八年级数学勾股定理及其常考题型

勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。

（苏科版）八年级上册数学《第3章 勾股定理》3.1 勾股定理●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.◆1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.◆3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，则a 2 + b 2 = c 2、 a 2 = c 2 - b 2、b 2 = c 2 - a 2；22b a c +=、22b c a -=、22a c b -=.【拓展】◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＞c 2.◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＜c 2.●通过拼图证明勾股定理的思路：（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.●下面列举几种证明方法：◆1、“赵爽弦图”证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．◆2、我国数学家邹元治的证明方法证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+12ab×4，化简得：a2+b2＝c2．◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+12c2，化简得：a2+b2＝c2．【例题1】在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，则斜边的长为 ．【分析】根据勾股定理直接求出斜边的长即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，=15．故答案为：15．【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式1-1】已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．【分析】（1）利用勾股定理计算c=（2）利用勾股定理计算b=【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c==＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：b==＝5．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．【变式1-2】（2022秋•东方期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，在Rt △ABD 中，AD 8，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式1-3】（2022秋•新泰市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则点C 到直线AB 的距离是（ ）A ．185B ．3C ．125D ．2【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=5，∵AC⋅BC2=AB⋅CD2，∴3×42=5CD2，解得CD＝2.4，故选：C．【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．【变式1-4】（2021春•连州市期中）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于（ ）A．10B．12C．24D．48【分析】本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE＝∠DEC＝60°∴∠AEB＝∠CDE＝30°∵30°所对的直角边是斜边的一半∴AE＝6，DE＝8又∵∠AED ＝90°根据勾股定理∴AD ＝10．故选：A ．【点评】解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．【变式1-5】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长为 ．【分析】根据勾股定理可以求得AB 的长，然后根据线段垂直平分线的判定方法可以得到MN 为线段AB 的垂直平分线，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CD 的长．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ==5，连接NA ，NB ，MA ，MB ，如图所示，∵分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，∴NA ＝NB ，MA ＝MB ，∴直线MN 垂直平分AB ，∵直线MN 交AB 于点D ，∴点D 为AB 的中点，∴CD 为Rt △ACB 斜边上的中线，∴CD =12AB =52，故答案为：52．【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-6】（2022春•河北区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．【分析】根据勾股定理求出BC即可；根据勾股定理求出AD，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△CDB中，由勾股定理得：BC=15，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=16，∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．答：AB的长为25，BC的长为15．【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是对定理的掌握和运用．【变式1-7】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5．（1）求CD的长；（2）求DE的长．【分析】（1）先证明三角形ABC是直角三角形，再根据等面积法即可求解；（2）根据勾股定理求出BD的长即可求解．【解答】解：（1）∵CE是AB边上的中线，∴AE＝BE＝5，∴AB＝10，又∵AC＝8，BC＝6，∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2，∴△ABC是直角三角形，又∵CD是△ABC的高，∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=4.8；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD=3.6，∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【例题2】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法．如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，证明中用到的面积相等关系是（ ）A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEFB．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEFC．S△BDH＝S△FGHD．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH【分析】通过用两种方法计算梯形BCEF的面积即可证明勾股定理．【解答】解：∵矩形ACBD旋转得出矩形AGFE，∴△ABC≌△FAE，∴AB＝AF，∠BAC＝∠AFE，∵∠AFE+∠EAF＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形，由题意知：S梯形BCEF =12（a+b）•（a+b）=12(a+b)2=12a2+ab+12b2，S△ABC+S△ABF+S△AEF=12ab+12ab+12c2=ab+12c2，∴12a2+ab+12b2=ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建立等量关系是解题的关键．【变式2-1】（2022春•三门峡期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A 、大正方形的面积为：c 2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+（b ﹣a ）2＝a 2+b 2，∴a 2+b 2＝c 2，故A 选项能证明勾股定理；B 、大正方形的面积为：（a +b ）2，也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a 2+b 2+2ab ，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ，∴B 选项不能证明勾股定理．C 、大正方形的面积为：（a +b ）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+c 2＝2ab +c 2，∴（a +b ）2＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2，故C 选项能证明勾股定理；D、梯形的面积为：12（a+b）（a+b）=12（a2+b2）+ab，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：12ab×2+12c2＝ab+12c2，∴12（a2+b2）+ab＝ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式，熟练掌握内弦图、外弦图是解题的关键．【变式2-2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A．9B．6C．4D．3【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，∴4×12ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．【变式2-3】（2022春•高安市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（ ）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】根据勾股定理和大正方形面积为25，可以判断①；根据小正方形面积为1，可以判断②；根据大正方形面积为25，小正方形面积为1，可以得到四个直角三角形的面积，从而可以得到ab的值，即可判断③；根据完全平方公式可以判断④．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2＝25，故①正确；∵小正方形面积为1，∴小正方形的边长为1，∴a﹣b＝1，故②正确；∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴12ab＝（25﹣1）÷4，解得ab＝12，故③正确；∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正确；故选：D．