【期末试卷】益阳市南县2015-2016学年八年级上期末数学试卷

湖南省益阳市南县2015～2016学年度八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若分式的值为0，则x的值为（）A．2或﹣1 B．0 C．2 D．﹣12．计算（﹣）﹣2的结果为（）A．B．﹣2 C．D．163．若关于x的分式方程+=2有增根，则m的值是（）A．m=﹣1 B．m=0 C．m=3 D．m=0或m=34．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°5．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD6．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞ D．m2＞n27．使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（）A．3，4 B．4，5 C．3，4，5 D．不存在8．下列根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）9．的算术平方根为．10．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=°．11．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为．12．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是．13．方程=2的解是．14．若代数式有意义，则m的取值范围是．三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）15．计算：（）16．已知a、b都是实数，且|a﹣|+=0，计算a0+b﹣2﹣ab的值．四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）17．解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来．18．先化简，再求值：•+，其中x是从﹣1、0、1、2中选取的一个合适的数．19．甲、乙两校教师为教育基金会进行爱心捐款，其中甲校捐款额为6000元，乙校捐款额为9600元，已知乙校捐款人数比甲校捐款人数多30人，且两校人均捐款数相等．求甲、乙两校各有多少人捐款？人均捐款额多少元？20．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD．（1）求∠BAD和∠BDE的度数；（2）求证：AD=DE．五、解答题（本大题2个小题，每小题12分，共24分）21．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海轮公式告诉你计算的方法是：S=，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p=．我国宋代数学家秦九昭提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海轮﹣秦九昭公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在△ABC中，已知AB=5，BC=6，CA=7，求△ABC的面积；（2）计算（1）中△ABC的BC边上的高．22．思考：已知直线l1，l2，l3相互平行，怎样在三条直线上各取一点作出一个等边三角形？仔细阅读小明的作图方法并证明他的方法是正确的．作法：如图，先作等边三角形ADE，使A、E在l1上，D在l3上，DE与l2交于B点，连接AB；再在l3上取一点C，使DC=EB，连接AC、BC．则△ABC 是等边三角形．23．探究：如图，已知直线l1，l2，l3相互平行，在直线l1上任意一点A作为直角顶点，求作等腰直角三角形△ABC，使点B、C分别落在直线l2和l3上．请你给出作图方法并说明你的作图方法正确的理由．湖南省益阳市南县2015～2016学年度八年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若分式的值为0，则x的值为（）A．2或﹣1 B．0 C．2 D．﹣1【考点】分式的值为零的条件．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由题意可得：x﹣2=0且x+1≠0，解得x=2．故选：C．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．2．计算（﹣）﹣2的结果为（）A．B．﹣2 C．D．16【考点】负整数指数幂．【分析】首先把﹣化成﹣2﹣2，然后利用幂的乘方法则计算即可．【解答】解：原式=（﹣2﹣2）﹣2=（﹣2）4=24=16．故选D．【点评】本题考查了负整数指数次幂的计算，负指数次幂的计算与正指数次幂的计算方法相同，同样可以利用幂的运算性质．3．若关于x的分式方程+=2有增根，则m的值是（）A．m=﹣1 B．m=0 C．m=3 D．m=0或m=3【考点】分式方程的增根．【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣3），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3）得，2﹣x﹣m=2（x﹣3），∵分式方程有增根，∴x﹣3=0，解得x=3，∴2﹣3﹣m=2（3﹣3），解得m=﹣1．故选A．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．4．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【考点】等腰三角形的性质．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，∵AD=CD，∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．5．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD【考点】全等三角形的判定．【分析】根据题目所给条件∠ABC=∠DCB，再加上公共边BC=BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞ D．m2＞n2【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B、C；根据不等式的性质3，可判断D．【解答】解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质，．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变7．使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（）A．3，4 B．4，5 C．3，4，5 D．不存在【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再确定x的取值范围，最后根据x的取值范围找出x的整数解即可．【解答】解：根据题意得：，解得：3≤x＜5，则x的整数值是3，4；故选A．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8．下列根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．【考点】同类二次根式．【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果．【解答】解：A、，本选项不合题意；B、，本选项不合题意；C、，本选项合题意；D、，本选项不合题意；故选C．【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）9．的算术平方根为．【考点】算术平方根．【专题】计算题．【分析】首先根据算术平方根的定义计算先=2，再求2的算术平方根即可．【解答】解：∵=2，∴的算术平方根为．故答案为：．【点评】此题考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道=2，实际上这个题是求2的算术平方根．注意这里的双重概念．10．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=15°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°﹣40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=65°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°，故答案为：15．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中．11．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为x＞﹣1．【考点】一元一次不等式的应用．【专题】新定义．【分析】根据运算的定义列出不等式，然后解不等式求得不等式的解集即可．【解答】解：3⊕x＜13，3（3﹣x）+1＜13，解得：x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．【点评】此题考查一元一次不等式解集的求法，理解运算的方法，改为不等式是解决问题的关键．12．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是4．