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正多边形与圆
一、选择题
1. （2014•河北，第15题3分）如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则
=（ ）
A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ． 6
考点： 正多边形和圆
分析： 先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可． 解答：x k b 1 . c o m
解：如图，
∵三角形的斜边长为a ， ∴两条直角边长为a ，a ，
∴S 空白=a •a =
a 2，
∵AB =a ， ∴OC =
a ，
∴S 正六边形=6×a •
a =
a 2， ∴S 阴影=S 正六边形﹣S 空白=
a 2﹣
a 2=
a 2，
∴==5，
故选C ．
点评：本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．
2、（2014衡阳，第4题3分）若一个多边形的内角和是900，则这个多边形的边数为【】A．5B．6C．7D．8新*课*标*第*一*网
【考点】多边形内角和定理.
【解析】利用公式（n－2）×180°(n大于等于3)，求出n
【答案】C
【点评】本题是多边形内角和定理的应用，是基础题，可以直接应用，直接带入求值，是本题的方法.
3．（2014•莱芜，第10题3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（）
1：24
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．x
k b
1 . c
o m
考点：相似三角形的判定与性质．
分析：设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为4a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可．
解答：解：∵S△BDE：S△CDE=1：4，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴=，
∴=，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：25，
∴S△ACD=25a﹣a﹣4a=20a，
∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20．
故选C．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．
二、填空题
1. （2014•海南,第17题4分）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE=5．
考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
分析：首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可．
解答：解：由圆周角定理可知，∠E=∠C，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠B=∠C，
∴△ABE∽△AC D．
∴AB：AD=AE：AC，
∵AB=4，AC=5，AD=4，
∴4：4=AE：5，
∴AE=5，
故答案为：5．
点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ADC∽△ABE．
2．（2014•湖北黄石,第15题3分）一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“实验结果落在D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A 发生的概率P A=．如图，现在等边△ABC内射入一个点，则该点落在△ABC内切圆中的概率是π．
第1题图新$课$标$第$一$网
考点：三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；几何概率．
分析：利用等边三角形以及其内切圆的性质以及锐角三角函数关系得出DO，DC的长，进而得出△ABC的高，再利用圆以及三角形面积公式求出即可．
解答：解：连接CO，DO，
由题意可得：OD⊥BC，∠OCD=30°，设BC=2x，
则CD=x，故=tan30°，
∴DO=DCtan30°=，
∴S圆O=π（）2=，
△ABC的高为：2x•sin60°=x，
∴S△ABC=×2x×x=x2，
∴则该点落在△ABC内切圆中的概率是：=．
故答案为：π．
点评：此题主要考查了几何概率以及三角形内切圆的性质以及等边三角形的性质等知识，得出等边三角形与内切圆的关系是解题关键．
三、解答题
1. (2014年广西南宁，第25题10分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接A C．
（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
（2）求证：∠ACF=90°；
（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求的长．
考点：圆的综合题．.
分析：（1）利用ABE≌△EHF求证BE=FH，
（2）由BE=FH，AB=EH，推出CH=FH，得到∠HCF=45°，由四边形ABCD是正方形，所以∠ACB=45°，得出∠ACF=90°，
（3）作CP⊥EF于P，利用相似三角形△CPE∽△FHE，求出EF，利用公式求出的长．
