开放性与探索性问题

探索型问题一（开放性问题）【考点透视】习惯上，人们把命题者对解题者的要求，将数学问题分为两类：一类是问题的条件和结论都有确定要求的题型；另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者为封闭题型，后者为开放题型.开放性问题的基本形式有：条件开放题（问题的条件不完备）；结论开放题（问题的结论不确定或不唯一），这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结构的开放题. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答.开放性问题对于训练和考查学生的发散思维，进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的.教育部在《2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》中特别指出：数学考试“应设计一定结合情境的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见，所以在近年的各地中考中，开放性试题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视. 【典型例题】 一、条件开放题解条件开放题，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立. 这两种情况所需补充的条件往往不惟一.例1 （1）如图7.1，△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上的一点，要使 △ABC∽△BCD，还需要添加一个条件，这个条件可以是__________ _______________________（只需填写一个你认为适当的条件即可）.（2001年淄博市中考题） （2）如图7.2，在△ABC 和△FED 中，AD=FC ，AB=FE ，当添加条 件：__________________时，就可得到△ABC≌△FED（只需填写一个你认为正确的条件）. （2003年无锡市中考题） 解：（1）BD=BC.（也可以是：∠ABC=∠BDC；或∠A=∠DBC；或BC∶CD=AC∶BC；或BC 2=AC•CD 中的某一个）（2）∠A=∠F. （或BC=ED 等） 说明：开放题的一个显著特点是：答案的不唯一性. 第（1）小题中，我们只需给出能使结论成立的一个答案即可.例2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2,4x y =⎧⎨=⎩和2,4x y =-⎧⎨=-⎩，试写出符合要求的方程组____________________________.（只要填写一个即可）（2000年安徽省中考题）分析：我们只要分别构造出一个既含x ，又含y 的一个二元一次方程和一个二元二次方程. 构造方程实际上就是寻找x 与y 之间的关系.解：2,8.y x xy =⎧⎨=⎩说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个点A （2，4），B （-2，-4），则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式（也是一个二元一次方程）和一个二次函数的解析式（也是一个二元二次方程，这个方程不唯一）.B A CD 图7.1AB C DEF 图7.2本题在解法上可以用代数的方法来解，也可用几何的方法来解（形数结合——一种重要的数学思想方法）；可以用待定系数法，运用演绎推理的方法来解，也可用直觉思维的方法来解，所以本题既是一个条件开放题，也是一个策略开放题.例3 已知：如图7.3.1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是BD 的中点，过A 点的切线与CB 的延长线交于点E.（1）求证：AB•DA=CD•BE；（2）若点E 在CB 延长线上运动，点A 在BD 上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）（2000年北京海淀区中考题）分析：本题的（2）是一个条件开放题.由于本题的结论与（1）相同，所以这一条件的获得，我们可以从（1）的证明过程中受到启示.（1）证明：连结AC.∵A 是BD 的中点,∴AB AD =,∠ACB=∠ACD.∵EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB=∠ACB.又∵∠ABE=∠D，∴△EAB∽△ACD，∴AB∶CD=EB∶AD， ∴AB•AD=CD•BE.（2）解：如图7.3.2中，若有△EAB∽△ACD，则原结论成立，故我们只需探求使△EAB∽△ACD 的条件. 由于∠ABE=∠D，所以只要∠BAE=∠DAC 即可，这只要BF CD =即可.所以本题只要BF AD =，原结论就成立.说明：探求条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中的一种重要的解题方法——分析法. 例4 如图7.4，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧AC 上一点，DE⊥AB 于点H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点.（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切？为什么？（2）点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE·DF？为什么？ (2002年济南市中考题)分析：（1）连OC.要使PC 与⊙O 相切，则只需∠PCO=900即可. 由∠OCA=∠OAC，∠PFC=∠AFH，即可寻找出△PCF 所要满足的条件 （2）要使AD 2=DE·DF，即AD DFDE AD=，也就是要使△DAF∽△DEA， 这样问题就较容易解决了.解：（1）当PC=PF （或∠PCF=∠PFC，或△PCF 是等边三角形）时，PC 与⊙O 相切. 连OC.∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC，图7.3.1图7.3.2H BAEP O CD F 图7.4∴∠PCO=∠PCF+∠OCA=∠PFC+∠OAC=∠AFH+∠AHF=900, ∴PC 与⊙O 相切.（2）当点D 是AC 的中点时，AD 2=DE·DF. 连结AE.∵AD CD =，∴∠DAF=∠DEA. 又∵∠ADF=∠EDA，∴△DAF∽△DEA， ∴AD DF DE AD=，即AD 2=DE·DF. 说明：本题是探索性开放题,在解决这类问题时,我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件.如第(1)小题中,若要PC 与⊙O 相切,则我们需要怎样的条件.第(2)小题也是如此.二、结论开放题结论开放题通常是结论不确定或不惟一，解题时，需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论. 例5 如图7.5.1，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE⊥AC 于E ，可得结论DE 是⊙O 的切线.问：（1）若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 长为半径的圆 仍交BC 于D ，DE⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由.（2）如果AB=AC=5cm, sinA=35,那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O与AC 相切？ （2001年黑龙江省中考题）分析：（1）连OD. ∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=∠C，∴ OD∥AC， 从而可得OD⊥DE，结论仍然成立.（2）若⊙O 与AC 相切，设切点为F ，连OF ，则由Rt△AOF 中可 求得OF=158，即OB=158. 解：（1）结论仍然成立. 如图7.5.2，连OD ，则OD=OB ，∠OBD=∠ODB. 又AB=AC ，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE， ∴DE 是⊙O 的切线.（2）如图7.5.3，若AC 与⊙O 切于点F ，连OF ，则OF⊥AC，即△AOF 是直角三角形，∴sinA=355OF OB AO OB ==-， ∴OB=158， 即当OB=158时，⊙O 与AC 相切.说明：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题. 第（1）小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立；第（2）小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用图7.5.1AOBECD图7.5.2ABCO F图7.5.3方法.例6 如图7.6.1，⊙O 的直径AB ，过半径OA 的中点G 作弦CE⊥AB，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M.（1）求∠COA 和∠FDM 的度数；（2）求证：△FDM∽△COM；（3）如图7.6.2，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一 点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线 AB 于点F 、M. 试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？ 证明你的结论. （2003年苏州市中考题）（1）解：∵AB 是⊙O 的直径，CE⊥AB，∴AC CE ，CG=EG.在Rt△COG 中，∵OG=12OC ，∴∠OCG=30，∴∠COA=60. 又∠CDE 的度数=12CAE 的度数=AC 的度数=∠COA=60，∴∠FDM=180-∠COA=120.（2）证明：∵∠COM=180-∠COA=120，∴∠COM=∠FDM. 在Rt△CGM 和Rt△EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt△CGM≌Rt△EGM， ∴∠GMC=∠GME.又∠DMF=∠GME，∴∠OMC=∠DMF， ∴△FDM∽△COM.（3）解：结论仍然成立.∵∠FDM=180-∠CDE， ∴∠CDE 的度数=12CAE 的度数=AC 的度数=∠COA， ∴∠FDM=180-∠COA=∠COM.