(2020年整理)全国名校名师原创卷(一).doc

2020年全国一卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4}【答案】C【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B == 故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．2i12i-=+（ ） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°【答案】B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A ．62% B ．56% C ．46% D ．42%【答案】C【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅， 则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)- D ．(4,6)-【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[1,0][1,)-⋃+∞ D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、多选题9．已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线10．下图是函数y= sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +） B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -11．已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥- D12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（ ）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y ) )1,2,,n ，则221log log n =的增大而增大，所以C 选项正确，随机变量Y 的所有可能的取值为,2,,m ，且1,2,,m ）.21log ip 212log m p p -++⋅.(m p +++212211m m p p p --++⋅+),2,,2m ，所以211m i p +-，所以21log log i p >1log i i p p >⋅()H Y ，所以 【点睛】本小题主要考查对新定义三、填空题13．C：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．1614．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC∪DG，垂足为C，tan∪ODC=35，//BH DG，EF=12 cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．16．已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∪BAD =60°．以1D 径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．1111B C B =为侧面11B C CB 因为球的半径为5所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到四、解答题17．在∪ac ∪sin 3c A =，∪c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3sin AB 22a b =+-若选择条件∪：据此可得：ac =若选择条件∪：3sin AB 33=．由于若选择条件∪：sin c C=，得18．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ． 【答案】（1）2n n a =；（2）100480S =.【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q 的形式，求解出1,a q ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）方法一：通过分析数列{}m b 的规律，由此求得数列{}m b 的前100项和100S . 【详解】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意15,,b 对应的区间分别为(0,8],(0,9],,(0,15]，153b ===1731,,b 对应的区间分别为(0,16],(0,17],,(0,31]，17314b b ===；3363,,b 对应的区间分别为(0,32],(0,33],,(0,63]，33635b b ==== 100,,b 对应的区间分别为(0,64],(0,65],,(0,100]651006b ===个6．10012637480=⨯+⨯=［方法二］【最优解】时，10b =．)()()73233636465100b b b b b b b ++++++++++16532637480+⨯+⨯=．)，因此，当1m =时，10b =；[2,4)m ∈时，1m b =；[4,8)m ∈时，3m b =；[16,32)m ∈时，4m b =；[32,64)m ∈时，5m b =；100b ++0(11)(222)(666)=++++++++++0122438416532637480=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．所以数列{}n b 的前100项和100480S =．【整体点评】（2）方法一：通过数列{}n a 的前几项以及数列{}m b 的规律可以得到12100,,,b b b 的值，从而求出数列{}m b 的前100项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列{}m b 的通项公式，从而求出数列{}m b 的前100项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版．19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22⨯列联表，考查了独立性检验，属于中档题.20．