(,65)P m m m -+，(,1)Q m m -． 当1＜m ＜6时，222(762)2148.d m m m m =-+-+=-+- （6分） 当m ＞6时，222(762)21416.d m m m m =-++=-+ （8分） 又2273321482).22d m m m =-+-=--+（∴d 随m 的增大而减小时d 的取值范围是4＜d ≤332．（9分）（4 （12分）。

长春市普通高中2017届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. D4. C5. B6. C7. A8. C9. C 10. D 11. B 12. A 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的实部和虚部运算与复数与平面内点的对应关系.【试题解析】B 题意可知，21cos 32π=-，2sin 3π=，则1z 2=-+，对应的点在第二象限. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.【试题解析】C 由已知{}|23A x x =-<<，则{}0,1,2AN =，故选C.3. 【命题意图】本题考查平面向量的几何表示中的加、减、数乘、数量积运算.【试题解析】D 由已知，ABC ∆的边长为1，21AB a ==，所以12a =，AC AB BC =+，则1BC b ==，因为2,3a b π<>=，故选D.4. 【命题意图】本题主要抽样中的用样本去估计总体.【试题解析】C 由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为271=2168，则由此估计总体中谷的含量约为11512=1898⨯石. 故选C.5. 【命题意图】本题是对逻辑问题中的特称命题的否定进行考察.【试题解析】B 由已知，命题的否定为0x ∀>，2(1x x a ⋅-≤使），故选B. 6. 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.【试题解析】C 有已知，1,0k s ==，1,2s s k k =+==，3,4s k ==，7,8s k ==，15,16s k ==，31,32s k ==，符合条件输出，故选C.7. 【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的基本量的求取.【试题解析】A 由已知，3121a a d =+=-，2416()a a a =-即2111(3)(5)a d a a d +=--，且{}n a 为递减数列，则11,1d a =-=.有714S =-，故选A.8. 【命题意图】本题主要考查三视图的还原，还涉及体积的求取.【试题解析】C 由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为211(122)322V π=⋅+⨯⨯⨯，故选C. 9. 【命题意图】本题主要考查相离两圆的公切线的相关知识.【试题解析】C 由已知，直线l 满足到原点的距离为1，到点(2的距离为2，满足条件的直线l 即为圆221x y +=和圆22(2)(4x y -+=的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线. 故选C.10. 【命题意图】本题背景基于经典国学故事，考查图像对函数特点的描述.【试题解析】D 由故事内容不难看出，最终由乌龟先到达终点，故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的定义及渐近线的相关知识.【试题解析】B 由已知1a =，18PF =，则26PF =.又因为120PF PF ⋅=，则1210F F =，即5c =.则渐近线方程为y =±，故选B.12. 【命题意图】本题是考查导数的几何意义，但因为函数隐含在里面，不容易分离出来.【试题解析】A 因为ln(1)+30b a b +-=，则=3l n (1)a b b -+，即3l n (1)y x x =-+因为20d c -=，则2c d =2y x =要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值. 因为132311x y x x +'=-=++，则2y '=，有0x =，0y =，即过原点的切线方程为2y x =. 最短距离为1d ==. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.151614. 315.16. ])94(1[54nn S -=简答与提示：13. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.【试题解析】常数项为422456115()()216T C x x =-=.14. 【命题意图】本题考查线性可行域的画法及线性目标函数的最值求法.【试题解析】由已知可得，线性可行域如图所示，则线性目标函数在点3,0（）取最小值3. 15. 【命题意图】本题考查三棱锥的外接球问题，特别涉及到了三棱锥和长方体的外接球之间的关系.【试题解析】由已知，可将三棱锥S ABC -放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面ABC 距离最大的点应该在过球心且和面ABC 垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则2r =则到面ABC 距离的最大值为222)33r ==（. 16. 【命题意图】本题通过三角形为背景考查归纳推理及数列的相关知识，对学生的逻辑推理能力提出很高要求，是一道较难题.【试题解析】数列{a n }构成以94为首项,以94为公比的等比数列,故])94(1[54n n S -=.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的化简以及恒等变换公式的应用，还有解三角形的内容，如正弦定理等.【试题解析】(1) 由题可知1()sin 2cos2)222f x x x =-++sin(2)3x π=-， 令222232k x k πππππ--+≤≤，k ∈Z ，即函数()f x 的单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z . （6分）(2) 由()2f A =，所以sin(2)32A π-=3A π=或2A π=（舍）又因为3AB AC AD +=，则D 为△ABC 的重心，以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABEC ，因为2AD =，所以6AE =，在△ABE中，AB =120ABE ∠=.