2020届河南省周口市扶沟县2017级高三下学期开学考试数学(理)试卷及答案

河南省周口扶沟县高级中学2020学年高二数学下学期期末考试试题理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．22、设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3、如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为( )A ．－3B ．－6 C.32 D.234、已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D ．若m ，n 不平行．．．，则m 与n 不可能．．．垂直于同一平面 5、若圆x 2+y 2+2x - 4y=0关于直线l :3x+y+a=0对称,则直线l 在y 轴上的截距为( )A.-1B.1C.3D.-36、如图所示的流程图中，输出d 的含义是( )A ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离B ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的平方C ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的倒数D ．两条平行线间的距离7、观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )8、10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有( )A ．77种B ．144种C ．35种D ．72种9、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π.10、已知函数f (x )＝14x 2＋cos x ，f ′(x )是函数f (x )的导函数，则f ′(x )的图象大致是( )11、一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A ．148B ．124C ．112D ．1612、已知函数f (x )＝a x －1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围是( )A ．a <3B ．a ≤1 C．a >2 D ．a ≥3第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、22111()dx x x-=⎰ 14、已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．15、如图，圆锥SO 中，AB 、CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为________．16、周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17、(本小题满分10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限，(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．18、(本小题满分12分)在直角坐标系x O y 中,以坐标原点O 为圆心的圆与直线:x - y=4相切.(1)求圆O 的方程;(2)若圆O 上有两点M ,N 关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN 的方程. 19、(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：附：K 2的观测值k ＝n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d. (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？请说明理由．20、(本小题满分12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 在AD 1上移动，点N 在BD 上移动，D 1M ＝DN ＝a(0<a<2)，连接MN ．(1)证明：对任意a∈(0，2)，总有MN∥平面DCC 1D 1；(2)当MN 的长度最小时，求二面角M —BC —A 的平面角的余弦值。

河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷答 案一、选择题：共12题1~5．DCDCB 6~10．ABACD 11~12．CB 二、填空题：共4题 13．5 14．16 15．π416三、解答题：共7题17．解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且()122323a a a a a λ+==，①所以2123,3a a a a λ=+==，②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得11a =，22a =，所以n a n =，2λ=， 所以14b =，316b =，则12n n b +=． （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++L 111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++L 2323232n n n +=-++． 18．解：（1）由题意可知，所求概率12211123424233366C C C C 2221C ()(1)(1)C 33C 315P =⨯-+⨯-=， （2）设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，则X 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=．设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3，1(0)27P Y ==，123212(1)C ()339P Y ==⨯⨯=，223214(2)C ()339P Y ==⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===，则Y 的分布列为：所以1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（或因为2(3,)3Y B ~，所以2()323E Y =⨯=）， 222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()E X E Y =，()()D X D Y ＜可得，甲公司成功的可能性更大．19．证明：因为AB AC ⊥，AB AC =，所以90ACB ∠=︒， 因为底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥， 所以45ACD ∠=︒，即AD CD =，所以2BC AD =，因为2AE ED =，2CF FB =，所以2D 3AE BF A ==． 所以四边形ABFE 是平行四边形，则AB EF ∥，所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PA AC A =I ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC ．（2）因为PA AC ⊥，AC AB ⊥，所以AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角，若PC 与平面PAB 所成角为45︒，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC == 取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，2(0,,0)3E，P ，所以(1,1,0)EB =-u u u r，2(0,3EP =-u u u r ，设平面PBE 的法向量(,,)x y z =n ，则00n EB n EP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r u u g u r g ，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令3y =，则5x =，z =，=n ，因为(1,1,0)AC =u u u r是平面PAB 的一个法向量，所以cos ,AC 〈〉==u u u r n ，即当二面角A −PB −EPC 与平面PAB 所成的角为45︒． 20．