如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ∪底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l∪平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点<>的最大的法向量以及向量PB的坐标，,n PB所成角的正弦值的最大值.PBC，BC，，平面PAD l，CD PD D=，所以［方法一］【最优解】DA DC两两垂直，建立空间直角坐标系,,，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,===-DC DQ m PB的法向量为(,,)n x y z =00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00z =，1=，则z m =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,n m =-1,3n PB n PB n PB⋅+<>==根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB 与平面所成角的正弦值等于|cos ,|3n PB <>=212m m ++3613=⋅+=，当且仅当所成角的正弦值的最大值为63.PB QC E =．点作PF QD ⊥DC ⊂平面,ADPD D PD =平面PAD ，所以,QDDC D =QDC ，所以PB 与平面QCD PQD 中，易求由PQE 与BEC 相似，得PE EB 所以sin 3FEP ⎛∠= ⎝111）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线的法向量n 与向量PB 的夹角的余弦值的绝对值，即,n PB <>，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB 三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线QCD 所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．21．已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围． ）()x f x e =(1)f e =+，∪切点坐标为∪函数(f 在点(1,f (1)处的切线方程为∴切线与坐标轴交点坐标分别为∪所求三角形面积为()f x ae =设()g x =∪g(x )在(0,当1a =时，（1）求C的方程：⊥，D为垂足．证明：存在定点Q，使（2）点M，N在C上，且AM AN⊥，AD MN得DQ为定值．12k +，所以·0AM AN =，即2kx m +,代入整理可得：)()122x x -++()2km k ⎛-- ⎝由·0AM AN =得：()2121x -+-解得：123x =或此时直线MN 过点4mx ny ．将直线22(y mx +++121k．三点的二次曲线系方程用椭圆及直线)(1k k x y+--，则0AM AN ⋅=，即，解得123x =或1x =的方程为23x =．的斜率存在，设直线12k +所以(1AM AN x ⋅=-2133k --．直线MN 的方程为4mx ny ，求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．。

2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。

2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷化 学 （一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 S 32 Cu 64 1．化学与生产、生活密切相关。

下列有关叙述正确的是 A ．“一带一路”被誉为现代丝绸之路，丝绸属于纤维素 B ．电解水制氢气可缓解能源危机，实现节能环保 C ．“雨后彩虹”是一种与胶体有关的自然现象 D ．烧制“明如镜、声如磬”的瓷器时未涉及化学变化2．碳纳米管、石墨烯、C 60等新型碳材料具有广阔的应用前景。

下列说法正确的是A ．碳纳米管属于胶体B ．石墨烯属于有机化合物C ．C 60与金刚石互为同素异形体D ．均具有相同的熔点3．水合肼(N 2H 4·H 2O)为无色透明的油状发烟液体，是一种重要的精细化工原料，其制备的反应原理为NaClO ＋2NH 3 =N 2H 4·H 2O ＋NaCl 。

下列关于实验室制备水合肼的操作不正确的是 甲 乙 丙 丁A ．装置甲中试剂X 可以选择生石灰B ．装置乙作为反应过程的安全瓶C ．装置丙制备水合肼时氨气从b 口进入D ．装置丁可用于吸收多余的尾气班级 姓名 准考证号 考场号 座位号4．化学式为C3H7FO的物质，含有羟基的同分异构体数目为(不考虑空间异构)A．4种B．5种C．6种D．7种5．在给定的条件下，下列选项所示的物质间转化均能实现的是A．Na Na2O2NaOHB．MgCO3MgCl2（aq）MgC．Fe Al H2D．C6H5ONa C6H5OH CO26．用N A表示阿伏加德罗常数的值。

⎨ ⎩ 2020 年高考原创密卷 01数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用 2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4. 考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合 A = ⎧x |1- x ≥ 0⎫， B = {y | y = log (3 + x ), x ∈ A } ，则 A B =（ ）⎨ x +1 ⎬2⎩ ⎭A ．(-∞, -1) [2, +∞) B ． (-∞, -1) [1, +∞) C ． [-1, 2]D ． (-1, 2]【答案】D【解析】【分析】解分式不等式得集合 A ，求对数函数的值域得集合 B ，再由并集概念计算．【详解】由题意1- x≥ 0 ⇒ ⎧(1- x )(1+ x ) ≥ 0 ⇒ ⎧(x -1)(x +1) ≤ 0⇒ -1 < x ≤ 1， A = (-1,1] ，1+ x ⎩1+ x ≠ 0 ⎨x ≠ -1-1 < x ≤ 1 时， 2 < 3 + x ≤ 4 ，1 < log 2 ( x + 3) ≤ 2 ， B = (1, 2] ，∴ A B = (-1,2]． 故选：D.1 [, 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质．解分式不等式要注意分母不为 0．2. 已知复数 z =1+ i （i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ）iA ．1B ．-1C ． iD ．-i 【答案】A【解析】【分析】先计算出复数 z ，求出共轭复数 z ，再由复数的定义得结论． 【详解】z =1+ i =i(1+ i )i = 1- i ， z = 1 + i ，其虚部为 1． i 2故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义．属于基础题．3. 