【原创】高考数学复习第七节 抛物线 (2)

第7讲 抛物线 ,)1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0， x ∈R开口方向 向右向左向上 向下 焦半径|PF |＝|PF |＝|PF |＝|PF |＝(其中P (x 0， y 0))x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p21．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编 抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，－132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132C 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.2.教材习题改编 以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4xD 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，所以方程为y 2＝－4x ，故选D.3．M 是抛物线y 2＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝52p ，则直线MF 的斜率为( )A ．43B ．53C ．54D ．52A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝52p ，得x 0＋p 2＝5p2，所以x 0＝2p .所以y 20＝2px 0＝4p 2，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )， 又F 的坐标为(p2，0)，所以k MF ＝2p －02p －p 2＝43，故选A.4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .y 2＝4x5.教材习题改编 抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________． 依据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .x 2＝4y抛物线的定义及其应用(1)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．由于|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， 所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应机敏地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)留意机敏运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．(2021·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1， 则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|， 所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．(2021·长春调研)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式消灭，个别高考题有肯定难度． 高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线方程； (2)由已知求参数p ； (3)抛物线方程的实际应用．(1)(2022·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若抛物线的焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y ；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 【答案】 (1)B (2)x 2＝－12y 或y 2＝16x(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，由于未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． ②由于抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，机敏运用平面几何的性质以图助解．角度一 求抛物线方程1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ) A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8xD 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y2＝8x .角度二 由已知求参数p2．(2021·襄阳调研测试)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 由于△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由于圆面积为9π，所以圆的半径为3，又由于圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4.角度三 抛物线方程的实际应用3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由于点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1， 即抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝± 6.所以水位下降1米后，水面宽为26米． 2 6直线与抛物线的位置关系(2022·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必需用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系接受“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.,)——忽视焦点位置而致误已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解】 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ， 则|MA |＝|AN |，且|AN |＝ 5. 由于|ON |＝3，所以|OA |＝32－（5）2＝2，所以N (5，±2)．由于N 点在抛物线上，所以5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.(1)解决本题易忽视焦点位置可在y 轴的正半轴也可在负半轴上两种状况，误认为a >0，从而导致漏解．(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点： ①当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2＝ax (a ≠0)； ②当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程为________．由椭圆x 29＋y 25＝1，得c 2＝9－5＝4，即c ＝2，故椭圆的焦点坐标为(±2，0)． 即抛物线的焦点坐标为(±2，0)．所以当p >0时，抛物线的准线方程为x ＝－2；当p <0时，抛物线的准线方程为x ＝2. x ＝2或x ＝－2,)1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.2．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1 A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22. 3．(2022·高考全国卷甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12 B ．1C ．32D ．2D 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.5．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－4xB 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2＝－8x .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，依据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.7．