2014年秋九年级数学上册 21.2.2 公式法教案 (新版)新人教版
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21.2.2 公式法
教学内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）•的求根公
式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
教学过程
一、温故知新
（学生活动）用配方法解下列方程
总结用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知 明晰新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求
出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2
-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=242b b ac a -+-，x 2=242b b ac a
--- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax 2+bx=-c
二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a
配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a
）2=2244b ac a - 0
3642
=--x x
∵b 2-4ac>0且4a 2
>0 ∴22
44b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a
=±242b ac a - 即x=242b b ac a
-±- ∴x 1=242b b ac a -+-，x 2=242b b ac a
--- 由上可知，一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=242b b ac a
-±-就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
0187)1(2=--x x x x 323)2(2=+ _6)31)(2)(3(=--x x
通过上面三个方程的求解，你发现了b 2
-4ac 与方程的根有什么关系吗？
三、师生互动 促进理解
同学们，学方程的目的是解决实际问题，请看本章引言的问题你能解决吗？
求本章引言中的问题，雕像下部高度x (m)满足方程
()x x x 8542)4(-=-
（2）当 时，有两个相等的实数根。
（1）当 时，有两个不等的实数根。
042>-ac b 221244,;
22b b ac b b ac
x x a a -+----==042=-ac b 12;
2b
x x a -==042<-ac b ）
（0 02≠=++a c bx ax 一元二次方程的根的情况
（3） 当 时，没有实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
242b b ac
x a
-±-∴=3、代入求根公式: 2、求出 的值，
24b ac -4、写出方程的解： 12
x x 、注意：当 时，方程无解。
240b ac -<1、把方程化成一般形式，并写出 的值。
a b 、、c ()
1148432+=++x x x ()
026312=--x x ()0
6422=-x x
解：得
如果上面的解题过程看作思维操的话，下面的两题就是花样体操。
四、拓展延伸 1、关于x 的一元二次方程 有两个实根，则m 的取值范围是——
解：
∴
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根的两种情况。
2、关于x 的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k 的取值范围是 （ ）
A.k>-1
B. k>-1 且k ≠ 0
C. k<1
D. k<1 且k ≠0
解:∵ ＞0
∴k ＞-1
又∵k ≠0 ∴ k ＞-1且k ≠0
反思是数学思维活动的核心和动力，它可以优化我们的学习过程，提高学习效率。
五、小结与反思
1、这节课你获得了哪些知识与方法？
2、这节课你在解决问题的过程中，有哪些易错点？
3、这节课你还有哪些疑惑未解决？
(),512
20212414222±-=±-=⨯-⨯⨯-±-=x 5
1,5121--=+-=x x 精确到0.001，x 1≈ 1.236，x 2≈ －3.236
但是其中只有x 1≈1.236符合问题的实际意义，所以雕像下部高度
应设计为约1.236m 。
022=+-m x x 04414)2(422
≥-=⨯⨯--=-m m ac b 1
≤m k k ac b 44)1(4)2(422+=---=-。
