北京市延庆区2020届高三数学3月模拟考试试题

1 / 232020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,31xA x xB x =<=<，则（ ）A ．{}0AB x x =<I B ．A B =R UC ．{}1A B x x =>U D ．A B =∅I2．若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－12D ．－13．双曲线2241x y -=的离心率为（ ）AB．2CD．24．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．y x =-B ．21y x =-C ．cos y x =D ．12y x =5．若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（ ） A ．2ab >B ．2a b +<C ．11a b< D ．2b aa b+> 6．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ）2 / 23A ．5-B ．5C ．10-D ．107．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众 多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm 8．设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点．3 / 23其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①②10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()1,2,(3,)a b t ==v v，且//a b v v ，则t = ．12．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．13．抛物线()220y px p =>上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则点M 的坐标为 ． 14．已知函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小4 / 23值为__________．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号）四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，24BC AB ==，3AD =，F 为BC 中点，//EF AB ，EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，连接,,AD BC AC ．（1）求证：//BE 平面ACD ；5 / 23（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}nc ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由．19．（本小题15分）6/ 237 / 23已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值．20．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．21．（本小题14分）8 / 23已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5．若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”．()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},ija a A ⊆．若12345aa a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>．2020年3月（北京卷）全真模拟卷（1）数学答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】∵集合{|31}xB x =<，∴{}|0B x x =<，∵集合{}1A x x =<，∴{}0A B x x =<I ，9 / 23{}1A B x x =<U ，故选A ．2．【答案】D【解析】设i z b b =∈R ,且0b ≠，则1ii 1ib a +=+，得到1i i 1ab b ab +=-+∴=-,，且1b =，解得1a =-，故选D ． 3．【答案】A【解析】双曲线2241x y -=的标准方程为：221114x y -=，故实半轴长为12a =，虚半轴长为1b =，故半焦距2c ==，故离心率为e =A ． 4．【答案】B【解析】因为函数y x =-的定义域为R 且它是奇函数，故A 错误；因为函数21y x =-的定义域为R ，它是偶函数，在(0,)+∞为偶函数，故B 正确；因为函数cos y x =的定义域为R ，它是偶函数，但在(0,)+∞有增有减，故C 错误；因为函数12y x =的定义域为[)0,+∞，故函数12y x =不是偶函数，故D 错误，故选B ．5．【答案】D【解析】因为：1b a >>，对于A ：当34,23a b ==，所以34223ab =?，故A 错误；对于B ：因为1b a >>，所以2a b +>，故B 错误；对于C ：因为1b a >>，所以1101b a<<<，故C 错误；对于D ：因为1b a >>，所以2b a a b +≥=，又因为1b a >>，则b a a b ≠，故不取等，即2b a a b +>，故D 正确，故选D ．6．【答案】A【解析】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk kk k k C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =．因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-，故选A ．7．【答案】B【解析】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =，故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ，故选B ．10 / 238．【答案】D【解析】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+，因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D ． 9．【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故结论①正确；当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D ． 10．【答案】B【解析】由题，甲各项得分为：100米跑601545-=（分）；跳高60464+=（分）；掷实心球601575+=（分）；则总分为456475184++=（分）；乙各项得分为：100米跑602080+=（分）；跳高601070+=（分）；掷实心球60555-=（分），则总分为807055205++=（分）；丙各项得分为：100米跑60565+=（分）；跳高60666+=（分）；掷实心球601070+=（分），则总分为656670201++=（分）；丁各项得分为：100米跑60555-=（分）；跳高60262+=（分）；掷实心球60565+=（分），则总分为556265182++=（分）． 综上，乙得分最多，故选B ．第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分． 11．【答案】6【解析】由向量()()1,2, 3,a b x ==r r ，若 //a b r r，可得236x =⨯=，故答案为6．11 / 2312．【答案】78【解析】由正弦得sin ,sin 22a c A C R R ==，故1222a c R R=⨯（R 为外接圆的半径），故2c a =，又22c ab =，故2b a =，由余弦定理可得2222277cos 288b c a a A bc a +-===，故答案为78．