=，解得1sin 4AEB ∠=且cos AEB ∠=.因此111sin sin()324248BAD AEB π∠=-∠=-⋅=. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 由已知，⎩⎨⎧=⨯+⨯+⨯+⨯=+++45515.06001005004.04001003001)0040.0015.0(100b a b a ， 即⎩⎨⎧=+=+05.250030045.0)(100b a b a ，有⎩⎨⎧==0035.0001.0b a .（6分）（2）由（1）结合直方图可知当年产量为kg 300时，其年销售额为6000元；当年产量为kg 400时，其年销售额为6000元； 当年产量为kg 500时，其年销售额为7500元； 当年产量为kg 600时，其年销售额为6000元； 则估计年销售额的期望为652515.0600035.075004.060001.06000=⨯+⨯+⨯+⨯（元）.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了线面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）如图所示建立空间直角坐标系，由已知)0,0,0(A ，)0,0,2(B ，)1,0,0(P ，)0,1,0(D ，)0,1,2(C . 令PC PM λ=，因为)1,1,2(-=，所以),,2(λλλ-=，则)1,,2(λλλ-M . 因为ADM BP 面⊥且)1,0,2(-=BP .所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-==⋅0150AD BP λ， 则51=λ. 即PM 的长为56.（6分）（2）因为)54,51,52(M ，则)54,51,52(-=，因为面ABP 的一个法向量)0,1,0(=，令MD 与面ABP 成角为θ，ABCDPMyz则322516251625454sin =++=θ，故35cos =θ.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的几何意义以及标准方程，直线和椭圆的位置关系及定值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1)由题意可知两焦点为(与，且26a =，因此椭圆的方程为22196x y +=. （4分） (2) ① 当MN 不与x 轴重合时，设MN的方程为x my =B，2)C -联立椭圆与直线MN 2223180x y x my ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩消去x可得22(23)120m y ++-=，即12223y y m -+=+，1221223y y m -=+ 设11(,)M x y ，22(,)N x y则BM：2y x -= ①CN：2y x += ②②-①得4(x =1221212(2)(2)4(my y my y x m y y +--=1212224(y y x my y +=2234(1223m x m m +=--+4x =则x =x =②当MN 与x 轴重合时，即MN 的方程为0x =，即(3,0)M ，(3,0)N -.即BM：2y x -=① CN：2y x += ②联立①和②消去y可得x =.综上BM 与CN 的交点在直线x =. （12分） 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1) 当2a =时，2()23f x x x =+-()22f x x '=+，则(1)4f '=，又(1)0f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为44y x =-，又因为()f x 和()g x 的图像在1x =处的切线相同，2(1ln )()k x g x x-'=所以(1)4g k '==. （4分） (2) 因为()()()F x f x g x =-有零点 所以24ln ()30xF x x ax x=+--= 即324ln 3x x x a x-+=有实根. 令3224ln 34ln 3()x x x x h x x x x x-+==-+342348ln 348ln 3()1x x x x x xh x x x x----'=--= 令3()48ln 3x x x x ϕ=---则28()330x x xϕ'=---<恒成立，而(1)0ϕ=，所以当1x >时，()0x ϕ<，当(0,1)x ∈时，()0x ϕ>. 所以当1x >时，()0h x '<，当(0,1)x ∈时，()0h x '>.故()h x 在(1,)+∞上为减函数，在(1,0)上为增函数，即max (1)2h h ==.当x →+∞时，()h x →-∞，当0x +→时，()h x →-∞.根据函数的大致图像可知2a ≤. （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】 (1) 由已知连接DE ，因为ABE AED ∠=∠且BAE ∠公用，所以AEB ADE ∆∆∽即AB AD AE ⋅=2（5分）(2) 因为 AB AD AE ⋅=2，所以16)(42=+=BD AD AD因为CE BC =，所以222AB BC AC +=，即222)(6)64(DB AD ++=+2)(36100DB AD ++=，则8=+BD AD ，故6,2==BD AD ， 所以半径是3. （10分）23. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 曲线1C 的普通方程为22(2)1x y -+= （5分）(2) 由已知2:()6C R πθρ=∈，即x y 33=，因为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)2(3322y x x y ，有034342=+-x x ，则23,23==y x ， 故交点的极坐标为)6,3(π（10分）24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 由于3,(1)()31,(11)3,(1)x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩，所以max ()(1)2k f x f ==-=.（5分）(2) 由已知22222=++b c a ，有4)()(2222=+++c b b a ， 因为ab b a 222≥+（当b a =取等号），bc c b 222≥+（当c b =取等号），所以)(24)()(2222bc ab c b b a +≥=+++，即2≤+bc ab ，故[]2)(max =+c a b （10分）。

