关于房价的数学建模

一、问题重述房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。

我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。

请根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市，解决以下几个方面的问题：问题一：房价的合理性，并进行定量分析；问题二：房价的未来走势，并进行定量分析；问题三：进一步探讨使得房价合理的具体措施；问题四：进一步探讨对经济发展产生的影响，并进行定量分析。

二、问题分析问题一分析：本问需要我们通过分析所选城市的房价以及其影响因素，找出影响房价的主要原因，然后依此建立数学模型。

同时，根据得出的结论分析判断房价相对于当今社会经济是否合理。

第一，目前房地产业蓬勃发展的关键是社会的各项指标，各项因素综合决定的，社会经济指标的发展是地产业持续发展的推动力。

由此，我们分析相关数据的目的是要得出几条对房地产影响较大的社会经济指标，从而为继续研究做好基础。

但是，要去逐一分析每一种经济因素是不可能办到的，只能抓住主要因素去着重分析，所以我们经过查询“中国统计年鉴网”中部分代表城市的房价数据和有关书籍中的资料，大致得出以下几条对房价影响缠身主导作用的因素：建安成本，市场供求变化，土地成本、各种税费以及当地居民人均收入等。

然而，针对本问，虽然我们从相关资料中获取了大量数据，但从实际出发来看这些数据只能作为理论支撑的基础，模型并不是针对某一个城市，而是具有普遍用途，这样才能完美的达到本题的目的所在。

通过以上准备发现，该问题适合用随机模型和蛛网模型来解决。

通过随机模型模拟出影响价格的因素，再根据得出的因素作出假设，运用蛛网模型分析房价的合理性。

其中，随机模型是一种非确定性模型，变量之间的关系是以统计制的形式给出的，如果模型中任意变量不确定，并且随着具体条件的改变而改变，则该模型就是随机模型。

此模型主要是从投资者的投资组合的角度对房地产的形成机制进行考察，因此忽略了其他许多能够影响房地产价格形成的因素，如地价和房租价格等，也没有考虑房地产商及政府的作用。

而蛛网模型是一个动态模型。

在某些生产周期较长的商品在失去均衡时发生的不同波动情况的一种动态分析理论，是微观经济学里分析动态均衡价格比较经典的模型，一般用来分析诸如农产品、畜产品、房地产等生产周期较长的产品的均衡。

蛛网模型有收敛型蛛网、发散型蛛网、稳定型蛛网三种类型。

问题二分析：本问是对房价的未来走势进行定量分析，预测。

房价的高低涉及社会生活中多方面的经济利益，也是百姓生活中关注比较多、比较重要的问题之一。

较为准确的预测未来房地产的销售价格，对社会经济发展和人民生活极其重要，可以为经济决策提供参考，故其研究意义相当重大。

首先，我们应该进行数据挖掘，针对本文，一定要具备的是所研究城市的历年房价真实数据，从而才能真正意义上的通过建立模型、求解，拟算出下一阶段该城市的房价走势。

经分析可知，本问要用到相关的数学模型为灰色——马尔柯夫预测模型，根据大量的学者实验表明，该预测模型的算法可以提高预测的精度。

灰色——马尔柯夫预测模型由灰色系统和马尔柯夫预测模型结合而成，其中灰色模型是有中科技大学控制科学与工程系教授，博士生导师邓聚龙于1982年提出的。

是指如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特为灰色性。

具有灰色性的系统称为灰色系统。

有由于灰色预测所需信息较少，计算简便，精度较高，因此在社会经济系统的建模、分析和预测中得到广泛应用，但由于灰色预测是指以GM （1,1）模型为基础所进行的预测，GM（1,1）模型的解为指数型曲线，共预测的几何图形是一条较平滑的曲线，因而对波动性较大的数据列的拟合较差，预测精度较低。

而马尔柯夫概率矩阵预测适合于随机波动性叫大数据列的预测问题。

但是，马尔柯夫概率矩阵预测对象不但要求具有马氏链特点，而且要具有平稳过程等特点。

而现实世界中更大量的是随时间变化而呈现某种变化趋势的非平稳随机过程。

以上分析可知，灰色GM（1,1）预测与马尔柯夫概率矩阵预测的优点可以互补，GM（1,1）预测用来揭示数列的发展变化总趋势。

而马尔柯夫概率矩阵预测则用来确定状态的转移规律。

因而把两者结合起来，形成一个灰色——马尔科夫预测模型，它能充分利用历史数据给予的信息，可大大提高随机波动较大数据列的预测精度，进一步拓广灰色预测的应用范围。

为随机波动性较大数据列的预测提供一种新的方法。

问题三分析：房价问题一直是影响这国计民生的大问题，十分复杂，因此，要是某个城市的房价达到一定的合理程度，就要综合考虑影响房价的各个方面，各个层次，各个阶层的因素，然后针对每个方面提出相应的解决措施，改变原来的漏洞和缺陷，是房价逐步达到对每个方面都相对较为合理的程度。