13．【答案】(3,23)±【解析】因为焦点()1,0F ，所以2p =．设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得23y =±，所以点M 的坐标为()3,23±．14．【答案】2π2π【解析】函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点， 当1ω=时，()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22222⋅+⋅=，所以()121122ABC S ∆=⋅π+=⋅π．如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则222222ωπ⋅⎭＝，解得ω的最小值为 2π，故答案为2π， 2π． 15．【答案】②③【解析】由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+，0,0k b ><，即k 为票价，当0k =时，y b =，则b -为固定成本，由图象(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则b-12 / 23变小，成本减小，故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，k 变大，即提高票价，b 不变，则b -不变，成本不变，故③正确，④错误；故答案为②③． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，24BC AB ==，3AD =，F 为BC 中点，//EF AB ，EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，连接,,AD BC AC ．（1）求证：//BE 平面ACD ；（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小． 【答案】（1）见解析；（2）56π． 【解析】试题分析：（1）依据题设条件，运用线面平行的判定定理推证；（2）依据题设建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式进行分析探求．试题解析：（1）证明：连结AF 交BE 于O ，则O 为AF 中点，设G 为AC 中点，连结,OG DG ，则//OG CF ，且1=2OG CF ． 由已知//DE CF 且12DE CF =，∴//DE OG 且=DE OG ，所以四边形DEOG 为平行四边形． ∴//EO DG ，即//BE DG ．∵BE ⊄平面ACD ，DG ⊂平面ACD ，所以//BE 平面ACD ． （2）解：由已知ABFE 为边长为2的正方形，∴AD EF ⊥，因为平面ABEF ⊥平面EFCD ，又DE EF ⊥，∴,,EA EF ED 两两垂直． 以E 为原点，,,EA EF ED 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，13 / 23则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,0,2,2E A B F D C ．可求得平面ACF 法向量为()11,0,1n =u r ，平面ACD 法向量为()21,1,2n =-u u r ，∴3cos θ=-，所以二面角B AC D --的平面角的大小为56π．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可；（2）数列{}n c 是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决． 试题解析：方案一：选条件①（1）3252115,6,,,1a a a b a b d q d =+===>Q ，11125256a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,，14 / 23解得112a d =⎧⎨=⎩,或1256512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧∴⎨=⎩,，()1–1n n d αα∴=＋21n =-，1112n n n b b q --==．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭- 13(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案二：选条件②（1）2343112,3,,,1b a a b a b d q d =+===>Q ，12112253a d a d a d =⎧∴⎨+=⎩,，112256a d a d d =⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或112a d =-⎧⎨=-⎩,（舍去）， 112b q =⎧∴⎨=⎩,，1(1) =n a a n d ∴+-=2n-1，1112n n n b b q --== ． （2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，15 / 2323111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-13(23)2n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案三：选条件③3452119,8,,,1S a a b a b d q d ∴=+===>，1113278a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧⎨=⎩,，1(1)n a a n d ∴=+-21n =-11n n b b q -=12n -=．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)22n n n n c n ---⎛⎫∴==-⨯ ⎪⎝⎭，2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212m nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-16 / 2313(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统 计，在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了 解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X ．以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A 市出发到B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由． 【答案】（1）2950；（2）分布列见解析，数学期望25；（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市，见解析．【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 试题解析：（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，17 / 23所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=，12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=，22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为： 0121625825125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++，因为11622155>，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．19．