(2021·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________． 设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . x 2＝－8y8．(2021·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○· M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，假如抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又由于抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4.12或49．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，假如A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F . 又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ， 故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1， 所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.π210．(2021·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p 2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，52p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又由于p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .y 2＝8x11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由于点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又由于F (1，0)，所以k FA ＝43，由于MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．(2021·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．13B ．23 C.34 D.43A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．由于线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.14．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)． 所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.。

第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．❶其中点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程❷和几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)) |PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线． 四种不同抛物线方程的异同点共同点(1)原点都在抛物线上；(2)焦点都在坐标轴上；(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都[熟记常用结论]设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)|AF|＝p1－cos α，|BF|＝p1＋cos α，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1|FA|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫18，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，18 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18. 2．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B.y 2＝－8x C ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析：选C 点P 到F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与它到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y .3．抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝－8x B.y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：选C 由抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .4．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________． 解析：当焦点在x 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的y ＝0，得焦点为(－1,0)， 故抛物线方程为y 2＝－4x ，当焦点在y 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的x ＝0，得焦点为(0，－2)， 故抛物线方程为x 2＝－8y . 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y5．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116， 设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516. 答案：1516考点一 抛物线的定义及应用[师生共研过关][典例精析](1)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线的焦点．若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．[解析] (1)设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 又点P 到焦点F 的距离为2， ∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.(2)如图，过点B 作B Q 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1， 则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|B Q |＝4， 即|PB |＋|PF |的最小值为4. [答案] (1)B (2)4 [变式发散]1．(变条件)若将本例(2)中“B (3,2)”改为B (3,4)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 解析：由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.答案：2 52．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.答案： 5[解题技法]与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．[提醒]注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.[过关训练]1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．答案：(2,2)2．(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝12x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝2|NF|，则|MF|＝________.解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝2|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝ 2.