问题四分析：随着房地产事业的火爆发展，房地产逐渐渗透到我国社会经济的方方面面，可以毫不夸张地打个比方说，房地产业打个喷嚏，我国经济就要感冒。

根据在网络上所查得的数据，经过我们分析房价与全社会固定投资总额、人均GDP、居民消费价格指数、城镇居民可支配收入、城市居民恩格尔系数都呈一定的非线性变化，因此我们可用非线性回归模型对房家对于我国经济各个方面的影响进行分析。

其中非线性模型可利用回归分析法进行求解。

所谓回归分析法，是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式）。

这是针对实际科学研究中常遇到不可线性处理的非线性回归问题,提出了一种新的解决方法。

它最优化方法中对无约束极值问题的一种数学解法。

三、模型的建立与求解问题一：随机模型假设：假设1. 在一个无交易成本的经济中，住房是同质的并且是无限可分的；假设2. 假定代表性消费者在每期具有两个收入来源, 一是非资产性收入I （t）,如工资收入，我们假定它满足：dI(t)=Ydt,其中Y为常数；假设3. 我们假定他拥有三种资产,无风险资产F、房地产H及除房地产资产外的其他风险资产S，（如股票），我们用A={F,H,S}来表示代表性消费者所拥有的资产集；假设4.P（t）分别为三种资产的即期价格，i∈A，并且服从ItO过程（几i何布朗运动）；假设5. 消费者通过按揭贷款来购买住房，并且按揭利率r为大于零的常m数，首付率为（1-β），其中β为按揭额度，并且0<β<1；假设6. 住房的折旧、日常的维护、物业管理费用及通货膨胀等因素可忽略。

蛛网模型假设：假设1. 房地产产品具有一定的生产周期；假设2. 房价的计算只考虑生产成本和市场供求；假设3. 理想房价是仅基于成本得到的房价，不考虑供求；假设4. 成本的花费包括地价（地面价格）、建安造价和各种税收；且每一个周期的地价、建安造价和税费率都维持不变；假设5. 容积率在每个周期维持不变；假设6. 需求量受到本周期的实际房价和理想房价的影响。

实际价格与理想价格的比值越大，需求量越少；反之，实际价格与理想价格的比值越小，需求量越多；假设7. 供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。

预测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；反之，预测价格与理想价格的比值越小，供应量越少；假设8. 理想房价=（地价+建安造价）*（1+税费率）；假设9. 供需平衡指：供应量=需求量。

符号说明：p：房价（元/平方米）p：理想房价（元/平方米）∇p：第n个周期的预测房价（n=1,2,3……）np∧：第n个周期的预测房价（n=1,2,3……）np：需求曲线和供应曲线的交点出的房价eA：地价（元/平方米）B ：建安造价（元/平方米）1σ：税率（%） 2σ：容积率（%）d n Q ：第n 个周期，居民对房子的需求量 （n=1,2,3……）s n Q ：第n 个周期，地产商的供应量 （n=1,2,3……）随机模型的建立：我们首先从离散时间的情形出发,假定消费者t 期的财富为W(t)和资产价格Pi 在t 期开始时是已知的,并定义i N (t)为t 期内,即t 期到t+h 期间(h>0)购买资产i 的数量(H N (t)=H(t)),假定消费者进入t 期开始时拥有投资于各种资产的财富， 并满足:()(),i i i AW N t P t ∈=∑ （1） 这样t 期的消费C(t),住房首付率及按揭贷款的利率支付与资产拥有量Ni(t)具有如下关系：()(1)()()()()[()()](),H m H i i i i A C t h p t h H t h h r P t h H t h hN t N t h P t ββ∈--------=--∑ （2）因此，可以得到：()(1)()()()()[()]()[()()][()()][()()]()H m H i i i i Ai i i i i A i i i i AC t h p t H t h r P t H t hN t h N P t h N t h N t P t h P t N t h N t P t ββ∈∈∈----=+-+=+-+-++-∑∑∑ （3）当h 趋向于0时，（1）式及（3）式可以变为:()(),i i i A W N t P t ∈=∑ （4）()(1)()()()()()()()()H m H i i i i i A i A C t dt p t H t dt r P t H t dtdN t dH t dN t P t ββ∈∈----=+•∑∑ （5）对（4）式中的()W t 取微分，并由It o ∧引理可以得到()()()()()()().i i i i i i i A i Ai A dW t N t P t dN t P t dN t dP t ∈∈∈=+•+∑∑∑ （6） （6）式中的最后两项()()()()i i i ii A i AdN t P t dN t dP t ∈∈•+∑∑可以看成从非资本 性收入中新增长财富的净值（它可以为负）。

即()()(1)()()()()()()()H m H i i i i i A i A dI t C t dt p t H t dt r P t H t dtdN t P dN t dP t ββ∈∈----=•+∑∑ （7）因此我们可以得到代表性消费者的预算方程()()()()()(1)()()()().i i i AH m H dW t N t P t dI t C t dtp t H t dt r P t H t dt ββ∈=+----∑ （8） ()()()/(),i i i n t N t P t W t i A =∈令，则为()i n t 为t 期消费者所拥有资产i 的价值占总财富额的份额，由定义可知()1i i An t ∈=∑。