直线的法向量

两点求法向量
在平面直角坐标系中，假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，如何求出由这两个点确定的直线的法向量呢？
方法一：
1.计算出向量AB的坐标表示，即AB = (x2 - x1, y2 - y1)。

2.将向量AB逆时针旋转90度，得到向量的一个垂直向量，即法向量N = (- (y2 - y1), x2 - x1)。

3.将法向量N进行单位化，即将其长度归一化为1，得到单位法向量n = N/||N||，其中||N||表示向量N的长度。

方法二：
1.根据两点式求出直线的方程，即斜率为k，截距为b的直线方程为y = kx + b。

2.由于直线的法向量与直线垂直，所以其斜率为-k的直线与原直线垂直。

3.根据两条直线的斜率，可以求出它们构成的直角三角形的两条直角边的长度，即法向量的坐标表示为N = (-k,1)或N = (k,-1)。

4.将法向量N进行单位化，得到单位法向量n = N/||N||。

以上两种方法都可以求出直线的法向量，具体选择哪种方法取决于问题的具体情况和个人喜好。

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直线的方向向量与法向量的求法
如图所示，当直线l ：Ax By C =0的斜率存在时，直线与坐标轴分
别交于M N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP,交横轴于点P,则，向 量m'是直线的方向向量，向量n 是直线的法向量，那么，如何求这两 个向量呢?
又••• k NP 二 B ,•••直线 NP 的方程为 y 二"Bx- C ,
A
A B 易知p 當0，故NP 珂晋,B)罟(诗罟(1厂或号(AB),
—■ 1 —■
所以，直线的法向量 n =(1,)或n 二(A, B) • k
说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可.
例、求下列直线的方向向量与法向量:
(1) 2x -3y 5 = 0 ; (2) 3x 7 = 0 .
解：(1)直线的方向向量为m' = (-3,-2)或m = (1,2),
3 直线的法向量为n 、
所以，直线的方向向量 m = (1,k)或m=(B,-A);
C C
「(1,k)或二 ABg ，
(2,-3)或n = (1^|);
(2)直线的方向向量为m〔(0,-3)或(0,1)或(0,-1),
直线的法向量为二(3,0)或(1,0)或(-1,0).
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【教材】中等职业教育规划教材《数学》第二册
【教学目标】
知识目标：1.理解直线的法向量的概念以及法向量与方向向量的关系；
2.根据条件，熟练地求出直线的方程。

能力目标：通过布置课前任务来培养学生的自学能力；通过让学生讨论、讲解来训练学生的语言表达能力和逻辑思维能力；通过让学生解决生活或专业中与数学相关的问题来培养学生的分析问题、解决问题的能力。

情感目标：通过让学生解决一些生活或专业中的问题，让学生感悟数学的实用性；通过小组活动，培养学生的团队精神；通过让学生解决一系列层层深入的问题，培养学生积极探索勇于创新的精神。

【教学重点】理解掌握直线的点法式方程。

【教学难点】法向量与方向向量的关系。

【突破难点的关键】通过多媒体演示、类比举例等手段让抽象的概念具体化。

【教学方法】探究式问题教学法。

此法就是把学习问题与学生的学习活动相结合，教师引导学生发现问题、分析问题、解决问题，从而使学生独立地、创造性地完成学习任务。

【教具】多媒体投影仪，实物投影仪。

例2 求下列过点。

最新直线的方向向量与法向量的求法
答：最新直线的方向向量和法向量都是几何中重要的概念，在计算机图形学、几何计算和现实世界中都有很广泛的应用。

最新直线的方向向量是有向线段的方向，它描述两点间的方向，而面的法向量是面内任意方向的有向线段的方向，它描述的是面的表面方向。

本文将重点介绍最新直线的方向向量和法向量的求法。

首先，我们介绍最新直线的求法。

最新直线的方向向量可以用两个点的空间坐标来求得。

即我们先用点$ C=(x_0, y_0,z_0) $和 $ D=(x_1,y_1,z_1) $来表示有向线段$CD$，有向线段$CD$的方向向量可以写成：
$$
\vec{ v}=\left(\begin{array}{l}
x_1-x_0 \\
y_1-y_0 \\
z_1-z_0
\end{array}\right)
$$
最新直线的求法就是从给出的任意两点$C$和$D$求出它们所代表的方向向量
$\vec{v}$。