答案： 2考点二抛物线的标准方程与几何性质[师生共研过关][典例精析](1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1) D．(0,1)(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0设点M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4. 由|MF |＝5，得 ⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5.又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .[答案] (1)B (2)C[解题技法]1．求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p )，那么只需求出p 即可． (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)，这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．[过关训练]1．(2019·武汉调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选B 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由抛物线定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝6，|AC |＝6＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以6＋3a ＝12，从而得a ＝2，|FC |＝3a ＝6，所以p ＝|FG |＝12|FC |＝3，因此抛物线方程为y 2＝6x .2．(2018·合肥模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．解析：△FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22p ，则点M ⎝⎛⎭⎫m ，－p 2.因为焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎨⎧m 22p ＋p2＝4，⎝⎛⎭⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .答案：x 2＝4y考点三 直线与抛物线的位置关系[师生共研过关][典例精析]设A ，B 为曲线C ：y ＝x 22上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 212，y 2＝x 222，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝1.(2)由y ＝x 22，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M ⎝⎛⎭⎫1，12. 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝⎪⎪⎪⎪m ＋12. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 22，得x 2－2x －2m ＝0.由Δ＝4＋8m ＞0，得m ＞－12，x 1,2＝1±1＋2m .从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝22(1＋2m ). 由题设知|AB |＝2|MN |，即2(1＋2m )＝⎪⎪⎪⎪m ＋12，解得m ＝72.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.[解题技法]1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[过关训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.设AB 中点为M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2. 答案：22．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.。

新高考数学复习考点知识专题讲解与练习专题60 抛物线（二）一、单项选择题1．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过F 且倾斜角为120°的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且|MN|＝43，则抛物线C 的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－32 D ．x ＝－32．已知抛物线C ：x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点M(1，y 0)在抛物线C 上，|MF|＝5y04，则tan ∠FAM ＝( ) A.25 B.52 C.54 D.453．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，a (a>0)在C 上，|AF|＝3.若直线AF 与C 交于另一点B ，则|AB|的值是( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．4.54．若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0，0) C ．(1，2) D ．(1，4) 5．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y1y2x1x2的值一定等于A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 26．已知抛物线C ：y 2＝4x 与直线y ＝2x －4交于A ，B 两点(点A 在点B 下方)，焦点为F ，则cos ∠AFB=A.45B.35 C ．－35 D ．－457．(2018·课标全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF|∶|FM|等于( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶ 2D ．1∶ 3 9．(2021·衡水中学调研)已知抛物线y 2＝4x ，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两个不同的点，则y 12＋y 22的最小值为( ) A ．12 B ．24 C ．16 D ．32 10．(2021·石家庄市模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M(3，0)．若△MAB 的面积为42，则|AB|＝( )A ．2B ．4C ．2 3D ．8 二、多项选择题11．(2021·山东高考实战演练仿真卷)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，以下四个结论中正确的是( ) A ．x 1x 2＝－4B ．|AB|＝y 1＋y 2＋1C ．∠A 1FB 1＝π2D ．AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为212．(2021·山东高考统一模拟)设M ，N 是抛物线y 2＝x 上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为－12，则( )A ．|OM|＋|ON|≥42B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过定点(2，0)D ．点O 到直线MN 的距离不大于2 三、填空题与解答题 13．(2021·山东高考统一模拟)已知抛物线y 2＝2px(p>0)与直线l ：4x －3y －2p ＝0在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若|AF →|＝λ|FB →|，则λ＝________． 14．(2020·郑州质检)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P(1，0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝PA →，则|AF|＋2|BF|＝________． 15．(2021·四川遂宁市高三三诊)已知点M(0，2)，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若AM →·FM→＝0，则点B 的纵坐标为________． 16．