全等三角形经典题型50题带答案

全等三角形证明经典50题（含答案）（一）

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

延长AD到E,使DE=AD,

则三角形ADC全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE

即:10-2<2AD<10+2 4

又AD是整数,则AD=5

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12CDAB

从D做辅助线

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF和EF。 因为

BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。 所以 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 所以

BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连接BE。 在三角形BEF中,BF=EF。 所以 ∠EBF=∠BEF。 又因为 ∠ABC=∠AED。 所以 ∠ABE=∠AEB。 所以 AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中， AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。 所以 三角形ABF和三角形AEF全等。 所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 A

B

C D E

F 2 1 D A

B C A

D B C 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

证明： 过E点，作EG//AC，交AD延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2 又∵CD=DE ∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2

∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC

5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

证明： 在AC上截取AE=AB，连接ED ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD（SAS） ∴∠AED=∠B，DE=DB ∵AC=AB+BD

AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C

6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明： 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB＝EF，CE＝CE， 所以△CEB≌△CEF 所以∠B＝∠CFE 因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS） 所以AD＝AF 所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.

∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A; AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°; 又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.

所以,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

AB//ED,AE//BD推出AE=BD,

又有AF=CD,EF=BC

所以三角形AEF 全等于三角形DCB，

所以:∠C=∠F

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。

则： △AED是等腰三角形。

所以：AE=DE

而AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量） C

D

B

D

C

B A F E

A

B C D A B A

C

D F 2 1

E 所以：△BEC是等腰三角形 所以：角B=角C.

15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短） 因为PC

16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C

∠1=∠BAC/2=90-2∠C

∠ABE=90-∠1=2∠C

延长BE交AC于F

因为，∠1 =∠2，BE⊥AE

所以，△ABF是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C

BF=CF AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

17. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

作AG∥BD交DE延长线于G

AGE全等BDE

AG=BD=5 AGF∽CDF

AF=AG=5

所以DC=CF=2

18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

延长AD至H交BC于H; BD=DC;

所以: ∠DBC=∠角DCB; ∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2; ∠ABC=∠ACB;

所以: AB=AC;

三角形ABD全等于三角形ACD;

∠BAD=∠CAD; AD是等腰三角形的顶角平分线 所以: AD垂直BC

19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA

因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB

所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA

因为∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA

20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

证明： 做BE的延长线，与AP相交于F点， ∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形 在三角形P

D

A C

B

F

A E D

C

B

PEDCBA4/9 ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB， ∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

证明：在AB上找点E，使AE=AC ∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD ∴△ADE≌△ADC。DE=CD，∠AED=∠C ∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠EDB=2∠B

22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．

解答：解：（1）连接BE，DF． ∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA， ∴DE=BF． ∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF；

（2）连接BE，DF． ∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

∴DE=BF． ∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF．

23．（7分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

（1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

(1)DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE，所以△AED≌△EBC。

（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。

24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：BD=2CE．

证明：延长BA、CE，两线相交于点F OEDCBAFEDCBADCBA∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF和△BEC中 ∠FBE=∠CBE, BE=BE,

∠BEF=∠BEC ∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE

∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在△ABD和△ACF中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD≌△ACF(ASA)

∴BD=CF ∴BD=2CE

25、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求证：AM是△ABC的中线。

证明： ∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM

∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线.

27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。

三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

证明：在△ABD与△ACD中AB=AC BD=DC AD=AD

∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF

∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC

29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

因为AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF 因为 角DCB=角ABF AB=DC

BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.