高中数学函数基础知识及题型归纳复习

全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数基础知识点归纳总结单选题1、定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（ ）A ．(0,1100)B ．(1100,+∞)C ．(0,100)D ．(100,+∞) 答案：D分析：利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解.因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)，即f(lgx)>f (2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增，所以f(x)在R 上单调递增，所以lgx >2，解得x >100.故选：D.2、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限，且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限.故选：A ．3、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（ ）A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天答案：B分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间. {10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ， 令ℎ=12，∴2t 10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33，故选：B.4、已知函数f(x)=9+x 2x ，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4）答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可．当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ，所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A5、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（ ）A ．−1B ．−5C ．11D ．13答案：C分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值.令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x)=log 2(1+4x 2−4x 2)=0，所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11，故选：C.6、设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（ ）A ．是偶函数，且在 (12，+∞)单调递增B ．是奇函数，且在 (−12，12)单调递增C ．是偶函数，且在(−∞，−12)单调递增D ．是奇函数，且在 (−∞，−12)单调递增答案：B分析：先求出f (x )的定义域结合奇偶函数的定义判断f (x )的奇偶性，设t ＝|2x+12x−1|，则y ＝ln t ，由复合函数的单调性判断f (x )的单调性，即可求出答案.解：由{2x +1≠02x −1≠0 ，得x ≠±12． 又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数，由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|＝ln |2x+12x−1|， ∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1x−12．可得内层函数t ＝|2x+12x−1|的图象如图，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增， 又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（−12，12）上单调递增，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减．故选：B ．7、已知y 1=(13)x，y 2=3x ，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.y 2=3x 与y 4=10x 是增函数，y 1=(13)x与y 3=10−x =(110)x 是减函数，在第一象限内作直线x =1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ．故选：A8、化简√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√b a 3 (a >0，b >0)的结果是（ ）A ．b aB ．a bC ．a 2bD ．b 2a 答案：B分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√a 3=a 32b⋅a 16b 13(a 14b 12)4⋅a −13⋅b 13 =a 32+16−1+13b 1+13−2−13=ab −1=a b 故选：B 9、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（ ） A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3]答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得. 由题意得{3−x ≥0x +1>0， 解得−1<x ≤3，即函数的定义域是(−1,3].故选：C.10、若函数y =(m 2−m −1)⋅m x 是指数函数，则m 等于（ ）A ．−1或2B ．−1C ．2D ．12答案：C分析：根据题意可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值.由题意可得{m 2−m −1=1m >0m ≠1，解得m =2. 故选：C.填空题11、方程lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)的解为 __________ .答案：x =−2分析：由题意知lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，可求出x 的值，再结合真数大于零进行检验，从而可求出最终的解.由lg (x 2−x −2)=lg (6−x −x 2)，得x 2−x −2=6−x −x 2，所以x =±2，又因为x 2−x −2>0且6−x −x 2>0，所以x =−2；所以答案是：x =−2.12、已知函数f (x )的定义域是[-1，1]，则函数f (log 2x )的定义域为____．答案：[12,2]分析：根据给定条件列出使函数f (log 2x )有意义的不等式组，再求出其解集即可.因函数f (x )的定义域是[-1，1]，则在f (log 2x )中，必有−1≤log 2x ≤1，解不等式可得：{12≤x ≤2x >0，即12≤x ≤2， 所以函数f (log 2x )的定义域为[12,2].所以答案是：[12,2]13、函数f(x)=4+log a (x −1)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点_________答案：(2,4)分析：令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；解：因为函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)，令x−1=1，解得x=2，所以f(2)=4+log a1=4，即函数f(x)恒过点(2,4)；所以答案是：(2,4)解答题14、对于函数f(x)，若其定义域内存在实数x满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“伪奇函数”．（1）已知函数f(x)=x−2x+1，试问f(x)是否为“伪奇函数”？说明理由；（2）若幂函数g(x)=(n−1)x3−n(n∈R)使得f(x)=2g(x)+m为定义在[−1,1]上的“伪奇函数”，试求实数m的取值范围；（3）是否存在实数m，使得f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−3是定义在R上的“伪奇函数”，若存在，试求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．答案：（1）不是；（2）[−54,−1]；（3）[1−√3,2√2]．分析：（1）先假设f(x)为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；（2）先根据幂函数确定出g(x)的解析式，然后将问题转化为“2m=−(2x+2−x)在[−1,1]上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出m的取值范围；（3）将问题转化为“2m2−6=−(4x+4−x)+2m(2x+2−x)在R上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出m的取值范围.（1）假设f(x)为“伪奇函数”，∴存在x满足f(−x)=−f(x)，∴−x−2−x+1=−x−2x+1有解，化为x2+2=0，无解，∴f(x)不是“伪奇函数”；（2）∵g(x)=(n−1)x3−n(n∈R)为幂函数，∴n=2，∴g(x)=x，∴f(x)=2x+m，∵f(x)=2x+m为定义在[−1,1]的“伪奇函数”，∴2−x+m=−2x−m在[−1,1]上有解，∴2m=−(2x+2−x)在[−1,1]上有解，令2x=t∈[12,2]，∴2m=−(t+1t)在t∈[12,2]上有解，又对勾函数y=t+1t 在[12,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，且t=12时，y=52，t=2时，y=52，∴y min=1+1=2,y max=52，∴y=t+1t的值域为[2,52]，∴2m∈[−52,−2]，∴m∈[−54,−1]；（3）设存在m满足，即f(−x)=−f(x)在R上有解，∴4−x−m⋅2−x+1+m2−3=−(4x−m⋅2x+1+m2−3)在R上有解，∴2m2−6=−(4x+4−x)+2m(2x+2−x)在R上有解，令2x+2−x=t∈[2,+∞)，取等号时x=0，∴2m2−6=−(t2−2)+2mt在[2,+∞)上有解，∴t2−2mt+2m2−8=0在[2,+∞)上有解（*），∵Δ=4m2−4(2m2−8)≥0，解得m∈[−2√2,2√2]，记ℎ(t)=t2−2mt+2m2−8，且对称轴t=m，当m∈[−2√2,2]时，ℎ(t)在[2,+∞)上递增，若（*）有解，则ℎ(2)=22−2mt+2m2−8≤0，∴m∈[1−√3,2]，当m∈(2,2√2]时，ℎ(t)在[2,m)上递减，在(m,+∞)上递增，若（*）有解，则ℎ(m)=m2−2m2+2m2−8=m2−8≤0，即m2−8≤0，此式恒成立，∴m∈(2,2√2]，综上可知，m∈[1−√3,2√2].小提示：关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.15、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本ℎ(x)万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x)=180x+100；当产量大于50万盒时ℎ(x)=x2+60x+3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？答案：(1)y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x≤50和x>50两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y=200x−200−180x−100=20x−300，当产量大于50万盒时，y=200x−200−x2−60x−3500=−x2+140x−3700，故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N （2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x>50时，y=−x2+140x−3700，当x=1402=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．。