已知 a = log 4 5 ， b =(log 16 2)2， c = sin 2 ，则 a ， b ，c 的大小关系是（ ）A. b < c < a 【答案】A【解析】B. c < a < bC. a < b < cD. c < b < a【分析】利用换底公式化简b = 1 ，而 a > 1, 0 < c < 1 ，利用 y = sin x 在 π π] 单调性比较c 与 1的大小关系， 222即可求解.【详解】b = (log 2)1= ⎛1 log2 2 ⎫ 2 = 1 ，16 2log 24 ⎪ 2⎝ 2 ⎭a = log 4 5 > log 4 4 = 1 ， 2<5π, sin 2 > sin 5π = 1,∴b < c < a . 6 6 2故选:A【点睛】本题考查比较数的大小关系，涉及到对数换底公式、对数函数和正弦函数的单调性，属于中档题. 4．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病 毒疫苗的效果，现随机抽取 100 只小鼠进行试验，得到如下列联表： 附表：参照附表，下列结论正确的是（）．A ．在犯错误的概率不超 5%过的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；B ．在犯错误的概率不超 5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”；C ．有 9t h 5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；D ．有 9t h 5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”． 【答案】A【解析】试题分析： ，故应选 ．考点：独立性检验5．已知函数 f ( x ) 的图象关于原点对称，且满足 f (x +1) + f (3―x ) = 0 ，且当 x ∈(2，4) 时， f ( x ) = -log 1 ( x -1) + m ，若 2 f (2021) -1 = 2f (-1) ，则 m = （） 4 3 A ．B ．34C. - 43 D. - 34【答案】C【解析】【分析】根据题意首先求出函数的周期为 4，从而求出 f (2021) = f (1) = 1，由 f (1) = - f (3) ，代入解析式即可求解.3【详解】f (1) ；再由函数的奇偶性即可求出因为 f ( x + 1) = - f (3 - x ) = f (x - 3) ，故函数f (x )的周期为4，则f (2021)=f (1)；而f (-1)=-f (1)，由而f (1) =-f (3) =log12f (2021) -1=2(3 -1) -m =1,3f (-1) 可得f (1) =1；3解得m =-4 ．3故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性求函数值以及根据函数值求参数值，属于中档题.6．已知空间中三条不同的直线a 、b 、c 和平面α，下列结论正确的是（）A．若a ⊥α，b ⊥α，则a //b B．若a//α，b//α，则a //bC．若a ⊂α，b//α，则a //b D．若a ⊥c ，b ⊥c ，则a //b【答案】A【解析】【分析】利用空间中线线与线面的位置关系逐一分析各选项的正误，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，若a ⊥α，b ⊥α，由直线与平面垂直的性质定理可知a //b ，A 选项正确；对于B 选项，若a//α，b//α，则a 与b 平行、相交或异面，B 选项错误；对于C 选项，若a ⊂α，b//α，则a 与b 平行或异面，C 选项错误；对于D 选项，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a 与b 平行、相交或异面，D 选项错误.故选：A.【点睛】本题考查空间中线线位置关系的判断，可以充分利用空间中垂直、平行的判定和性质定理来判断，也可以利用模型来判断，考查推理能力，属于中等题.7.已知公差不为0的等差数列{a n}，前n 项和为S n ，满足S3-S1=10，且a1,a2,a4成等比数列，则a3 =（）A．2 B．6 C．5 或6 D．12【答案】B⎩ ⎩)【解析】【分析】将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求 a 3 .【详解】⎧⎪3a 1 + 3d - a 1 = 10 设等差数列的公差为 d ，则⎨(a + d )2 = a (a + 3d ) ，⎩⎪ 1 1 1 解得⎧a 1 = 2 或⎧a 1 = 5（舍），故a = 2 + 2⨯(3 -1) = 6 ， ⎨d = 2 ⎨d = 0 3故选：B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特 征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．8. 已知函数 f (x ) = sin(x -π，若方程 f (x ) = 4的解为 x , x (0 < x < x < π) ，则sin(x + x ) =6)51 2 1 2 1 2（ ）A ． - 32B ．3 C ． 122D ．- 12【答案】A【解析】【分析】由 f (x ) = sin(x - π 且方程 f (x ) = 4 的解为 x , x (0 < x < x < π) ，可知 x , x 关于直线 x =2π6)51 2 1 2 1 23对称，从而可得 x 1 + x 2 = 2π，进而可得出答案.2 3 【详解】由 f (x ) = sin(x - π，可知 x = 2π 是函数的一条对称轴，63又方程 f (x ) = 4的解为 x , x (0 < x < x < π) ，51 2 1 2OP OA OB≠ ∴x 1 + x 2 = 2π，即 x + x = 4π，2 3 1 23所以sin(x 1 + x 2 ) = -3 .2故选 A【点睛】本题考查了三角函数的对称性，需掌握住正弦函数的对称轴，属于基础题. 9．以下四个命题中，正确的是 （ ）A ．若 = 1 + 1，则 P , A , B 三点共线 2 3B. 若{a , b , c } 为空间的一个基底，则{a + b , b + c , c + a } 构成空间的另一个基底C. (a ⋅ b )⋅ c = a ⋅ b ⋅ cD.△ABC 为直角三角形的充要条件是 AB ·AC = 0【答案】B【解析】【分析】A,利用向量共线定理即可判断；B,利用共面向量基本定理即可判断；C,向量的数量积运算与实数运 算的区别；D ，直角三角形顶点不确定. 