直线的方向向量与法向量的求法
如图所示，当直线0:=++C By Ax l 的斜率存在时，直线与坐标轴分别交于M 、N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP ，交横轴于点P,则，向量→m 是直线的方向向量，向量→
n 是直线的法向量，那么，如何求这两个向量呢？
【解析】易知),0(),0,(B C N A C M --，故),(),1(),(A B AB C k A C B C A C MN -==-=→
或， 所以，直线的方向向量),1(k m =→或),(A B m -=→; 又∵A B k NP =
，∴直线NP 的方程为B
C x A B y -=， 易知)0,(2B AC P ，故),()1,1(),1(),(2222B A B
C k B AC A B B AC B C B AC NP 或-===→， 所以，直线的法向量),()1,1(B A n k n =-=→→或． 说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可．
例、求下列直线的方向向量与法向量：
（1）0532=+-y x ； （2）073=+x ．
解：（1）直线的方向向量为)2,3(--=→m 或)32,1(=→m ， 直线的法向量为)23,1()3,2(-=-=→→n n 或；
（2）直线的方向向量为)1,0(1,0)3,0(--=→）或或（m ，
直线的法向量为)0,1()0,1()0,3(-==→→或或n n ．。

专题09直线方向向量和法向量的应用[新教材的新增内容]背景分析：在旧教材中直线方程只涉及了斜率和倾斜角的概念与向量知识缺少联系，而在新教材中引入了直线的方向向量和法向量的概念，让向量与直线联系到一起，为解决直线方程问题提供了向量工具. 1､点方向式方程（1）直线的方向向量：把与直线平行的向量叫着直线的方向向量，记着(,)d u v = （2）点方向式方程：如果直线的方向向量的坐标都不为零，即0u ≠，0v ≠时，直线通过某个点00(,)x y ，把方程00x x y y u v--=叫做直线的点方向式方程. 2､直线的点法向式方程（1）直线的法向量：把与直线垂直的向量叫着直线的法向量，记着(,)n a b =（2）点法向式方程：如果直线通过某个点00(,)x y ，且与向量(,)n a b =垂直的 直线方程00()()0a x x b y y -+-=，叫做直线的点法向式方程. 3.理解方程中各字母及其系数的几何意义by c[新增内容的考查分析]1.直线方向向量的应用（应用主要体现在，会求直线的方向向量，应用直线的方向向量解决直线中的相关问题.）【考法示例1】过，两点的直线的一个方向向量为则（）A. B. C. D.1【答案】C【分析】解法一：根据AB坐标求得向量，根据与直线的方向向量共线即可求得结果.解法二：根据直线的方向向量求得直线的斜率，结合两点的斜率公式即可求得结果.【详解】解法一：由直线上的两点，，得，又直线的一个方向向量为，因此，∴，解得，故选：C.解法二：由直线的方向向量为得，直线的斜率为，所以，解得.故选：C.【考法示例2】已知过定点的直线的一个方向向量是，则直线的点方向式方程可以为（）A. B.C. D.【答案】B【详解】因为直线的方向向量为且经过点，故直线的点向式方程为.故选：B.【考法示例3】设两条不重合的直线的方向向量分别为，则“存在正实数，使得是“两条直线平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】依题意为两条不重合的直线的方向向量，若存在正实数，使得，则，即可得到这两条直线平行，即充分性成立；若两直线平行，即，则存在实数，使得，不一定为正，当与同向时，当与反向时，，故必要性不成立；故“存在正实数，使得”是“两条直线平行”的的充分不必要条件，故选：2.直线法向量的应用（直线的法向量应用主要在两方面，1.会求直线的方向向量；2.应用直线的法向量解决直线中的相关问题.）【考法示例4】已知直线的方向向量为（1，5），则直线的法向量为（ ） A.B.C.D.【答案】C【分析】根据直线的方向向量与法向量的数量积等于零即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的法向量可以是或.故选：C.【考法示例5】已知两条直线，，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则________.【答案】【分析】根据题意可得，利用两直线垂直的等价条件即可求解.【详解】因为直线的一个法向量恰为的一个方向向量，所以，所以，解得：.[新增内容的针对训练]1. 设()()111222,,,P x y P x y 为直线l 上的两点，则()122121,PP x x y y =--，我们把向量12PP 以及与它平行的向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 的方向向量垂直的向量称为直线l 的法向量．若直线l 经过点(1,4),(3,2)A B -，则直线的一个法向量n 为（ ） A. ()1,2n =- B. ()4,2n =- C. ()4,2n = D. ()1,2n =【答案】D 【解析】【分析】先计算出直线l 的方向向量AB ，然后通过数量积逐项判断n 与AB 是否垂直.【详解】因为()4,2AB =-，A ．当()1,2n =-，则4480AB n ⋅=+=≠，不满足， B ．