(2021·广西柳州模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF→＝3FB →，求直线AB 的斜率； (2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为点C ，求四边形OACB 面积的最小值．17．(2021·八省联考)已知抛物线y 2＝2px 上三点A(2，2)，B ，C ，直线AB ，AC 是圆(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋2y ＋1＝0B ．3x ＋6y ＋4＝0C ．2x ＋6y ＋3＝0D ．x ＋3y ＋2＝0 18．(2019·课标全国Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.(1)证明：直线AB 过定点； (2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．参考答案1．答案 D 解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线C 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，知AF ，BF 的中点的纵坐标分别为y12，y22，则|MN|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y22－y12＝12|y 2－y 1|＝43，所以|y 2－y 1|＝8 3.由题意知直线AB 的方程为y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x ，得y ＝－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫y22p －p 2，即3y 2＋2py －3p 2＝0，所以y 1＋y 2＝－2p 3，y 1y 2＝－p 2，于是由|y 2－y 1|＝83，得(y 2＋y 1)2－4y 1y 2＝192，所以⎝⎛⎭⎪⎫－2p 32＋4p 2＝192，解得p ＝6，p 2＝3，所以抛物线C 的准线方程为x ＝－3.故选D.2．答案 D 解析 过点M 向抛物线的准线作垂线，垂足为N ，则|MN|＝y 0＋p2＝5y04，故y 0＝2p.又M(1，y 0)在抛物线上，故y 0＝12p ，于是2p ＝12p ，解得p ＝12， ∴|MN|＝54，∴tan ∠FAM ＝tan ∠AMN ＝|AN||MN|＝45.故选D.3．答案 C 解析 结合抛物线的性质可得p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以点A 的坐标为(1，22)，所以直线AB 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线方程，计算B 的坐标为(4，－42)，所以|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝9.故选C.4．答案 A 解析 设与直线y ＝4x －5平行的直线为y ＝4x ＋m ，由平面几何的性质可知，抛物线y ＝4x 2上到直线y ＝4x －5的距离最短的点即为直线y ＝4x ＋m 与抛物线相切的点．而对y ＝4x 2求导得y ′＝8x ，又直线y ＝4x ＋m 的斜率为4，所以8x ＝4，得x ＝12，此时y ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1，即切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选A.5．答案 A 解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p24，y 1y 2＝－p 2，则y1y2x1x2＝－4.②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设直线AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p)x ＋p2k24＝0，则x 1x 2＝p24.∵y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4.又∵y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－p 2.故y1y2x1x2＝－4.故选A.6．答案 D 解析 ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1，0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点(点A 在点B 下方)，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4，4)，则FA →＝(0，－2)，FB →＝(3，4)，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－810＝－45.故选D.7．答案 D 解析 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F(1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x1x2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.8．答案 A 解析 方法一：抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝22（x －1），得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF|＝32，|MF|＝3，∴|NF|∶|MF|＝1∶2.故选A.方法二：抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝22（x －1），得y 2－2y －4＝0，解得y ＝22或y ＝－2，∴点N 的纵坐标为－ 2.过点M 作MM ′⊥x 轴，垂足为M ′，过点N 作NN ′⊥x 轴，垂足为N ′，则△MM ′F ∽△NN ′F ，∴|NF|∶|MF|＝|NN ′|∶|MM ′|＝|－2|∶22＝1∶2.故选A. 方法三：∵M(2，22)是抛物线上的点，且抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|MF|＝3.又1|MF|＋1|NF|＝2p ＝1，∴|NF|＝32，∴|NF|∶|MF|＝1∶2.故选A. 9．答案 D 解析 当直线的斜率不存在时，方程为x ＝4，由⎩⎨⎧x ＝4，y2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 12＋y 22＝32. 当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k(x －4)，由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝k （x －4），得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16， ∴y 12＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32. 综上可知，y 12＋y 22≥32. ∴y 12＋y 22的最小值为32.故选D. 10．答案 D解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 为(1，0)，可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1， 代入抛物线方程，可得y 2－4ty －4＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，可得y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，则|AB|＝1＋t2·|y 1－y 2|＝1＋t2·（y1＋y2）2－4y1y2＝1＋t2·16t2＋16， △MAB 的面积为12|MF|·|y 1－y 2|＝12×2|y 1－y 2|＝42，即16t2＋16＝42，解得t ＝±1，则|AB|＝1＋1·16＋16＝8.故选D. 11．答案 ACD解析 抛物线x 2＝4y 的焦点为F(0，1)，易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 为y ＝kx ＋1.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，A 正确； |AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2，B 不正确；FA1→＝(x 1，－2)，FB1→＝(x 2，－2)，∴FA1→·FB1→＝x 1x 2＋4＝0，∴FA1→⊥FB1→，∠A 1FB 1＝π2，C 正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(y 1＋y 2＋2)＝12(kx 1＋1＋kx 2＋1＋2)＝12(4k 2＋4)≥2.