高中数学函数知识点归纳及常考题型1.映射定义：对于非空集合A和B，若集合A中的每个元素a都与集合B中唯一的元素b对应，则称从A到B的对应为映射。

当集合A中有m个元素，集合B中有n个元素时，从A到B可以建立n个映射。

2.函数定义：函数是定义在非空数集A和B上的映射f。

此时，数集A是函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}是函数的值域，且C是B的子集。

3.函数的三个要素是定义域、对应法则和值域。

判断两个函数是否相同，需要同时考虑它们的定义域和值域以及对应法则。

4.求函数的定义域通常需要考虑以下因素：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题需要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。

5.求解函数解析式的方法包括：①配凑法；②换元法；③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。

6.求函数值域的方法包括：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性的证明方法：对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x1和x2，当x1f(x2)），则称f(x)在该区间上是增函数（或减函数）。

8.求函数单调区间的方法包括：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)），则函数f(x)是偶函数（或奇函数）。

例如f(x)=x+2，f(x)=x-x等。

10.函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

因此，如果定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.常用的判断函数奇偶性的形式包括：奇函数——f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0（对数函数）；偶函数——f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，mf(-x)/f(x)=-1（指数函数）。

1.若函数f(x)为奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0.这个性质常用于待定系数的计算。

高中数学函数学问点总结1. 对于集合，肯定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |======中元素各表示什么？A 表示函数y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，而C 表示的却是函数上的点的轨迹2 进展集合的交、并、补运算时，不要遗忘集合本身和空集的特殊状况 留意借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1013明显，这里很简洁解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。

故B 只能是-1或者3。

依据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万当心，还有一个B 为空集的状况，也就是a=0,不要把它搞遗忘了。