2017年吉林省长春市中考一模试卷数学一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1.比-1大2的数是( )A.-3B.-2C.1D.2解析：根据题意可得：比-1大2的数是-1+2=1.答案：C2.每年的6月14日，是世界献血日，据统计，某市义务献血达421000人，421000这个数用科学记数法表示为( )A.4.21×105B.42.1×104C.4.21×10-5D.0.421×106解析：421 000=4.21×105.答案：A3.不等式组2131xx+≥-⎩-⎧⎨，＜中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是( )A. B. C. D.解析：2131xx+≥-⎧⎨-⎩，＜，①②由①得，x≥-1，由②得，x＜2，故不等式组的解集为：-1≤x＜2.在数轴上表示为：D.答案：D4.一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根解析：△=22-4×2=-4＜0，所以方程没有实数解.答案：C5. 由6个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则在以下视图中，与其它三个形状都不同的是( )A.主视图B.俯视图C.左视图D.右视图解析：主视图、左视图、右视图都为：俯视图为：.答案：B6.如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO的延长线交⊙O于点C，∠OAC=35°，则∠B的度数是( )A.15°B.20°C.25°D.35°解析：∵AB为⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠BAO=90°，∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=35°，∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-35°-35°-90°=20°.答案：B7.如图，点P在反比例函数y=kx的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为2，则k等于( )A.-4B.-2C.2D.4解析：∵点P在反比例函数y=kx的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，∴S△APB=12|k|=2，∴k=±4.又∵反比例函数在第二象限有图象，∴k=-4.答案：A8.如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE=3，DA=5，CF=4，则FB等于( )A.3 2B.8 3C.5D.6解析：∵AB∥EF∥DC，∴DE CF DA CB=，∵DE=3，DA=5，CF=4，∴345CB=，∴CB=203，∴FB=CB-CF=208433-=.答案：B二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9.= .==10.计算：(-2xy2)3= .解析：(-2xy2)3=(-2)3x3(y2)3=-8x3y6.答案：-8x3y611.一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为 cm2. 解析：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，OA=12AC=5，OB=12BD，∵菱形ABCD的周长为52cm，∴AB=13cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：=，∴BD=2OB=24cm，∴菱形ABCD的面积=12×10×24=120cm2.答案：12012.如图，ABCD是⊙O的内接四边形，点E在AB的延长线上，BF是∠CBE的平分线，∠ADC=110°，则∠FBE= .解析：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=110°，∴∠CBE=∠ADC=110°，∵BF是∠CBE的平分线，∴∠FBE=12∠CBE=55°，答案：55°13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以A为圆心，以AC为半径画弧，交AB 于D，则扇形CAD的周长是 (结果保留π)解析：∵∠ACB=90°，AC=1，AB=2，∴∠A=60°， ∴CD 的长为6011803ππ⨯=，∴扇形CAD 的周长是3π+2， 答案：3π+214.如图，二次函数y=a(x-2)2+k 的图象与x 轴交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为-1，则点B 的横坐标为 .解析：由题意可知：二次函数的对称轴为x=2，∴点A 与B 关于x=2对称， 设B 的横坐标为x ，∴122x -=，∴B 的横坐标坐标为5. 答案：5三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.先化简，再求值：224224x x x x --÷++，其中解析：先根据分式的除法法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可.答案：原式=()()22224422x x x x x x -++⋅=++-，当=3+4=7.16.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字-2，1，3，每个小球除数字外其它都相同，小明先从袋中随机取出1个小球，记下数字；小强再从口袋剩余的两个小球中随机取出1个小球记下数字，用画树状图(或列表)的方法，求小明，小强两人所记的数字之和为奇数的概率.解析：列表得出所有等可能的情况数，找出这两个球上的两个数字之和为奇数的情况数，即可求出所求的概率. 答案：列表得：所有等可能的情况有6种，其中两个数字之和为奇数的情况有4种， 所以小明，小强两人所记的数字之和为奇数的概率=4263=.17.