高中数学人教版必修4平面向量的基本定理及坐标表示教学设计

2.3.3 平面向量的坐标运算

2.3.4 平面向量共线的坐标表示

整体设计

教学分析

1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.

2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.

3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.

三维目标

1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.

2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.

3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.

重点难点

教学重点:平面向量的坐标运算.

教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课 思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？

思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量OA=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？

1 高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案

新人教A版必修4

【学习目标】1知识与技能

(1) 了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题；

(2) 培养学生分析、抽象、概括的推理能力。

2过程与方法

(1) 通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法；

(2) 通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。

3情感.态度与价值观

（1）通过本节学习,培养学生的理性思维，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；

（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力，激发学生学习数学的兴趣。

【重点难点】

重点：平面向量基本定理的应用

难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。

【学习内容】

一【知识链接】

1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？

2 2．怎样理解向量的数乘运算λa？

（1）模：|λa|=|λ||a|；

（2）方向：λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0

3. 向量共线定理 ：向量b与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.

二【新课导入】

情景展示：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论.

三、小组合作、自主探究

探究（一）：平面向量的基本定理

探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e、2e，请你作出向量b=31e+22e、c=1e-22e.

探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e、2e来表示向量b,c那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e+λ22e的向量表示呢? 【定理解读】

1

《平面向量基本定理》教学设计

一、教学内容

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学4·必修（人教A版）》第二章2.3.1平面向量基本定理。学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。

本节内容用1课时完成。

二、教学方法与教学手段

本节课为新授课。根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主线、学生为主体，让学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。教学方法是综合法，教学手段采用学案式。

三、核心素养的培养

（1）了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念，会初步求解简单的二向量夹角问题，会根据图形判断两个向量是否垂直。培养直观想象的能力。

（2）培养学生作图、数学建摸的意识。

（3）经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的逻辑推理能力。

通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会数形结合思想。

思、教学重点、难点

1、教学重点：

平面向量基本定理及其意义；两个向量夹角的简单计算；

2、教学难点：

平面向量基本定理的探究；向量夹角的判断。

五、教具使用

三角板、

六、教学过程

1、复习引入：

1）、向量的加法和减法有哪些几何运算法则？

2）、怎样理解向量的数乘运算？

3）、平面向量共线定理是什么？ （1）|λa|=|λ||a |；

（2）λ>0时，λa与 a方向相同；

λ<0时，λa 与 a方向相反；

λ=0时，λa=0.

2

若向量b和非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使=ba

2、思维引领

问题1、阅读课本P93的思考，请用图形表示。

《平面向量基本定理（第一课时）》教学设计

一、教材分析：

本节内容是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修4第二章第3节“平面向量基本定理及坐标表示”的第一课时内容，本节共2个课时。平面向量基本定理是本节的重点也是本节的难点。平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，由于高中数学设计的向量是自由向量，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任何一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点和两个不共线的向量得到表示，这是引进平面向量基本定理一个原因（学生可以不讲）。实际上，本节课在本章中起到一个“承上启下”的作用，一方面要在平面向量线性运算的基础上归纳定理，另一方面，作为平面向量基本定理的特殊情况，研究平面向量的正交分解及坐标表示，是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是学生后续学习向量坐标表示的基础。

二、学情分析：

知识方面：学生学习了第一节“平面向量的实际背景及基本概念”和第二节“平面向量的线性运算”，已经有了一定的平面向量基础知识，

学力和能力方面：授课对象为省级示范学校高一学生，有比较扎实的数学基本知识，其数学基本素养和学习能力应该在普通高中学生中处于中上水平。

三、教师教学的出发点：

根据课程标准的要求备课，备学生，把课程标准的要求溶解在课堂中，让学生在潜移默化中提高数学素养。本节课的教学设计主要是针对学习情况为中等的学生（占大多数），第一、注重知识的生成，通过创设问题情境，引导学生自主学习，主动探究发现新知（平面向量基本定理）；第二、注重数学思维的培养，通过问题的两个方面，即平面向量合成和分解，培养学生的观察能力，启发学生的逆向思考能力，抽象概括能力，引导学生进行适当的合情推理（定理的证明）；第三、注重对知识的理解、消化、应用，主要通过典型的问题，掌握对新知的应用，可进行适当的拓展，发散思维；第四：激发学生的学习兴趣，在3个方向：新知识的维度拓展的兴趣激发，解决几何问题的兴趣激发，后续学习的兴趣激发。