当k ＝0时取得最小值2，D 正确．故选ACD. 12．答案 CD 解析 不妨设M 为第一象限内的点，①当直线MN ⊥x 轴时，k OM ＝－k ON ，由k OM ·k ON ＝－12，得k OM ＝22，k ON ＝－22，所以直线OM ，ON 的方程分别为：y ＝22x 和y ＝－22x.与抛物线方程联立，得M(2，2)，N(2，－2)，所以直线MN 的方程为x ＝2，此时|OM|＋|ON|＝26， 以MN 为直径的圆的面积S ＝2π，故A 、B 不正确．②当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 与抛物线方程联立消去x ，得ky 2－y ＋m ＝0，则Δ＝1－4km>0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1y 2＝m k ，因为k OM ·k ON ＝－12，所以y1x1·y2x2＝－12， 则2y 2y 1＝－x 2x 1＝－y 22y 12，则y 1y 2＝－2，所以mk ＝－2，即m ＝－2k ， 所以直线MN 的方程为y ＝kx －2k ，即y ＝k(x －2)．综上可知，直线MN 为恒过定点Q(2，0)的动直线，故C 正确； 易知当OQ ⊥MN 时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2， 即原点O 到直线MN 的距离不大于2.故D 正确．故选CD. 13．答案 4解析 直线l ：当y ＝0时，x ＝p2，∴直线l 过抛物线的焦点，A ，F ，B 三点共线， 联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧y2＝2px ，4x －3y －2p ＝0，得8x 2－17px ＋2p 2＝0，解得：x A ＝2p ，x B ＝p 8，∴|AF|＝x A ＋p 2＝52p ，|BF|＝x B ＋p 2＝58p ，λ＝|AF→||FB →|＝4.14．答案 15解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．∵P(1，0)，∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，PA →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝PA →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)， ∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 12＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF|＋2|BF|＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝15.15．答案 －1解析 因为点M(0，2)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1，0)，所以k MF ＝2－00－1＝－2，由AM →·FM →＝0可得AM ⊥FM ，所以直线AM 的斜率k AM ＝12，所以直线AM 的方程为y －2＝12x ，即y ＝12x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋2，y2＝4x 化简得x 2－8x ＋16＝0，解得x ＝4，可得点A(4，4)， 所以直线AF 的斜率k AF ＝44－1＝43，所以直线AF 的方程为：y ＝43(x －1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x ，y ＝43（x －1），消去x 可得：y 2－3y －4＝0，解得y ＝－1或y ＝4，所以点B 的纵坐标为－1. 16．答案 (1)3或－ 3 (2)4解析 (1)依题意可得，抛物线的焦点为F(1，0)，设直线AB ：x ＝my ＋1，将直线AB 与抛物线联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y2＝4x ⇒y 2－4my －4＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.∵AF →＝3FB →⇒y 1＝－3y 2⇒m 2＝13，∴斜率为1m＝3或－ 3. (2)S 四边形OACB ＝2S △AOB ＝2×12|OF|·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝16m2＋16≥4，当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4. 17．答案 B解析 方法一(设而要求)：∵A(2，2)在抛物线y 2＝2px 上，∴4＝4p ，∴p ＝1，∴y 2＝2x ，过A(2，2)作圆C 的切线，设切线斜率为k.则切线方程为：y －2＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0.∴|2k －0－2k ＋2|k2＋1＝1，∴k ＝±3.当k ＝3时，切线方程为：y －2＝3(x －2)，联立⎩⎨⎧y －2＝3（x －2），y2＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8－433，y ＝233－2，则B ⎝⎛⎭⎪⎫8－433，23－63，当k ＝－3时，切线方程为：y－2＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y －2＝－3（x －2），y2＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋433，y ＝－233－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋433，－23＋63， ∴k BC ＝－12，y －23－63＝－12⎝⎛⎭⎪⎫x －8－433，即3x ＋6y ＋4＝0，故选B. 方法二(设而不求)：∵A(2，2)在抛物线y 2＝2px 上，∴4＝4p.∴p ＝1.∴y 2＝2x.设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b22，b ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c22，c ，则BC ：2x －(b ＋c)y ＋bc ＝0，AC ：2x －(2＋c)y ＋2c ＝0，可得：|4＋2c|4＋（2＋c ）2＝1，化简，得：3c 2＋12c ＋8＝0.同理，3b 2＋12b ＋8＝0，于是b ，c 是方程3t 2＋12t ＋8＝0的两个根，∴b ＋c ＝－4，bc ＝83，BC ：2x ＋4y ＋83＝0，即3x ＋6y ＋4＝0.故选B.18．答案 (1)证明略 (2)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4或x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2 解析 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A(x 1，y 1)，则x 12＝2y 1. 由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y1＋12x1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B(x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t(x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t2＋12. 由于EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t)平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4； 当t ＝±1时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.。

