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3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ •••+nan=3n+1,求通项an 解: ∵ a1+2a2+3a3+· · · +nan=3n+1 (n≥1)
∴ a1+2a2+3a3+· · · +(n－1)an－1=3n（n≥2） 两式相减得： nan=3n+1－3n=2· 3n 2· 3n ∴an= n （n≥2） 而n=1时,a1=9
1 n 1 1 1 n 方法二：令an 1 x ( ) (an x ( ) ) 2 3 2 1 1 1 n 1 1 1 n 1 an 1 an ( ) x ( ) 与an 1 an ( ) 比较得 3 3 2 3 2 1 1 n 1 1 1 n ( ) x 1, x 3, an 1 3 ( ) (an 3 ( ) ) 3 2 3 2 1 n 1 1 2 数列an 3 ( ) 是以 为公比，以a1 3 ( ) 为首项 2 3 2 3 1 n 2 1 n 1 的等比数列 an 3 ( ) （ ） , 2 3 3 1 n 1 n a n 2 ( ) 3 ( ) 3 2
六待定系数法（构造法） 形如an1 pan q( p 0, p 1)的递推式 求法 : 待定系数法.令an 1 p(an ),
其中为待定系数, 化为等比数列
例 6： 数列an 满足a1 1, an1 2an 1 , 求an . 解：由题意可知：an+1+1=2(an+1) 所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比
an 1 是以 an 1 所以 2 为首项，以1为公差的等差数列. n 2 2
方法2：（代入法）
因为a1＝5,n≥2时，
n a 1 a 1 ( 2 a 2 1) 1 an 1 1 n 1 n 1 所以 n ， 2n 2 n 1 2n 2 n 1 所以 an 1 是以 an 1 2 为首项，以1为公差的等差数列. n 2 2
1 2 解 :由an 2S n , 得an 1 2Sn an , an 又an S n S n 1 (n 2) 代入上式化简得S n S n 1 1,由已知S1 a1 1 数列 Sn 是等差数列，公差为 1，首项为 1， Sn 1 （n 1 ） n n, an 0, S n 0 S n n , n 2时，an S n S n 1 n n 1 而n 1时，a1 1也适合上式 数列a n 的通项公式是an n n 1
例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分 别是下列各数。
1 1 1 1 1、 3 , 5 , 7 , 9 , ; 4 8 16 32
2 3 4 5 6 2、 , , , , . 3 8 15 24 35
an 2n 1
n
1 2 n 1
an （- 1） 2 （n 1） -1
{an }求通项.
的等比数列.
所以an+1=2n,即an=2n-1
练:已知an 中，a1 2, an1 3an +2, 求通项an .
反思：待定系数法如何确定x？
待定系数法： 即 令an+1+x=p(an+x) an+1=pan+px-x
q q n 1 an (1 ) p x= 根据已知 p1 p1Fra bibliotekn1练习：
1、写出下列数列的一个通项公式: (1) 9, 99, 999, 9999, …… 分析：注意观察各项与它的序号的关系 有 10－1，102－1，103－1，104－1 解：an=10n－1 (2) 1, 11, 111, 1111, …… 分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,· · · 联系
练习2
五、迭代法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
例5.已知{an}中, an= 3n－1+an－1 , (n≥2),a1=1,求通项an.
特点 逐项代换
解: ∵ an= 3n－1+an－1 (n≥2)
∴ an= 3n－1+an－1 = 3n－1 +3n－2+ an－2 =3n－1 +3n－2+ 3n－3 + an－3 = 3n－1 +3n－2+ 3n－3 +· · · +3+ a1 =3n－1 +3n－2+ 3n－3 +· · · +3+1 n －1 3 = 2
an 1 an 1 n 1 2 an 解法一：两边同除以（ ） 得 1, 令bn 1 n 1 3 1 n 1 n 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 n 1 bn 1 bn 1,即bn 1 3 （bn 3）， bn （ ） 3 3 3 3 3 an 4 2 n 1 1 n 1 n （ ） 3, an 2 ( ) 3 ( ) 1 3 3 3 2 ( )n 2
n个等式 相加得
（1）注意讨 论首项; (2)适用于 an+1=an+f(n)型递推 公式
an=( an－an－1)+(an－1－an－2)+ •••+ (a2 －a1)+ a1 =(n － 1)+(n －2)+ •••+2+1+1
2
n1 n n2 n 2 1 2
求法：累加法 an1 an f (n) 练习：
1 解：an= (10n－1) 9
(n N * )
这是特殊到一般的思想，也是数 学上重要的思想方法，但欠严谨！
二、公式法（利用an与Sn的关系 或利用等差、等比数列的通项公
式）
s1 主要是公式an sn s n 1
( n 1) ( n 2)
的运用
注意：（1）这种做法适用于所有数列； （2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.
练习：1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an 解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1] =4n－2 当n=1时, a1=1 不满足上式
因此 an=
1
(n=1)
4n －2(n≥2,
n N *)
不要遗漏n=1的情形哦！
2,已知数列an 中，an 0, S n是数列的前n项的和， 1 且a n 2 S n , 求a n an
∴an=
9 (n=1) 2· 3n * n N （ n ≥2, ） n
注意n的范围
三、累加法 (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)
例3.已知{an}中, an+1=an+ n (n∈N*),a1=1,求通项 an 解:由an+1=an+ n (n∈N*) 得 an+1 － an= n (n∈N*) a1 = 1 a2 －a1 = 1 a3 －a2 = 2 a4 －a3 = 3 ••• an－an－1 = n －1
反思 形如an1 pan f (n)( p 0, p 1)
an 1 an f (n) 求法 : 待定系数法或化为 n 1 n n 1 p p p 后累加法求解.
在数列{a n }中,已知a1 1,当n 2时, 有a n a n1 2n 1( n 2), 求数列 的通项公式.
四、累乘法 (形如an+1 =f(n)•an型)
例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0, 求{an}的通项公式 解: ∵(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 － nan]=0
类型四、累乘法形如 an 1 f (n) an 的递推式
练习1： 已知 an 中，a1 2, an1 3n an , 求通项an .
an 解： 3 n 1 , an 1 ....... an 1 3n 2 , an 2 a3 32 , a2 an 2 3n 3 , an 3 an 3 3 n 4 an 4
q 所以数列{ an p 1 }是等比数列.
类型七、相除法形如 an1 Aan B An1 的递推式
例 8： 数列
an 满足:a1 3, an1 3an 3 求 an 通项公式.
n
n 1
,
解： an 3an 1 3
an an 1 n n 1 1 3 3
∵ an+1+ an>0
∴ (n+1) an+1 = nan
a n 1 n ∴ (n≥1) an n1 a2 a n a n1 n 1 n 2 n 3 2 1 ... 1 a1 ∴ an= ... n n 1 n 2 3 2 a1 a n1 a n2 1 n 注意：累乘法与累加法有些相 似，但它是n个等式相乘所得
（2）由（1）知 an 1 2 (n 1) 1 ,所以an＝（n＋1）2n＋1. 2n
形如递推式为an 1 p an q n ( p 1) 方法一 : 相除法（略）方法二：待定系数法构造等比数列，令 an 1 x q n 1 p (an xq n )( p 1)与已知递推式比较后解得x, 转化为 an xq n 是公比为p的等比数列（此法只适用于p q, 若 p q只能用方法一解决） 5 1 1 例7：已知数列a n 中，a1 , an 1 an ( ) n 1 , 求an 6 3 2