∵AB 为直径，CE⊥AB，∴在Rt△CGM 和Rt△EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt△CGM≌Rt△EGM， ∴∠GMC=∠GME， ∴△FDM∽△COM.说明：本题的第（3）小题是在第（2）小题改变条件的情况下，探求结论是否还成立. 在探求时应寻着（2）的解题思路来进行.三、解题策略开放题解题策略开放题，现在更多的是以要求解题者设计解题方案来设计题目.例7 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成，利用这副三角板构成一个含15DAF C EDM OG BAF CEMO G B 图7.6.1图7.6.20角的方法很多，请你画出其中两种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法.（2000年荆州市中考题）分析：本题可利用这副三角板中的角做“加减运算”：600-450，或450-300，或600+450-900等来得到150的角.解：如图所示. 图7.7.1中就包含有两中构造方法，∠ABD和∠ACD都等于15；图7.7.2中，∠EFG=15.请同学们试着拼出其它的图形.说明：这类拼图组合，给出了一定的条件，但解决问题的办法需要我们自己来寻找. 通常解决这类问题的方法不惟一. 用现有的工具去解决问题，这在实际生产和生活中常会遇到.例8 如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照图1按实际大小画在方格纸内（方格为1cm×1cm）.（1）不是正方形的菱形（一个）；（2）不是正方形的矩形（一个）；（3）梯形（一个）；（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）. （2001年徐州市中考题）解：（1）（2）3）（4）（5）（6）说明：本例是一道设计图形的开放性试题，这类题近几年在全国各地的中考试题中经常出现.设计型开放题，有利于培养学生的发散性思维能力，有利于充分发挥学生的想象力和创造力，这对培养学生的创新意识和创新精神具有着积极的作用，例9 有一种“二十四点”游戏，其规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可以运算得（1＋2＋3）×4＝24（注意上述运算与4×（1＋2＋3）应视作相同方法的运算）.现有四个有理数3，4，－6，10，用上述规则写出三种不同方法的算式，使其结果等于24，运算如下：（1）_____________________；（2）________________________；（3）_________________________.AB CD EFG图7.7.1 图7.7.1图7.8另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）____________________________，使其结果等于24. （2001年杭州市中考题）分析：“二十四点”游戏，小学生也可参加. 本题将数的范围扩大到整数范围，变成新的游戏，其实就是有理数的运算.本题具有开放性，答案是不唯一的.解：（1）3×[4＋（－6）＋10]＝24；（2）4－（－6）÷3×10＝24；（3）（10－4）－3×（－6）＝24. （4）[（－5）×（－13）＋7]÷3＝24.说明：本题将有理数的运算与学生熟知的游戏结合起来，使数学学习更具趣味性.四、题目结构开放题以看作是一个条件开放题.例10 某一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答.（2001年吉林省中考题）分析：这里“距离”和“速度”都有了，故我们可以考虑从时间上去把本题补完整. 解一：摩托车和运货汽车同时从甲地驶向乙地，则摩托车比运货汽车早到几分钟？设摩托车比运货汽车早到x 分钟，则4040603545x ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，x=4021.答：摩托车比运货汽车早到4021分钟. 解二：摩托车和运货汽车分别从甲地和乙地同时相向而行，则几分钟后它们相遇？ 设摩托车与运货汽车出发x 分钟后相遇，则（45+35）×60x= 40，x=30. 答：摩托车与运货汽车出发30分钟后相遇.解三：运货汽车从甲地出发10分钟后，摩托车从甲地出发去追赶运货汽车，问在到达乙地前，摩托车能否追上运货汽车？运货汽车走完全程需408357=小时，摩托车走完全程需408459=小时， 摩托车比运货汽车少用88167963-=小时.∵1610906360126-=>， ∴摩托车在运货汽车到达乙地前能追上.解四：摩托车和运货汽车分别从甲、乙两地沿由甲地往乙地的方向同向而行，问经过几小时摩托车可追上运货汽车？设经过x 小时摩托车可追上运货汽车，则 45x=40+35x ，解得x=4.答：经过4小时摩托车可追上运货汽车.说明：由于行程问题是大家比较熟悉的应用问题，所以我们还可以编出很多这样的问题来，同学们不妨试试.习题七一、填空题 1．（1）写出和为6的两个无理数_________________.（2003年绍兴市中考题）（2）若关于x 的方程x 2+kx-12=0的两根均是整数，则k 的值可以是______________.（只要求写出两个） （2001年浙江省中考题） 2．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，连结AD ，请你添加一个条件，使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由. 你添加的条件是_________________________.（2002年金华市中考题） 二、解答题3.做一做:用四块如图1的瓷砖聘成一个正方形,使 拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3 图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不 相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.（2003年无锡市中考题）4．先根据要求编写应用题，再解答你所编写的应用题.编写要求：（1）编写一道行程问题的应用题，使得根据题意列出的方程为120120110x x -=+； （2）所编应用题完整，题意清楚，联系生活实际且解符合实际. （2001年青岛市中考题）5．同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）. 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形. 方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等.（2000年广东省中考题）6．如图，⊙O 与⊙O 1完外切于点T ，PT 为其内公切线，AB 为其外公切线，A 、B 为切点，AB 与TP 相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明.（2001年杭州市中考题） 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，给出5个论断： ①CD⊥AB；②BE⊥AC；③AE=CE；④∠ABE=30；⑤CD=BE. （1）如果论断①②③④都成立，那么论断⑤一定成立吗？ 答：____________;（2）从论断①②③④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论， 组成一个真命题，那么你选的3个论断是__________________ （只需填论断的序号）；（3）用（2）中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组图1 图2 图3 图4 第3题A BP TO O 第6题ABD C E第7题BAE成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明.（2003年徐州市中考题）8．如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点.（1）求证：AF⊥CD；（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）.（2002年江西省中考题）9．已知在直角坐标系中，直线y=+x轴、y轴分别交于点A、点B，以AB为一边的等腰△ABC的底角为300，请在坐标系中画出△ABC，并求出点C的坐标.（2000年北京市崇文区中考题）10．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28.（1）求∠ACM的度数；（2）在MN上是否存在点D，使AB•CD=AC•BC？为什么？（2001年广州市中考题）参考答案：1. （1（2） 1,-1(或4，-4；或11，-11)2．答案不唯一. 添加的条件可以是：①AB=AC；②∠B=∠C；③BD=DC（或D是BC中点）；④∠BAD=∠CAD （或AD平分∠BAC）等.3．略.4．所编应用题符合编写要求. 正确设未知数、列方程，正确求出方程的解.5．方案（2）：若这角是直角，则这两个三角形全等.方案（3）：在两个钝角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（4）：在两个锐角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.6．AB=2PT. 证明略.7．（1）一定. （2）①、③、④. （3）已知，如图，在△ABCD、E分别在AB、AC上，CD⊥AB，AE=CE，∠ABE=30. 求证：CD=BE. 证明：作EF∥CD交AB于F. ∵AE=CE，∴AF=FD，∴CD=2EF. ∵CD⊥AB，∴EF⊥AB. 在Rt△EFB中，∠EFB=90，∠EBF=30，∴BE=2EF，∴CD=BE. 图要正确.8．（1）证明：连结AC、AD，∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，∴△ABC≌△AED，∴AC=A D. 又∵F为CD的中点，∴AF⊥CD.（2）①BE∥CD；②AF⊥BE；③△ACF≌△ADF；④∠BCF=∠EDF；⑤五边形ABCDE是以直线AF为对称轴的轴对称图形. （还可写出其它的结果）9．如图，C1（6，0），C2（0，-，C3（0），C4（-4，A BCMN第10题ACBDEF第7题C5（2），C6（2，.10．（1）∵AB是直径，∠ACB=90. 又∠A=28，∴∠B=62.又MN是切线，C为切点，∴∠ACM=62.（2）在MN上存在符合条件的点D. 证明：过点A作AD⊥MN 于D. 在Rt△ABC和Rt△ACD中，MN切半圆ACB于点C，∴∠B=∠ACD，∴△ABC∽△ACD，∴AB BCAC CD，即AB•CD=AC•BC.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