【点评】本题考查勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．【变式2-4】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A ．36B ．76C ．66D ．12【分析】由题意∠ACB 为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC 延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则x 2＝122+52＝169，所以x ＝13，所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．故选：B ．【点评】此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．【变式2-5】用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c 2＝a 2+b 2．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AC ＝4，BC ＝3，求CD 的长度；（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a +b ）2的值（a ＜b ）．【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法求解即可；（2）根据直角三角形的面积公式求解即可；（3）根据小正方形的为1得出2ab ＝12，再结合c 2＝13即可求解．【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积＝c 2＝4×12ab +(b ―a )2，整理得，c2＝a2+b2；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=5，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=125；（3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，∴c2＝13，（b﹣a）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，即（a+b）2的值为25．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键．【变式2-6】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF 与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC ＝b ，∴正方形ACDE 的面积为b 2，∵CD ＝DE ＝AC ＝b ，BC ＝a ，EF ＝BC ＝a ，∴BD ＝CD ﹣BC ＝b ﹣a ，DF ＝DE +EF ＝a +b ，∵∠CAE ＝90°，∴∠BAC +∠BAE ＝90°，∵∠BAC ＝∠EAF ，∴∠EAF +∠BAE ＝90°，∴△BAE 为等腰直角三角形，∴四边形ABDF 的面积为：12c 2+12（b ﹣a ）（a +b ）=12c 2+12（b 2﹣a 2），∵正方形ACDE 的面积与四边形ABDF 的面积相等，∴b 2=12c 2+12（b 2﹣a 2），∴b 2=12c 2+12b 2―12a 2，∴12a 2+12b 2=12c 2，∴a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明．【例题3】如图，当正方形B的面积为64，正方形C的面积为100时，正方形A的面积为（ ）A．36B．25C．16D．6【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【解答】解：由图可知，△DEF是直角三角形，∴DE2+DF2＝EF2，∵正方形B的面积＝DF2，正方形C的面积＝EF2，正方形A的面积＝DF2，正方形B的面积为64，正方形C的面积为100，∴正方形A的面积＝100﹣64＝36．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．【变式3-1】（2022秋•渠县期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：由勾股定理，得正方形E的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积，正方形E的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积，则正方形B的面积＝18﹣6﹣4＝8，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-2】（2022秋•南京期末）如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（ ）A．8B．4C．2D．【分析】由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC＝CB＝2，进而可求得S△ACB＝2，再利用阴影部分的面积＝以AC为直径的圆的面积+△ACB的面积﹣以AB为直径的半圆的面积计算可求解．【解答】解：在等腰Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝∴AC 2+BC 2＝AB 2＝8，∴AC ＝CB ＝2，∴S △ACB =12AC •BC ＝2，∴S 阴影＝π（AC 2）2+S △ACB ―12π（AB 2）2＝π+2﹣π＝2，故选：C ．【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，理清阴影部分的面积＝以AC 为直径的圆的面积+△ACB 的面积﹣以AB 为直径的半圆的面积是解题的关键．【变式3-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A ＝4，S B ＝2，S c ＝2，S D ＝1，则S ＝（ ）A ．25B ．20C ．9D ．5【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【解答】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可知：S＝S F+S G＝S A+S B+S C+S D＝4+2+2+1＝9；即S＝9；故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-4】如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S2．如果S2+S1﹣S3＝18，则阴影部分的面积为　．【分析】由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，再根据S2+S1﹣S3＝18即可得出S1的值，即为图中阴影部分的面积．【解答】解：由勾股定理得，BC2﹣AC2＝AB2，即S2﹣S3＝S1，∵S2+S1﹣S3＝18，∴S 1＝9，由图形可知，阴影部分的面积=12S 1，∴阴影部分的面积=92，故答案为：92．【点评】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出S 2﹣S 3＝S 1，是解题的关键．【变式3-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm 2．【分析】如图根据勾股定理有S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，∴S 正方形C +S 正方形D +S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1＝162＝256（cm 2）．故答案为：256．【点评】本题考查了勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-6】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；（2）①根据AAS可以证明结论成立；②根据S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB，AC=CB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S 梯形ADEB ＝S △ADC +S △ACB +S △CEB ，∴(a b )(a b )2=ab 2+c 22+ab 2，化简，得：a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【例题4】（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．求BC 边上的高的长．【分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据等腰三角形的性质求出BD =12BC ＝4，根据勾股定理求出AD 的长即可．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD =12BC ＝4，∴AD==3，即BC 边上的高的长为3．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理是解题的关键．【变式4-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，若BE＝5，CE＝3，则AC的长为 ．【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：连接AE，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5，∵∠C＝90°，CE＝3，∴AC==4，故答案为：4．【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式4-2】（2021春•齐齐哈尔月考）已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长．【分析】作AD⊥BC，得∠ADC＝∠ADB＝90°，根据勾股定理和直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半计算即可．【解答】解：作AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠C＝30°，∴AD=12AC＝1，在Rt△ACD，根据勾股定理得，CD=∵∠B＝45°，∴∠DAB＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝1，则BC＝1∴AB=【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理和直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，这两个定理的应用是解题关键．【变式4-3】（2022春•阳新县期末）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（ ）A．14B．4C．14或4D．以上都不对【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC＝BD+DC＝9+5＝14；（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．