3. 留意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。

同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n种选择， 即集合A 有2n个子集。

当然，我们也要留意到，这2n种状况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的状况，故真子集个数为21n-，非空真子集个数为22n -（）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔==（3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，有些版本可能是这种写法，遇到后要可以看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（解除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解5.4.3 正切函数的性质与图象【考点梳理】考点一 函数y ＝tan x 的图象与性质解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 最小正周期 π 奇偶性奇函数单调性在每个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数对称性对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )【题型归纳】题型一：正切函数的图象的应用1．（2021·全国·高一）函数()tan ,(11)f x x x x =⋅-<<的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·上海·高一期中）函数sin y x =与tan y x =的图像在[4,4]ππ-上的交点有（ ） A ．9个B ．13个C ．17个D ．21个3．（2021·全国·高一课时练习）在（0，π）内，使tan 3x >-成立的x 的取值范围为（ ）A ．（3π，2π）B ．20,,23πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．20,,223πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭题型二：正切函数的单调性的应用4．（2021·全国·高一课时练习）已知tan 2,tan3,tan5a b c ===，不通过求值，判断下列大小关系正确的是（ ） A ．a b c >>B ．a b c << C ．b a c >>D ．b a c <<5．（2021·云南隆阳·高一期中）已知函数()tan 3sin f x x x =+，若对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a>恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．53,6⎛⎤-∞- ⎥ ⎝⎦B ．53,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎤-∞- ⎥ ⎝⎦D ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭6．（2021·江西·景德镇一中高一期中（文））tan 10a π=，9sin10b π=，8tan()9c π=-，实数a b c，，的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<题型三：正切函数的定义域、值域7．（2021·云南·昆明二十三中高一期中）函数tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．3+,4xx k k Z ππ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭∣B ．3+2,4x x k k Z ππ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭∣ C ．,4xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣D ．2,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ 8．（2021·全国·高一课时练习）函数tan 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,122x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．()1,3-B ．31,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．()(),13,-∞-⋃+∞D ．()1,39．（2020·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一月考）函数1tan()4y x π=-+的定义域为（ ）A ．3,4k k k Z πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦B ．,4k k k Z πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭C ．,4k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D ．3,4k k k Z πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭题型四：正切函数的奇偶性和对称性10．（2021·上海·高一专题练习）下列命题中正确的是（ ）A ．tan y x =在第一象限单调递增B ．在函数tan y x =中，x 越大，y 也越大C ．当0x >时，总有tan 0x >D ．tan y x = 的图象关于原点对称11．（2021·上海·高一课时练习）关于函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ）A ．是奇函数B ．最小正周期为πC ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭为图象的一个对称中心D ．其图象由tan 2y x =的图象右移3π个单位得到12．（2021·山东·齐河县第一中学高一月考）tan(2)4y x π=+的对称中心为（ ）A ．,0),28k k Z ππ+∈(B ．(,0),28k k Z ππ-∈ C ．(,0),48k k Z ππ+∈D ．(,0),48k k Z ππ-∈ 题型五：正切函数图像和性质的综合应用13．（2021·全国·高一课时练习）已知2()tan 2tan ||3f x x x x π⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭，求()f x 的值域．14．（2021·安徽·定远县育才学校高一期中（文））设函数()tan 23xf x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求函数的定义域、周期、和单调区间； （2）求不等式()3f x ≤的解集．15．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()tan()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图像与x轴相交的两相邻点的坐标分别为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭和5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且过点(0,3)-.求： （1）函数()f x 的解析式；（2）满足()3f x ≥的x 的取值范围.【双基达标】一、单选题16．（2021·全国·高一课时练习）函数()21cos cos 22x f x x x ππ-⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭（ ） A ．在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数B ．在,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦上是增函数，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数C ．在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数D ．在,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦上是减函数，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭）上是增函数17．（2021·全国·高一课时练习）函数1πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．