当()4,2n =-，则164200AB n ⋅=+=≠，不满足，C ．当()4,2n =，则164120AB n ⋅=-=≠，不满足，D ．当()1,2n =，则440AB n ⋅=-=，满足， 故选：D.2. 下列命题正确的有（ ）．∴直线的方向向量是唯一的；∴经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l 的点方向式方程为00x x y y u v--=；∴直线10y =的一个方向向量是（1，0）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】B 【解析】【分析】由于直线的方向向量是不唯一的，可判定∴不正确；由直线的点方向式方程，可判定∴不正确；由直线10y =的斜率为0，可判定∴是正确的. 【详解】对于∴中，由于直线的方向向量是不唯一的，所以∴不正确；对于∴中，只有等0,0u v ≠≠时，经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l的点方向式方程为00x x y y u v--=，所以∴不正确； 对于∴中，直线10y =的斜率为0，所以直线10y =的一个方向向量可以是(1,0)，所以∴是正确的. 故选：B.【点睛】本题主要考查了直线的方向向量的概念与辨析，以及直线的点方向式方程的应用，着重考查概念的辨析能力，属于基础题.3. 若过点(3,2)P m 和点(,2)Q m -的直线与方向向量为(5,5)a =-的直线平行，则实数m 的值是（ ） A.13 B. 13-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】【分析】求出PQ 坐标，由向量共线可得关于m 的方程，进而可求出m 的值. 【详解】由题意得，(3,22)PQ m m =---与(5,5)a =-共线，所以5(3)(5)(22)0m m ----⋅-=，解得13m =-．经检验知，13m =-符合题意，故选:B ．【点睛】本题考查了由向量平行求参数，属于基础题.4. 已知直线l 经过点(1,2)P 和点(2,2)Q --，则直线l 的单位方向向量为 A. (3,4)-- B. 34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 34,55⎛⎫±± ⎪⎝⎭D. 34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 的一个方向向量为(3,4)PQ =--，再求出向量的模，根据单位向量||PQPQ ±即可求解. 【详解】由题意得，直线l 的一个方向向量为(21,22)(3,4)PQ =----=--，则||(5PQ =-=，因此直线l 的单位方向向量为134(3,4),555||PQ PQ ⎛⎫±=±--=± ⎪⎝⎭，故选：D .【点睛】本题考查了直线的方向向量以及单位向量的求法，考查了基本运算，属于基础题.5. 设直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z 且0,≠∈R b b .给出下列结论其中真命题有（ ） A. l 的斜率是tan α B. l 的倾斜角是αC. l 的方向向量与向量(sin ,cos )a αα=平行D. l 的法向量与向量(sin ,cos )b αα=-平行. 【答案】AD 【解析】【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角，注意倾斜角的范围判断AB ，由直线的方向向量与法向量定义及向量共线的坐标表示判断CD ． 【详解】因为直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z ，所以l 的斜率是tan α；所以A 对；l 的倾斜角θ满足tan tan θα=，但不一定有θα=，所以B 错；l 的方向向量为(1,tan )α，因为1cos sin tan ααα⨯≠，所以C 错； l 的法向量为(tan ,1)α-，因为1sin cos tan ααα-⨯=-，所以D 对；故选：AD.6. 直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =，则直线的点法向式方程是（ ）A. 3(2)(3)0x y -+-=B. (2)3(3)0x y --+-=C.2331x y --= D.2313x y --=- 【答案】BC【解析】【分析】直接利用直线的点法向式方程求解.【详解】因为直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =， 所以直线的点法向式方程是(2)3(3)0x y --+-=或2331x y --= 故选：BC【点睛】本题主要考查直线的点法向式方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 若一条直线的斜率为k ，则它的一个方向向量是___________，一个法向量是________.【答案】 ∴. (1,)k ∴. (,1)k - 【解析】【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系，在直线上任取两点坐标相减得到的向量即为方向向量，再由法向量和方向向量的数量积为0，即可求得法向量. 