高考总复习2025第7节 抛物线课标解读1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握抛物线的简单应用.强基础 固本增分知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F )的距离__________的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的__________.(2)数学表达式:P ={M ||MF |=d }(d 为点M 到准线l 的距离).微思考抛物线的定义中,为什么要强调l 不经过点F ?相等 准线提示 若直线l 过点F ,则到点F 与到直线l 距离相等的点的轨迹是过点F 且与l 垂直的直线.2.抛物线的标准方程和简单几何性质等于焦点到抛物线顶点的距离取决于一次项变量(x或y)的取值范围微点拨1.求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确选择抛物线的标准方程.2.由y2=mx或x2=m y(m≠0)求焦点坐标时,只需将x或y的系数除以4,再确定焦点位置即可.3.抛物线的通径过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径,它的长等于2p,通径是过焦点最短的弦.p越大,通径越大,抛物线的开口就越大;p越小,通径越小,抛物线的开口就越小.常用结论设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为弦AB所在直线的倾斜角,若,y1),B(x2,y2),如图所示,则A(x自主诊断题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )2.直线与抛物线有一个交点,说明直线与抛物线相切.( )3.抛物线y 2=4x 的焦点到准线的距离是4.( )4.“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.( )× × × √题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第一册3.3.1节练习第1题改编)已知抛物线的准线方D程为x=1,则该抛物线的标准方程为( )A.x2=-4yB.x2=4yC.y2=4xD.y2=-4x解析由题知,抛物线的准线方程为x=1,所以抛物线开口向左,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则=1,即p=2,所以抛物线的标准方程为y2=-4x.6.(人教B版选择性必修第一册习题2-7A第5题改编)石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图,这是一座石拱桥,桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分,当水距离拱顶4米时,水面的宽度是8米,则抛物线C的焦点到准线的距离是( )A.1米B.2米C.4米D.8米B解析设抛物线C:x2=-2py(p>0),由题意可知点(4,-4)在抛物线C上,则-2p×(-4)=42,解得p=2,故抛物线C的焦点到准线的距离是2米.7.(人教B版选择性必修第一册2.7.1节练习B第5题改编)已知点M到点F(4,0)y2=16x的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,则点M的轨迹方程是__________. 解析因为点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,所以点M到点F(4,0)的距离与它到直线l1:x+4=0的距离相等,即点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,直线l1:x+4=0为准线的抛物线,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则=4,即p=8.所以点M的轨迹方程为y2=16x.题组三连线高考8.(2023·北京,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3D的距离为5,则|MF|=( )A.7B.6C.5D.4解析因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上,所以M到准线x=-2的距离为|MF|.又M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4.9.(2023·全国乙,理13)已知点A(1, )在抛物线C:y 2=2px上,则A到C的准线的距离为__________.高考总复习优化设计2025第1课时　抛物线的定义、方程与性质研考点 精准突破考点一 抛物线的定义及应用例1(1)(2024·浙江绍兴模拟)设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,若点P (1,m )在抛物线上,且|PF |=3,则p =( )A .1B .2C .4D .8C(2)设P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点,F 是抛物线y 2=4x 的焦点,若B (3,2),则|PB |+|PF |的最小值为( )A .2B .4C .3D .5B 解析 如图,过点B 作BQ 垂直准线于点Q ,交抛物线于点P 1,则|P 1Q|=|P 1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P 1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.变式探究1(变条件)将本例(2)中的点B的坐标改为(3,4),则|PB|+|PF|的最小值为__________.解析由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.∵|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,F(1,0),变式探究2(变条件变结论)已知抛物线y2=4x,P是抛物线上任意一点,则P到直线l:x=-12的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值是__________.解析易知直线l:x=-1为抛物线的准线,抛物线y2=4x与直线3x+4y+7=0不相交.由抛物线的定义可知,点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离,∴点P到直线l的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x+4y+7=0的距离,[对点训练1](2024·北京房山模拟)已知圆C的圆心在抛物线y2=4x上,且此圆AC过定点(1,0),则圆C与直线x+1=0的位置关系为( )A.相切B.相交C.相离D.不能确定解析抛物线y2=4x的焦点为(1,0),准线方程为x=-1,根据抛物线的定义可知,圆心C到焦点的距离等于到准线的距离,所以圆C与直线x+1=0相切.考点二 抛物线的标准方程例2(1)已知抛物线y 2=2px (p >0)上一点M 的纵坐标为-4 ,该点到准线的距离为6,则该抛物线的标准方程为( )A .y 2=-16xB .y 2=8x 或y 2=4xC .y 2=-8xD .y2=16x 或y 2=8xD(2)在平面直角坐标系O x y中,已知F(1,0),点M到直线x=-3的距离比到点F的y2=4x距离大2,记M的轨迹为C,则C的方程是____________________.解析由点M到直线x=-3的距离比到点F的距离大2,可转化为点M到直线x=-1的距离等于到点F(1,0)的距离.所以M的轨迹是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,可得=1,所以p=2,所以曲线C的方程为y2=4x.(3)在水平地面竖直定向爆破时,在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示),称该条抛物线为安全抛物线.若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米,碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米,则在这次爆破中,安全抛物线的标准方程是x2=-160y____________________.解析以抛物线最高点为坐标原点,过该点且平行于地面的直线(该直线与抛物线共面)为x轴,建立平面直角坐标系,如图.设抛物线方程为x2=-2py,p>0,由题意得抛物线过点(80,-40),将其代入抛物线方程得6 400=80p,解得p=80,故安全抛物线的标准方程为x2=-160y.[对点训练2]已知抛物线C同时满足以下三个条件:①C的顶点在坐标原点;②C的对称轴为坐标轴;③C的焦点F在圆(x-2)2+y2=9上.则C的方程可以为__________.(写出一个满足题意的即可)(答案不唯一)考点三 抛物线的几何性质例3(1)(2024·福建安溪一中模拟)抛物线y 2=2px 绕其顶点逆时针旋转90°之后,得到的图象正好对应抛物线y=2x 2,则p =( )B(2)(2024·山东青岛模拟)已知O为坐标原点,在抛物线y2=2px(p>0)上存在两点E,F,使得△OE F是边长为4的正三角形,则p=__________.规律方法应用抛物线的几何性质解题时,常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质,体现了数形结合思想解题的直观性.C。