4π18．（2021·上海·高一期末）方程3sin cos 0x x +=的解集是（ ） A ．{},x x k k Z π=∈B ．2,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭C ．,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭D ．,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭19．（2021·云南隆阳·高一期中）与函数()2tan 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ ） A ．2x π=B ．3x π=C ．6x π=D ．512x π=20．（2021·江西·景德镇一中高一期中）关于函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列叙述正确的是（ ）A ．最小正周期为π，渐近线为直线：()2x k k Z ππ=+∈B ．最小正周期为2π，渐近线为直线：()6x k k Z ππ=+∈C ．最小正周期为π，渐近线为直线：()212k x k Z ππ=+∈ D ．最小正周期为2π，渐近线为直线：()212k x k Z ππ=+∈ 21．（2021·山东潍坊·高一期中）函数()()lg tan 1f x x =-的定义域为（ ） A ．ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．ππππ,22x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ZC ．πππ,2x k x k k ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z D ．ππππ,42x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z22．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x = ，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π 的所有函数为（ ）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④23．（2021·江西·景德镇一中高一期末（文））函数tan sin tan sin y x x x x =++-在区间3()22ππ，内的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．24．（2021·全国·高一专题练习）函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（ ） A ．(0，0)B ．(6π，0) C ．(49π，0)D ．以上选项都不对 25．（2021·全国·高一课时练习）直线y a =与函数()()tan 04f x x πωω⎛⎫⎪⎝⎭=+>的图象的相邻两个交点的距离为2π，若函数()f x 在区间()(),0m m m ->上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎤⎥⎝⎦C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦【高分突破】一：单选题26．（2021·河南·信阳市浉河区新时代学校高一月考）函数3tan()6y x πω=+的最小正周期是2π，则ω=（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．2或2-27．（2020·陕西·千阳县中学高一期末）函数lg(tan 2)y x =的定义域是（ ） A ．,()2k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z B ．2,2()2k k k πππ⎫⎛+∈ ⎪⎝⎭ZC ．11,()222k k k πππ⎫⎛+∈ ⎪⎝⎭Z D ．11,()224k k k πππ⎫⎛+∈ ⎪⎝⎭Z28．（2021·全国·高一课时练习）函数tan(2)6y x π=-的一个对称中心是（ ）A ．(,0)12πB ．2(,0)3πC ．(,0)6πD ．(,0)4π29．（2021·宁夏·六盘山高级中学高一月考）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（ ）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ 30．（2021·上海·高一课时练习）设α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么“αβ<”是“tan tan αβ<”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件31．（2021·上海·高一课时练习）函数cos tan y x x =⋅，30,,222x πππ⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题32．（2021·全国·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ） A ．函数tan y x =在定义域内是增函数B ．函数()2tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的增区间是()3,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ZC ．函数2tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是,12x x k k ππ⎧⎫⎧≠+∈⎨⎨⎬⎩⎩⎭ZD ．函数tan 1y x =+在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为31+，最小值为033．（2021·全国·高一课时练习）已知函数()|tan |cos f x x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 的值域为[1,1]-34．（2021·湖北十堰·高一期末）已知函数()tan tan f x x x =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．()f x 的最小正周期为2πB ．点(,0)2π-是()f x 图象的一个对称中心C ．()f x 的值域为[)0,∞+D ．不等式()2f x >的解集为(,)()42k Z k k ππππ++∈35．（2021·山西实验中学高一开学考试）下列关于函数n 3ta y x π+=⎛⎫⎪⎝⎭的说法错误的是（ ）A ．在区间5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增B ．最小正周期是π C ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称D ．图象关于直线6x π=成轴对称36．（2021·江苏启东·高一期末）已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω= B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125-<f f D ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤37．（2020·广东·深圳实验学校高中部高一月考）已知函数()sin()13f x x π=-+，()tan()3g x x π=+，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 满足2()()23f x f x π+-= B ．函数()f x 在5[,]66ππ-上单调递增C ．函数()g x 在区间(0,)2π上单调递增D ．函数()y g x =图像关于点(,0)6π对称三、填空题38．（2021·全国·高一单元测试）若()cos ,tan 1sin ,tan 1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则()f x 的值域为______．39．（2021·全国·高一课时练习）函数()tan 1f x a x =-，若(3)2f =-，则(3)f -的值为________ 40．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）函数tan(2)4y x π=-+的单调递减区间为_______________.41．（2021·上海市奉贤中学高一期中）已知函数()[]()sin 0,f x x x π=∈和函数()3tan 2g x x=的图像交于A 、B 、C 三点，则ABC 的面积为____．42．（2021·上海·高一专题练习）利用图像，不等式3tan 21x -<≤的解集为____________.四、解答题43．