技术人员面试提问技巧在招聘技术人员的过程中，面试被视为最重要的环节之一。

面试时，面试官通过提问来了解应聘者的技术能力、专业知识和解决问题的能力。

本文将介绍几个技术人员面试的提问技巧，帮助面试官有效评估应聘者的能力。

1. 开放性问题：面试官可以通过开放性问题来了解应聘者的思维方式和解决问题的能力。

开放性问题要求应聘者详细解释自己的思路和展示解决问题的能力。

例如，面试官可以询问应聘者在处理复杂技术问题时的思考过程，或者要求应聘者解释一个技术概念。

2. 行动性问题：行动性问题可以帮助面试官了解应聘者在特定情况下如何采取行动。

这些问题要求应聘者提供实际的解决方案，而不仅仅停留在理论层面。

例如，面试官可以要求应聘者描述一个技术项目的实施过程，包括计划、执行和评估。

3. 探索性问题：探索性问题用于评估应聘者的深度和广度。

面试官可以通过这些问题来了解应聘者对技术领域的全面理解。

这些问题通常需要应聘者进行实际操作，展示他们的技术知识和技能。

例如，面试官可以要求应聘者编写一个简单的程序或解释一个复杂的算法。

4. 填空问题：填空问题可以帮助面试官评估应聘者对技术领域的熟悉程度。

面试官可以提供一些相关的技术术语或概念，并要求应聘者填写具体的定义或解释。

这些问题要求应聘者在短时间内提供准确的答案。

5. 心理学问题：心理学问题可以帮助面试官了解应聘者外在条件和内在素质。

这些问题可以从应聘者的个人发展和团队合作等方面进行提问。

例如，面试官可以询问应聘者在遇到困难时如何应对，或者能否适应不同的工作环境。

通过运用上述提问技巧，面试官能够更好地了解应聘者的技术能力和解决问题的能力。

在面试过程中，面试官还应该注意综合考虑应聘者的实际经验、专业技能和团队协作能力，以便做出全面的评估。

当然，面试官在提问时应该遵循公平公正的原则，以确保面试的公正性和准确性。

总结起来，技术人员面试提问技巧至关重要。

开放性问题、行动性问题、探索性问题、填空问题和心理学问题都是评估应聘者能力的有效方法。

N M HD CFE O图1一、双基强化一、 选择题【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的．】1．9的平方根是……………………………………………………………………（ ） （A ）3； （B ）－3； （C ）3和－3； （D ）9． 2．下列实数中，是无理数的是……………………………………………………（ ） （A ）2； （B ）25； （C ）722； （D ）cos 60． 3．在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是………………………………（ ）（A ）2a ； （B ）23a ； （C ）3a ； （D ）4a4．下列方程有实数根的是 ………………………………………………………（ ） （A ）210x x -+=； （B ）40x =； （C ）111x x x =--； （D ）210x +=． 5．某中学篮球队14名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是…………………………………………………………………………………………（ ） （A ）15，16； （B ）16，16； （C ）16，16.5； （D ）17，16.5． 6．如图1，EF 是⊙O 的直径，CD 交⊙O 于M 、N ，H 为MN 的中点，EC ⊥CD于点C ，FD ⊥CD 于点D ，则下列结论错误的是……（ ） （A ）CM ﹦DN ； （B ） CH ﹦HD ；（C ）OH ⊥CD ； （D ）EC OHOH FD=． 二、填空题：7．我国最长的河流长江全长约为6300千米，用科学记数法表示为 千米． 8．计算：4nn xx ÷= ．9．因式分解：2a 2－2＝ ． 10．化简221(1)(1)x x x ---的结果是 ． 11．方程+12x =的解是 ．年龄（单位：岁） 1415 16 17 18 人数23432Oxy图3图6DCB A图5则实数m 的取值范围是 ．13．从等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰梯形共6个图形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率为 ．14．某校对初中学生开展的四项课外活动进行了一 次抽样调查(每人只参加其中的一项活动)，调查结果如图3 所示．根据图示所提供的样本数据，可得学生参加科技活动 的频率是 ．15．已知3,5a b ==，且b 与a 反向，则用向量b 表示向量a ，即a = b ． 16．如图4，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α， 高度BC 为 米．（结果用含α的三角比表示）17．如图5，在四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB 、BC 上， 将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，若MF ∥AD ，FN ∥DC ，则∠B ＝ 度．18．如图6，等腰△ABC 的顶角A 的度数是36°，点D 是腰AB 的 黄金分割点（AD ＞BD ），将△BCD 绕着点C 按照顺时针方向旋转一个角 度后点D 落在点E 处，联结AE ，当AE ∥CD 时，这个旋转角是 度． 三、解答题：19．计算：120213tan 6014π-⎛⎫++-+ ⎪+⎝⎭（-1)．20．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≤--+<+-.1312412x x x x ， ，并把解集在数轴上表示出来．ACBα图4①② 3 0 21 -1-2 45D'D CBADCBA二、例题引路例1．（1） 如图，点D 是等腰△ABC 的底边AB 上的点，若AC=BC 且∠ACB=100°，将△ACD 绕点C 逆时针旋转，使它与△BCD ’重合，则∠D ’BA = 度.（2） 如图，在四边形ABCD 中，若AD//BC ，BC=CD=AC =6, AB =23,则BD 长为例2.二次函数223y x =的图像如图所示，点0A 位于坐标原点， 点1A ，2A ，3A ，…， 2012A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…， 2012B 在二次函数223y x =位于第一象限的图像上，若△011A B A,△122A B A ，△233A B A ，…，△201120122012A B A 都为等边三角形，求△201120122012A B A 的边长。