【详解】1 1 5A 错误， + = 1 2 3 6，所以 P , A , B 三点不共线；B 正确，假设{a + b , b + c , c + a } 不能构成空间的基底，则存在实数λ，μ使得a + b = λ(b + c ) + μ(c + a ) ，即(1- μ)a + (1-λ)b - (λ+ μ)c = 0 ， 因为{a , b , c } 为空间的一个基底，所以a , b , c 不共面，则1- μ= 0,1- λ= 0,λ+ μ= 0 ，无解，故{a + b , b + c , c + a } 构成空间的另一个基底；C 错误， (a ⋅ b )⋅ c = a ⋅ b ⋅ | cos ,b| ⋅ c ；D 错误，直角边不确定.【点睛】在实数运算中，若a , b ∈ R ，则 ab = a ⋅ b ，但对于向量 a , b 却有 a ⋅ b ≤ a ⋅ b ，当且仅当 a ∥b时等号成立．这是因为 a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ | cos a ,b ，而 cos a , b ≤1 .三点 P , A , B 共线，对空间任一点O , OP = xOA + (1 - x )OB .23 323 782 ⨯ 2 ⨯ 24 + 2 -(3 2 )10.如图，在∆ABC 中，BD sin B =CD sin C ，BD = 2DC = 2 ，AD = 2 ，则∆ABC 的面积为（）A．B．3 72C.3D.3【答案】B【解析】【分析】过点D 分别作AB 和AC 的垂线，垂足分别为E, F ，结合题干条件得到AD 为∠BAC 的平分线，根据角平分线定理得到AB=BD= 2 ，再由cos∠ADB + cos∠ADC = 0 ，结合余弦定理得到AC DCAC = 2 ，在三角形中应用余弦定理得到sin ∠BAC =，最终求得面积.【详解】过点D 分别作AB 和AC 的垂线，垂足分别为E, F ，由BD sin B =CD sin C ，得DE =DF ，则AD 为∠BAC 的平分线，∴AB=BD= 2 ，AC DC又cos∠ADB + cos∠ADC = 0 ，即8 + 4 -AB2=-2 + 4 -AC 22 22解得AC = 2 ;在∆ABC 中，cos ∠BAC ==1 ，2 ⨯ 4 ⨯ 2 8∴ sin ∠BAC =3 7，∴S8 ∆ABC=1AB AC sin ∠BAC =3 7.2 2故选B.3 72 ⨯ 2 ⨯ 2 2，【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理b2 +c2 -a2一定要熟记两种形式：（1）a2=b2+c2-2bc cos A；（2）cos A=，同时还要熟练掌握2bc运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o , 45o , 60o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.11.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1 中，E ，F ，M ，N 分别为BC ，CC1 ，A1D1，C1D1 的中点，则直线EF ，MN 所成角的大小为（）π A．6πππ B．4C．3D．2【答案】C【解析】【分析】通过做平行线，得到直线EF ，MN 所成角的大小，可转化为A1C1与BC1 的夹角，三角形A1BC1 ,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，进而得到结果.【详解】连接A1C1 , BC1 , A1B ，根据E ，F ，M ，N 分别为BC ，CC1 ，A1D1 ，C1D1 的中点，可得到MN2 ⎝⎭ ( ) 5 5 2 aa a是三角形 A 1C 1D 1 的中位线，故得到 MN A 1C 1 , 同理可得到 BC 1 EF ，进而直线 EF ，MN 所成角的大小，可转化为 A 1C 1与BC 1 的夹角，三角形 A 1BC 1 ,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形， 故得到 A 1C 1与BC 1 故答案为：C. 【点睛】π的夹角为 .3这个题目考查了异面直线的夹角的求法，常见方法有：通过做平行线将异面直线转化为同一个平面 的直线，进而将空间角转化为平面角. 12． 已 知f ( x ),g ( x )都 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ，g ( x ) ≠ 0, f '( x ) g ( x ) - f ( x ) g '( x ) < 0, f ( x ) = a x , f (1)+ f (-1) =5 ， 则 关 于 x 的 方 程g ( x ) g (1) g (-1) 2abx 2+2x + 5= 0 ， 2b ∈(0,1) 有两个不同的实根的概率为（ ） A. 3 5 【答案】BB. 2 5C. 1 5⎛ f ( x ) ⎫ D. 12f '( x )g ( x ) - f ( x ) g '( x )f ( x ) x 【解析】由已知，g ( x ) ⎪ ' = g 2 ( x ) < 0 ， ∴函数 = a g x 是减函数， ∴ 0 < a < 1 ， 又 f (1) +f (-1) = a + 1 = 5 ， 解 得 a = 1 或 a = 2 ， ∴ a = 1， 方 程 g (1) g (-1) a 2 2 2abx 2 +2x + = 0 有两个不等的实根，则∆ = 2 - 4ab ⨯ = 2 - 5b > 0 ， b < 2 ，又b ∈(0,1) ， 2 2 52 - 0所以0 < b < 2，因此所求概率为 P = 5 = ，故选 B ．5 1- 0 5第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

2020届名校学术联盟新高考原创精准模拟考试（一）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则中的元素个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将集合求解出来，然后解出，从而得出元素的个数.【详解】解：因为，故，因为，所以，所以.元素的个数为2，故选C.【点睛】本题考查了集合的交集，解题的关键是审清题意，解析出集合中的元素.2.已知为虚数单位，复数，则下列结论正确的是（）A.的共轭复数为B.的虚部为C.在复平面内对应的点在第二象限D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数运算求解出，从而得出，逐一分析选项，得出正确的答案.【详解】解：因为复数，所以，由此可得，故选项A错误，故，所以，的虚部为，选项B正确，在复平面内对应的点为，在第四象限，故选项C错误，，故选项D错误，故本题选B.【点睛】本题考查了复数的定义、复数的运算、复数的模、复数的几何意义等知识，正确的运算、清晰的概念是解题的关键.3.