（2021·全国·高一课时练习）比较下列各组中两个正切函数值的大小． （1）tan167︒与tan173︒； （2）11tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭与13tan 5π⎛⎫-⎪⎝⎭； （3）tan 2与tan9．44．（2021·全国·高一课时练习）判断函数()tan 1lg tan 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭的奇偶性．45．（2021·全国·高一课时练习）已知函数1()tan(2)24f x x π=+， （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()()4g x f x π=-的单调区间及对称中心．46．（2021·安徽省蚌埠第三中学高一月考）已知()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x ϕ+是奇函数，则ϕ应满足什么条件？并求出满足||2ϕπ<的ϕ值.47．（2021·上海市七宝中学高一期中）已知函数()y f x =，其中()tan ,03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，（1）若2ω=，求函数()y f x =的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若函数()y f x =在[0,]π上严格递增，求ω的取值范围；（3）若函数()y f x =在[,]a b （,a b ∈R 且a b <）满足：方程()3f x =在[,]a b 上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的[,]a b 中，b a -的最小值不小于2021，求ω的取值范围．【答案详解】1．B 【分析】采用排除法，根据函数的奇偶性以及函数在()0,1处的函数值大小，可得结果.由()tan (11)f x x x x =-剟， 则()()()tan tan -=--=f x x x x x所以()()f x f x =-，即函数()f x 是偶函数 故排除A ，C ，当01x <<时，()0f x >，排除D. 故选：B 【点睛】本题考查根据函数解析式判断大致图象，针对这种题型常常从定义域、奇偶性、单调性、对称性、值域、特殊值入手，考验分析问题的能力，属中档题. 2．A 【分析】直接解方程确定． 【详解】sin sin tan cos xx x x==，则sin 0x =或cos 1x =，显然cos 1x =的解包含在sin 0x =中， sin 0x =，,x k k Z π=∈，[4,4]x ππ∈-，∴4,3,2,,0,,2,3,4x ππππππππ=----共9个．故选：A ． 【点睛】本题考查正弦函数与正切函数图象交点问题，可通过解方程确定解的个数． 3．B 【分析】画出(0π)y tanx x =<<和直线3y =-的图象，由图象可得不等式的解集.画出(0π)y tanx x =<<和直线3y =-的图象，由图象可得3tanx >-,在() 0,π上解集为20,,23πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选B. 【点睛】本题考查利用正切函数的图象解不等式，关键是掌握正切函数的图像和性质，利用数形结合思想求解. 4．C 【分析】利用诱导公式进行化简，结合正切函数的单调性进行判断即可. 【详解】tan 2tan(2),tan3tan(3),tan5tan(25)πππ=-+=-+=-+又03225,2ππππ>-+>-+>-+>-()()()tan 3tan π2tan 25ππ∴-+>-+>-+ tan3tan 2tan5,∴>>即,b a c >> 故选：C 5．A 【分析】由对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则只要min ()f x a >即可，根据函数的单调性求出函数()tan 3sin f x x x =+的最小值即可得出答案. 【详解】解：由对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则只要min ()f x a >即可，因为函数tan y x =和3sin y x =在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是增函数，所以函数()tan 3sin f x x x =+，在,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上是增函数，所以53()tan 3sin 6666f x f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以536a ≤-. 故选：A. 6．A 【分析】利用三角函数的诱导公式及正切函数的单调性判断a 与c 的大小，再比较a 与b ，则答案可求． 【详解】解：tan10a π=，9sinsin()sin 101010b ππππ==-=， 8tan()tan()tan 999c ππππ=-=-+=，tan y x =在(0,)2π上单调递增，tan tan 910ππ∴>，即c a >，因为sin100cos1,tansin 101010cos10a bπππππ<<∴==>= 综上，c a b >>，即b a c <<． 故选：A 7．A 【分析】结合正切的三角函数的定义域计算即可. 【详解】 由()()3424x k k Z x k k Z πππππ-≠+∈⇒≠+∈ 故选：A 8．A 【分析】首先由x 的取值范围求出6x π-的取值范围，再根据正切函数的性质计算可得；【详解】 解：因为,122x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以,346x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()tan 1,36x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭即()1,3y ∈- 故选：A 9．A 【分析】由题意可得，1tan()04x π-+…且142x k πππ+≠+，结合正切函数的性质可求． 【详解】解：由题意可得，1tan()04x π-+…且142x k πππ+≠+， 1244k x k πππππ-<++…且x ，k Z ∈，解可得，34k x k πππ-+<…，k Z ∈，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了正切函数的定义域的求解，属于基础题． 10．D 【分析】取特殊值代入检验结合奇偶性定义即可判断出结果． 【详解】在第一象限内取两个数129,34x x ππ==，有129tan 3,tan 1,34y y ππ==== 因为12x x <，但12y y >，不满足增函数定义，故A ，B 错； 取23x π=，有2tan 303y π==-<，故C 错；由tan y x =的定义域为},2x x k k Z ππ⎧≠+∈⎨⎩关于原点对称，且()tan tan x x -=-故tan y x =为奇函数，所以图象关于原点对称，D 正确． 故选：D 11．C 【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可. 【详解】A ，由()tan 23y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则2,32x k k Z πππ-≠+∈，解得5,212k x k Z ππ≠+∈，定义域为5,212k x x x R ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 定义域不关于原点对称，故A 错误. B ，由解析式可得2T π=，故B 错误； C ，由正切函数的中心对称点可得2,32k x k Z ππ-=∈， 解得,46k x k Z ππ=+∈，当0k =时，6x π=，故C 正确； D ，tan 2y x =的图象右移3π个单位得到2tan 2tan 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：C 12．D 【分析】由正切函数的对称中心，可令242k x ππ+=求x 即可. 【详解】由()tan f x x =的对称中心为(0),2k π， 令242k x ππ+=，可得48k x ππ=-()k ∈Z . 故选：D 13．[1,323]-+ 【分析】令tan u x =，结合已知及正切函数的性质可得[3,3]u ∈-，再利用二次函数的性质求22y u u =-的值域即可.【详解】 令tan u x =，又||3x π≤，∴[3,3]u ∈-，故函数化为22y u u =-，且对称轴为1[3,3]u =∈-． ∴当1u =时，2min 1211y =-⨯=-． 当3u =-时，max 323y =+． ∴()f x 的值域为[1,323]-+． 14．（1）定义域为5|2,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，周期为2π，增区间为52,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ；（2）42,233k k ππππ⎛⎤-+⎥⎝⎦，k ∈Z ． 