九年级数学上册第1章二次函数1.4二次函数的应用1.4.1利用二次函数解决面积最值问题同步练习新版浙教版

1.4 第1课时利用二次函数解决面积最值问题一、选择题1．关于二次函数y＝x2＋4x－7的最大(小)值，下列叙述正确的是( )A．当x＝2时，函数有最大值B．当x＝2时，函数有最小值C．当x＝－2时，函数有最大值D．当x＝－2时，函数有最小值2．如图K－6－1，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )图K－6－1A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m23．如图K－6－2所示，C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )图K－6－2A．当C是AB的中点时，S最小B．当C是AB的中点时，S最大C．当C为AB的三等分点时，S最小D．当C为AB的三等分点时，S最大4．如图K－6－3，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，∠ABE＝45°，BE＝DE，连结BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连结QD.设PD＝x，△PQD的面积为y，则能表示y与x之间函数关系的图象大致是( )图K－6－3图K－6－4二、填空题5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图K－6－5所示，当－5≤x≤0时，函数y的最大值是________，最小值是________．图K－6－56．已知一个直角三角形两直角边的长度之和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．7．如图K－6－6，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果点P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小.图K－6－68．2017·河南如图K－6－7①，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图②是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是________．图K－6－7三、解答题9．2017·绍兴某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)．(1)如图K－6－8①，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图②，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.图K－6－810．如图K－6－9所示，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，设运动时间为t s(0<t≤4)，△PDQ的面积为S cm2，求S关于t的函数表达式，并求△PDQ面积的最小值．图K－6－911．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m 的围网在水库中围成了如图K－6－10所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？图K－6－1012、2017·潍坊如图K－6－11①，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的函数表达式．(2)当t为何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根．(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．图K－6－111．[解析] D ∵y＝x 2＋4x －7＝(x ＋2)2－11， ∴此抛物线的开口向上，顶点为最低点， ∴x ＝－2时，函数有最小值．2．[解析] C 设BC ＝x m ，则AB ＝(16－x)m ，矩形ABCD 的面积为y m 2， 根据题意，得y ＝(16－x)x ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y max ＝64， 则所围成矩形ABCD 的最大面积是64 m 2. 故选C.3．[解析] A 设AC ＝x ，则BC ＝1－x ， 所以S ＝x 2＋(1－x)2＝2x 2－2x ＋1， 所以当x ＝－－22×2＝12时，S 有最小值．4．[解析] C 易得BE ＝DE ＝2 2，则EP ＝EQ ＝2 2－x ，过点Q 作QF ⊥AD 于点F ，则QF ＝22(2 2－x)＝2－22x ，∴y ＝12PD·QF＝12x(2－22x)＝－24x 2＋x ＝－24(x －2)2＋22. 5．[答案] 6 －3 6．[答案] 112.5[解析] 设一条直角边长为x ，则另一条直角边长为30－x ， 故S ＝12x(30－x)＝－12(x －15)2＋112.5.∵－12<0，∴当x ＝15时，S 最大＝112.5.故答案为112.5. 7．[答案] 3[解析] 设点P ，Q 同时出发后经过的时间为t s ，四边形APQC 的面积为S cm 2，则 S ＝S △ABC －S △PBQ＝12×12×6－12(6－t)×2t＝t 2－6t ＋36 ＝(t －3)2＋27.∴当t ＝3时，S 取得最小值．故填3. 8．[答案] 12[解析] 观察图象，可以获得以下信息：①点P 在由B→C 的过程中，BP 的长度y 随时间x 变化的关系为正比例函数，表现在图象上应该是一段线段；②点P 在由C→A 的过程中，BP 的长度y 随时间x 变化的关系为二次函数，表现在图象上应该是抛物线的一部分；③当BP⊥AC 时，BP 的长度最短，反映在图象上应为抛物线的最低点；④当点P 到达点A 时，此时BP ＝5，∴AB ＝AC ＝5，AC 边上的高BP ＝4，此时，由勾股定理，得AP ＝CP ＝52－42＝3，∴AC ＝6，∴S △ABC ＝12×4×6＝12.9．解：(1)根据题意，得y ＝x·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252，∴当x ＝25时，y 最大，即当饲养室长为25 m 时，占地面积y 最大．(2)根据题意，得y ＝x·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338，∴当x ＝26时，y 最大，即当饲养室长为26 m 时，占地面积y 最大． ∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确． 10．解：由题意知AP ＝t cm ，BQ ＝2t cm ， ∴PB ＝(6－t)cm ，QC ＝(8－2t)cm ，∴S ＝48－4t －t(6－t)－3(8－2t)＝t 2－4t ＋24＝(t －2)2＋20. ∵t ＝2在0＜t≤4范围内， ∴当t ＝2时，S 取最小值，为20， 即△PDQ 面积的最小值为20 cm 2.11．解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 的面积是矩形BCFE 的面积的2倍，∴AE ＝2BE.设BE ＝a ，则AE ＝2a ， ∴8a ＋2x ＝80，∴a ＝－14x ＋10，2a ＝－12x ＋20，∴y ＝(－12x ＋20)x ＋(－14x ＋10)x＝－34x 2＋30x.∵a ＝－14x ＋10>0，∴x<40，则y ＝－34x 2＋30x(0<x<40)．(2)∵y＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300(0<x<40)，且二次项系数为－34<0，∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值为300.12解：(1)将点A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a －b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，∴直线l 必过其对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.由点A ，D 的坐标知，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴E(3，0)，设直线l 的函数表达式为y ＝kx ＋m ，代入⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32和(3，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧12k ＋m ＝32，3k ＋m ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，m ＝95.∴直线l 的函数表达式为y ＝－35x ＋95.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－35x ＋95，y ＝－x 2＋2x ＋3，可得x F ＝－25.如图①，过点P 作PH⊥x 轴于点H ，交l 于点M ，过点F 作FN⊥PH 于点N.∵点P 的纵坐标为y P ＝－t 2＋2t ＋3，点M 的纵坐标为y M ＝－35t ＋95，∴PM ＝y P －y M ＝－t 2＋2t ＋3＋35t －95＝－t 2＋135t ＋65，则S △PFE ＝S △PFM ＋S △PEM ＝12PM·FN＋12PM ·EH ＝12PM·(FN＋EH)＝12(－t 2＋135t ＋65)(3＋25)＝－1710·(t－1310)2＋289100×1710， ∴当t ＝1310时，△PFE 的面积最大，最大值的立方根为3289100×1710＝1710.(3)如图②，过点P 作PK⊥x 轴于点K ，过点A 作AQ⊥PK 于点Q ，则在Rt △PKE 中，PE 2＝PK 2＋KE 2＝(－t 2＋2t ＋3)2＋(3－t)2；在Rt △AQP 中，PA 2＝AQ2＋PQ 2＝t 2＋(－t 2＋2t)2；在Rt △AOE 中，AE 2＝OA 2＋OE 2＝18.由图可知∠PEA≠90°.①若∠PAE＝90°，则PE 2＝PA 2＋AE 2，∴(－t 2＋2t ＋3)2＋(3－t)2＝t 2＋(－t 2＋2t)2＋18， 即－t 2＋t ＝0，解得t ＝1或t ＝0(舍去)． ②若∠APE＝90°，则AE 2＝PE 2＋PA 2，∴18＝(－t 2＋2t ＋3)2＋(3－t)2＋t 2＋(－t 2＋2t)2，即(t －3)(t 2－t －1)＝0，解得t ＝3(舍去)或t ＝1＋52或t ＝1－52＜－25(舍去)．综上可知，存在满足条件的点P ，t 的值为1或1＋52.。