学术论文撰写中的开放性问题和探索性研究学术论文是研究者交流和传播研究成果的重要方式，它不仅要求准确地表达研究结果，还要能够引发读者的思考和进一步的探索。

然而，在学术论文撰写中存在一些开放性问题，如何进行探索性研究也是一个值得关注的话题。

一、开放性问题1. 数据的可信性和可重复性在学术研究中，数据的可信性和可重复性是保证研究结果可靠性的基础。

然而，一些研究中的数据来源不明确，或者数据处理方法不透明，导致读者对研究结果的可信性产生怀疑。

此外，一些研究结果无法被其他研究者重复，也给学术界带来了困扰。

2. 结果的解释和推广学术论文中的研究结果需要进行合理的解释和推广，以便读者能够理解和应用。

然而，有时候研究者在解释结果时过于简单或过于复杂，导致读者无法真正理解研究的意义和应用价值。

此外，一些研究结果的推广性也存在问题，因为不同研究对象和环境的差异可能导致结果的不适用性。

3. 方法的创新和改进学术研究需要不断创新和改进研究方法，以提高研究的准确性和有效性。

然而，一些研究中的方法可能存在局限性，或者没有充分考虑到研究对象的特点。

因此，研究者需要思考如何创新和改进研究方法，以解决现有方法存在的问题。

二、探索性研究1. 深入挖掘问题背后的原因和机制学术研究应该不仅仅关注问题的表面现象，还要深入挖掘问题背后的原因和机制。

通过探索问题的本质，研究者可以更好地理解和解决问题。

例如，对于一个社会问题，研究者可以通过深入调查和分析，找出问题的根源和影响因素，从而提出更有效的解决方案。

2. 跨学科研究的重要性在学术研究中，跨学科研究可以帮助研究者从不同角度理解和解决问题。

通过与其他学科的专家合作，研究者可以借鉴其他学科的理论和方法，为自己的研究提供新的思路和视角。

例如，生物学和计算机科学的结合可以推动生物信息学的发展，为生物研究提供更多的工具和方法。

3. 鼓励创新性思维和实践学术研究需要鼓励创新性思维和实践，以推动学术界的发展。

四种形态谈话表.四种形态谈话表是一种用于展示不同谈话形式的工具，它有助于我们在不同的情境下使用适合的技巧和策略进行有效的交流。

以下是对四种形态谈话表的介绍：1. 提问形态：这种形态的谈话表包含了各种类型的问题，如开放式问题、封闭式问题、探索性问题等。

提问形态的目的是引导对方思考和表达意见，帮助我们了解对方的观点和想法。

通过提问形态，我们可以激发对话的活跃性，促进信息的交流和共享。

2. 听取形态：这种形态的谈话表注重倾听和理解对方的观点和感受。

通过使用积极的非言语和言语反馈，如头点、微笑、掌声、鼓励性的话语等，表明我们正在倾听和关注对方。

这种形态的谈话表有助于建立信任和深入的沟通。

同时，它也强调了重要的沟通技巧，如主动倾听和理解对方的意图。

3. 陈述形态：这种形态的谈话表用于阐述我们自己的观点和观点。

通过使用清晰的语言和逻辑性的陈述，我们可以有效地传达信息和支持自己的观点。

陈述形态的谈话表强调了自信和自信的表达能力，同时也提醒我们要尊重他人的观点和回应。

4. 引导形态：这种形态的谈话表着重于指导对话的方向和进程。

通过使用指导性问题和建议，我们可以推动对话的发展，并解决可能出现的争议和冲突。

引导形态的谈话表重视谈话的目标和结果，强调合作和协作，以实现共同的利益。

四种形态谈话表共同构成了一个全面和多样化的工具箱，帮助我们在不同情境下灵活地应对各种沟通需求。

无论是在工作场所、家庭、社交场合还是其他环境中，这些形态的谈话表都能够提供有效的交流方式，促进有效的沟通和理解。

四种形态谈话表是非常有用的工具，可以帮助我们在各种情况下进行有效的交流。

它们可以应用于各个领域，包括工作场所、家庭、社交场合等，为我们提供了灵活、多样化的交流方式。

下面将详细介绍四种形态谈话表以及它们的应用。

第一种形态是提问形态。

通过提问，我们可以主动引导对方思考和表达意见。

开放式问题，如：“你对这个问题有什么看法？”可以促使对方更深入地思考，并表达出他们的观点。

桑达士七种提问类型
1.开放性问题：这种问题需要被提问者更详细地回答，通常用于探索性的问题，如“你喜欢哪个城市？”或“你对这个问题有什么看法？”
2. 封闭式问题：这种问题需要被提问者简单回答，通常用于收集数据和概括性问题，如“你是哪个城市的人？”或“你喜欢喝咖啡还是茶？”
3. 反问问题：这种问题通常用于引起被提问者的思考和探索，如“你认为这个决定是否正确？”或“你有没有考虑其他解决方案？”
4. 诊断性问题：这种问题用于了解被提问者的问题或挑战，如“你最近遇到了什么困难？”或“你认为你需要哪些技能来成功？”
5. 假设性问题：这种问题用于探索可能的情况或解决方案，如“如果你有更多的时间，你会做什么？”或“如果你有更多的资源，你会怎样做？”
6. 优先级问题：这种问题用于了解被提问者最重要的问题或目标，如“你最想实现的目标是什么？”或“对你来说最重要的是什么？”
7. 线性问题：这种问题用于了解被提问者的经历或故事，如“你是如何进入这个行业的？”或“你最难忘的经历是什么？”。

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沟通技巧提问的技巧
1. 开放性问题：开放性问题可以帮助你了解对方更多，因为它们要求更长的回答。

使用开放式问题可以引导对话进入更深层次的主题。

2. 封闭式问题：封闭式问题通常需要很少的回答，这些问题通常会导致更快的交流。

如果你想快速了解对方的看法或意见，使用闭合问题可能更合适。

3. 重复问题：询问细节或复杂问题时，重复问题会有助于确保你理解了对方的意思。

重述对方的回答还可以帮助你在交流中建立更好的互动。

4. 以事实为基础的问题：在引导对话时，将问题设为事实基础可以更加具体地了解对方的情况，并且也可以使问题更加直接和具体。

5. 确认问题：当讨论非常复杂且可能导致误解的话题时，确认问题可以确保你已经理解对方的立场或情况。

这是确保你们在交流时不会产生误解或争端的一种方法。

6. 探索性问题：探索性问题是为了逐步了解对方所持有的想法和意见。

通过反复而深入地提问，你可以更好地了解对方的状况，这有助于建立更有效的沟通。

评审提问的方法和技巧
评审提问的方法和技巧是提问者能有效地从回答中获取所需信息的关键。

以下是具体的提问方法和技巧：
1. 提前准备：提前准备问题，特别是对所评审的主题有深入了解和研究。

这有助于提出更具体、更深入的问题。

2. 明确目的：明确提问的目的。

你是想了解更多关于某个主题的信息，还是想验证某种假设？目的明确有助于设计问题。

3. 开放性问题：尽量提出开放性的问题，避免是或否的回答。

这有助于深入了解对方的观点和经验。

例如，你觉得这个项目的最大挑战是什么？
4. 探索性提问：当对方回答后，可以通过进一步提问来探索答案的细节或背景。

例如，“你能给我一些具体的例子吗？”或“你能解释一下这个观点的背后原因吗？”
5. 适时追问：如果对方回答含糊或不够具体，可以适时追问。

例如，“你能详细说明一下你的方法是如何工作的吗？”
6. 验证性问题：如果对对方的回答有疑问或需要验证，可以提出验证性的问题。

例如，“你确定这个数据是准确的吗？”
7. 引导性问题：在某些情况下，可能需要引导对方到一个特定的方向或主题。

例如，“你认为在未来的几年里，这个行业会有怎样的变化？”
8. 积极倾听和观察：当对方回答问题时，要积极地倾听和观察。

这不仅有助于理解对方的回答，还可以发现更多的问题点。

9. 尊重和礼貌：提问时要尊重对方，使用礼貌的语言。

避免过于直接或冒犯性的问题。

10. 总结和确认：在提问结束后，总结和确认对方的回答，确保双方的理解是一致的。

遵循这些方法和技巧，不仅能提高评审提问的质量，也能提升与对方的沟通效果。

探索非传统和开放式关系的性爱技巧
探索非传统和开放式关系的性爱技巧可能因个人和伴侣的偏好而异，以下是一些常见的技巧和建议：
1. 温柔的沟通和互动：非传统和开放式关系需要更加开放和坦诚的沟通。

