分数拆项公式

2020年小升初数学专题复习训练—拓展与提高

分数问题（1）知识点复习

一．分数的大小比较

【知识点归纳】分数的大小比较常用方法：

（1）通分母：分子小的分数小．

（2）通分子：分母小的分数大．

（3）比倒数：倒数大的分数小．

（4）与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．（适用于真分数）

（5）重要结论：

①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；

②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大．

（6）放缩法．

【命题方向】例1：在20072008，20082007，20082009，20092008这四个数中，最大的数是（）

A、20082007B、20072008C、20082009D、20092008

分析：首先观察这四个分数，排除掉分母比分子大的20082007和20092008，剩下20072008和20082009，

它们的共同点在于都可以把它们看作“1+分数单位”的形式，如20072008=1+20071，20082009=1+

20081，它们的不同点在于两者的分母一个大一个小，然后根据“分子相同，分母大的反而小，

分母小的反而大”，做出判定．

解：因为20082007＜1，20092008＜1，20072008＞1，20082009＞1，因此20082007和20092008应排除；20072008

=1+20071，20082009=1+20081，20071＞20081，因此20072008＞20082009．

最大数是20072008．故选：B．

点评：此题属于分数的大小比较，分数的比较大小的方法很多，根据不同的题目，灵活解答．

二．分数的拆项

【知识点归纳】

（1）分母为两个相邻自然数时：11nn=n1-11n

（2）分母为两个不相邻自然数时（差为a）：anna=n1-an1或ann1=（n1-an1）

×a1．

【命题方向】例1：1212+1412+1612+…+110012=10150．

小学数学中，一直贯穿着一个内容，那就是简便运算。在整数范围、小数范围、分数范围内都做为一个内容重复出现。而这个内容也正是小学数学中的一个难点。

1

提取公因式

这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。

注意相同因数的提取。

例如：

0.92×1.41＋0.92×8.59

= 0.92×（1.41+8.59）

2

借来借去法

看到名字，就知道这个方法的含义。用此方法时，需要注意观察，发现规律。还要注意还哦 ,有借有还，再借不难。 考试中，看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。

例如：

9999+999+99+9

=9999+1+999+1+99+1+9+1-4

3

拆分法

顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”，如：2和5，4和5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。

例如：

3.2×12.5×25

=8×0.4×12.5×25

=8×12.5×0.4×25

4

加法结合律

注意对加法结合律(a＋b)＋c=a＋(b＋c) 的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。

例如：

5.76＋13.67＋4.24＋6.33

=（5.76＋4.24）＋(13.67＋6.33)

5

拆分法和乘法分配律结合

这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。

例如：

34×9.9

=34×(10－0.1)

案例再现：

57×101=？

6

利用基准数 在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。

例如：

2072+2052+2062+2042+2083

=（2062x5）+10-10-20+21

7

利用公式法（必背）

常见裂项技巧

一、什么是裂项？

在数学中，裂项是指将一个求和式中的每一项拆分成两个或多个部分，然后通过重新排列这些部分以达到简化或变形的目的。裂项技巧广泛应用于各个数学分支中，尤其在级数求和、极限计算、微积分等领域中常见。

二、为什么要使用裂项技巧？

使用裂项技巧可以使原本复杂的求和式或极限计算变得更加简单，从而方便进行后续的推导和计算。裂项技巧可以改变原始问题的形式，通过引入新的项或变量，将原问题转化为更易处理的形式。此外，裂项技巧还可以帮助我们发现隐藏的规律和性质，从而得到更深入的数学理解。

三、常见的裂项技巧

1. 二项式展开

二项式展开是一种常见的裂项技巧，通过利用二项式系数的性质，将一个复杂的幂函数表达式展开成一个求和式。二项式展开的公式如下：

(𝑎+𝑏)𝑛=𝐶0𝑛𝑎𝑛+𝐶1𝑛𝑎𝑛−1𝑏+𝐶2𝑛𝑎𝑛−2𝑏2+...+𝐶𝑛𝑛𝑏𝑛

其中，𝐶𝑘𝑛表示第k个二项式系数，可以通过组合数的求解公式计算得到。

通过二项式展开，我们可以求解各种多项式的值，并且在某些情况下可以发现一些隐藏的数学规律。

2. 分数拆项

分数拆项是一种常见的裂项技巧，通过将一个分数表达式拆分成两个或多个部分，从而使得求和或计算更为方便。分数拆项常用的方法有部分分式分解、分子拆项和分母拆项等。

例如，我们可以将一个分数表达式拆分成若干简单的分数之和，然后进行逐项求和。这样做的好处是将原本复杂的分数拆分成多个简单的分数，从而方便进行计算。 3. 周期性裂项

周期性裂项是一种常用的裂项技巧，适用于一些具有周期性性质的数列或函数。通过将周期性数列或函数拆分成多个部分，并利用其周期性特点，可以简化计算或得出结论。

例如，我们可以将一个周期性数列拆分成若干个重复的子序列，并通过观察子序列的性质得出整个数列的求和或极限等结果。

4. 分段函数裂项

分段函数裂项是一种常见的裂项技巧，适用于一些具有分段定义的函数。通过将分段函数拆分成多个部分，并分别考察每个部分的性质，可以方便地进行计算和推导。

带分数拆项法

带分数拆项法是一种用于将带分数转化为一系列整数的方法，它通常用于解决一些涉及带分数的数学问题。这种方法的基本思想是将带分数拆分为若干个整数之和，以便于进行计算和分析。

一、带分数拆项法的步骤

1. 将带分数转化为假分数形式。例如，将3 2/3转化为3 + 2/3。

2. 根据需要将假分数拆分为若干个整数之和。例如，将3

+ 2/3拆分为3 + 1 + 1/3。

3. 对于每个整数部分进行计算或分析。例如，对于3和1/3分别进行计算或分析。

4. 将每个整数部分的计算或分析结果进行整合，得到带分数拆项法的最终结果。

二、带分数拆项法的应用

带分数拆项法在数学中有很多应用，例如在有理数运算、分式运算、方程求解等领域。下面分别举例说明：

1. 有理数运算

例如，计算3 2/3 + 4 1/2的结果。首先将两个带分数转化为假分数形式，即3 2/3 = 3 + 2/3，4 1/2 = 4 + 1/2。然后分别拆分为整数部分和小数部分，即3 + 2/3 = 3 + 1 + 1/3，4 + 1/2 = 4 + 1 + 1/2。接着分别计算每个整数部分的和，即3

+ 1 = 4，4 + 1 = 5。最后将两个整数部分的和相加，即4 +

5 = 9，得到最终结果为9。

1. 分式运算

例如，求解分式方程x/(2 1/3) = (x - 48)/(2 2/5)。首先将两个带分数转化为假分数形式，即2 1/3 = 7/3，2 2/5 = 7/5。然后利用带分数拆项法将每个分式拆分为整数部分和小数部分，即x/(7/3) = x × (3/7) + x × (2/7)，(x - 48)/(7/5) = x ×

(5/7) - 48 × (5/7)。接着对方程进行整理，即x × (3/7) + x ×

(2/7) = x × (5/7) - 48 × (5/7)。最后解出x的值为[90]，得到最终结果为x = 90。