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求出满足“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”这一条件的事件数，然后求出满足“齐王获胜”这一条件的事件数，根据古典概型公式得出结果.【详解】解：因为双方各有3匹马，所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，满足“齐王获胜”的这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的事件数为3；齐王派出中等马，则获胜的事件数为2；齐王派出下等马，则获胜的事件数为1；故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率，故选A.【点睛】本题考查了古典概型问题，解题的关键是求出满足条件的事件数，再根据古典概型的计算公式求解问题，属于基础题.4.若函数是定义在上的奇函数，在上是增函数，且，，则使得的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解不等式的范围，当时，显然不成立，可等价转化为当时，求解的解集，当时，求解的解集，即当时，求解的解集，当时，求解的解集，再根据函数的性质求解不等式.【详解】解：因为是R 上的奇函数，且在上是增函数，所以在上也是增函数，又因为，所以，，当时，不等式的取值范围，等价于的取值范围，即求解的取值范围，根据函数在上是增函数，解得，，当时，不等式的取值范围，等价于的取值范围，即求解的取值范围，根据函数在上是增函数，解得，，当时，，不成立，故的的取值范围是，故选C.【点睛】本题考查了函数性质（单调性、奇偶性等）的综合运用，解题的关键是要将函数的问题转化为函数的问题，考查了学生转化与化归的思想方法.5.已知正项等比数列的前n项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当时，不成立，当时，利用等比数列的前n和公式表示，求解出，从而得出.【详解】解：设等比数列的公比为当时，，，因为，所以，；当时，，，故，解得或或，因为等比数列为正项等比数列，故，所以，故答案选D.【点睛】本题考查了等比数列的前n项和的问题，在使用等比数列的前n项和公式时，一定要注意分情况讨论，避免漏解.6.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，且上下两底面是等腰直角三角形，侧棱长为4，底面等腰直角三角形的腰长为4，找出球心的位置，求出球的半径，从而得出三棱柱外接球的体积.【详解】解：根据几何体的三视图，可以得出该几何体是直三棱柱，如图所示，其中四边形、四边形均是边长为4的正方形，三角形、三角形是，的等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，故即为的中点，的外接圆圆心为，故即为的中点，设球的球心为，因为三棱柱的为直三棱柱，所以球的球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，连接，外接球的半径即为线段的长，所以在中，，，故，即球的半径为，所以球的体积为，故选B.【点睛】本题考查了柱体外接球的体积问题，由三视图解析出该几何体是前提，准确想象出三棱柱各点、各棱、各面与外接球的位置关系，并且从立体图形中构建出平面图形是解得球半径的关键，属于中档题.7.我们可以用随机数法估计的值，如图，所示的程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数），若输出的结果为，则由此可估计的近似值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知程序框图可以得到，该程序的功能是利用随机模拟的方法任取（0,1）内的两个数x，y，将这两个数看作为平面区域内的一个点，该点落在的概率为；与此同时，计数变量表示计算该点落入平面区域的次数，根据古典概型计算公式得到概率为，再由两者之间的概率近似相等，从而得到的近似值.【详解】解：根据已知程序框图可以得到，该程序的功能是利用随机模拟的方法任取（0,1）内的两个数x，y，将这两个数看作为平面区域内的一个点，该点落在的概率为；计数变量表示计算该点落入平面区域的次数，因为输出的结果为784，所以在1000次种共有784次该点落入在平面区域内，根据古典概型计算公式可得，所以有，故，故选C.【点睛】本题考查了程序框图、古典概型、几何概型等知识，解题的关键是读懂程序框图，理清程序框图解决问题的过程，还考查了“算两次”的思想方法.8.某校从名教师中选派名教师去完成项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】名教师去完成项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故完成工作的方法有种,然后再根据甲、乙、丙三人的条件要求，分三种情况讨论，得出结果.【详解】解：因为名教师去完成项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故安排3名教师完成4项工作，可以先确定完成两项工作的1名人员，其方法有，然后再确定完成的工作，其方法有，然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人，其方法有，故当3名教师确定时，完成工作的方法有种；因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，故有三种方法选择教师，第一种方法：甲参加，乙不参加，丙参加，再从剩下的3人中选择1人，其方法有种，第二种方法：甲不参加，乙参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择2人，其方法有种，第三种方法：甲不参加，乙不参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择3人，其方法有种；故最终选派的方法为，故选A.【点睛】本题考查了排列组合的知识、分类分步的计数原理，解题的关键是要辨析清楚何时是分类，何时是分步.9.已知函数，若集合只含有个元素，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角变换将函数转化为.集合只含有3个元素，表示时在上只有三解，求出的根，从而得出的范围.【详解】解：因为函数，所以，因为集合含有个元素，所以时在上只有三解，即，解得：或，故，或，要使其落在上，故只有、、，其他值均不在内，故，解得，故，故选D.【点睛】本题考查了三角变换、三角函数等知识，利用三角变换将函数进行变形是前提，利用三角函数求值是解题的关键.10.如果底面是菱形的直棱柱（侧棱柱与底面垂直的棱柱）的所有棱长都相等，,分别为的中点，现有下列四个结论：①平面②③平面④异面直线与所成的角为，其中正确结论的个数为（）A.个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】B【解析】【分析】根据几何体的性质，对选项进行逐一判断.