一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h ，卡车的行驶速度是60km/h ，客车比卡车早1h 经过B 地，A 、B 两地间的路程是多少？解析：设A 、B 两地间的路程为xkm ，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为1小时即可列出方程，求出x 的值. 答案：设A 、B 两地间的路程为xkm ， 根据题意得6070x x-=1，解得x=420. 答：A 、B 两地间的路程为420km.18.每年的3月22日为“世界水日”，为宣传节约用水，小强随机调查了某小区部分家庭3月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图.(1)小强共调查了 户家庭.(2)所调查家庭3月份用水量的众数为 吨；平均数为 吨； (3)若该小区有500户居民，请你估计这个小区3月份的用水量. 解析：(1)根据条形统计图求出调查的家庭总户数即可；(2)根据条形统计图求出6月份用水量的平均数，找出众数即可； (3)根据统计图求出平均每户的用水量，乘以500即可得到结果. 答案：(1)根据题意得：1+1+3+6+4+2+2+1=20(户)，则小强一共调查了20户家庭.(2)根据统计图得：3月份用水量的众数为4吨；平均数为123346542627820++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=4.5.(吨)，则所调查家庭3月份用水量的众数为4吨、平均数为4.5吨；(3)根据题意得：500×4.2=2100(吨)，则这个小区3月份的用水量为2100吨.19.如图，在四边形ABDC中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，并且E，F，G，H 四点不共线.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形.(2)当AC=BD时，求证：四边形EFGH为菱形.解析：(1)根据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG=EH，根据平行四边形的判定定理证明；(2)根据菱形是判定定理证明.答案：(1)∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG=12BD，FG∥BD，∵E，H分别为AB，DA的中点，∴EH=12BD，EH∥BD，∴FG∥EH，FG=EH，∴四边形EFGH为平行四边形.(2)由(1)得，FG=12BD，GH=12BC，∵AC=BD，∴GF=GH，∴平行四边形EFGH为菱形.20.如图，某山坡坡长AB为110米，坡角(∠A)为34°，求坡高BC及坡宽AC.(结果精确到0.1米)【参考数据：sin34°=0.559，cos34°=0.829，tan34°=0.675】解析：根据正弦、余弦的定义列出算式，计算即可.答案：在Rt△ABC中，sinA=BCAB，cosA=ACAB，则BC=AB·sinA=110×0.559≈61.5(米)，AC=AB·cosA=110×0.829≈91.2(米)，答：坡高BC约为61.5米，坡宽AC约为91.2米.21.如图，在正方形ABCD中，E为直线AB上的动点(不与A，B重合)，作射线DE并绕点D 逆时针旋转45°，交直线BC边于点F，连结EF.探究：当点E在边AB上，求证：EF=AE+CF.应用：(1)当点E在边AB上，且AD=2时，则△BEF的周长是 .(2)当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是 .解析：探究：作辅助线，构建全等三角形，证明△DAG≌△DCF(SAS)，得∠1=∠3，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE(SAS)，根据EG的长可得结论；应用：(1)利用探究的结论计算三角形周长为4；(2)分两种情况：①点E在BA的延长线上时，如图2，EF=CF-AE，②当点E在AB的延长线上时，如图3，EF=AE-CF，两种情况都是作辅助线，构建全等三角形，证明两三角形全等得线段相等，根据线段的和与差得出结论.答案：探究：证明：如图，延长BA到G，使AG=CF，连接DG，∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠DAG=∠DCF=90°，∴△DAG≌△DCF(SAS)，∴∠1=∠3，DG=DF，∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°=∠EDF，∵DE=DE，∴△GDE≌△FDE(SAS)，∴EF=EG=AE+AG=AE+CF；应用：(1)△BEF的周长=BE+BF+EF，由探究得：EF=AE+CF，∴△BEF的周长=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4，(2)当点E不在边AB上时，分两种情况：①点E在BA的延长线上时，如图2，EF=CF-AE ，理由是：在CB 上取CG=AE ，连接DG ， ∵∠DAE=∠DCG=90°，AD=DC ，∴△DAE ≌△DCG(SAS)∴DE=DG ，∠EDA=∠GDC ，∵∠ADC=90°，∴∠EDG=90°，∴∠EDF+∠FDG=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDG=90°-45°=45°，∴∠EDF=∠FDG=45°， 在△EDF 和△GDF 中，∵DE DG EDF GDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△EDF ≌△GDF(SAS)，∴EF=FG ，∴EF=CF-CG=CF-AE ； ②当点E 在AB 的延长线上时，如图3，EF=AE-CF ，理由是：把△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCG ，可使AD 与DC 重合，连接DG ， 由旋转得：DE=DG ，∠EDG=90°，AE=CG ， ∵∠EDF=45°，∴∠GDF=90°-45°=45°， ∴∠EDF=∠GDF ， ∵DF=DF ，∴△EDF ≌△GDF ， ∴EF=GF ，∴EF=CG-CF=AE-CF ；综上所述，当点E 不在边AB 上时，EF ，AE ，CF 三者的数量关系是：EF=CF-AE 或EF=AE-CF ；22.