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由AB=AC，D是BC的中点，易得AD是BC的垂直平分线，则可证得△ACD≌△ABD，△OCD≌△OBD，△AOC≌△AOB，又由EF是AC的垂直平分线，证得△OCE≌△OAE．【解答】解：∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，∴OC=OB，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SAS）；同理：△COD≌△BOD，在△AOC和△AOB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS）；∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，∠OEA=∠OEC=90°，在Rt△OAE和Rt△OCE中，，∴Rt△OAE≌Rt△OCE（HL）．故答案为：4．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．13．方程=2的解是x=2．【考点】无理方程．【分析】首先根据乘方法消去方程中的根号，然后根据一元一次方程的求解方法，求出x的值是多少，最后验根，求出方程=2的解是多少即可．【解答】解：∵=2，∴3x﹣2=4，∴x=2，当x=2时，左边=，右边=2，∵左边=右边，∴方程=2的解是：x=2．故答案为：x=2．【点评】此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．（2）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．14．若代数式有意义，则m的取值范围是m≥﹣1，且m≠1．【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件可得m+1≥0，根据分式有意义的条件可得m﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：m+1≥0，且m﹣1≠0，解得：m≥﹣1，且m≠1，故答案为：m≥﹣1，且m≠1．【点评】此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）15．计算：（）【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式=2﹣﹣=2﹣﹣4=﹣3．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16．已知a、b都是实数，且|a﹣|+=0，计算a0+b﹣2﹣ab的值．【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；零指数幂；负整数指数幂．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵|a﹣|+=0，∴a﹣=0，b﹣1=0，∴a=，b=1，∴a0+b﹣2﹣ab=2﹣．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）17．解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：由①得，x＞﹣3，由②得，x≤2，故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．在数轴上表示为：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．先化简，再求值：•+，其中x是从﹣1、0、1、2中选取的一个合适的数．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后再约分得到原式=，由于x不能取±1，2，所以把x=0代入计算即可．【解答】解：原式=•+=+==，当x=0时，原式==﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．19．甲、乙两校教师为教育基金会进行爱心捐款，其中甲校捐款额为6000元，乙校捐款额为9600元，已知乙校捐款人数比甲校捐款人数多30人，且两校人均捐款数相等．求甲、乙两校各有多少人捐款？人均捐款额多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】设甲校捐款人数为x人，则乙校捐款人数为（x+30）人，根据“两校人均捐款数相等”列出方程并解答．【解答】解：设甲校捐款人数为x人，则乙校捐款人数为（x+30）人，依题意可得=，解得x=50．经检验，x=50是方程的解，且符合题意．此时=120．答：甲、乙两校捐款人数分别为50人、80人，人均捐款120元．【点评】本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．20．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD．（1）求∠BAD和∠BDE的度数；（2）求证：AD=DE．【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠DAB=30°，∠ABD=60°，根据BE=BD可得∠BDE=∠BED，根据∵∠BDE+∠BED=∠ABD即可求得∠BDE=30°．（2）根据等角对等边即可证得结论．【解答】解：（1）∵等边三角形三线合一，∴BD为∠ABC的角平分线，∴∠BAD=30°，∠ABD=60°，∵BE=BD，∴∠BDE=∠BED，∵∠BDE+∠BED=∠ABD，∴∠BED=∠BDE=30°，∴∠BAD=∠BDE=30°；（2）∵∠BAD=∠BDE=30°∴AD=DE．【点评】本题考查了等边三角形各边相等的性质，等腰三角形底角相等的性质，本题中求证∠BAD=∠BDE=30°是解题的关键．五、解答题（本大题2个小题，每小题12分，共24分）21．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海轮公式告诉你计算的方法是：S=，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p=．我国宋代数学家秦九昭提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海轮﹣秦九昭公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在△ABC中，已知AB=5，BC=6，CA=7，求△ABC的面积；（2）计算（1）中△ABC的BC边上的高．【考点】二次根式的应用．【分析】（1）由三角形的边角命名修改找出a、b、c的值，代入海伦公式即可得出结论；（2）由三角形的面积S=底×高÷2，代入数据，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB=5，BC=6，CA=7，∴a=6，b=7，c=5，p==9，∴△ABC的面积S==6．（2）设BC边上的高为h，则×6×h=6，解得h=2．【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明白海伦公式的运用，代入数据即可．22．思考：已知直线l1，l2，l3相互平行，怎样在三条直线上各取一点作出一个等边三角形？仔细阅读小明的作图方法并证明他的方法是正确的．作法：如图，先作等边三角形ADE，使A、E在l1上，D在l3上，DE与l2交于B点，连接AB；再在l3上取一点C，使DC=EB，连接AC、BC．则△ABC 是等边三角形．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．【分析】可以判定△AEB≌△ADC，即可得∠EAB=∠DAC，可得∠DAC+∠BAD=∠EAB+∠BAD=60°，即可解题．【解答】证明：由于△AED为等边三角形，直线l1，l2，l3相互平行，∴AE=AD，∠EAD=∠ADC=∠AED=60°，又EB=DC，在△AEB与△ADC中，∴△AEB≌△ADC，则AC=AB，∠EAB=∠DAC，∴∠DAC+∠BAD=∠EAB+∠BAD=60°，∴△ABC为等边三角形．【点评】此题考查了全等三角形的判定与全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．23．探究：如图，已知直线l1，l2，l3相互平行，在直线l1上任意一点A作为直角顶点，求作等腰直角三角形△ABC，使点B、C分别落在直线l2和l3上．请你给出作图方法并说明你的作图方法正确的理由．【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质．【专题】作图题．【分析】先作AD⊥l2，垂足为D，再在l1上取一点E，使AE=AD，作EB⊥l3，垂足为B，连接AB，接着在l2上取一点C，使DC=EB，连接AC、BC，则△ABC为所作．要说明△ABC为等腰直角三角形，证明△AEB≌△ADC得到∠BAE=∠DAC，AB=AC，则可得到∠DAC+∠BAD=∠EAB+∠BAD=90°，于是可判断△ABC为等腰直角三角形．【解答】解：作法如图，在直线l1上任取一点A，作AD⊥l2，垂足为D；在l1上取一点E，使AE=AD；再作EB⊥l3，垂足为B，连接AB；在l2上取一点C，使DC=EB，连接AC、BC，则△ABC是等腰直角三角形；证明：在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC，∴∠BAE=∠DAC，AB=AC∴∠DAC+∠BAD=∠EAB+∠BAD=90°，∴△ABC为等腰直角三角形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．。