【详解】解：因为底面是菱形，且，为中点，所以为等边三角形，且，又因为，所以，因为四棱柱，所以平面，故，又因为，平面，所以平面，故选项①正确；因为为的中点，所以，若，则得到，与矛盾，故选项②不正确；因为四棱柱，所以有,因为为的中点，所以,故,因为平面，平面所以平面，故选项③正确；由③可知，,所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角,因为四棱柱，且各棱长相等，所以四边形为正方形，故，即异面直线与所成的角为90°，故④不正确，综上：本题的共有2个正确，故选B.【点睛】本题考查了几何体线面的位置关系，解题时应充分运用题中所给的条件，结合判定与性质定理逐项进行验证.11.已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点的坐标，根据可得，再利用两点间距离得出关于方程，从而解得渐近线方程.【详解】解：设因为点关于渐近线的对称点为，不妨设渐近线方程为，故有，解得，因为，所以，根据两点间距离可得，，即，即，即，即，可得，所以，故渐近线方程为，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程、两点间距离公式等知识，解题时需要有较强的运算能力.12.若存在使成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】存在使成立，故，所以等价于在定义域上有解，求出函数的单调性和最值，从而解出范围，进而求解出的范围.【详解】解：当时，不存在使成立，当，存在使成立即为在定义域上有解，令，故，因为恒成立，所以在定义域上单调递减，又因为，所以当时，，则在为增函数，当时，，则在为减函数，当，；当，，所以函数，函数的值域为，所以，故故选D.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值等知识，当一次求导不能得出原函数的单调性时，则需要进行二次求导，从而首先判断出导函数的单调性等性质，再由导函数的性质得出原函数的性质.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设的满足约束条件，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先将题中，满足约束条件对应的可行域画出，目标函数的几何意义为一条斜率为-2的直线，通过平移求解出最值.【详解】解：如图，，满足约束条件对应的可行域为五边形内部（含边界），目标函数的几何意义为一条斜率为-2、截距为的直线，当直线经过点O时，直线的截距最小，最小，故.【点睛】代数问题转化为几何问题解决，往往能简化计算，但必须要将每一个代数形式的几何意义分析到位，这个是数形结合的必要前提.14.设单位向量的夹角为，则向量在方向上的投影为_______．【答案】【解析】【分析】设向量与的夹角为，要求向量在方向上的投影，即求的值，故只需要求解出夹角的大小和的大小即可.【详解】解：因为单位向量的夹角为，所以，所以，同理，，设向量与的夹角为，故向量在方向上的投影为.【点睛】本题考查了向量的投影问题，求解向量投影的关键是要解决向量模的大小、两个向量的夹角，属于中档题.15.若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点，与的一个交点为，若，则____．【答案】【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标，再由可得，点为线段的中点，由此求出点A的坐标，代入抛物线方程得出的值.【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为，联立方程组，解得，交点坐标为，设A点坐标为，因为，所以点为线段的中点，所以，解得，将代入抛物线方程，即，因为，解得.【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.16.若数列满足，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】条件转化为，构造新数列，则能够得到数列为等差数列，由此得出通项，再通过叠加法得出数列的通项，借助导数或单调性定义法得出的单调性，从而得出结果.【详解】解：令由得，即，故当时，数列是从开始，的等差数列，，即，故，故，故，当时，上式也成立，故，设函数，令，解得：故当，单调递增，故数列在时单调递增，而，，所以有，故最小值为-1.【点睛】本题考查了等差数列的定义、叠加法求通项、数列单调性等知识，构建新数列是本题解题的关键.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别为，且满足，的外接圆的半径为，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）用正弦定理将题中的正弦转化为三角形的边，再利用余弦定理可得角B的大小；（2）由三角形外接圆半径可得到边b的大小，由余弦定理可得，结合，求出，从而得出的面积.【详解】解：（1），又，，，故又，，（2）,由余弦定理得：，又，，.【点睛】本题考查了解三角形问题，熟练运用正、余弦定理将含有边与角的等式进行转化是解题的关键.18.国家统计局拟进行第四次经济普查，某调查机构从个发达地区，个欠发达地区，个贫困地区中选取个作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有家企事业单位，家个体经营户，普查情况如下表所示：（1）写出选择个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择家企事业单位，家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为，写出的分布列，并求的期望值.附：参考公式：，其中参考数据：【答案】(1) 分层抽样；(2) 有的把握认为“此普查小区的入户登记”是否顺利与普查对象类别有关；(3) 的分布列为的数学期望为【解析】【分析】（1）由于从不同层次的地区选择6个试点，故可得抽样方式；（2）由题中提供数据解出的值，对比列联表判断，可得结果；（3）以频率作为概率，选择家企事业单位入户登记顺利的概率为，选择家个体经营入户登记顺利的概率为，对入户登记顺利的对象数进行逐一分析，根据概率计算公式可以得出分布列.【详解】解：（1）分层抽样：（2）由列联表中的数据得的观测值所以有的把握认为“此普查小区的入户登记”是否顺利与普查对象类别有关；（3）以频率作为概率，选择家企事业单位入户登记顺利的概率为，选择家个体经营入户登记顺利的概率为，的可能取值为，则，，，，，所以的分布列为，所以，的数学期望为【点睛】本题考查了抽样的方式、独立检验思想的应用、概率分布等知识，考查学生的计算能力，属于中档题.19.