（本小题15分） 已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值． 【答案】（1）10x y -+=；（2）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（3）11e+． 【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，且(0)0f '=，分别解不等式()0f x '>以及()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调增区间和减区间；（3）由题意得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立，设()e (1)x g x a x b =-+-，用导数讨论函数的单调性，求出最小值(ln(1))0g a +≥，可得18 / 231(1)ln(1)b a a a --++≤．再设()1ln (0)h x x x x =->，求出函数()h x 的最大值，即为b a -的最大值．试题解析：（1）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+，所以(0)1f =，(0)1f '=． 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=． （2）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+． 因为(0)0f '=，且 ()e 1xf x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，所以由()e 10x f x x '=-+>得，0x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，由()e 10xf x x '=-+<得，0x <，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减．综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．（3）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0xa xb -+-≥在x ∈R 上恒成立．设()e (1)xg x a x b =-+-，则()e (1)x g x a '=-+．由()e (1)0xg x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）．随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增． 所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-． 由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤． 设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--．因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e+∞上单调递减，所以当1e x =时，max 11()()1e e h x h ==+．所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11ea =-，2eb =时，b a -有最大值为11e +．19 / 2320．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22196x y +=（Ⅱ）以MN 为直径的圆过原点，坐标为()0,0，且||||PM PN ⋅为定值185【解析】试题分析：（Ⅰ）根据圆的切线性质可以知道2EF x ⊥，这样可以求出点E 的坐标，利用等边三角形的性质，可以求出c 、2ba的值，再根据222c a b =-，最后求出,a b 的值，也就求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时，设出直线方程，求出M 、N 两点的坐标，判断0OM ON ⋅=u u u u r u u u r是否成立，可以判断以MN 为直径的圆是否过定点，也就能求出||||PM PN ⋅的值；当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，设出直线的截距式方程y kx m =+，设出M 、N 两点的坐标，根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得到一个等式，联立直线方程y kx m =+和椭圆方程222318x y +=，消去y ，得到一个关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系，计算OM ON ⋅u u u u r u u u r的值，最后可以求出||||PM PN ⋅的值．试题解析：（Ⅰ）由题意可得2EF x ⊥轴，则2(,)bE c a，因为ABE ∆是边长为2的正三角形，所以2c =⨯=22b a =，且223a b -=，解得3a =，b =，所以椭圆方程为22196x y +=． （Ⅱ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时，可设切线方程为x =M，N ，则0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，所以OM ON ⊥，20 / 23此时以MN 为直径的圆过原点，2218||||||5PM PN OP r ⋅===为定值； 当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，=22(5181)m k =+， 联立直线方程y kx m =+和椭圆方程222318x y +=，可得222(23)63180k x kmx m +++-=，即有>0∆，122623km x x k +=-+，212231823m x x k-=+， 12121212()()OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r 221212(1)()k x x km x x m =++++222223186(1)()02323m km k km m k k-=+⋅+-+=++， 可得OM ON ⊥，此时2218||||||5PM PN OP r ⋅===． 综上可得以MN 为直径的圆过原点，且||||PM PN ⋅为定值185． 21．（本小题14分）已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5．若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”．()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},ija a A ⊆．若12345aa a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>． 【答案】()1{}2,4,6,8,10是关联的，关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是独立的；()2证明见解析；()3证明见解析．21 / 23【解析】试题分析：（1）根据题中所给的新定义，即可求解； （2）根据题意，{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =，{}51234 ,,,A a a a a =，进而利用反证法求解； （3）不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<．记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈，进而利用反证法求解．试题解析：()1{}2,4,6,8,10是“关联的”关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是“独立的”．