解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以0M N y y y +=，214M N y y y =-，||||2M N MN y y =-=．（2）设直线l 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(),Q x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=． 124y y m +=，124y y n =-，因为3OP OQ =-u u u r u u u r g ，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-，所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =，因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =， 又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +=g ，求得208y =，此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =．21．解：（1）设切点的坐标为2(,e )t t ，由2()e x f x =，得22(e )x f x ='， 所以切线方程为22e 2e ()t t y x t -=-，即222e (12)e t t y x t =+-，由已知222e (12)e x x y x t =+-和1y kx =+为同一条直线，所以22e t k =，2(12)e 1t k -=， 令()(1)e x h x x =-，则()e x h x x =-'，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()(0)1h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0t =，2k =． （2）①当2k >时，有（1）结合函数的图像知： 存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x ＜，则不等式|()()|>2f x g x x -等价()()2g x f x x ->，即2(2)1e 0x k x -+->， 设2(2)1e x t k x =-+-，22()2e x t k =--'，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '＜得12ln 22k x -＞， 若24k ≤＜，12ln022k -≤，因为012(0,)(,ln )22k x ∞-⊆-，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减， 因为(0)0t =，所以任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >，与题意不符， 若4k >，12ln022k ->，1212(0,ln )(,ln )2222k k --⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增， 因为(0)0t = ，所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >符合题意， 此时取120min{0,ln}22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有|()()|>2f x g x x -． ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图像知()2e210(0)xx x -+≥>，所以22()()e 1e (21)(2)(2)0x x f x g x kx x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以|()()|>2f x g x x -等价于2e (2)10x k x -+->， 设2()e (2)1x x k x ϕ=-+-，则2()=2e (2)x x k ϕ'-+，由()0x ϕ'>得12ln 22k x +>，()0x ϕ'＜得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln)22k -上单调递减，注意到(0)0ϕ=， 所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0x ϕ<，不符合题设， 综上所述，k 的取值范围为()4,+∞．22．解：（1）由πcos()4ρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-)x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离π|)4|π2co ()4s t d t ++==+， 当π2ππ4t k +=+，即3π2π4t k =+，k ∈Z时，min 1d =． （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a << 故a的取值范围为．23．解：（1）当2x =时，()|2|g x a x =--取得最大值为a ，因为()|1||3|4f x x x =++-≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4， 因为关于x 的不等式()()f x g x <有解， 所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞．（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =，所以当2x <时，9()2g x x =+，令9()42g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-，所以12b =-，则6a b +=河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷解析1．【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式．A={x|x(5−x)>4}={x|1<x<4},B={x|x≤a}，若A∪B=B，则A⊂B，∴a≥4．故选D．2．【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义．∵z=a+2i32−i =a−2i2−i=(a−2i)(2+i)5=2a+25+a−45i，∴{2a+25>0a−45<0，解得−1<a<4．故选C．3．【解析】本题主要考查独立性检验．选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大．故选D．4．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式．由3cos2θ=tanθ+3得3sin2θ=−tanθ，∵θ≠kπ(k∈Z),∴3sinθcosθ=−1，即sin2θ=−23，则sin[2(π−θ)]=sin(2π−2θ)=−sin2θ=23．故选C．5．【解析】本题主要考查程序框图和数学史．模拟程序运行，可得：n=1，S=k,满足循环条件n<4,执行循环体，n=2，S=k2，满足循环条件n<4,执行循环体，n=3，S=k3，满足循环条件n<4,执行循环体，n=4，S=k4，不满足循环条件n<4,结束循环，输出S的值为k4，则k4=1.5，解得k=6．故选B．6．【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离．点(0,−2)到渐近线bx+ay=0的距离为√b2+a2=2ac=23，∴c=3a,∴b=2√2a，∵双曲线C 过点(√2,2√2)，∴2a 2−88a 2=1，解得a =1， 则双曲线C 的实轴长为2． 故选A ．7．【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质．∵x 0是函数y =f(x)−e x 的一个零点，∴f (x 0)−e x 0=0，即f (x 0)=e x 0， 又f(x)为奇函数，∴f (−x 0)=−f (x 0)=−e x 0， 当x =x 0时，．y =f (x )⋅e −x +1=0． 故选B ．8．【解析】本题主要考查三视图与体积．由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合．则该几何体的体积为V =13×22×1+12×1×2×2=103．故选A ．9．【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模．设AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25λ−5×4×cos60°=5，解得λ=35， 则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=25|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选C ．10．【解析】本题主要考查椭圆的几何性质．由题知，M 在椭圆的短轴上．设椭圆C 的左焦点为F 1，连结AF 1． ∵|OA|=|OF 2|，∴|OA|=12|F 1F 2|，即AF 1⊥AF 2， ∵|AF 1||AF 2|=|OM||OF 2|=12，∴|AF 1|=2√55c,|AF 2|=4√55c ，∴2a =|AF 1|+|AF 2|=6√55c ，则椭圆C 的离心率为e =ca =√53． 故选D ． 11．【解析】本题主要考查空间线面的位置关系．取DC 中点N ，连结MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ， ∴平面MNB ∥平面A 1DE ，∴MB ∥平面A 1DE ，故A 正确；取A 1D 中点F ，连结MF ，EF ，则EFBM 为平行四边形，则∠A 1EF 为异面直线BM 与A 1E 所成角，故B 正确； 点A 关于直线DE 的对称点为N ，则DE ⊥平面AA 1N ，即过O 与DE 垂直的直线在平面AA 1N 上，故C 错误； 三棱锥A 1−ADE 外接球半径为√22AD ，故D 正确．故选C．12．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值．g′(x)=−3x2+2x<0(x<0)，∴函数g(x)在(−∞，0)上单调递减，∴g(x)>g(0)=0．设A(x0，1aln(x0+1))，由斜边AB的中点y轴上可得B(−x0，x03+x02)，∵OA⊥OB，∴k OA∙k OB=−1，即1aln(x0+1)x0∙x03+x02−x0=−1，∴a=x0+1ln(x0+1)，设ℎ(x)=x+1ln(x+1)(e−1<x<e2−1)，则ℎ′(x)=ln(x+1)−1ln2(x+1)，∵e−1<x<e2−1,∴ℎ′(x)>0，∴ℎ(e−1)=e<ℎ(x)<ℎ(e2−1)=e22，即实数a的取值范围是(e,e22)．故选B．13．【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离．作出不等组表示的可行域，如图所示，z的几何意义为可行域内的点到点(0，−1)距离的平方．则z的最小值为点(0，−1)到直线2x+y−4=0距离的平方，z=(22)2=5．故答案为5.14．【解析】本题主要考查排列组合问题．把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有C52A22种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有C32+1种，则不同的分配方案种数为C52A22−(C32+1)=16．故答案为16．15．【解析】本题主要考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象和性质．由图可得T=2×(7π8−3π8)=π=2πω，∴ω=2，∵f(5π8)=2∴5π4+φ=π2+kπ(kϵZ),又|φ|<π2,∴φ=π4，∴f(x)=Asin(2x+π4)，又f(π8)=A=−2，∴f(x)=−2sin(2x+π4)，则g(x)=−2sin[2(x−7π24)+π4]=−2sin(2x−π3)．若函数g(x)在区间[−π3,θ](θ>−π3)上的值域为[−1,2]，则2θ−π3=π6，∴θ=π4．故答案为π4．16．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．由(a2+b2)tanC=8S得a2+b2=4abcosC=4ab∙a2+b2−c22ab，即a2+b2=2c2．由sinAcosB=2cosAsinB得a∙a2+c2−b22ac =2b∙b2+c2−a22bc，即a2−b2=13c2．∴a2=76c2，b2=56c2，∴cosA=b2+c2−a22bc=√3015．故答案为√3015．17．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和．（1）在λS n=a n a n+1中，令n=1，2得到关系式，再由等差数列的性质可得a n,λ，从而求得b1,b3，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到b n；（2）由等差数列的前n项和公式可得S n，代入求出c n，利用裂项求和可得T n．18．【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差．（1）根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；（2）分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论．19．【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小．（1）由平面几何知识易证ABFE是平行四边形，得AB//EF，从而AC⊥EF，由线面垂直的性质得PA⊥EF，由线面垂直的判定可得EF⊥平面PAC，由面面垂直的判定可得结论；（2）易证AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角．取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A坐标原点建立空间直角坐标系A−xyz．分别求出平面PBE和平面PAB的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论．20．【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离．（1）设出点A坐标，由A、B点坐标可得圆C的方程，直线x=1方程联立，得关于y的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段MN的长；（2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x得关于y的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出l的方程．21．【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题．（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得k值．（2）分k>2和0<k≤2两种情况讨论．将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得．22．【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用．（1）利用x=ρcosθ,y=ρsinθ及两角和的余弦公式将l的极坐标方程化成直角坐标方程，设出P的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；（2）问题转化为对∀t∈R，acost−2sint+4>0恒成立．利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论．23．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解．（1）利用绝对值三角不等式可得f(x)的最小值，易得g(x)的最大值，问题转化为g(x)的最大值大于f(x)的最小值．为方程f(x)=g(x)的根，代入可求得a；当x<2时，由g(x)=f(x)min求出x，验证可得b，（2）由题知，72则a+b可得.。