【变式4-4】如图，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．连接CD，在点D的运动过程中，当△ACD 为等腰三角形时，AD 的长为 ．【分析】分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质，分别求解即可解决问题．【解答】解：①当AD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，∵AC ＝15，∴AD ＝AC ＝15．②当CD ＝AD 时，△ACD 为等腰三角形，∵CD ＝AD ，∴∠DCA ＝∠CAD ，∵∠CAB +∠B ＝90°，∠DCA +∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ，∴CD ＝BD ＝DA ＝12.5；③当CD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，如图，作CH ⊥BA 于点H ，则12×AB ×CH =12×AC ×BC ，∵AC ＝15，BC ＝20，AB ＝25，∴CH ＝12，在Rt △ACH 中，AH =9，∵CD ＝AC ，CH ⊥BA ，∴DH ＝HA ＝9，∴AD ＝18，综上所述：AD 的值为15或12.5或18．故答案为：15或12.5或18．【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【例题5】如图，阴影部分表示以Rt △ABC 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S 1和S 2．若S 1+S 2＝7，AB ＝6，则△ABC 的周长是（ ）A ．12.5B ．13C ．14D ．15【分析】根据勾股定理得到AC 2+BC 2＝AB 2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，∵S 1+S 2＝7，∴12×π×（AC 2）2+12×π×（BC 2）2+12×AC ×BC ―12×π×（AB 2）2＝7，∴AC ×BC ＝14，∴（AC +BC ）2＝AC 2+BC 2+2AC •BC ＝62+2×14＝64，∴AC +BC ＝8（负值舍去），∴△ABC 的周长＝AB +AC +BC ＝8+6＝14，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式5-1】如图，三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于E，已知CD=3，BD=5，求三角形ABC的周长．【分析】根据角平分线的性质得到DE=CD=3，根据勾股定理求出BE的长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，AC=AE，∵DE⊥AB，DE=3，BD=5，根据勾股定理得，BE=4，∴AC2+82=（AE+4）2，解得AE=6，则AC=6，∴三角形ABC的周长=AC+AB+BC=24．【点评】本题考查的是角平分线的性质和勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式5-2】如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（ ）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，可求出BE，再利用勾股定理列式求出BC，最后根据三角形的周长列式计算即可得解．【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADDC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝6，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，由勾股定理得，BC==8，∴△BDE的周长＝BE+BD+CD＝BE+BD+CD＝BE+BC＝4+8＝12（cm）．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．【变式5-3】在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，点E为AC的中点，连接BE，DE．若DE=132，BC＝12，则△ABE的周长为 ．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得到AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，再利用勾股定理求出AB＝5即可得到答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，∵BC＝12，∴AB=5，∴△ABE的周长为AE+BE+AB=5+2×132=18，故答案为：18．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【例题6】（2022春•范县期中）如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（ ）A．13B．15C．18D．19【分析】利用正方形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，∴BE=4，∴S△ABE=12AE⋅BE=12×3×4=6，∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴S正＝5×5＝25，∴S阴影＝S正﹣S△ABE＝25﹣6＝19．故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质与勾股定理，解题的关键是用割补法求阴影部分的面积．【变式6-1】如图，在△ABC中，AC＝BC＝17，AB＝16，求△ABC的面积．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理，以及三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∵AC＝BC＝17，AB＝16，∴AD＝BD=12AB＝8，∵AD2+CD2＝AC2，∴CD=15，∴S△ABC =12AB•CD=12×16×15=120．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式6-2】（2022春•桐城市期末）如图2，在△ABC 中，AC ＝8，AB ＝4，∠BAC ＝120°，求△ABC 的面积．【分析】过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，由勾股定理求出CD 的长，利用三角形面积公式可求出答案．【解答】解：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴∠ACD ＝30°，∵AC ＝8，∴AD =12AC ＝4，∴CD =∴S △ABC =12AB •CD =12×=【点评】此题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，求得出AB ，CD 的长是解题的关键．【变式6-3】如图在四边形ABCD 中，∠ABC ＝120°，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝5，求该四边形的面积．【分析】延长DA 和CB 交于O ，求出∠O ＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB 和OD ，根据勾股定理求出OA 和OC ，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：延长DA 和CB 交于O ，∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，∴∠DAB ＝∠C ＝∠OAB ＝90°，∵∠D ＝60°，∴∠O ＝30°，∵AB ＝4，DC ＝5，∴OB ＝2AB ＝8，OD ＝2DC ＝10，由勾股定理得：OA ==OC =∴四边形ABCD 的面积是:S △OCD ﹣S △OAB =12×OC ×CD ―12×OA ×AB =12×5―12×【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式6-4】如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝4，BD ＝10，BC ＝8，求四边形ABCD 的面积．【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，利用勾股定理和角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝6，再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △BCD 可求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，如图所示．∵∠BCD＝90°，BD＝10，BC＝8，∴BD=6，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝6，∴S四边形ABCD ＝S△ABD+S△BCD，=12AB•DE+12BC•CD，=12×4×6+12×8×6，＝36．【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．【例题7】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．【分析】（1）根据勾股定理AB2+BC2＝AC2，得出AB2+BC2＝2AB2，进而得出AB＝BC；（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE＝BF，进而证明结论．【解答】证明：（1）连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC．（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中∴∠AEB=∠BFC ∠BAE=∠CBF AB=BC，∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键．【变式7-1】已知AD是△ABC的中线，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，试说明AC2＝AE2﹣BE2．【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理可得AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2，从而证明结论．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD．∵∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2．故AC2＝AE2﹣BE2．【点评】考查了直角三角形的性质和勾股定理，注意线段相互间的转化．【变式7-2】已知，如图，△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高，M是AD边上任意一点．求证：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