已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足（1）求动点的轨迹方程； （2）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值.【答案】(1) (2)【解析】 【分析】（1）设出A 、P 点坐标，用P 点坐标表示A 点坐标，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨迹；（2）设出P 点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出面积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.【详解】解：（1）设，由题意得：，由，可得点是的中点，故，所以，又因为点在圆上，所以得，故动点的轨迹方程为.（2）设，则，且，当时，，此时；当时，因为,即故，，，①，代入①设因为恒成立，在上是减函数，当时有最小值，即,综上：的最小值为【点睛】本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.20.如图，在四棱锥中，,底面，,为棱上一点，点为棱的中点，过的平面交于两点，且平面（1）证明：；（2）若于底面所成角的正弦值为，,求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）因为平面，故能得到，要证，即证平面，故只需在平面内求出两条相交直线与垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量知识求出二面角的余弦值.【详解】证明：（1）平面,平面,平面平面，，, 点为棱的中点，，,是正方形，,底面，,，平面,平面，,又.（2）因为与底面所成角的正弦值为，设,由（1）可知，是与底面所成角的平面角，所以,因为,所以，在中，,在中，,因为,又,，平面,平面，，因为,又,，平面,平面，，在平面PDC内，E为DC中点，所以是的中点，以为原点，分别以为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，，，，所以，，设平面是法向量为，则所以令，则，所以设平面的法向量为，则,所以令，则，，所以设二面角所成角为，显然为锐角，所以所以二面角所成角为余弦值为【点睛】本题考查了立体几何中异面直线的垂直问题、利用空间向量解决二面角的问题，解题的前提是要能建立出空间坐标系，正确写出各个点的坐标，理清法向量的夹角与二面角的关系是解题的关键，还考查了学生的计算能力.21.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若，判断函数的单调性，并写出证明过程；（2）若，求证：对任意，都有【答案】(1) 函数在上单调递增；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用导数法解决函数的单调性问题；（2）要证，即证，利用导数研究函数在上的最值，然后再利用单调性求最值、作差法等方法对与进行比较.【详解】解：（1）当时，函数在其定义域单调递增，证明如下：当时，，令，则又,由，解得为函数的单调递增区间，由，解得为函数的单调递减区间，，在为单调增函数，，所以函数在其定义域单调递增.（2），令,,时，，在单调递减,时，，在单调递增,，又时时，有正根，即有正零点又时，,时，,为函数的极大值点，此时，，在单调递减，且，，且为函数在的唯一极大值点，令，，时，，在单调递减，又，，，，对任意都有.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值（最值）等问题，解题的关键是适时构建新函数，研究新函数的图象、性质等，从而解决问题，属于偏难题.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点.（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程.【答案】(1) (2) （为参数，）.【解析】【分析】（1）求出曲线和直线的普通方程，通过直线与圆相交求出斜率的范围，从而得出倾斜角的范围；（2）设出对应的参数，联立直线与圆的方程，借助韦达定理表示的参数，从而得出点的轨迹的参数方程.【详解】解：（1）曲线的直角坐标方程为,当时，与交于两点，当时，记，则的方程为，与交于两点当且仅当，解得或，即或，综上的取值范围是.（2）的参数方程为（为参数，），设对应的参数分别为，则且满足，由韦达定理可得：，故 ,又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程为（为参数，）.【点睛】本题考查了直线的倾斜角问题，常见解法是转化为求斜率的范围问题；还考查了点的轨迹问题，常见解法有相关点法、几何图形性质等方法.23.已知函数，.（1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）设，且，求证：.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）不等式恒成立，等价于，然后求出函数的最小值，从而解决问题；（2）要证，即证，然后借助于基本不等式证明即可.【详解】解：（1）由，，，，所以的取值范围是（2）由（1），，，当且仅当时等号成立，【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键.。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若z=1+i，则|z2–2z|=A．0 B．1 C D．22．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=A．–4 B．–2 C．2 D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A B C D4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度x y i=得到下面的散点图：条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+6．函数43()2f x x x =−的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =−− B ．21y x =−+ C ．23y x =−D ．21y x =+7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π−的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π28．25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为 A ．5 B ．10 C ．15 D ．209．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα−=，则sin α=AB ．