甲、乙两辆汽车沿同一路线从A 地前往B 地，甲以a 千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a 千米/时的速度继续行驶；乙在甲出发2小时后匀速前往B 地，设甲、乙两车与A 地的路程为s(千米)，甲车离开A 地的时间为t(时)，s 与t 之间的函数图象如图所示.(1)求a 和b 的值.(2)求两车在途中相遇时t 的值.(3)当两车相距60千米时，t= 时.解析：(1)根据速度=路程÷时间即可求出a 值，再根据时间=路程÷速度算出b 到5.5之间的时间段，由此即可求出b 值；(2)观察图形找出两点的坐标，利用待定系数法即可求出s 乙关于t 的函数关系式，令s 乙=150即可求出两车相遇的时间； (3)分0≤t ≤3、3≤t ≤4和4≤t ≤5.5三段求出s 甲关于t 的函数关系式，二者做差令其绝对值等于60即可得出关于t 的函数绝对值符号的一元一次方程，解之即可求出t 值，再求出0≤t ≤2时，s 甲=50t=60中t 的值.综上即可得出结论. 答案：(1)a=1503=50，b=5.5-300150250-⨯=4.(2)设乙车与A 地的路程s 与甲车离开A 地的时间t 之间的函数关系式为s 乙=kt+m ，将(2，0)、(5，300)代入s=kt+m ，023005k m k m =+⎧⎨=+⎩，，解得：100200k m =⎧⎨=-⎩，，∴s 乙=100t-200(2≤t ≤5). 当s 乙=100t-200=150时，t=3.5. 答：两车在途中相遇时t 的值为3.5. (3)当0≤t ≤3时，s 甲=50t ； 当3≤t ≤4时，s 甲=150；当4≤t ≤5.5时，s 甲=150+2×50(t-4)=100t-250.∴s甲=500315034100250()()(4)5.5t ttt t≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≤≤⎩，，．令|s甲-s乙|=60，即|50t-100t+200|=60，|150-100t+200|=60或|100t-250-100t+200|=60，解得：t1=145，t2=265(舍去)，t3=2910(舍去)，t4=4110(舍去)；当0≤t≤2时，令s甲=50t=60，解得：t=65.综上所述：当两车相距60千米时，t=65或145.23.如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为(-1，2)，将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y=-x2+bx+c过B，E两点.(1)求此抛物线的函数关系式.(2)将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离.(3)将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d的值是 .解析：(1)待定系数法即可解决问题.(2)矩形ABCO的中心坐标为(-12，1)，可得1=-x2+21133x+，解得x=-43或2，所以平移距离d=-12-(-43)=56.(3)求出顶点坐标，点E坐标，即可解决问题. 答案：(1)由题意，点E的坐标为(2，1)，则()2212221c cb c⎧---+=⎪⎨-++=⎪⎩，，解得23113bc⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，∴此抛物线的解析式为y=-x2+21133x+.(2)∵矩形ABCO的中心坐标为(-12，1)，∴1=-x2+21133x+，解得x=-43或2，∴平移距离d=-12-(-43)=56.(3)∵y=-x2+21133x+=-(x-13)2+349，∴抛物线的顶点坐标为(13，349)，∵E(2，1)，∴平移距离d=349或3425199-=.故答案为259或349.24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4cm，AD=6cm，BC=9cm，点P从点A 出发，以2cm/s的速度沿A→D→C方向向点C运动；同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→B方向向点B运动，设点Q运动时间为ts，△APQ的面积为Scm2.(1)DC= cm，sin∠BCD= .(2)当四边形PDCQ为平行四边形时，求t的值.(3)求S与t的函数关系式.(4)若S与t的函数图象与直线S=k(k为常数)有三个不同的交点，则k的取值范围是 .解析：(1)如图1，作高线DE，证明四边形ABED是矩形，再利用勾股定理求DC的长，在Rt△DEC中，求出sin∠BCD=45 DEDC=；(2)当四边形PDCQ为平行四边形时，点P在AD上，如图2，根据PD=CQ列方程得：6-2t=t，解出即可；(3)分三种情况：①当0＜t≤3时，点P在边AD上，如图3，直接利用面积公式求S即可；②当3＜t≤112时，点P在边CD上，如图4，利用梯形面积减去三个三角形面积的差求S；③当112＜t≤9时，点P与C重合，Q在BC上，如图5，直接利用面积公式求S即可；(4)画出图象，根据图象得出结论.答案：(1)过D作DE⊥BC于E，则∠BED=90°，∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠B=90°，∴∠B=∠BAD=90°，∴四边形ABED是矩形，∴AD=BE=6，DE=AB=4，∴EC=BC-BE=9-6=3，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC=5，sin∠BCD=45 DEDC=，(2)由题意得：AP=2t，CQ=t，则PD=6-2t，当四边形PDCQ 为平行四边形时，如图2，则PD=CQ ，∴6-2t=t ，∴t=2.(3)分三种情况：①当0＜t ≤3时，点P 在边AD 上，如图3，S=12AP ·AB=12×4×2t=4t ； ②当3＜t ≤112时，点P 在边CD 上，如图4， 过P 作MN ⊥BC ，交BC 于N ，交AD 的延长线于M ， 由题意得：CQ=t ，BQ=9-t ，PA=2t ，PD=2t-6， ∴PC=5-PD=5-(2t-6)=11-2t ，由图1得：sin ∠C=45PN PC=， 45112PN t=-， PN=()41125t -， ∴PM=4-PN=4-()()411242655t t --=， S=S 梯形ABCD -S △PQC -S △ABQ -S △APD ，=()()()()26946426111436132411259422522555t t t t t t +⨯⨯--⨯-⨯⨯--⨯-⨯=-+； ③当112＜t ≤9时，点P 与C 重合，Q 在BC 上，如图5，S=12×t ×4=2t ； 综上所述，S 与t 的函数关系式为：S=240343613211355521()(1292)()t t t t t t t ⎧⎪≤⎪⎪-+≤⎨⎪⎪≤⎪⎩＜，＜，＜． (4)如图6，S=2436132555t t -+；S 的最小值为：241323644515554545⨯⨯⨯⎛⎫ ⨯⎪⎭=⎝--，当t=3时，S=4×3=12，∴则k的取值范围是：515＜k＜12.。