()2记集合M 的含有四个元素的集合分别为：{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =，{}51234 ,,,A a a a a =．所以，M 至多有5个“关联子集”．若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则{}12345,,,A a a a a =不是 “关联子集”，否则12a a = 同理可得若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则34,A A 不是 “关联子集”． 所以集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”，与已知矛盾．所以{}21345,,,A a a a a =一定不是“关联子集”， 同理{}41235,,,A a a a a =一定不是“关联子集”． 所以集合M 的“关联子集”至多为135,,A A A ．若1A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 若3A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 若5A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 所以135,,A A A 都是“关联子集”，所以有2534a a a a +=+，即5432a a a a -=-，1524a a a a +=+，即5421a a a a -=-．1423a a a a +=+，即4321=a a a a --，所以54433221a a a a a a a a -=-=-=-．22 / 23所以12345,,,,a a a a a 是等差数列．()3不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<．记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈．因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有()212n n n C -=个元素．假设结论错误，即不存在x M ∈，使得294n n x -+>，所以任取x M ∈，294n n x -+≤，因为*x ∈N ，所以284n n x -+≤，所以22228881134422i j n n n n n n n na a -+-+-+-+≤+-=-=+，所以任取t T ∈，232n nt -≤+，任取,123t T t ∈≥+=，所以23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭，且T 中含有()212n n n C -=个元素． (i )若3T ∈，则必有121,2a a ==成立．因为5n ≥，所以一定有121n n a a a a -->-成立．所以12n n a a --≥．所以22218822442n n n n n n n na a --+-+-+≤+-=+*232,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，284n n a n -+=，21824n n a n --+-=所以4T ∈，所以33a =，113n a a a a -+=+n 有矛盾，(ii )若3T ∉，23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭， 而T 中含有()212n n n C -=个元素，所以*243,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，23 / 23所以284n n a n -+=，21814n n a n --+-=，因为4T ∈，所以121,3a a ==．因为222n n T -+∈，所以2222n n n n a a --+=+，所以22824n n a n --+-=，所以123n a a a a -+=+n ，矛盾． 所以命题成立．。

2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（3）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设1z i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1 BC ．2iD ．i【答案】B【解析】由已知可得z ==B ．2．如果集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A ，则=U C A （ ） A ．∅ B ．{1,2,3,4}C ．{2,4}D ．{1,3}【答案】D【解析】集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A ，={1,3}U C A 则，故选D ．3．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取的人数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】由题中饼图可知，40~50岁年龄段的职工所占的比例为10.440.20.36--=，因此40~50岁年龄段应抽取的人数是250.369⨯=，故选C ．4．已知命题:p n N ∀∈，2n >p ⌝是（ ）A ．n ∀∈N ，2n ≤B ．n ∀∈N ，2n <C ．n N ∃∈，2n ≤D ．n N ∃∈，2n >【答案】C【解析】p ⌝为：n N ∃∈，2n ≤C ．5．已知点A (2，a )为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则AF 等于（ ）A ．4B ．3C ．D ．2【答案】B【解析】由已知点A (2，a )为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，∴()1,0F ，根据焦半径公式得：02132pAF x =+=+=，故选B ． 6．已知圆C 与直线y x =及40x y --=都相切，圆心在直线y x =-上，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y +++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y -++=【答案】D【解析】由题意可设圆心坐标为(,)a a -=1a =，∴圆心坐标为(1,1)-，又2R =，∴R =22(1)(1)2x y -++=，故选D ． 7．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C【解析】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ，可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =．矩形ABCD 的外接圆直径5AC ，且2PB =．∴三棱锥P ACD -外接球的直径为2R =()224229R R πππ=⨯=，故选C ．8．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5．2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的若视力4．1的视标边长为a ，则视力4．9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a-D ．91010a -【答案】C【解析】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -，由题意可得：1101110nn n n a a a ---=⇔=，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列，即911410591010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4．9的视标边长为4510a -，故选C ． 9．