【分析】（1）利用正切函数的定义域、周期性和单调性，即可求出结果；（2）由题意可得tan 323x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，结合函数图象与性质可知2233x k k πππππ-<-≤+，解不等式即可求出结果. 【详解】（1）根据函数()tan 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得232x k πππ-≠+，k ∈Z ，求得523x k ππ≠+，故函数的定义域为5|2,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．周期为212ππ=．令2232x k k πππππ-<-<+，k ∈Z ，得52233k x k ππππ-<<+，故函数的增区间为52,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ． （2）求不等式()3f x ≤，即tan 323x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，∴2233x k k πππππ-<-≤+，求得42233k x k ππππ-<≤+，故不等式的解集为42,233k k ππππ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦，k ∈Z ．15．（1）3()3tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）252,(). 31832k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据函数的最小正周期求出32ω=，根据它的图像过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭求出4πϕ=-，根据它的图像过点(0,3)-，求出A 的值即得解； （2）利用正切函数的图象得到3()6242k x k k Z πππππ+≤-<+∈，化简即得解. 【详解】（1）由题意可得()f x 的周期为52663||T ππππω=-==，所以32ω=，所以3()tan 2f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为它的图像过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭，所以3tan 026A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即tan 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以()4k k Z πϕπ+=∈，即()4k k Z πϕπ=-∈.又||2ϕπ<，所以4πϕ=-，于是3()tan 24f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又它的图像过点(0,3)-，所以tan 34A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得3A =.所以3()3tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）由（1）得33t a n 324x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以33tan 243x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即3()6242k x k k Z πππππ+≤-<+∈.解得252()31832k k x k Z ππππ+≤<+∈. 所以满足()3f x ≥的x 的取值范围是252,(). 31832k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭ 16．D 【分析】由同角间的三角函数关系化简函数，然后分类讨论即可得． 【详解】因为()2tan ,,0sin 21cos cos cos tan ,0,2x x x x f x x x x x ππ⎧⎛⎤-∈- ⎪⎥-⎪⎝⎦===⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩．由函数tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，知函数()f x 在,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦上是减函数，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数， 故选：D ． 17．A 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】函数1πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是π2π12T == ， 故选：A. 18．C 【分析】 把方程化为3tan 3x =-，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答案. 【详解】由题意，方程3sin cos 0x x +=，可化为3tan 3x =-， 解得6x k ππ=-，k Z ∈，即方程的解集为{|,}6x x k k Z ππ=-∈.故选：C. 19．D 【分析】利用正切函数的定义域求解. 【详解】 由232x k πππ-≠+，k Z ∈，得5122k x ππ≠+，k Z ∈， 则函数()2tan 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域为5,122k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.故选：D 20．D 【分析】直接利用正切型函数性质求解，即可得出结果. 【详解】解：由函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可知最小正周期2ππT ω==.令()232x k k Z πππ+=+∈，解得()122k x k Z ππ=+∈. 故选：D. 21．D 【分析】先根据对数函数定义域的求法得到tan 1x >，再利用三角不等式的解法求解. 【详解】 若函数有意义， 则tan 10x ->，tan 1x ∴>，ππππ,42k x k k ∴+<<+∈Z 所以函数的定义域为ππππ,42x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .故选：D 22．C 【分析】根据三角函数的解析式，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论． 【详解】∵cos |2|y x ==cos 2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图像对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C . 23．A 【分析】先化简函数的表达式，再代入求出特殊函数值的符号，运用排除法可得选项. 【详解】函数tan sin tan sin y x x x x =++-2sin ,tan sin 2tan tan sin x x xx x x <⎧=⎨≥⎩，， 当)22233(x πππ=∈，时，3sin tan 3tan sin 2x x x x ==-∴<，，，所以()2sin 3>0f x x ==，故排除C 、D 选项， 当)24233(x πππ=∈，时，3sin tan 3tan >sin 2x x x x =-=∴，，，所以()2tan 23>2f x x ==，故排除B 选项， 故选：A. 24．C 【分析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项. 【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ； 令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ； 所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ； 当k =3时,C 正确， 故选：C. 25．B 【分析】 由条件可得2T ππω==，即12ω=，然后求出()f x 的单调递增区间可得答案.【详解】因为直线y a =与函数()()tan 04f x x πωω⎛⎫⎪⎝⎭=+>的图象的相邻两个交点的距离为2π，所以2T ππω==，所以12ω=，即()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由12242k x k πππππ-<+<+可得322,22k x k k Z ππππ-<<+∈当0k =时可得()f x 在3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 因为函数()f x 在区间()(),0m m m ->上是增函数，所以实数m 的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 26．