2017届高三质量监测（一）数学理试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数22cossin33z i ππ=+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知集合{|(2)(3)0}A x x x =+-<，则A N （N 为自然数集）为（ ） A ．(,2)(3,)-∞-+∞ B ．(2,3) C ．{0,1,2} D ．{1,2}3. ABC ∆是边长为1的等比三角形，已知向量,a b满足2AB a = ，2AC a b =+ ，则下列结论正确的是（ ）A ．||2b =B ．a b ⊥C ．12a b ∙=D ．1()4a b BC +⊥4.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ） A ．164石 B ．178石 C ．189石 D ．196石5.命题：“00x ∃>，使002()1xx a ->”，这个命题的否定是（ ） A ．0x ∀>，使2()1xx a -> B ．0x ∀>，使2()1xx a -≤ C ．0x ∀≤，使2()1xx a -≤ D ．0x ∀≤，使2()1xx a ->6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M 处条件可以是（ ） A ．32k > B ．16k ≥ C ．32k ≥ D ．16k <7.已知递减等差数列{}n a 中，31a =-，146,,a a a -成等比，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则7S 的值为（ ）A ．-14B ．-9C ．-5D ．-18．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ ） A ．342π+B ．63π+C ．362π+D ．3122π+9.已知原点到直线l 的距离为1，圆22(2)(4x y -+=与直线l 相切，则满足条件的直线l 有多少条？ A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10.“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程一时间图象（ ）11.双曲线2221y x b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1||8PF = ，120PF PF ∙= ，则双曲线的渐近线方程是（ ）A．y =± B．y =± C ．5y x =± D ．34y x =±12.已知实数,a b 满足ln(1)30b a b ++-=，实数,c d满足20d c -=，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 261()2x x-展开式中的常数项是 . 14.动点(,)P x y 满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为 .15.已知三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为 .16.如图，直角ABC ∆中，1,2AB BC ==，90ABC ∠= ，作ABC ∆的内接正方形1BEFB ，再做1B FC ∆的内接正方形1112B E F B ，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列{}n a ，其前n 项和为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知2()cos sin f x x x x =+. （1）求()f x 的单调增区间；（2）在ABC ∆中，A为锐角且()f A =，3AB AC AD +=，AB =，2AD =，求sin BAD ∠.18. （本小题满分12分）某人种植一种经济作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg ，已知当年产量低于350kg 时，单位售价为20元/kg ，若当年产量不低于350kg 而低于550时，单位售价为15元/kg ，当年产量不低于550kg 时，单位售价为10元/kg .（1）求图中,a b 的值；（2）试估计年销售额的期望是多少？19. （本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，M 为PC 上一点，且BP ⊥平面ADM . （1）求PM 的长度；（2）求MD 与平面ABP 所成角的余弦值.20. （本小题满分12分）以边长为4的等比三角形ABC 的顶点A 以及BC 边的中点D 为左、右焦点的椭圆过,B C 两点. （1）求该椭圆的标准方程；（2）过点D 且x 轴不垂直的直线l 交椭圆于,M N 两点，求证直线BM 与CN 的交点在一条直线上. 21. （本小题满分12分）已知函数2()3f x x ax =+-，ln ()k xg x x=，当2a =时，()f x 与()g x 的图象在1x =处的切线相同. （1）求k 的值；（2）令()()()F x f x g x =-，若()F x 存在零点，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，F 为圆O 上一点，点A 在直线BD 的延长线上，过点B 作圆O 的切线交AE 的延长线于点C ，CE CB =.（1）证明：2AE AD AB =∙；（2）若4,6AE CB ==，求圆O 的半径.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）求曲线1C 的直角坐标方程； （2）曲线2C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，求1C 与2C 的公共点的极坐标.