【详解】因为直线的斜率为k ，所以它的一个方向向量为(1,)k ，设一个法向量为(),x y ，则()(),1,0x y k x ky ⋅=+=，不妨取,1x k y ==-，则它的一个法向量是(),1k -， 故答案为：(1,)k ；(,1)k -.【点睛】本题考查直线方向向量以及法向量，掌握直线斜率和方向向量以及法向量的关系是关键，考查了分析求解能力，属基础题.8. 直线1:2330l x y -+=，那么直线1l 的一个方向向量1d 为_____________；2l 过点（2，1），并且2l 的一个方向向量2d 满足120d d ⋅=，则2l 的点方向式方程是_____________．【答案】 ∴. ()3,2（与该项量共线的非零向量均可） ∴. 2123x y --=- 【解析】【分析】由题意结合直线方向向量的知识可得直线1l 的一个方向向量；求得一个满足要求的向量2d 后，利用直线的点方向式即可得2l 的点方向式方程.【详解】由题意可得直线1:2330l x y -+=的一个方向向量为()3,2， 所以1d 可为()3,2（与该项量共线的非零向量均可）； 设向量()2,n d m =，由120d d ⋅=可得320m n +=， 令2m =则3n =-，所以直线2l 的一个方向向量为()2,3-，又直线2l 过点(2，1)，所以该直线的点方向式方程为2123x y --=-. 故答案为：()3,2（与该项量共线的非零向量均可）；2123x y --=-. 【点睛】本题考查了直线方向向量的求解及直线点方向式方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9. 已知平面上直线l 的方向向量43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别为1O 和1A ，则11O A e λ=，其中λ=________. 【答案】2- 【解析】【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得(1,2)OA =-、1e =，进而可得λ即为OA 在e 方向上的投影，再由e OAeλ⋅=即可得解. 【详解】43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,0)O ，(1,2)A -；∴415e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，(1,2)OA =-， ∴λ即为OA 在e 方向上的投影，∴465521e OA e λ--===-⋅.故答案为：2-.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示、模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.10. 如图，射线OA ，OB 所在直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N .（1）若1k =，31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求OM 的值； （2）若()2,1P ，OMP 的面积是65，求k 的值； （3）已知k 为常数，M ，N 的中点为T ，且1MON S k=△，当P 变化时，求OT 的取值范围.【答案】（1（2）112或2；（3）1,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1)求出||OP ,点P 到直线的距离,利用勾股定理,求||OM 的值; (2)直线OA 的方程为0kx y ,求出(2,1)P 到直线的距离,利用勾股定理求出||OM ,利用OMP 的面积为65,求k 的值; (3)设直线OA 的倾斜角为α,求出||OM ,||ON ,利用1MON S k=△,可得P 变化时,动点T 轨迹方程,求出||OT ,即可求||OT 的取值范围.【详解】（1）31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，||OP ∴=， 若1k =，则()11,1d =，OA ∴的方程为y x =，即0x y -=，则点P 到直线OA2=，||OM ∴== （2）直线OA 的方程为0kx y ,(2,1)P到直线的距离为d =||OM ∴=, OMP ∴的面积为1625=, 112k ∴=或2； （3）设()11,M x kx ,()22,N x kx -,(,)T x y ,1>0x ,20x >,0k >, 设直线OA 的倾斜角为α,则tan k α=，22sin 21kk α=+, 根据题意得()121222x x x k x x y OM x ON x +⎧=⎪⎪-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩，解得12y x x ky x x k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 代入11||||sin 22MONSOM ON kα==， 化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.1||OT k∴====, 当且仅当11,,0x T k k ⎛⎫=⎪⎝⎭时,||OT 取得最小值1k.||OT∴的取值范围是1,k⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.。