D 【分析】利用||2ππω=求出答案即可.【详解】3tan()6y x πω=+的最小正周期是2π，所以||2ππω=，解得2ω=±. 故选：D 27．D 【分析】由tan 20x >，解不等式可得结果. 【详解】由函数lg(tan 2)y x =由意义得tan 20x >， 所以22k x k πππ<<+，k Z ∈，所以224k k x πππ<<+，k Z ∈， 所以函数lg(tan 2)y x =的定义域是(,)224k k πππ+()k ∈Z . 故选：D 28．A 【分析】 解方程262k x ππ-=，k Z ∈，即得解.【详解】函数tan(2)6y x π=-中，令262k x ππ-=，k Z ∈；解得412k x ππ=+，k Z ∈； 所以0k =时，tan(2)6y x π=-的一个对称中心是(12π，0)．故选：A ． 【点睛】方法点睛：求函数tan()y x ωϕ=+，只需解方程,2k x k Z πωϕ+=∈. 注意是2k π，不是k π. 29．B 【分析】根据正切函数的单调增区间整体换元求解即可. 【详解】解：因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈， 所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭. 故选：B 30．C 【分析】由正切函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】由α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若αβ<，由正切函数的单调性可得tan tan αβ<，充分性成立；若tan tan αβ<，则αβ<也成立，必要性成立； 所以“αβ<”是“tan tan αβ<”的充要条件.故选：C. 31．C 【分析】结合特值法与排除法即可得到结果. 【详解】 当4x π=时，22cos tan104422y ππ=⨯=⨯=>，排除B 、D 选项； 当34x π=时，3322cos tan104422y ππ=⨯=-⨯=-<，排除A 选项； 故选：C. 32．BD 【分析】根据正切函数的定义域、最值、单调性判断． 【详解】函数tan y x =在定义域内不具有单调性，故A 错误； 由()242k x k k πππππ-<+<+∈Z ，得()3,44x k k k ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭Z ，故B 正确； 由()232x k k πππ+≠+∈Z ，解得()122k x k ππ≠+∈Z ，故C 错误； 因为函数tan 1y x =+在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以函数tan 1y x =+在3x π=时取得最大值31+，在4x π=-时取得最小值0，故D 正确．故选：BD ． 33．BC 【分析】去绝对值，化为分段函数，画出函数的图象，即可判断． 【详解】解：函数sin ,(,),2()tan ?cos sin ,(,),2x x k k k Z f x x x x x k k k Zπππππππ⎧∈+∈⎪⎪==⎨⎪-∈++∈⎪⎩，画出函数()f x 的图象，如图所示：(2)|tan(2)|cos(2)|tan |cos f x x x x x πππ∴+=++=，()f x 的最小正周期是2π，()f x 的值域为(1,1)-，()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 根据()f x 的图象，()f x 的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，∴说法正确的是BC ．故选：BC ． 34．CD 【分析】把函数()f x 用分段函数表示，再作出()f x 的图象，观察图象即可判断选项A ，B ，C ，解不等式()2f x >即可判断选项D 而作答. 【详解】()2tan ,[,),2tan tan 0,(,),2x x k k k Z f x x x x k k k Zππππππ⎧∈+∈⎪⎪=+=⎨⎪∈-+∈⎪⎩，作出()f x 的图象，如图，观察图象，()f x 的最小正周期为π，A 错误；()f x 的图象没有对称中心，B 错误； ()f x 的值域为[)0,∞+，C 正确；不等式()2f x >，即[,)()2x k k k Z πππ∈+∈时2tan 2x >，得tan 1x >，解得,42k x k k Z ππππ+<<+∈，所以()2f x >的解集为(,)()42k Z k k ππππ++∈，D 正确.故选：CD 35．ACD 【分析】本题可根据单调递增区间为()65,6k k k Z ππππ⎛⎫+ ⎪⎭-∈⎝判断出A 错误，然后根据最小正周期T π=判断出B 正确，再然后根据关于点(),032k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭成中心对称判断出C 错误，最后根据正切函数没有对称轴判断出D 错误. 【详解】A 项：令232k x k πππππ-<+<+，即()656k x k k Z ππππ<<+∈-， 函数n 3ta y x π+=⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增区间为()65,6k k k Z ππππ⎛⎫+ ⎪⎭-∈⎝，A 错误；B 项：最小正周期1T ππ==，B 正确；C 项：令32k x ππ+=，即()32k x k Z ππ=-+∈， 函数n 3ta y x π+=⎛⎫⎪⎝⎭关于点(),032k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭成中心对称，C 错误；D 项：正切函数没有对称轴，则函数n 3ta y x π+=⎛⎫⎪⎝⎭也没有对称轴，D 错误，故选：ACD. 36．AD 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()()tan26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误；对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确. 故选：AD 【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案. 37．AD 【分析】选项A. 直接化简由诱导公式，可判断；选项B. 求出函数()f x 的单调区间可判断；选项C 求出()g x 的定义域可判断；选项D 求出()g x 对称中心坐标可判断. 【详解】选项A. ()22sin 1sin 13333f x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin sin 33x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫=+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确.选项B. 函数()1sin()3f x x π=--的单调递减区间：22,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈即522,66k x k k Z ππππ-≤≤+∈，当0k =时，函数()f x 在5[,]66ππ-上单调递减，所以B 不正确.选项C. ()tan()3g x x π=+的定义域为|,6x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭由0,62ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，所以C 不正确. 选项D. 函数()tan()3g x x π=+的对称中心满足：,32k x k Z ππ+=∈即,23k x k Z ππ=-∈，所以()g x 的对称中心坐标为10,23k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，当1k =时，(,0)6π为函数()y g x =的一个中心对称点，所以D 正确.故选：AD 38．22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】分tan 1x ≥，tan 1x <两种情况求函数的值域，再整体讨论求解即可. 【详解】解：当tan 1x ≥时，可得,,2442x k k k k ππππππππ⎛⎤⎡⎫∈-+-+⋃++ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，k ∈Z ，此时()cos f x x =，则()22,00,22f x ⎡⎫⎛⎤∈-⋃⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦； 当tan 1x <时，可得,44x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，此时()sin f x x =，则()22,22f x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭． 