23C ．13D10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知⊙M ：222220x y x y +−−−=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y −−= B ．210x y +−= C ．210x y −+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a b a b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学复习卷（一)一、单选题1．已知集合{}2{|320},21x A x x x B x Z =-+≤=∈>，则A B =I （ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,2]D ．{1,2} 2．已知复数(1)3z i i +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数．．．．所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．221x y +≤是“||||2x y +≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知曲线()(21)x f x a e =+在0x =处的切线过点(2,1),则实数a =( )A ．3B ．3-C ．13 D ．13- 6．已知非零向量,a b r r 满足1,2a b ==r r 且(2()a b a b -⊥+)r r r r ，则a r 与b r 的夹角为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 7．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π38．已知公差不为零的等差数列{}n a 中，35712,a a a ++=136,,a a a 成等比数列，则等差数列{}n a 的前8项和n S 为（ ）A ．20B ．30C ．35D ．409．已知实数x ，y 满足不等式组210x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，目标函数13y z x +=+的最大值是（ ）A ．23B ．49C ．59D ．13 10．已知321()(4)1(0,0)3f x x ax b x a b =++-+>>在1x =处取得极值，则21a b +的最小值为（ ）A ．3223+ B ．322+ C ．3 D ．911．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b -=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A ．21+B ．31+C ．2D ．512．函数()121x x f x e e b x -=---在()0,1内有两个零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．()(),11,e e e e --⋃-B ．()()1,00,1e e -⋃-C ．()()1,00,1e e -⋃-D ．()()1,,1e e e e --⋃-二、填空题13．函数()()2log 5(0a f x x a =++>且1)a ≠恒过定点的坐标为______．14．若函数1132()32x xe ef x x x ---=-+，则12()()20202020f f ++⋯40384039()()20202020f f ++=______．15．已知函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是 ．16．已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示,其中四边形ABCD 是边长为32的正方形,若在该正四面体纸盒内放一个正方体,使正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值是 ．三、解答题17．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组，第4组，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a 的值；（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.18．已知△ABC 的面积为3，且1AB AC ⋅=-u u u r u u u r 且AB AC >. (1)求角A 的大小；(2)设M 为BC 的中点，且3AM =，∠BAC 的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度.19．如图1，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，3AB =，6CD =，过A ，B 分别作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ，已知1DE =，3AE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，使得平面ADE ⊥平面ABFE ，平面ADE ∥平面BCF ，得到图2.（1）证明：BE ∥平面ACD ；（2）求三棱锥C AED -的体积.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且与抛物线2y x =交于M ，N 两点，OMN ∆ （O 为坐标原点）的面积为22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值．21．设函数2333()()22x f x e x a =---. （1）若0a >且()f x 在x 0=处的切线垂直于y 轴，求a 的值；（2）若对于任意[0,)x ∈+∞，都有()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x 2tcos αy tsin α(t =-+=为参数).以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()22ρ45sin θ36+=． ()1求l 和C 的直角坐标方程；()2设()P 2,0-，l 和C 相交于A ，B 两点，若PA PB 4⋅=，求sin α的值．23．已知函数()12,=+--∈f x x m x m R ．（1）当3m =时，求不等式()1f x >的解集；（2）当[]1,2x ∈-时，不等式()21f x x <+恒成立，求m 的取值范围．。