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点； ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点；③()f x 在（0,10π）单调递增； ④ω的取值范围是[1229510，)．其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦． ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点，∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确； 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确； 极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+<，即<3ϖ，∵1229510ω≤<，故③正确．故选D ．10．在直角坐标系xOy 中，对于点(,)x y ，定义变换σ：将点(,)x y 变换为点(,)a b ，使得tan ,tan ,x a y b =⎧⎨=⎩其中ππ,(,)22a b ∈-．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线．则四个函数()()()()2123420,0,e 0,ln 1x y x x y x x y x y x x =>=>=>=>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（ ）A ．②，③，①，④B ．③，②，④，①C ．②，③，④，①D ．③，②，①，④【答案】A【解析】由x tana y tanb=⎧⎨=⎩可得a arctanx b arctany =⎧⎨=⎩，对于()3e 0xy x =>，显然3331,arctan ,4y b y y π>∴=>∴对应的图象为①；对于()44ln 1,arctan arctan1,4y x x a x y π=>∴=>=∴对应的图象为④； 对于1y 和2y ，当02x <<时，222,arctan2arctan x x x x >∴>，即当0arctan2a <<时，12arctan arctan y y ∴>，1y ∴对应的图象为②，2y 对应的图象为③，故选A ．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．双曲线22149y x -=的渐近线方程是 ．【答案】23y x =±【解析】Q 双曲线22149y x -=，∴双曲线22149y x-=的渐近线方程为22049y x -=，即23y x =±，故答案为23y x =±． 12．已知向量()()4,3,6,a b m =-=r r ，且a b ⊥v v，则m =_ ．【答案】8．【解析】向量()()4,3,6,,a b m a b =-=⊥r r r r ，则04630a b m ⋅=-⨯+=r r,，解得8m =．13．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成__________种重卦．（用数字作答）【答案】15【解析】由题设，卦的种数为2615C =，故答案为15．14．在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD = ；cos ABD ∠= ．【答案】5 10【解析】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，∴5BD =．cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=．15．函数()y f x =图象上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数321y x x =-+图象上两点A 、B 的横坐标分别为1，2，则(,)A B ϕ>； （2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； （3）设点A 、B 是抛物线，21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ…；（4）设曲线x y e =上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ<g恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞；以上正确命题的序号为 （写出所有正确的）． 【答案】（2）（3）【解析】对于（1），由321y x x =-+，得232y x x '=-，则1|1A x k y ='==，2|8B x k y ='==，11y =，25y =，则||AB||(,)||A B k k A B AB ϕ-==<（1）错误；对于（2），常数函数1y =满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确； 对于（3），设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2y x '=，则1222A B k k x x -=-，||AB12|x x =- ()2,21A B ϕ∴===，（3）正确； 对于（4），由xy e =，得x y e '=，()1212,x x x x A B ϕ=，(),1t A B ϕ⋅<恒成立，即12||x x t e e -<1t =时该式成立，∴（4）错误，故答案为：（2）（3）． 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2．（1）求证：//EF 平面1A BD ；（2）求证：平面1AOB ⊥平面1A OC ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）取线段1A B 的中点H ，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形DEFH 为平行四边形，即得//EF HD ．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得1A O DE ⊥．再根据面面垂直性质定理得1A O ⊥平面BCED ，即得1CO A O ⊥，根据勾股定理得CO BO ⊥，∴由线面垂直判定定理得 CO ⊥平面1A OB ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，则EO EC =，与条件矛盾． 试题解析：（1）证明：取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ． ∵在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴ //DE BC ，12DE BC =． ∵ H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，∴ //HF BC ，12HF BC =， ∴ //HF DE ，HF DE =，∴ 四边形DEFH 为平行四边形，∴ //EF HD ． ∵ EF ⊄平面1A BD ，HD ⊂平面1A BD ，∴ //EF 平面1A BD ．（2）证明：∵在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴ AD AE =． ∴11A D A E =，又O 为DE 的中点，∴ 1A O DE ⊥．∵平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ，∴ 1A O ⊥平面BCED ，∴ 1CO A O ⊥．在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC ==∴ CO BO ⊥，∴ CO ⊥平面1A OB ，∴ 平面1AOB ⊥平面1A OC ． （3）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得G 为OC 的中点．在△EOC 中，∵OC GE ⊥，∴EO EC =，这显然与1EO =，EC =∴线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．17．