与伴侣共同探讨彼此的性愿望、边界和期望，确保双方都感到舒适和尊重。

2. 多样的性玩具和工具：性玩具可以为非传统和开放式关系带来更多的刺激和体验。

尝试选择适合你和伴侣的性玩具，如手铐、口球、震动器等。

3. 角色扮演和性幻想：通过角色扮演和性幻想，可以创造出新的情景和角色，提升性爱体验的刺激和乐趣。

沟通并共同尝试适合你们的角色扮演和情景。

4. 多人性经验：在开放式关系中，可能涉及与多个伴侣的性经验。

确保与所有参与者保持沟通和彼此同意，并采取适当的安全性行为。

5. 探索性交换和群交：在非传统关系中，一些人可能会考虑性交换或群交经验。

这需要与伴侣共同决策，并与其他参与者建立良好的沟通和信任。

6. BDSM和虐恋：一些人可能对BDSM（束缚、调教、支配和服从）和虐恋感兴趣。

在尝试这些活动之前，确保与伴侣共同讨论边界、安全和同意，并遵守安全行为原则。

7. 安全性和健康：在非传统和开放式关系中，安全性和健康同样重要。

确保使用适当的保护措施，如安全套，确保自己和伴侣的性健康。

请谨记，这些技巧适用于那些自愿参与非传统和开放式关系的成年人。

每个人的偏好和界限都不同，建议在任何新的性行为前都要与伴侣充分讨论和取得他们的同意。

保持明确的沟通、互相尊重和关心对于健康、安全和满足的性爱关系至关重要。

高考数学开放性问题的类型及求解探索■福建省龙岩市永定区城关中学童其林高考评价体系由“一核四层四翼”组成，其中，“一核”是高考的核心功能，即“立德树人、服务选才、引导教学”，回答“为什么考”的问题；“四层”为高考的考查内容，即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”，回答“考什么”的问题；“四翼”为高考的考查要求，即“基础性、综合性、应用性、创新性”，回答“怎么考”的问题.那么，在“四翼”考查要求下，有哪些命题原则？在“四翼”考查要求下，新高考有哪些新题型？一般来说，在“四翼”考查要求下，新高考数学有以下三个命题原则：一是注重学科间的渗透和交叉，适当增加具有自然科学和社会人文学科情境的试题，促进学科间的融合以及对核心素养的有效考查；二是关注探究能力、数学学习能力的考查，设计结论开放、解题方法多样、答案不唯一、结构不良的试题，增强试题的开放性和探究性，对学生的创新能力进行考查；三是通过调整试卷结构，打破固有模式，探索试题排列新方式，努力破除复习备考中题海战术和套路训练的影响.在“四翼”考查要求下，新高考数学将有以下五种新题型：一是多选题，选择题答案不唯一，存在多个正确选项；二是逻辑思维题，以日常生活情境考查推理、论证、比较、评价等逻辑思维能力；三是数据分析题，给出一些材料背景，以及相关数据，要求考生读懂材料，获取信息，根据材料给出的情境、原理以及猜测等，自主分析数据，得出结论，并解决问题；四是举例题，要求考生通过给出的已知结论、性质和定理等条件，从题干中获取信息，整理信息，写出符合题干的结论或具体实例；五是开放题，问答题开放设问，答案并不唯一，要求考生能综合运用所学知识，进行探究，分析问题并最终解决问题.本文主要谈谈开放性问题的类型及求解.所谓开放型问题是相对有明确条件和明确结论的封闭式问题而言的，是指题目的条件不完备或结论不确定的问题.一、条件开放型这类题目的特点是给出了题目的结论，但没有给出满足结论的条件，并且这类条件常常是不唯一的，需要解题者从结论出发，通过逆向思维去判断能够追溯出产生结论的条件，并通过推理予以确认．这种条件探究性问题实质上是寻找使命题为真的充分条件（未必是充要条件）．解决此类问题的策略有两种，一种是将结论作为已知条件，逐步探索，找出结论成立所需的条件，这也是我们通常所说的“分析法”；第二种是假设题目中指定的探索条件，把它作为已知，并结合其他题设进行推导，如果能正确推导出结论，则此探索条件就可以作为题设条件，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．例1.如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件__________时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情况）解析：本题是条件探索型试题，即寻找结论A1C⊥B1D1成立的充分条件，由AA1⊥平面A1C1以及A1C⊥B1D1（平面A1C1的一条斜线A1C与面内的一条直线B1D1互相垂直），容易联想到三垂线定理及其逆定理.因此，欲使A1C⊥B1D1，只需B1D1与CA1在平面A1C1上的射影垂直即可.显然，CA1在平面A1C1上的射影为A1C1，故当B1D1⊥A1C1时，有A1C⊥B1D1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，从而B1D1∥BD，A1C1∥AC.因此，当BD⊥AC时，有A1C⊥B1D1.由于本题是要探求使A1C⊥B1D1成立的充分条件，故当四边形ABCD为菱形或正方形时，依然有BD⊥AC，从而有A1C⊥B1D1，故可以填：①AC⊥BD或②四边形ABCD 为菱形，或③四边形ABCD为正方形中的任一个条件即可.点评：AC⊥BD是结论A1C⊥B1D1成立的充要条件，而所填的ABCD是正方形或菱形则是使结论A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的条件．本例中，满足题意的充分条件不唯一，具有开放性特点，这类试题重在考查基础知识的灵活运用以及归纳探索能力.例2.有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：在△ABC中，已知a=3姨，____________，2cos2（A+C2）＝（2姨-1）cos B，求角A.经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，该题的答案A＝60°是唯一确定的，试将条件补充完整，即空白处应填的条件是__________.解析：2cos2（A+C2）＝（2姨-1）cos B圳2·1+cos（A+C）2＝（2姨-1）cos B圳cos B＝2姨2.又B∈（0°，180°），所以B=45°.（1）bsin45°＝3姨sin60°圯b＝2姨，A1B1D1C1ABCD252021年第22021年第2检验：b sin B ＝a sin A 圳2姨sin45°＝3姨sin A 圳sin A ＝3姨2，又A ∈（0°，180°），且a ＞b ，所以A ＝60°或者A ＝120°，这与已知角A 的解为唯一解矛盾.（2）B =45°，又A ＝60°，所以C ＝75°，c sin75°＝3姨sin60°圯c ＝6姨+2姨2.检验：c sin C ＝a sin A圳6姨+2姨2sin750＝3姨sin A圳sin A ＝3姨2.又A ∈（0°，180°），且c ＞a ，所以A ＝60°.故应填的条件是：c ＝6姨+2姨2.点评：本题所求的边要么是b ，要么是c ，但还要满足三角形存在这个条件，所以检验是必要的，否则容易忽视隐含条件而引起错误.例3.在①ac ＝3姨，②c sin A ＝3，③c ＝3姨b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3姨sin B ，C ＝仔6，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解析：在△ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3姨sin B ，C ＝仔6，这是公共条件.在此条件下，从①ac ＝3姨，②c sin A ＝3，③c ＝3姨b 这三个条件中任选一个，求问题中的三角形是否存在，若存在，求c 的值，若不存在，说明理由．公共条件怎样用？通常有两种转化方法，一是在sin A ＝3姨sin B 中，利用正弦定理角化边，得到a ，b 的比例关系，再设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解；二是利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tan A 的值，得到角A ，B ，C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.具体解法有如下几种：解法一：由sin A ＝3姨sin B 可得：a b ＝3姨，不妨设a ＝3姨m ，b ＝m （m ＞0），则c 2＝a 2+b 2-2ab cos C=3m 2+m 2-2×3姨m ×m ×3姨2＝m 2，即c=m .选择条件①的解法：据此可得：ac=3姨m ×m ＝3姨m 2＝3姨，∴m ＝1，此时c ＝m ＝1.选择条件②的解法：据此可得：cos A ＝b 2+c 2-a 22bc ＝m 2+m 2-3m 22m 2＝-12，则sin A ＝1-（-12）2姨＝3姨2，此时：c sin A ＝m ×3姨2＝3，则：c ＝m ＝23姨.选择条件③的解法：可得c b ＝m m＝1，c ＝b ，与条件c ＝3姨b 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵sin A ＝3姨sin B ，C=仔6，B =仔-（A +C ），∴sin A ＝3姨sin （A +C ）＝3姨sin （A +仔6），sin A ＝3姨sin （A +仔6）＝3姨sin A ·3姨2+3姨cos A ·12，∴sin A ＝-3姨cos A ，∴tan A ＝-3姨，∴A ＝2仔3，∴B=C ＝仔6，若选①，ac ＝3姨，∵a ＝3姨b ＝3姨c ，∴3姨c 2＝3姨，∴c ＝1；若选②，c sin A ＝3，则3姨c 2＝3，c ＝23姨；若选③，与条件c ＝3姨b 矛盾.点评：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．值得注意的是，本例属于结构不良问题.结构不良的问题并不是指问题本身有什么错误或者不恰当，而是指它没有明确的结构或者解决途径.例如，修电脑，其初始状态不明确，要先检查电脑故障状态在哪？再如，让学生考察当地城市环境污染状况，写一篇论文，其初始状态、目标状态、甚至问题的解决方案都不明确，是名副其实的结构不良问题.近年来，结构不良问题引起了研究者的关注，因为现实生活中充斥着大量结构不良问题需要解决者从诸多现象中自己分析、设计出解决方案.数学“结构不良”问题比开放性问题的范畴更大、更广.二、结论开放型这类题目的特点是给出一定的条件，要求从条件出发去探索结论，而结论往往是不唯一的，甚至是不确定的，或给出特例后通过归纳得出一般性结论.解决此类问题的策略有：从已知条件出发，运用所学过的知识进行推理、探究或实验得出结论；通过归纳得出一般性结论，再去证明；对多种结论进行优化（内含分类讨论）等.例4老师给出一个函数y ＝ｆ（x ），四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于ｘ∈R ，都有ｆ（1+x ）＝ｆ（1-x ）；乙：在（-∞，0]上函数递减；丙：在（0，+∞）上函数递增；丁：f （0）不是函数的最小值．26如果其中恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数：____________．