2020届河南省2017级高三十调考试数学（理）试卷★祝考试顺利★第I 卷一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.已知集合A={x ∈Z|x>-1},集合2{|log 2},B x x =<则A ∩B=A.{x|-1<x<4}B.{x|0<x<4}C.{0,1,2,3}D.{1,2,3} 2.设复数z=1+bi(b ∈R),且23 4.z i =-+,则z 的虚部为 A.2iB.-2iC.2D.-2 3.在等比数列{}n a 中,6813511,,27a a a a a +==+则6a 的值为1.27A 1.81B 1.243C1.729D 4.右图的框图中,若输入15,16x =则输出的i 值为A.3B.4C.5D.6 5.已知0.83log 0.8,3,a b == 2.10.3,c =,则A.a<ab<cB.ac<b<cC.ab<a<cD.c<ac<b6.已知某函数的图像如图所示,则其解析式可以是.sin()x x A y e e -=+.sin()x x B y e e -=- .cos()x x C y e e -=- .cos()x x D y e e -=+7.《算数书》竹简于上世纪八十年代出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h,计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式23112v L h ≈相当于将圆锥休积公式中的π近似取为 22.7A 25.8B 28.9C 82.27D 8.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,f(x+1)是偶函数,且当x∈(0,1］时,()32,x f x =-则f(2019)+f(2020)=A.-1B.0C.1D.29.甲乙两运动员进行乒乓球比赛,采用7局4胜制.在一局比赛中,先得11分的运动员为胜方,但打到10平以后,先多得2分者为胜方.在10平后,双方实行轮换发球法,每人每次只发1个球｡若在某局比赛中,甲发球赢球的概率为1,2甲接发球赢球的概率为2,5则在比分为10:10后甲先发球的情况下,甲以13:11赢下此局的概率为2.25A3.10B 1.10C 3.25D 10..已知12(,0),(,0)A x B x 两点是函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,φ∈(0,π))与x 轴的两个交点,且满足12min ||3x x π-=,现将函数f(x)的图像向左平移6π个单位,得到的新函数图像关于y 轴对称,则φ的可能取值为()。

2017年河南省周口市扶沟二中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+32．（5分）已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A．﹣6 B．6 C．D．﹣3．（5分）已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A．B．5 C．7 D．4．（5分）已知，则的值等于（）A．B．C．D．5．（5分）设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．816．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．7．（5分）设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．248．（5分）已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π29．（5分）若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．（5分）四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π12．（5分）设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n，且3S n﹣2a n=1，则{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）已知双曲线C ：﹣=1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2=，则双曲线的离心率．16．（5分）在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M 为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA （m∈R），且a2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．18．（12分）为了研究学生的数学核心素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求随机变量X的分布列及其数学期望．19．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．20．（12分）已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C 1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M 的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（e x﹣a）+g'（e x），x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈[2，+∞），都有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立，求a的范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2017年河南省周口市扶沟二中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+3【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题，则命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为∃x＞0，log2x≥2x+3，故选：B．2．（5分）已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A．﹣6 B．6 C．D．﹣【解答】解：由m=4﹣xi，n=3+2i，得==，∵复数∈R，∴，解得x=．故选：D．3．（5分）已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A．B．5 C．7 D．【解答】解：根据题意，双曲线+=1，焦点在y轴上，则有，解可得a＜2，又由其焦距为4，即c=2，则有c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a=；故选：D．4．（5分）已知，则的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴cos[π﹣（+2θ）]=﹣cos（+2θ）=﹣cos2（+θ）=﹣[1﹣2sin2（+θ）]=﹣，解得：sin2（+θ）=，∴=±．故选：B．5．（5分）设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．81【解答】解：集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，集合A满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”，设M={0}，N={﹣1，1}，①A中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从N中取，取法总数有：=32，②A中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从N中取，取法总数有：=24，③A中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从N中取，取法总数有：=8，④A中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有：=1，∴集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为：32+24+8+1=65．故选：B．6．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．7．（5分）设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．24【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y≤10﹣2x，则2xy≤2x（10﹣2x）=4x（5﹣x））≤4（）2=25，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故2xy的最大值为25，故选：A．8．