（本小题14分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是正项等比数列，且11431,2a b a b ==+=． 在①22a b =，②6243b =，③424S S =这三个条件中任选一个，回答下列为题： （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）如果()*m n a b n N=∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()()123f f f f n ++++L ．【答案】（1）121,3n n n a n b -=-=；（2）()11312n m -=+，()()()()3212341n f f f f n n ++++=-+L ．【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据条件列出关于d ，q 的方程，求出公差和公比代入数列通项公式即可；（2）利用m n a b =可得,m n 的关系，再利用等比数列的前n 项和公式求得答案． 试题解析：（1）若选①：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则21,132d q d q+=⎧⎨++=⎩，解得23d q =⎧⎨=⎩或10d q =-⎧⎨=⎩(舍)，则121,3n n n a n b -=-=． 若选②：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则由651q b b =得13,3n n q b -=∴=， 又432,139,2,21n a b d d a n +=∴+=∴=∴=-．若选③：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则()2434411,2132dd d q⨯⎧+=++⎪⎨⎪++=⎩， 解得2,3d q =⎧⎨=⎩或2,3d q =⎧⎨=-⎩(舍)，则121,3n n n a n b -=-=． （2）∵m n a b =，∴1213n m --=，即()11312n m -=+， ∴()()()101112[(31)(31)+(31)]2n f f f n -+++=+++++L L ()01113332n n -=++++L 113213nn ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭3214n n +-=． 18．（本小题14分）某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数；（2）从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望；（3） 如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．【答案】（1）抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有2人，得分落在组(20,40]的人数有3人；（2）分布列见解析，1．2；（3）答案不唯一，具体见解析．【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望；（3）该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合此数据作出合理的解释．试题解析：（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有0.005020202⨯⨯=（人）， 得分落在组(]20,40的人数有0.007520203⨯⨯=（人）．∴所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有2人，得分落在组(]20,40的人数有3人． （2）X 的所有可能取值为0，1，2．()33351010C P X C ===，()1223356110C C P X C ===，()2123353210C C P X C ===． ∴X 的分布列为∴X 的期望012 1.2101010EX =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．19．（本小题15分）已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． （1）当1a =-时，求()f x 过切点为()()1,f x 的切线方程；（2）若()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，求a 的值； （3）若不等式()f x x ≤恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）1y =-；（2）2e -；（3）11a e≤-．【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求解出切线斜率即可求解出对应切线方程； （2）根据a 的范围分析函数的单调性，确定出最值即可求解出a 的值；(3)采用分离参数的方法，构造新函数，根据新函数的最值即可求解出a 的取值范围． 试题解析：（1）当1a =-时，()ln f x x x =-+，则()11f x x'=-+，∴()10k f '==切， 切点()()1,1f ，即()1,1-，∴切线方程为()()101y x --=-，即1y =-． （2）()1'1ax a x f xx +=+=， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()1,e 上单调递增，()()1f x f e ae <=+，无最大值． 当0a <时，在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '>，()f x 单调递增；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '<，()f x 单调递增，若函数在()1,e 上取得最大值3-，则11e a<-<，且13f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2a e =-． （3）不等式()f x x ≤恒成立，则ln ax x x +≤恒成立，ln 1xa x≤-， 令()ln 1x g x x =-，（0x >），()21'lnxg x x-+=， 在()0,e 上，()0g x '<，()g x 单调递减；在(),e +∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()()min 11g x g e e ==-，∴11a e≤-． 20．（本小题14分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过点1F 的直线l 交椭圆C 于点A ，B （不与左右顶点重合），连接2F A 2F B ，已知2ABF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）设2122F F F A F B λμ=+u u u u v u u u u v u u u u v ，若1192λμ+=，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）550x ++=或550x -+= 【解析】试题分析：（1）根据周长得到2a =，根据离心率得到1c =，得到椭圆方程． （2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l x ty =-，联立方程利用韦达定理得到122634ty y t +=+，122934y y t =-+，代入式子2122F F F A F B λμ=+u u u u r u u u r u u u r 计算得到答案．试题解析：（1）()()212122248ABF C AF AF BF BF a a a ∆=+++=+==，则2a =，而12c e a ==，则1c =，b C 的方程为：22143x y +=．