考试题现代

一、简答题1、何为系统的能控性和能观性？答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。

（2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。

若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。

2、何为系统的最小实现？答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。

在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。

3、何为系统的渐近稳定性？答：若错误！未找到引用源。

在时刻错误！未找到引用源。

为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于错误！未找到引用源。

的实数错误！未找到引用源。

和任意给定的初始状态错误！未找到引用源。

，使得错误！未找到引用源。

时，有错误！未找到引用源。

，则称错误！未找到引用源。

为李雅普若夫意义下的渐近稳定4、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变5、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？答：方法1：对n维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：错误！未找到引用源。

方法2：如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后A阵变换成对角标准形，且错误！未找到引用源。

不包含元素全为0的行线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵错误！未找到引用源。

满秩。

即：错误！未找到引用源。

6、传递函数矩阵错误！未找到引用源。

的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？答：充要条件是系统状态完全能控且完全能观测。

7、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？答：线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是系统完全能控。

8、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？答：线性定常连续系统状态观测器的存在条件是原系统完全能观。

二、基础题（每题10分）1、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。

（10分）解：（1）由电路原理得：112212111122211111L L c L L c c L L di R i u u dt L L L di R i u dt L L du i i dt c c=--+=-+=-222R L u R i =112211112221011000110L L L L c c R i i L L L R i i u L L u u cc⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦[]122200L R L c i u R i u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2、给定一个二维连续时间线性定常自治系统,0xx A t =≥ 。

现知，对应于两个不同初态的状态响应分别为33333153124444(0),() (0),()1311532222t t t t t t t t e e e e x x t x x t e e e e ----⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；试据此定出系统矩阵A 。

解：()(0)Atx t e x = 2分可得()()33331333333333153315312124444444431531131531122222222111244 12t t t t t tt t At t t t t t t t t t tt t t tt t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e -------------⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤+-+⎢⎥=⎢⎢-++⎢⎣⎦⎥⎥⎥4分3303313131122441341322t t t t Att t t t t t e e e e deA dte e e e --==--⎡⎤-++⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥+-+⎢⎥⎣⎦4分3、给定一个二维连续时间线性定常自治系统,0xx A t =≥ 。

现知，对应于两个不同初态的状态响应分别为33333153124444(0),() (0),()1311532222t t t t t t t t e e e e x x t x x t e e e e ----⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；试据此定出系统矩阵A 。

（10分）解：()(0)Atx t e x =可得()()33331333333333153315312124444444431531131531122222222111244 12t t t t t tt t At t t t t t t t t t tt t t tt t e e e e e e e e e e e e e e e e ee e e e e e e e -------------⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤+-+⎢⎥=⎢⎢-++⎢⎣⎦⎥⎥⎥3303313131122441341322t t t t Att t t t t t e e e e de A dte e e e --==--⎡⎤-++⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥+-+⎢⎥⎣⎦三、试确定下列系统当p 与q 如何取值系统既能控又能观。

（10分）1122112101x x p u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []121 x y q x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦解：系统的能控性矩阵为[]121C p p U bAb p -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦其行列式为 []2det 12b Ab p p =+-根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为2，亦即行列式值不为0 ，[]2det 120b Ab p p =+-≠因此当3,4p ≠-时系统能控 系统能观测性矩阵为1112O c qU cA q q ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦其行列式为2det 121c q q cA ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为2，亦即2det 1210c q q cA ⎡⎤=--≠⎢⎥⎣⎦因此当11,34q ≠-时系统能观 综上可知，当3,4p ≠-，11,34q ≠-时系统既能控又能观4、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。

对系统x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3210求其状态转移矩阵。

解：解法1。

容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统的矩阵A 可以对角化。

矩阵A 对应于特征值2,121-=-=λλ的特征向量是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21,1121νν取变换矩阵 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-1112121ννT ， 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21111T因此， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-20011TAT D从而，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-------------t t tt t t t t t t t t Ate e ee e e e e e e T e e T e22222212222111200211100解法2。

拉普拉斯方法 由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-++-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---2211221221112112)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(32132)3(1)(adj )det(1321)(11s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI A sI s s A sI故 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-==Φ----------t t tt t t tt Ate e ee e e e e A sI L et 2222112222])[()(解法3。

凯莱-哈密尔顿方法 将状态转移矩阵写成 A t a I t a e At)()(10+= 系统矩阵的特征值是-1和-2，故 )(2)()()(10210t a t a e t a t a et t-=-=-- 解以上线性方程组，可得 t t tte e t a e e t a 2120)(2)(-----=-=因此， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=+==Φ--------t t tt t t tt Ate e e e e e e e A t a I t a e t 2222102222)()()(5、（15分）考虑由下式确定的系统： 233)(2+++=s s s s G 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。

解： 能控标准形为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212113103210x x y u x x x x能观测标准形为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212110133120x x y u x x x x对角标准形为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212112112001x x y u x x x x6、（20分）已知系统的传递函数为)5)(3(52)(+++=s s s s G（1） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图； （2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。

答:（1）将G (s )写成以下形式：55231)(++⋅+=s s s s G 这相当于两个环节31+s 和552++s s 串连，它们的状态空间模型分别为：⎩⎨⎧=+-=11113x y u x x和⎩⎨⎧+-=+-=1212255u x y u x x 由于11u y =，故可得给定传递函数的状态空间实现是：将其写成矩阵向量的形式，可得：对应的状态变量图为：串连分解所得状态空间实现的状态变量图（2）将G (s )写成以下形式：它可以看成是两个环节35.0+-s 和55.2+s 的并联，每一个环节的状态空间模型分别为：和由此可得原传递函数的状态空间实现：进一步写成状态向量的形式，可得：对应的状态变量图为：并连分解所得状态空间实现的状态变量图7、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov 稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。