信号与系统 第六章、连续时间系统的系统函数解析

但在系统有参数是未定，或需要判断系统参数满足什么条件下系统是否稳 定一类问题时，应用上面的方法就很不方便了。 必须借助于其他稳定性的判别方法
劳斯（Rooth)判据 霍尔维茨(Horwitz)判据 简单详细介绍这两个判据，然后介绍由这两个判据得到的适用3阶或3阶 以下系统稳定的简化的判别方法。
霍尔维茨（Hurwitz）判断法
考虑因果系统的稳定性。
连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为
连续时间、因果LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即
二．系统稳定性的判断
由系统函数判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性 H(s) 的假分式时，不稳定。
H(s) 的真分式，有可能稳定。 由系统函数的极点分布可以判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性
（1）当 H(s) 的所有极点全部位于平面的左半平面，不在虚轴上，则系统
是稳定的。
（2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极点，其余所有极点全部位于
平面的左半平面，则系统是临界稳定的。
（3）当H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上
的极点时，系统是不稳定的。
二．系统稳定性的判断
当系统的参数都是给定具体数值时，当然可以应用上面讨论的方法，计算 出系统函数的每一个极点，然后根据极点位置来判断系统是否稳定 。
（2）阵列中首列元素有变号时，则含有 右半平面根，右半平面根的个数 为变号次数，则系统为不稳定系统。
通常联合使用罗斯—霍尔维茨准则：（简化判别过程）
(1)使用霍尔维茨准则剔除不稳定的系统。 (2)满足霍尔维茨准则的，还不能确定系统的稳定的性。可以罗斯准则最终确
定其稳定性。
【例5-7-6】已知某因果系统的系统函数为 为使系统稳定， 应该满足什么条件？

第六章.连续时间信号与时域系统分析一.拉氏变换定义1.不满足绝对可积信号为什么不能用傅氏变换 原因：信号衰减太慢或不衰减（为了克服这种困难，可以用一个收敛因子与()f t 相乘）。

2.拉氏变换的导出 ()[()]()()ttj tj t FT f t ef t eedt f t e dt σσωσω∞∞----+-∞-∞=⋅=⎰⎰令s j σω=+ 则：象函数：()[()]()st F s LT f t f t e dt ∞--∞==⎰原函数：11()[()]()2j st j f t LT F s F s e ds j σωσωπ+--==⎰3.拉氏变换的收敛域 ()F s 存在的条件：0()st f t e dt -∞-<∞⎰lim ()0t t f t e σ-→∞=（充分条件）信号特点收敛域特点有始有终，能量有限坐标轴落于-∞，全部s 平面都属于收敛区幅度即不增长也不衰减而等于稳定值，或随时间,n t t 成比例增长的信号 收敛坐标落于原点，s 平面右半平面属于收敛区 按指数规律增长的信号t e α， 只有当σα>时才收敛，所以收敛坐标为0σα= 右边信号 收敛域在收敛轴以右的s 平面，即σα> 左边信号 收敛域在收敛轴以左的s 平面，即σβ< 双边信号收敛域为s 平面的带状区域，即ασβ<<二.拉氏反变换部分分式展开法11112121111()()()()()p p p K K K F s F s s s s s s s -=++⋅⋅⋅++--- 11111111211111111()()[()()]1[()()](1)!p s s p s s i ps s i K s s F s dK s s F s ds d K s s F s i ds==-=-=-=-=--留数法1i s p =一阶级点的留数 Re [()][()()]i st st i s p s F s e s p F s e ==-⋅2i s p =是k 阶极点 111Re [()][()()](1)!i k stst i s p k d s F s e s p F s e k ds-=-=-⋅- 注意：留数法中的()F s 应是真分式，若不是应用长除法变成真分式后再用留数法。

转移阻抗
Z 21 t ( s )
U 2 (s) I1 (s)
转移导纳
Y 21 t ( s )
I 2 (s) U 1 (s)
电压传输系数 电流传输系数
T u 21 ( s )
T i 21 ( s )
U 2 (s) U 1 (s)
I 2 (s) I1 (s)
3.系统函数表示系统激励与响应之间的因果关系
H i (s) (s a) 0
2
a j 0
at
ω0
-ω0 σ
hi ( t ) e
Cos 0 t
－a 0 ×
(二) 极点在虚轴上 1． 在原点 p a 0
i
——减幅的余弦振荡
H i (s)
1 s
hi (t ) (t )
2． 不在原点上
N (s) 0
a n s a n 1 s

N (s)
z1 的根： , z 2 , , z m称为函数 H ( s ) 的零点，使 H ( s ) 0
极零图：把系统函数的极点和零点标绘在s平面中，就 成为极点零点分布图，简称极零图。 ( s 2 )( s 4 ) H (s) 例
令 复因式 ( j z i ) 矢量 j 与 z i 之差＝ z i点至 j 的矢量 ＝ B i e j i ( A k , B i 模 ) 令 j k （差矢量） ( k , i 辐角 ) ( j p k ) 矢量 j 与 p k 之差＝ p k 点至 j 的矢量 ＝ A k e
0 : B 1 0 , Z 0 , 1 2 0 , ( ) 90 : A1 , A 2 , B1 , Z 0 , 1 2 180 , ( ) 90 0 : Z 最大值 , 90 , ( ) 0 （谐振）

第 三 步 ， 阵 列 中 的 第 一 列 数 称 为 罗 斯 -霍 维 茨 数 列 ， 在 此 数 列 中 ， 如无符号变化，则系统稳定，反之，不稳定。 顺序计算的符号变化的次数等于方程具有的实数为正的根数。
例1： 试判别特征方程
2s s s 6 0
3 2
的系统是否稳定
解：罗斯－霍维茨排列
n 1
... a 1 s 1 a 0 0 s 开平面上的充要条件是 ：
要使 D ( s ) 0 的根全部位于左半 ①多项式的全部系数 ②无缺项； ③罗斯 — 霍维茨阵列中第一列数
a i 符号相同；
的符号相同。若第一 D ( s ) 0所
列数符号不全相同，则 具有的正实部根的个数
0
2 2 2
s
2
(s 0 ) (s 0 )

0s
(s 0 )
2 2 2
y 2 ( t ) L [ Y 2 ( s )]
1

1 2
t sin( 0 t ) u ( t )
显然，输出不是有界信号，所以系统不稳定。
二、反馈系统 指系统的输出或部分输 引起输出本身变化的闭 出反过来馈送到输入处 环系统。

1/ 2 s

2 s 1

1/ 2 s2
y 1 ( t ) L [ Y1 ( s )] (
1
1 2
2e
t
1 2
e
2t
)u (t )
显然输出也有界，所以系统稳定。
（2）极点为±j0，是虚轴上的一对共轭极点。
若激励为有界输入sin(0 t )u(t)，则其输出为
Y2 ( s ) F ( s ) H 2 ( s )