解析：首先看甲的话，所谓“对于ｘ∈R，都有ｆ（1+x）＝ｆ（1-x）”，其含义即为：函数f（ｘ）的图像关于直线x=1对称．数形结合，不难发现：甲与丙的话相矛盾．（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）因此，我们只需选择满足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）条件的函数即可．如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，则需要认识到：所谓函数在（-∞，0]上单调递减，并不是说函数f（ｘ）的单调递减区间只有（-∞，0]．考虑到关于直线x=1的对称性，我们不妨构造函数，使之在（-∞，1]上单调递减，这样，既不与乙的话矛盾，也满足丁所说的性质．如ｆ（x）＝（x-1）2即可．实际上，ｆ（x）＝（x-1）2+m（m∈R）都满足题设，有无数个.如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数，则分段函数是必然的选择．如ｆ（x）＝-x+1，x≤0ｘ，x＞．实际上，ｆ（x）＝-x+k（k＞0），x≤0ｘ，x＞也满足题设，有无数个.点评：本题考查考生对于函数性质的理解和掌握．思考这样的问题，常常需要从熟悉的函数（一次、二次、反比例函数，指数、对数、三角函数等）入手，另外，分段函数往往是解决问题的关键．另外，本题也是举例题，属于开放性问题的范畴.例5.函数ｆ（x）的定义域为R，且ｆ（x+1）与ｆ（x+2）都为奇函数，则（）A.ｆ（x）为奇函数B.ｆ（x）为周期函数C.ｆ（x+３）为奇函数D.ｆ（x+4）为偶函数解析：因为g（x）=f（x+1）是奇函数，所以g（-x）+g（x）=0，即f（-x+1）+f（x+1）=0，所以f（x）关于（1，0）对称，同理f（-x+2）+ f（x+2）=0，f（x）关于点（2，0）对称.因此，f（2-x）+f（x）=0，f（（4-x）+f（x）=0，所以f（2-x）= f（4-x），所以f（x）=f（2+x），所以f（x）是以2为周期的函数.所以f（x），f（x+3）f（x+4），均为奇函数.ABC正确，所以选ABC.点评：在新高考中（比如2020年高考的山东卷、海南卷），这样的多选题一般有四道，通常设置在第9题至12题之间.对于本题而言理解和记住函数对称性和周期性的三个结论是很重要的：定理1.函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a－x）=2b.推论1：函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（－x）=0.推论2：函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（a+x）+f（a－x）=2b.定理2.函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a－x），即f（x）=f（2a－x）.推论：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（－x）.定理3.①若函数y=f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a－b|是其一个周期.②若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a－b|是其一个周期.③若函数y=f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a－b|是其一个周期.（以上结论的证明留给读者）例6.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A.a2+b2≥１2B.2a-b>１2C.log2a+log2b≥-2D.a姨+b姨≤2姨解析：对于A，a2+b2＝a2+（1-a）2＝2a2-2a+1＝2（a-１2）2+１2≥１2，当且仅当a＝b＝１2时，等号成立，故A正确；对于B，a-b＝2a-1>-1，所以2a-b>2-1＝１2，故B正确；对于C，log2a+log2b＝log2ab≤log2（a+b2）2＝log2１4＝-2，当且仅当a＝b＝１2时，等号成立，故C不正确；对于D，因为（a姨+b姨）2＝1+2ab姨≤1+a+b＝2，所以a姨+b姨≤2姨，当且仅当a＝b＝１2时，等号成立，故D正确，故选：ABD.点评：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.三、条件和结论都开放型有些题目条件和结论都是不确定的，但是给出了一定量的信息和情景，要求解题者在题目给出的情景中，自行设定条件，自己寻找结论，自己构建命题并进行演绎推理．例7.琢、茁是两个不同的平面，m、n是平面琢及茁之外的两条不同直线.给出四个论断：①m⊥n；②琢⊥茁；③n⊥茁；④m⊥琢.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一一一个命题：______________.解析：本题通过改变条件与结论之间呈现的顺序与组合，使问题具备了探索性，将分析—猜想—证明的思维过程巧妙地融入了解题过程；同时也使问题具有了开放性，走出了数学答案唯一确定的误区.它们以新颖的知识呈现方式改变考生的常规思维，考查考生的创新能力.答案是：②③④圯①或①③④圯②.例8.三角形ABC的三个内角A，B，C的对边的长分别为a，b，c，有下列两个条件：（Ⅰ）a，b，c成等差数列；（Ⅱ）a，b，c成等比数列.现给出三个结论：①0＜B≤仔３；②a cos C+c cos A＝a+c2；③1＜1+sin2Bcos B+sin B≤2姨请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结272021年第2论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之.解析：可以组建如下正确的命题：命题一：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（Ⅰ）0＜B≤仔３；（Ⅱ）a cos C+c cos A＝a+c2．命题二：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（Ⅰ）0＜B≤仔３；（Ⅱ）1＜1+sin2Bcos B+sin B≤2姨．命题三：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（Ⅰ）a cos C+c cos A＝a+c2；（Ⅱ）1＜1+sin2Bcos B+sin B≤2姨．命题四：△ABC中，若a、b、c成等比数列，求证：（Ⅰ）0＜B≤仔３；（Ⅱ）1＜1+sin2Bcos B+sin B≤2姨．下面给予证明：命题一：（Ⅰ）因为a、b、c成等差数列，所以2b=a+c，故b=a+c2．cos B＝a2+c2-b22ac ＝a2+c2-（a+c2）22ac＝3（a2+c2）-2ac8ac≥6ac-2ac8ac＝１2.又B∈（0，仔），所以0＜B≤仔３．（Ⅱ）a cos C+c cos A＝a×a2+b2-c22ac +c×b2+c2-a22bc＝b＝a+c2.命题二：（Ⅰ）同命题一（Ⅰ）．（Ⅱ）1+sin2Bcos B+sin B ＝（cos B+sin B）2cos B+sin B＝cos B+sin B=2姨cos（B-仔4）.因为0＜B≤仔３，所以-仔4＜B-仔4≤仔12，所以2姨2＜cos（B-仔4）≤1，所以1＜2姨cos（B-仔4）≤2姨．命题三：可证明0＜B≤仔３．（Ⅰ）同命题一（Ⅱ）．（Ⅱ）同命题二（Ⅱ）．命题四：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，所以b2＝ac，cos B＝a2+c2-b22ac ＝a2+c2-ac2ac≥2ac-ac2ac＝１2，且B∈（0，仔），所以0＜B≤仔３．（Ⅱ）同命题二（Ⅱ）．点评：在考场上，只要四个命题中选择一种，并证明即可，但在平时的学习过程中，应该尝试各种可能的情形进行分析求解.练习题1.设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B={第二个四面体向下的一面出现奇数}；C={两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}.给出下列说法：①P（A）＝P（B）＝P（C）；②P（AB）＝P（AC）＝P（BC）；③P（ABC）＝１8；④P（A）P（B）P（C）＝１8，其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知函数ｆ（ｘ）＝ln x-x+１x，给出下列四个结论，则所有正确结论是（）A.曲线y＝ｆ（ｘ）在ｘ＝1处的切线方程为ｘ+y-1＝0B.ｆ（ｘ）恰有2个零点C.ｆ（ｘ）既有最大值，又有最小值D.若ｘ1ｘ2>0且ｆ（ｘ1）+ｆ（ｘ2）＝0，则ｘ1ｘ2＝13.能说明“若ｆ（ｘ）>ｆ（0）对任意的ｘ∈（0，2]都成立，则ｆ（ｘ）在[0，2]上是增函数“为假命题的一个函数是_________.4.已知l，m是平面琢外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥琢；③l⊥琢．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．5.已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，在①３姨cos C（a cos B+b cos A）＝c sin C；②a sin A+B2＝c sin A；③（sin B-sin A）2＝sin2C-sin B sin A，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当____________时，求sin A·sin B的最大值.练习题参考答案1.D.2.ABD.3.y=sin x，或者ｆ（ｘ）＝0，ｘ＝04-ｘ，ｘ∈（0，22]（答案不唯一）4.如果l⊥琢，m∥琢，则l⊥m.5.解析：若选①，则由正弦定理３姨cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C sin C，３姨cos C sin（A+B）＝sin C sin C，３姨＝tan C，C＝仔３.若选②，则由正弦定理知：sin A sin仔-C2＝sin C sin A，cos C2＝sin C＝2sin C2cos C2sin C2＝１2，C＝仔３.若选③，则有正弦定理知（b-a）2＝c2-bc，∴b2+a2-c2＝bc，由余弦定理知：cos C＝１2，C＝仔３，A+B＝2仔３，∴sin A·sin B＝sin A·sin（2仔３-A）＝sin A·（３姨２cos A+１2sin A）＝３姨２sin A·cos A+１2sin2A＝３姨4sin2A+１4（1-cos2A）＝１2sin（2A-仔6）+１4.∵A∈（0，2仔３），∴2A-仔6∈（-仔6，7仔6）.所以当A＝仔３时，sin A·sin B的最大值是３4.责任编辑徐国坚282021年第2。