(2)结论：① 有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

② 有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③ 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

例题：例1:已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

(1) 在 Rt △ ABC 中，/ C=90°① 若 a=5, b=12，贝U c= ________ ;② 若 a : b=3 : 4, c=10 贝U Rt A ABC 的面积是= _______ 。

(2)如果直角三角形的两直角边长分别为n 2-1 , 2n勾股定理知识点及主要题型 【知识点归纳】1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理 2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立 勾股定理 勾股定理的逆定理勾股定理的应用 1、 勾股数的应用2、 判断三角形的形状3、 求最大、最小角的问题 I 1面积问题 2、 求长度问题 3、最短距离问题」4、航海问题 5、 网格问题 6、 图形问题 考点一：勾股定理(1 )对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a 、b ，斜边为c ,那么一定有a 2b 2(n>1),那么它的斜边长是(2 2 2C. c b = aD.以上都有可能(4)已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A 、25B 、14C 、7D 、7 或 25例2:已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

(1) 直角三角形两直角边长分别为 __________ 5和12，则它斜边上的高为。

(2) 已知 Rt △ ABC 中，/ C=90 °，若 a+b=14cm , c=10cm ，贝U Rt △ ABC 的面积是( )A 、24 cm 2B 、36 cm 2c 、48 cm 2D 、60 cm 2(3)已知x 、y 为正数，且|X 2-4I + (y 2-3) 2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三 角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为()A 、 5B 、 25C 、 7D 、 15考点二：勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a,b,c 有关系，a 2 • b 2二c 2,那么这个三角 形是直角三角形。

《勾股定理》典型例题解析一、知识重点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：假如直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。

公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。

2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②知足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数或小数。

②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。

常有勾股数有：（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依照是两点之间线段最短。

二、考点解析考点一：利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，尝试究三个半圆的面积之间的关系．3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。