所以函数()f x 的值域为22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦39．0 【分析】由(3)2f =-，可得tan31a =-，然后再求出(3)f - 【详解】因为()tan 1f x a x =-，且(3)2f =-， 所以tan312a -=-，得tan31a =-，所以(3)tan(3)1tan31110f a a -=--=--=-=， 故答案为：0 40．3(,),2828k k k Z ππππ-+∈ 【分析】由题得tan(2)4y x π=--，利用正切函数的单调区间列出不等式，解之即得.【详解】由题意可知tan(2)4y x π=--，则要求函数的单调递减区间只需求tan(2)4y x π=-的单调递增区间， 由2,242k x k k Z πππππ-<-<+∈得3,2828k k x k Z ππππ-<<+∈， 所以函数tan(2)4y x π=-+的单调递减区间为3(,),2828k k k Z ππππ-+∈. 故答案为：3(,),2828k k k Z ππππ-+∈. 41．4π【分析】联立方程组，求出交点坐标，利用三角形的面积公式求出面积.【详解】由sin 3tan 2y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得sin 0x =或3cos 2x =，因为x ∈[0,]π， 所以0x =或6x π=或x π=，所以函数[]()sin ,0,f x x x π=∈与函数3()tan 2g x x =图像的交点为(0,0)，1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0π，所以ABC 的面积11224S ππ=⨯⨯= 故答案为：4π. 42．(,],2628k k k Z ππππ-+∈ 【分析】依题意画出函数图象，分别求出tan 21x =、tan 23x =-时x 的取值，数形结合即可得到原不等式的解集； 【详解】解：tan 2y x =函数图象如下所示：令tan 21x =，则2,4x k k Z ππ=+∈，解得,82k x k Z ππ=+∈； 令tan 23x =-，则2,3x k k Z ππ=-+∈，解得,62k x k Z ππ=-+∈， 因为3tan 21x -<≤，所以,6282k k x k Z ππππ-+<≤+∈，即原不等式的解集为,,6282k k k Z ππππ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦， 故答案为：,,6282k k k Z ππππ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦.43．（1）tan167tan173︒<︒ （2）1113tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）tan 2tan9< 【分析】利用正切函数的单调性比较大小，角不在同一单调区间上的，利用诱导公式化为同一单调区间上角的正切值． （1）因为90167173180︒<︒<︒<︒，167167180π︒=，173173180π︒=，且tan y x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数， 所以tan167tan173︒<︒． （2） 易得11tan tan 44ππ⎛⎫=⎪⎝⎭-， 132tan tan 55ππ⎛⎫ =⎪⎝⎭-，因为20452πππ<<<，函数tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，所以2tantan45ππ<， 即1113tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （3）因为()tan9tan 92π=-，而2922πππ<<-<．函数tan y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，所以()tan 2tan 92π<-，即tan 2tan9<． 44．()f x 是奇函数 【分析】首先求出函数的定义域，再计算()()f x f x -+即可判断； 【详解】 解：由tan 10tan 1x x +>-，得t a n1x >或tan 1x <-，则42k x k ππππ+<<+或24k x k ππππ-+<<-+，k Z ∈；∴函数()f x 的定义域为(),,2442k k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫--⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，关于原点对称． 又()()()()tan 1tan 1tan 1tan 1lg lg lg lg10tan 1tan 1tan 1tan 1x x x x f x f x x x x x ⎛⎫-++-++⎛⎫⎛⎫-+=+=⋅== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()()f x f x -=，∴()f x 是奇函数． 45．（1）{|82k x x ππ≠+，}k Z ∈；（2）单调区间是(82k ππ-+，3)82k ππ+，k Z ∈；对称中心(84k ππ+，0)，k Z ∈．【分析】（1）根据正切函数有意义的条件确定定义域； （2）根据正切函数的性质求解. 【详解】（1）函数1()tan(2)24f x x π=+，242x k πππ∴+≠+，k Z ∈，解得82k x ππ≠+，k Z ∈， ∴函数()f x 的定义域{|82k x x ππ≠+，}k Z ∈；（2）函数1()()tan(2)424g x f x x ππ=-=-，令2242k x k πππππ-+<-<+，k Z ∈，解得38282k k x ππππ-+<<+，k Z ∈， ()g x ∴的单调区间是(82k ππ-+，3)82k ππ+，k Z ∈， 令242k x ππ-=，k Z ∈， 解得84k x ππ=+，k Z ∈， ∴函数()g x 的对称中心是(84k ππ+，0)，k Z ∈． 46．（1）2π；（2）()46k k Z ππϕ=-∈，5,,,126123ππππϕ=--.【分析】（1）根据正切型函数的周期公式，即可得答案.（2）由题意得()tan 223f x x πϕϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，根据其为奇函数，可得2()32k k Z ππϕ+=∈，即可求得ϕ的表达式，根据ϕ的范围，即可得答案. 【详解】（1）因为函数()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2T π=； （2）()tan 2()tan 2233f x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若()f x ϕ+是奇函数，则2()32k k Z ππϕ+=∈， 解得()46k k Z ππϕ=-∈， 令||462k πππ-<，解得4833k -<<，且k Z ∈， 所以1k =-，0，1，2. 故5,,,126123ππππϕ=--. 【点睛】易错点为：()tan 223f x x πϕϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭为奇函数，不是2()3k k Z πϕπ+=∈，而是2()32k k Z ππϕ+=∈，1cot tan y x x==也为奇函数. 47．（1）2π，,064k ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（2）10,6ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（3）20200,2021π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论． （2）由题意利用正切函数的单调性，求得ω的范围．（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得ω的范围． 【详解】解：（1）由于()tan()3f x x πω=+，0>ω，2ω=，()tan(2)3f x x π∴=+的最小正周期为2π， 令232k x ππ+=，求得46k x ππ=-，k Z ∈， 故()f x 的图象的对称中心为(46k ππ-，0)，k Z ∈． （2）若函数()y f x =在[0，]π上严格递增，则32ππωπ⨯+<，求得16ω<，即ω的范围为1(0,)6．（3）方程()3f x =在[a ，]b 上至少存在2021个根， 故当[x a ∈，]b 时，tan()33x πω+=至少有2021个根，即33x k ππωπ+=+，k Z ∈，至少有2021个根， 即当[x a ∈，]b 时，k x πω=至少有2021个根．且在所有满足上述条件的[a ，]b 中，b a -的最小值不小于2021， 故b a -至少包含2020个周期，即20202021b a πω-⋅厖，所以(20200,]2021πω∈．。