（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由于A ，B 不与左右顶点重合，则直线l 的斜率不为0，因此设直线:1l x ty =-，与椭圆C 的方程联立：221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>， 122634ty y t +=+①，122934y y t =-+② 11212122221212()y y F F F A AF F A AB F A F B F A y y y y =+=+=+---u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 21221212y y F A F B y y y y =-+--u u u r u u u r，因此212y y y λ-=-，112y y y μ=-，故12212112121111922y y y y y y y y y y λμ⎛⎫+=+=-+= ⎪-⎝⎭--，则122152y y y y +=-． 不妨设12y y >，解得122y y =-，即122y y =-③联立①②③，解得：t =，因此直线l的方程为：550x ++=或550x -+=． 21．（本小题14分）如图，将数字1，2，3，…，2n （3n ≥）全部填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字，第一行填入的数字依次为1a ，2a ，…，n a ，第二行填入的数字依次为1b ，2b ，…，n b ．记1nn i ii S a b==-∑1122n n a b a b a b =-+-+⋯+-．（Ⅰ）当3n =时，若11a =，23a =，35a =，写出3S 的所有可能的取值；（Ⅰ）给定正整数n ．试给出1a ，2a ，…，n a 的一组取值，使得无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，n S 都只有一个取值，并求出此时n S 的值；（Ⅰ）求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，n S 的所有取值的奇偶性相同．【答案】（Ⅰ）3，5，7，9．（Ⅰ）2n S n =（Ⅰ）奇偶性相同．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，易知3S 的所有可能的取值为3，5，7，9．（Ⅰ）令i a i =（1i =，2，…，n ），则无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，都有2n S n =．∵i a i =，∴{}1,2,,2i b n n n ∈++⋯，（1i =，2，…，n ），∵i i a b <（1i =，2，…，n ），∴21nn i i i S a b n ==-=∑．（Ⅰ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．不妨设i i a b >，记1n ii A a ==∑，1nii B b ==∑，其中i =1，2，…，n ，则1111nnnnn iiiiiii i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑（），∵()2121ni A B i n n =+==+∑，∴A B +与n 具有相同的奇偶性，又∵n S A B =-与n 的奇偶性相同，∴n S 的所有可能取值的奇偶性相同． 试题解析：（Ⅰ）3S 的所有可能的取值为3，5，7，9．（Ⅰ）令i a i =（1i =，2，…，n ），则无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，都有2n S n =．∵i a i =，∴{}1,2,,2i b n n n ∈++⋯，（1i =，2，…，n ）， ∵i i a b <（1i =，2，…，n ），∴()22111111)n n n n n nn iiiiiii i i i i n i S a b b a b a i i n=====+==-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑．（Ⅰ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变． 不妨设i i a b >，记1n ii A a ==∑，1nii B b ==∑，其中i =1，2，…，n ，则1111nnnnn iiiiiii i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑（），∵()()21221212ni n n A B i n n =++===+∑，∴A B +与n 具有相同的奇偶性，又∵n S A B =-与n 的奇偶性相同，∴n S 的所有可能取值的奇偶性相同．。

2020北京延庆区高三一模数学 2020.3 本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知复数是正实数，则实数的值为A. B. C. D.2. 已知向量若与方向相同，则等于A. B. C. D.3. 下列函数中最小正周期为的函数是A. B. C. D.4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是A. B. C. D.5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为, ，则它的表面积为A. 8B. 12C. D. 206. 的展开式中，的系数是A. 160B. 80C. 50D. 107. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于A. B.C. D.8. 已知直线，平面，那么“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年10. 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为A. B. C. D.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分。

11. 已知集合,且则的取值范围是12. 经过点且与圆相切的直线的方程是13. 已知函数则14. 某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品至少有种.15. 在中，是边的中点.若，则的长等于；若，则的面积等于.三、解答题共6小题，共85分。

(6) 2020年北京市高考适应性测试数学本试卷共6英，150分.孑试时K 120分钟.考生务必将答案答在签老K 上，在试卷上作 答无效•考试结束后.将本试卷和答题衣一并交回•第一部分(选抒進共40分)一、选择题共10题.每题4分.共40分・在每题列岀的四个选项中.选岀符合题目要求的 _项・(A) (1, 2) (R )(-1. 2) (C) (2. 1)(D) (2. -1) (2知集台彳=：工卜」；・3=：7()」 ：.WJ^n^ =卜列瞬数中.在区间(0.+QO )上为賊常数的是耍得到换数)"(2—?)的图誓.只需耍亦数y52"的图象数学第1页(冥6爽)(1) ftttf 面内.复数i(i+2)对应的点的坐标为(A) {0.1}(B) {0丄2} (C) {-21} ⑴){70J2}(4) (B)y^x(C) (D) y =log 2x 函数/(x) n* + 6的定义域为(A) {x|xW 2或x 鼻3} (B) {x|x W ・3或工 (C) |x12 C XC 3}(D) (5) 関心为(2.和x 轴相切的関的方程是 (A) (x-2)2+(j-ir = 1 (B)(C) (x-2)2+(y-l)2 = 5(D) (x + 2)2 +()+l)2 =5(A)向左平移宇个单位 (B)向左平移卡个单位6(C )向右卩移;个单位(D)向右平移兰个单位 6（18）（本小题14分）为贯彻「九人报告中“要提供更多优质生念产品以満足人氏日益增长的优矣生态环境需要”的耍求.Kt.W小组通过捕样检测杭物高度的方法来监测培疗的杲种柏物的牛长情况.现分別从A,B,C三块试绘田中外随机抽収7fttt物测就髙度，数抑;如卜衣（单位：更米）：假设所行梢株的牛长情况相斤独之.从A.B.C三细齐曲机选I株・A细选出的梢林记为屮，B组选出的植株记为乙.C组选出的植株记为丙.（I）求丙的高度小于15用米的槪率：（II ）求甲的高度人J乙的高度的概率：（III）农格中所仃数据的¥均敌记为“。