（5分）已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π2【解答】解：表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一，故a6+a8==4π，∴a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82=a62+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16π2．故选：D．9．（5分）若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵ab+ac+bc+2，∴a2+ab+ac+bc=6﹣2（6﹣2）×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，所以2a+b+c≥2﹣2，故选：D．10．（5分）椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．（5分）四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选：C．12．（5分）设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=e x，当x＞0时，故此等式可化为：f'（x）=，且当x=2时，f（2）=，f'（x）==0，令g（x）=e x﹣2x2f（x），g（2）=0，求导g′（x）=e x﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e x﹣=（x﹣2），当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，g（z）的最小值为g（2）=0，则f'（x）≥0恒成立，∴f（x）的最小值f（2）=，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288用算筹可表示为，故答案为14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n，且3S n﹣2a n=1，则{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【解答】解：3S n﹣2a n=1，n=1时，3a1﹣2a1=1，解得a1=1．n≥2时，3S n﹣1﹣2a n﹣1=1，相减可得：a n=﹣2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，公比为﹣2．∴a n=（﹣2）n﹣1．故答案为：（﹣2）n﹣1．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2=，则双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±，设M在直线y=上，M（x0，），F（c，0），则MF==b，OM===a，∵2=，∴FN=2b，=2S△OMF，∴S△OFN即=2×∵∠MOF=∠NOF，∴ON=2a，在Rt△OMN中，由勾股定理得a2+9b2=4a2，∴b2=，∴e==．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M 为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为[1，2] ．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧BC上一动点，∴p≥0，q≥0，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA （m∈R），且a2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得b+c=ma，a2﹣4bc=0．当时，，bc=1．解得．（2）．∴，又由b+c=ma可得m＞0，所以．18．（12分）为了研究学生的数学核心素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求随机变量X的分布列及其数学期望．【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5.；；；；．∴随机变量X的分布列为：∴=．19．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，又∵，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cos＜＞==．∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．20．（12分）已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C 1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．又圆与直线即相切，∴．∴圆．由题意，，得，∴．∴，即∴将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．由求根公式得．（*）∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．化简可得，．将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．即，又．将代入，可得=．∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，∴．（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，联立解得，同理求得，故．综上，得．21．（12分）已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（e x﹣a）+g'（e x），x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈[2，+∞），都有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立，求a的范围．【解答】解：（I）h（x）=（x﹣a）e x+a．h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．①当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在[﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为．②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈[﹣1，a﹣1]上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈[a﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．③当a﹣1≥1即a≥2时，在[﹣1，1]上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣e a﹣1+a，当a≥2时，h（x）最小值为（1﹣a）e+a．（II）设，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F （x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．②当a≤﹣1时，令，解得：，此时∴．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．③当﹣1＜a＜0时，此时，当时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当时，F''（x）＜0，F'（x）递减．∴=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，∴在上F'（x）＞0，F（x）递增，又∵F（2）=0，所以在上F（x）＞0，显然不合题意．综上所述：a≤﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα=0，∴ρ2sin2α=2ρcosα，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x．（2）直线l的参数方程，（t为参数，0＜θ＜π），把直线的参数方程化入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，t1•t2=﹣，|AB|=|t1﹣t2|===，∴当时，|AB|取最小值2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。