概率论第四章习题解答
1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。
“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ”
（2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y
（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。
解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为
所以 1
51115()234988884
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。 （2）因为Y 的取值为2,3，4，9
当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故
121{2}3015
C P Y ===； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故
135151{3}30302
C P Y ==== 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故
1442{4}303015
C P Y ==== 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故
993{9}303010P Y ==
==
112314673()234915215103015
E Y =⨯+⨯+⨯+⨯==。 （3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12； 若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。
X 2 3 4 9 p 18 58 18 18 Y 2 3 4 9 p 115 12 215 310
1(1)(2)(3)(4)(5)6
P X P X P X P X P X ========== (7)(8)(9)(10)P X P X P X P X =======(11)(12)P X P X ==== 1116636=⨯= X 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12
p 16 16 16 16 16 136 136 136 136 136 136
6121711215759()63663612
i i E X i i ===+=+=∑∑
2 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。（设诸产品是否为次品是相互独立的。）
解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率
因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为0.1，设出现次品的件数为Y ，则
(10,0.1)Y B :，于是有 1010
{}(0.1)(0.9)k k k P Y k C -== （2）一次检验中不需要调整设备的概率
{1}{0}{1}P Y P Y P Y ≤==+=101191010(0.1)(0.9)
(0.1)(0.9)k k k C C -=+ 109
(0.9)(0.9)34860.38740.7361=+=+=
则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-=
（3）求一天中调整设备的次数X 的分布律
由于X 取值为0，1，2，3，4。0.2369p =，则(4,0.2369)X B :
于是 0044{0}(0.2639)(0.7361)0.2936P X C ===
134{1}(0.2639)(0.7361)40.26390.39890.4211P X C ===⨯⨯=
2224{2}(0.2639)(0.7361)60.06960.54180.2263P X C ===⨯⨯=
334{3}(0.2639)(0.7361)40.01840.73610.0542P X C ===⨯⨯=
444{4}(0.2639)0.0049P X C === X
0 1 2 3 4
p 0.2936 0.4211 0.2263 0.054 0.0049
（4）求数学期望
()00.293610.421120.226330.054240.0049E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
1.0556=。
3 有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X ＝3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少有一只球。）试求()E X 。
解 （1）求X 的分布律
由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有3464= 种放法。其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种，从而
1{4}64P X ==
； 又{3}X = “3X =”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，从而3只球只
能放在第3、4号两个盒子中，共有328=种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒
子中，即3号盒子是空的，这不符合3X =这一要求，需要除去，故有
3217{3}6464
P X -=== “2X =”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，从而3只球只能放在第2、3、
4号三个盒子中，共有3327=种放法，但其中有一种是3只球都放在第3、或4号盒子中，
共有328=种放法，即2号盒子是空的，这不符合2X =这一要求，需要除去，故有
333219{2}6464
P X -=== 171937{1}1{1}164646464
P X P X ==-≠=-
--= 即 X
1 2 3 4 p 3764 1964 764 164