立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．这类试题的一般设问方式是“是否存在?存在给出证明，不存在说明理由”．解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设．8如图,在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=√3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由．(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF．(3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45。

?拓展提升(1)开放性问题是近几年高考的一种常见题型．一般来说，这种题型依据题目特点，充分利用条件不难求解．(2)对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．9如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD．(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小．(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC?若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．如图所示，在正方体ABCD—A l B l C1D l中，M,N分别是AB，BC中点．(1)求证：平面B 1MN⊥平面BB1D1D；(2)在棱DD1上是否存在点P，使BD1∥平面PMN，若有，确定点P的位置；若没有，说明理由．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=√2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，0为AD中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的大小：(3)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD3若存在，求出AQ：DQ的值；若不存在，请说明理由．立体几何中探索性问题的向量解法高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。

开放性探究问题知识梳理开放性问题是相对于条件充分、结论单一的封闭型问题而言的。

其类型包括条件开放型、结论开放型、组合和开放型、设计开放型、解法开放型等。

这类问题的解决，要运用已有知识，通过观察、补充、归纳、论证等推理过程才能得出结论。

探索性问题是开放性问题的一种，类型包括：整式规律探索、图形规律探索、存在性探索、动态探索等。

解决这类问题，要结合数学经验，经历阅读、模仿、操作、猜想、拓展等一系列探索活动，从特殊到一般，把潜在规律挖掘出来。

典例分析(一)条件开放典例1(2003·四川)多项式9x2+1加上一个单项式后,•使它能成为一个整式的完全平方,那么加上的单项式可以是_________.(填上一个你认为正确的即可)解析:本题主要考查完全平方公式,按完全平方式得9x2+1+6x=(3x+1)2,•或9x2+1-6x=(3x-1)2;还会得到9x2+1-9x2=12,9x2+1-1=(3x)2,9x2+1+814x4=(92x2+1)2.答案:±6x或-9x2或-1或814x4.（二）结论开放型典例2如图,在ABCD中,点E、F在对角线AC上,且AE=CF.•请你以F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,•猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可).(1)连结__________. (2)猜想:________=________. (3)证明:_________.分析:本题立足于一个常见的基本图形,把传统的几何证明题,•改造成一个要求学生发生、猜想、证明的几何题,对于平面几何的教学改革有着重要的指导作用. 答案1:(1)连结BF. (2)猜想:BF=DE.(3)证法1:∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴AD=BC,AD ∥BC. ∴∠DAE=∠BCF. 在△BCF 和△DAE 中,,,,CB AD BCF DAE CF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCF ≌△DAE. ∴BF=DE.证法2:如图,连结DB 、DF,设DB 、AC 交于点O. ∵四边形ABCD 为平行四边形. ∴AO=OC,DO=OB.FADECBO∵AE=FC, ∴AO-AE=OC-FC. ∴EO=OF.∴四边形EBFD 为平行四边形. ∴BF=DE.答案2:(1)连结DF. (2)猜想:DF=BE. (3)证明:略 （三）、策略开放型典例3某服装厂里有大量剩余的等腰直角三角形边角布料,•现找出其中一种,测得∠C=90°,AC=BC(如图),•现要从这种三角形中剪出几种不同的扇形,做成不同形状的玩具,要求使扇形的半径恰好在△ABC 的边上,且扇形的弧与△ABC 的其他边相切.请你在下图备用的等腰直角三角形中,设计出所有符合要求的不同的方案示意图.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).ACBACBACBACB分析:此题是一道立意很新的运用几何知识进行裁剪设计的应用题,且具有开放性和探索性.题目要求以画示意图的方法作答,解答的关键是确定扇形的圆心,•可从圆心在△ABC 的三个顶点上和圆心在△ABC 的三边上两个角度来考虑.解:如A BA C BA C BACB（四）、综合开放型典例4 在平面直角坐标系x O y 中，已知抛物线)85(31)25(2122++--+-=m x m m x y 的对称轴为21-=x ，设抛物线与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左边），锐角△ABC 的高BE 交AO 于点H 。

