向量法解立体几何
用传统的方法解立体几何需要烦琐的分析、复杂的计算。而用向量法解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果。
一. 证明两直线平行
已知两直线a和b, bDCaBA,,,,则ba//存在唯一的实数使CDAB
二. 证明直线和平面平行
1.已知直线EDCaBAa,,,,,且三点不共线，则a∥存在有序实数对,使CECDAB
2.已知直线,,,aBAa和平面
的法向量n,则a∥nAB
三.证明两个平面平行
已知两个不重合平面,,法向量分别为nm,,则∥nm//
四．证明两直线垂直
已知直线ba,。bDCaBA,,,，则0•CDABba
五.证明直线和平面垂直
已知直线和平面a，且A、Ba,面的法向量为m,则mABa//
六.证明两个平面垂直
已知两个平面,,两个平面的法向量分别为nm,,则nm
七．求两异面直线所成的角
已知两异面直线ba,，bDCaBA,,,，则异面直线所成的角为：CDABCDAB•cos
八．求直线和平面所成的角 A
B
C D E 已知A,B为直线a上任意两点，n为平面的法向量，则a和平面所成的角为:
1． 当•2,0nAB时nAB•2
2． 当•,2nAB时2•nAB
九．求二面角
1．已知二面角l，且lCDlABDCBA,,,,且，则二面角的平面角的大小为：CDAB,
2.已知二面角,lnm,分别为面,的法向量，则二面角的平面角的大小与两个法向量所成的角相等或互补。即nmnm,,或
注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。
(1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。
立体几何中的向量方法（第二课时）
备课人： 授课时间：
【教学目标】
１、知识与技能：
1．在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念，为进一步运用打好基础
2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系
3．能够运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题
4．能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。
２、过程与方法：
1.让学生经历将点、线、面的位置关系转化为空间向量的关系的过程，体会转化、化归
思想
2.让学生经历将直线、平面的夹角及距离问题转化为直线的方向向量与平面的法向量
问题的过程，体会转化、化归思想
3.让学生经历利用向量的坐标将几何问题代数化的过程；
３、情感、态度与价值观：
通过空间向量在立体几何中的的应用，感受数学的美感，从而激发学数学、用数学的热情。
【教学重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用．
【教学难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式．
【教学过程】
一、复习引入
前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用。这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法。为此，首先简单回顾一下用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题（化为向量问题）；
2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题（进行向量运算）；
3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回到图形）。
二、新课讲解
1.空间两点之间的距离
教学过程：例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
第 1 页 共 4 页 OLBA高二数学选修2-1 编号：SX-17-01-057
《立体几何中的向量方法（3）》导学案
编写人：曾祥松 审核人：廖星星
班级： 组别： 姓名：
完成
等级
【学习目标】
1.理解二面角及其平面角和点到平面距离的概念.
2.会用向量方法求二面角的平面和点到平面的距离。
【学习重难点】
重点：利用平面的法向量求二面角和点到平面距离。
难点：理解向量法求二面角和点到直线距离。
【学法指导】向量法解决立体几何计算问题。
【知识链接】
1. 写出向量法解决下列立体几何证明题的思路：.
① 线面平行 ②面面平行 ③线面垂直 ④面面垂直
② 怎样用向量法求异面直线的所成角与直线和平面的所成角？
【学习过程】
知识点一. 向量法求二面角的平面角
问题1．二面角的平面角
如图,若AOB是二面角l的平面角,请写出AOB必须满足条件:
二面角大小的取值范围是___________.
更正
等级 第 2 页 共 4 页 APAP问题2：设平面,的法向量分别为,mn ,下面探究二面角l的平面角与向量,mn的夹角的关系.
温馨提示:二面角的平面角大小与两个平面法向量的夹角相等或互补.
例1. 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD垂直底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF垂直PB交PB于点F.
(1) 求证:PA//平面EDB;
(2) 求证:PB垂直平面EFD;
(3) 求二面角C-PB-A的大小.
知识点二、求点到平面的距离
问题1：已知平面和平面外一点P,如何作出P点到平面的距离？
问题2：向量法求点到平面距离的思路 图1
(1)在图1中，若,,APPAa,直线PA与平面所成的角为,则d=_______________.
专题07 立体几何中的向量方法
【要点提炼】
1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).
(1)线线夹角
设l，m的夹角为θ0≤θ≤π2，则
cos θ＝|a·b||a||b|＝|a1a2＋b1b2＋c1c2|a21＋b21＋c21a22＋b22＋c22.
(2)线面夹角
设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤π2，则
sin θ＝|cosa，μ|＝|a·μ||a||μ|.
(3)面面夹角
设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)，
则|cos θ|＝|cosμ，v|＝|μ·v||μ||v|.
考点
考向一 利用空间向量证明平行、垂直
【典例1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：
(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD.
证明 依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).