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|2|1|f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若,,a b c R ∈，2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.长春市普通高中2017届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. D4. C5. B6. C7. A8. C9. C10. D11. B12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的实部和虚部运算与复数与平面内点的对应关系.【试题解析】B 题意可知，21cos 32π=-，2sin 3π=，则1z 2=-+，对应的点在第二象限. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.【试题解析】C 由已知{}|23A x x =-<<，则{}0,1,2A N = ，故选C. 3. 【命题意图】本题考查平面向量的几何表示中的加、减、数乘、数量积运算.【试题解析】D 由已知，ABC ∆的边长为1，21AB a == ，所以12a = ，AC AB BC =+，则1BC b == ，因为2,3a b π<>= ，故选D.4. 【命题意图】本题主要抽样中的用样本去估计总体.【试题解析】C 由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为271=2168，则由此估计总体中谷的含量约为11512=1898⨯石. 故选C.5. 【命题意图】本题是对逻辑问题中的特称命题的否定进行考察.【试题解析】B 由已知，命题的否定为0x ∀>，2(1xx a ⋅-≤使），故选B. 6. 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.【试题解析】C 有已知，1,0k s ==，1,2s s k k =+==，3,4s k ==，7,8s k ==，15,16s k ==，31,32s k ==，符合条件输出，故选C.7. 【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的基本量的求取.【试题解析】A 由已知，3121a a d =+=-，2416()a a a =-即2111(3)(5)a d a a d +=--，且{}n a 为递减数列，则11,1d a =-=.有714S =-，故选A.8. 【命题意图】本题主要考查三视图的还原，还涉及体积的求取.【试题解析】C由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为211(122)322V π=⋅+⨯⨯⨯，故选C.9. 【命题意图】本题主要考查相离两圆的公切线的相关知识.【试题解析】C 由已知，直线l 满足到原点的距离为1，到点(2的距离为2，满足条件的直线l 即为圆221x y +=和圆22(2)(4x y -+-=的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线. 故选C.10. 【命题意图】本题背景基于经典国学故事，考查图像对函数特点的描述.【试题解析】D 由故事内容不难看出，最终由乌龟先到达终点，故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的定义及渐近线的相关知识.【试题解析】B 由已知1a =，18PF = ，则26PF =.又因为120PF PF ⋅= ，则1210F F =，即5c =.则渐近线方程为y =±，故选B.12. 【命题意图】本题是考查导数的几何意义，但因为函数隐含在里面，不容易分离出来.【试题解析】A 因为ln(1)+30b a b +-=，则=3ln(1)a b b -+，即3ln(1)y x x =-+因为20d c -+=，则2c d =+，即2y x =+要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值. 因为132311x y x x +'=-=++，则2y '=，有0x =，0y =，即过原点的切线方程为2y x =.最短距离为1d ==. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.151614. 3 15.16. ])94(1[54n n S -=简答与提示：13. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.【试题解析】常数项为422456115()()216T C x x =-=. 14. 【命题意图】本题考查线性可行域的画法及线性目标函数的最值求法.【试题解析】由已知可得，线性可行域如图所示，则线性目标函数在点3,0（）取最小值3.15. 【命题意图】本题考查三棱锥的外接球问题，特别涉及到了三棱锥和长方体的外接球之间的关系.【试题解析】由已知，可将三棱锥S ABC -放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面ABC 距离最大的点应该在过球心且和面ABC 垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则2r =. 则到面ABC 距离的最大值为222)33r ==（. 16. 【命题意图】本题通过三角形为背景考查归纳推理及数列的相关知识，对学生的逻辑推理能力提出很高要求，是一道较难题. 【试题解析】数列{a n }构成以94为首项,以94为公比的等比数列,故])94(1[54n n S -=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的化简以及恒等变换公式的应用，还有解三角形的内容，如正弦定理等.【试题解析】(1) 由题可知1()sin 2cos 2)2f x x x =+sin(2)3x π=-， 令222232k x k πππππ--+≤≤，k ∈Z ，即函数()f x 的单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z . （6分）(2) 由()f A =，所以sin(2)3A π-=3A π=或2A π=（舍）因此11sin sin()324BAD AEB π∠=-∠=⋅=. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 由已知，⎩⎨⎧=⨯+⨯+⨯+⨯=+++45515.06001005004.04001003001)0040.0015.0(100b a b a ，即⎩⎨⎧=+=+05.250030045.0)(100b a b a ，有⎩⎨⎧==0035.0001.0b a .（6分）（2）由（1）结合直方图可知当年产量为kg 300时，其年销售额为6000元； 当年产量为kg 400时，其年销售额为6000元； 当年产量为kg 500时，其年销售额为7500元； 当年产量为kg 600时，其年销售额为6000元； 则估计年销售额的期望为652515.0600035.075004.060001.06000=⨯+⨯+⨯+⨯（元）.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了线面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）如图所示建立空间直角坐标系，由已知)0,0,0(A ，)0,0,2(B ，)1,0,0(P ，)0,1,0(D ，)0,1,2(C . 令PC PM λ=，因为)1,1,2(-=PC ，所以),,2(λλλ-=PM ， 则)1,,2(λλλ-M . 因为ADM BP 面⊥且)1,0,2(-=BP .所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-==⋅0150AD BP AM BP λ，则51=λ. 即PM 的长为56.（6分）(2)因为)54,51,52(M ，则)54,51,52(-=MD ， 因为面ABP 的一个法向量)0,1,0(=n ，令MD 与面ABP 成角为θ，则322516251625454sin =++=θ，故35cos =θ.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的几何意义以及标准方程，直线和椭圆的位置关系及定值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1)由题意可知两焦点为(与，且26a =，因此椭圆的方程为22196x y +=. （4分）(2) ① 当MN 不与x 轴重合时，设MN的方程为x my =+B，2)C -联立椭圆与直线MN 2223180x y x my ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩消去x可得22(23)120m y ++-=，即12y y +=，1221223y y m -=+ 设11(,)M x y ，22(,)N x y 则BM：2y x -=①CN：2y x +=②②-①得4(x =1221212(2)(2)4(my y my y x m y y +--=1212224(y y x my y +=-4(x =-4x =则x =x =.②当MN 与x 轴重合时，即MN 的方程为0x =，即(3,0)M ，(3,0)N -.即BM ：2y x -= ①CN ：2y x += ②联立①和②消去y 可得x =.综上BM 与CN 的交点在直线x =上. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1) 当2a =时，2()23f x x x =+- ()22f x x '=+，则(1)4f '=，又(1)0f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为44y x =-，又因为()f x 和()g x 的图像在1x =处的切线相同，2(1ln )()k x g x x -'=所以(1)4g k '==. （4分）(2) 因为()()()F x f x g x =-有零点 所以24ln ()30x F x x ax x=+--= 即324ln 3x x x a x-+=有实根. 令3224ln 34ln 3()x x x x h x x x x x-+==-+ 342348ln 348ln 3()1x x x x x x h x x x x----'=--= 令3()48ln 3x x x x ϕ=--- 则28()330x x x ϕ'=---<恒成立，而(1)0ϕ=，所以当1x >时，()0x ϕ<，当(0,1)x ∈时，()0x ϕ>.所以当1x >时，()0h x '<，当(0,1)x ∈时，()0h x '>.故()h x 在(1,)+∞上为减函数，在(1,0)上为增函数，即max (1)2h h ==.当x →+∞时，()h x →-∞，当0x +→时，()h x →-∞.根据函数的大致图像可知2a ≤. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】 (1) 由已知连接DE ，因为ABE AED ∠=∠且BAE ∠公用，所以AEB ADE ∆∆∽即AB AD AE ⋅=2 （5分）(2) 因为 AB AD AE ⋅=2，所以16)(42=+=BD AD AD因为CE BC =，所以222AB BC AC +=，即222)(6)64(DB AD ++=+ 2)(36100DB AD ++=，则8=+BD AD ，故6,2==BD AD ，所以半径是3. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 曲线1C 的普通方程为22(2)1x y -+=（5分） (2)由已知2:()6C R πθρ=∈，即x y 33=， 因为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)2(3322y x x y ，有034342=+-x x ，则23,23==y x ， 故交点的极坐标为)6,3(π（10分）24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 由于3,(1)()31,(11)3,(1)x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩，所以max ()(1)2k f x f ==-=. （5分）(2)由已知22222=++b c a ，有4)()(2222=+++c b b a ， 因为ab b a 222≥+（当b a =取等号），bc c b 222≥+（当c b =取等号）， 所以)(24)()(2222bc ab c b b a +≥=+++，即2≤+bc ab ，故[]2)(max =+c a b （10分）。