探索性与性格特质的相关性分析导语：性格特质是人内在固定的心理特征和行为倾向，而探索性是指个体对新事物的好奇心和开拓力。

这两者在人们的日常生活中起着重要的作用，本文将探讨探索性与性格特质之间可能存在的相关性。

一、探索性与外向性外向性是常见的性格特质之一，而探索性则是与外向性有一定关联的。

外向的个体通常更愿意与他人互动、参与社交活动，也更容易对新事物保持开放态度。

这种外向的人们通常也表现出较高的探索性，对新事物和新环境充满好奇心。

二、探索性与神经质神经质是指个体情绪不稳定的倾向，对外界刺激较敏感。

在探索性上，神经质的个体可能会表现出保守和谨慎的倾向，对新事物保持较大的警惕性。

相比之下，较低的神经质可能会更容易接受新事物并展现出较高的探索性。

三、探索性与责任心责任心是指个体对自己和他人的工作、任务等负责任的程度。

一般认为，责任心较强的人可能更注重稳定和安全，对新事物持保守态度。

因此，与责任心较高的个体相比，责任心较低的个体可能表现出更高的探索性。

四、探索性与开放性开放性是个体对新鲜事物和体验的好奇程度和接受程度。

与探索性相似，开放性也与对新事物的接纳度有关。

在心理学研究中，开放性的人一般更容易表现出较高的探索性。

他们通常对多样性、创造力和创新具有兴趣和敏感度。

五、探索性与自信心自信心是个体对自己能力的认识和信心。

在探索性上，较高的自信心可能会帮助个体更愿意接受新的挑战和尝试新的事物，从而表现出更高的探索性。

相反，较低的自信心可能使个体对新事物缺乏信心，并对其保持较高的警惕性。

结语：探索性与性格特质之间的相关性是一个复杂而有趣的问题。

虽然本文只探讨了其中几个可能的相关性，但实际上他们之间的关系可能比我们所了解的更加复杂多样。

随着心理学领域的不断发展和研究的深入，我们对于探索性与性格特质的相关性也会有更加深入的理解。

有效追问的方法
回应基础上的追问：在对话中，当你对对方的回答给予反馈或回应时，可以通过追问来深入了解对方的思想和情感。

例如，当对方表达对某件事情的看法时，你可以通过追问来进一步了解他们的观点和体验。

开放性问题追问：开放性问题可以引导对方分享更多信息，让他们表达更完整、更丰富的观点。

例如，“你为什么这么认为？”或“你能给我一些具体的例子吗？”等开放性问题可以帮助你更好地了解对方的想法。

引导性追问：通过引导性追问，你可以帮助对方更深入地思考问题，从而获得更深刻的理解。

例如，“你觉得这个问题的根源是什么？”或“你认为这个问题的解决方案应该是什么？”等引导性问题可以帮助对方更深入地思考问题。

探索性追问：当你认为对方可能没有完全表达自己的观点时，可以通过探索性追问来引导对方进一步探索自己的想法。

例如，“你还有什么其他的想法吗？”或“你能否再深入地谈谈你的看法？”等探索性问题可以帮助对方更全面地思考问题。

情感共鸣追问：通过情感共鸣追问，你可以更好地理解对方的情感和感受，从而建立更好的情感共鸣。

例如，“我理解你的感受，你能再详细说说吗？”或“你能描述一下你当时的情感吗？”等情感共鸣追问可以帮助你更好地理解对方的情感和感受。

总之，有效追问是促进对话深入的重要手段。

通过回应基础上的追问、开放性问题追问、引导性追问、探索性追问和情感共鸣追问等方法，你可以更好地了解对方的想法和感受，建立更好的沟通与互动。

立体几何中的开放探索性问题衡阳县一中 王爱民 马中平湖南祁东育贤中学 周友良 421600题型解读数学开放性题是近年高考命题的一个新的亮点，其解法灵活且具有一定的探索性，这类题型按解题目标的操作模式分为：规律探索型，问题探究型，数学建模型，操作设计型，情景研究型．如果是未知的是解题假设，那么就称为条件开放型；如果是未知的是解题目标，那么就称为结论开放型；如果是未知的是解题推理，那么就称为策略开放型．当然，作为数学高考试题中开放题其＂开放度＂是比较弱的，如何解答立体几何中的这类问题，还是通过实际例子加以说明．一、 规律探索型例1．1111ABCD A BC D - 是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为”走完一段”. 白蚂蚁的爬行路线是111AA A D →→ , 黑蚂蚁的爬行路线是1AB BB →→ ,它们都依照如下规则:所爬行的第n+2段与第n 段所在直线必须是异面直线,设黑白两个蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白两个蚂蚁的距离是多少?C 1分析：本题步数比较大，因此肯定要探索出一个周期性黑蚂蚁的爬行路线是1111AB BB B C C →→→6段又回到出发点A 。

故而它们的周期为6。

2005段后停止在正方体的B 顶点处，白蚂蚁走完2005段后停止在正方体的1A作性探索题，要求同学们大胆动手，必须探索出一个规律性来。

二、 操作设计型例2．（Ⅰ）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （Ⅲ）（附加题）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【分析】 本题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力．通过数学科的高考，倡导重视数学应用，是从1993年开始的，已经经历了十个年头．这些年来，尽管数学科高考中有关数学应用的试题存在这样那样的缺陷，但是它所倡导的加强数学学科与社会实际和生产实际的联系，引导考生置身于现实社会大环境中，关心身边的数学问题，具有良好的导向，也促进了中学数学教学加强数学应用的研究，推动数学教学改革．这种命题方向得到数学教育界的普遍肯定．回顾这些年来高考中有关数学应用的问题，所涉及的知识面上还存在一定的局限性，多数是函数知识和数列知识的运用．前年试题选择题中出现的“民房屋顶面积”问题，各地反映良好，去年设计的“纸片剪拼”问题，目的在于尝试开拓数学应用的新领域．用纸片做有规则的几何体模型，是《立体几何》课本的要求，如习题七中的第1题和习题八中的第1题．本试题的设计是在这个基础上，增加剪拼模型的条件的限制，提高操作难度，以期考查出空间想象能力和动手操作能力．由于这种试题第一次出现，注意由浅入深，首先是剪拼“正三棱锥”，这与习题八第1题相似，是多数考生能够完成的．其次用正三角形纸片剪拼“正三棱柱”，要有较丰富的想象力，本题有多种剪拼方法，充分体现“开放性”，给考生提供广阔的思维空间．再次，将纸片一般化为任意三角形、剪拼“直三棱柱”，考查的是能力的迁移，将具体的问题抽象化，难度较高，估计绝大多数考生在限时内难以完成、，故作为“附加题”出现，能完成者有“奖励分”．这种问题的提出估计能解答者甚少，但能倡导探究，倡导创造、发现，对于培养高素质的人才是有益的．理解“全面积相等”的条件，就是剪拼出来的几何体不能缺某个面，也不能剪拼成几何体后还剩余纸片，但纸片的裁剪块数是没有限制的，因之有多种剪拼方法．解：（Ⅰ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角．余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底．（Ⅱ）依上面剪拼的方法，有V 柱＞V 锥． 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为43．现在计算它们的高：36233212=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=锥h ，6330tan 21=︒=柱h ．∴ 0243224363964331<-=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-柱锥柱锥h h V V所以，V 柱＞V 锥． （Ⅲ）（附加题）如图3，分别连续三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型．正三棱柱的其他剪拼方法： 方法1按图4，取三角形三边中点剪出①、②两个小三角形为正三棱柱的上、下底面，将平行四边形③等分为三个小平行四边形，再分别解为矩形作为侧面．方法2按图5，取三角形两边的中点，剪出①、②、③三个小三角形，以①为正三棱柱的一底，②+③为它的另一底；再将矩形④三等分，分别作为三棱柱的一个侧面．方法3按图6，取三角形边的三等分点，剪出①、②、③三个小三角形，以①为正三棱柱的一底，②+③为它的另一底；剪出小三角形⑤、⑥，拼为一个等边三角形，再剪拼为矩形，进而将矩形三等分，分别拼入④、⑦、⑧三个矩形中，作为棱柱的三个侧面．方法4按图7，取三角形边的四等分点，先剪出小三角形①、②、③和矩形④，以①为正三棱柱的一底，②+③为它的另一底；再剪出小三角形⑧、⑨，矩形⑥，五边形⑤、⑦．⑤+⑧，⑦+⑨，均可成为矩形，其面积同矩形⑥；进而将矩形④三等分，分别拼入上述三个矩形中，作为棱柱的三个侧面．依此类推可得出一般的剪拼方法：将等边三角形的一边等分为奇数条线段，可按方法3剪拼成正三棱柱；将等边三角形的一边等分为偶数条线段，可按方法4剪拼成正三棱柱．这是一道新颖的立体几何应用题．从前年在选择题中判断“民房屋顶面积”关注立体几何的实际应用之后，去年加大了对立体几何结合生活实际的考查，通过解答题来体现．制作形体的模型，是生产和生活实际中一项重要的技能．学习立体几何的时候，往往也通过观察和制作几何模型来提高空间想象能力．考查几何模型的制作，有利于倡导动手实践，关注立体几何知识与现实生活中形体的联系．试题设计注意到推出一类新鲜问题时难度层次的把握．首先，剪拼一个“正三棱锥”，这是一个类同于课本习题的问题，绝大多数考生都能操作．其次，剪拼一个“正三棱柱”，巧妙之处在于条件“全面积相等”，即给出的正三角形纸片要用完，不能多余也不能缺．由于不设定其他条件，比如底面边长或高的限制，因之有多种剪拼方法，是一道成功的“开放性”试题．题中提出的“请设计一种剪拼方法”，充分体现把解答问题的主动权交给考生，为考生创设出广阔的思维空间．再次，将给出的特殊三角形的纸片一般化，研究对于任意三角形的纸片能否剪拼成直三棱柱的问题，是思维的深层次发展，作为限时考试的高考，要完成的难度较高，故作为“附加题”处理，甚为合适，就算绝大多数考生未能作答，却可以留下悬念，鼓励考生加强探索，敢于创新，不要让学习停留在解答故有的习题上，永远只能亦步亦趋．三、 情景研究型例3．把四个半径为1的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离.分析 ：本题是四个小球堆放的一个实物模型，如何利用我们所学的数学知识将其转化为数学问题是解决这个问题的关键，下层三个球的球心到桌面的距离相等，四个球心之间的距离相等，四个球心两两连线可构成一个正四面体，这是建模解决此问题的关键。