全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形证明经典 50 题（含答案）

1. 已知： AB=4， AC=2， D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD

A

B C

D

延伸 AD 到 E,使 DE=AD,

则三角形 ADC全等于三角形 EBD

即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中 ,AB-BE

即:10-2<2AD<10+2 4

又 AD 是整数 ,则 AD=5 1

2. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90°，求证： CD AB

2

A

D

C B

3. 已知： BC=DE，∠ B=∠ E，∠ C=∠ D， F 是 CD中点，求证：∠ 1=∠ 2

A

1 2

B E

C F D

证明：连结 BF 和 EF。由于 BC=ED,CF=DF,∠ BCF=∠ EDF。因此 三角形 BCF 全等于三角形 EDF(边角边 )。因此 BF=EF,∠ CBF=∠ DEF。连结 BE。在三角形BEF中 ,BF=EF。因此 ∠ EBF=∠ BEF。又由于 ∠ ABC=∠AED。因此 ∠ABE=∠AEB。因此 AB=AE。在三角形 ABF 和三角形 AEF中， AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ ABE+∠ EBF=∠ AEB+∠ BEF=∠ AEF。因此 三角形 ABF 和三角形 AEF全等。因此 ∠ BAF=∠ EAF (∠ 1=∠ 2)。

A

4. 已知：∠ 1=∠ 2， CD=DE， EF//AB，求证： EF=AC 1 2

证明：过 E 点，作 EG//AC，交 AD 延伸线于 G 则∠ DEG=∠ DCA， F

∠DGE=∠ 2又 ∵CD=DE∴ ⊿ADC≌ ⊿ GDE （ AAS ）

∴EG=AC∵ EF//AB∴∠ DFE=∠ 1∵ ∠ 1=∠ 2∴ ∠ DFE=∠ DGE∴ EF= C

EG∴ EF=AC D

E

B

5. 已知： AD 均分∠ BAC， AC=AB+BD，求证：∠

B=2∠C A

C

B D

证明：在 AC上截取

AD=AD∴ ⊿ AED≌ ⊿ ABD

AE=AB，连结

（ SAS

ED∵ AD

）

均分 ∠ BAC∴ ∠

∴ ∠ AED=∠ B

EAD=∠ BAD 又 ∵ AE=AB，

， DE=DB∵ AC=AB+BD

AC=AE+CE∴ CE=DE∴ ∠ C=∠ EDC∵

∠ AED=∠ C+∠ EDC=2∠ C∴∠ B=2∠

C

6. 已知： AC 均分∠ BAD，CE⊥ AB，

∠ B+∠ D=180° ，求证：

AE=AD+BE

证明： 在 AE 上取 F，使 EF＝ EB，

连结 CF 由于 CE⊥AB 因此 ∠CEB＝

∠ CEF＝ 90 °由于 EB＝ EF， CE＝ CE，

所 以 △CEB≌△CEF 所 以 ∠B ＝

∠ CFE 由于 ∠ B＋ ∠ D＝ 180 ，°∠CFE

＋ ∠ CFA＝ 180° 因此 ∠ D＝ ∠ CFA 由于 AC 均分 ∠ BAD

因此 ∠ DAC＝ ∠ FAC 又由于 AC＝ AC

因此 △ ADC≌ △ AFC（ SAS） 因此 AD＝ AF 因此 AE＝ AF＋ FE＝ AD＋ BE

12. 如图，四边形 ABCD 中， AB∥ DC， BE、 CE 分别均分∠ ABC、∠ BCD，且点 E 在 AD 上。求证： BC=AB+DC。

证明 :在 BC 上截取 BF=BA,连结 EF∠. ABE=∠ FBE,BE=BE,则

⊿ ABE≌ FBE(SAS),∠EFB=∠ A;AB 平行于 CD,

则 :∠ A+∠ D=180°;又∠ EFB+∠ EFC=180°,则∠ EFC=∠ D;又

∠ FCE=∠ DCE,CE=CE,故 ⊿ FCE≌ DCE(AAS),FC=CD所.

以 ,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知： AB//ED ，∠ EAB=∠ BDE， AF=CD， EF=BC，求证：∠ F=∠ C

AB//ED,AE//BD 推出 AE=BD, E D

又有 AF=CD,EF=BC

因此三角形 AEF 全等于三角形 DCB，

F C

因此 :∠ C=∠ F

A B

14. 已知： AB=CD，∠ A=∠ D，求证：∠ B=∠C

证明：设线段 AB,CD 所在的直线交于 E，（当 AD

A D 是射线 BA,CD的交点，当 AD>BC时，E 点是射线 AB,DC的交点）。

则：△AED 是等腰三角形。 因此：AE=DE而 AB=CD因此：BE=CE

(等量加等量， 或等量减等量） 因此：△ BEC是等腰三角形因此：

角 B=角 C.

B C

15. P 是∠ BAC均分线 AD 上一点， AC>AB，求证： PC-PB

C 作 B 对于 AD 的对称点 B‘，由于 AD 是角 BAC的均分线， B'

在线段 AC 上（在 AC 中间，由于 AB 较短）由于

PC

A PC-PB

D P

B

16. 已知∠ ABC=3∠ C，∠ 1=∠ 2， BE⊥ AE，求证： AC-AB=2BE ∠ BAC=180-（ ∠ ABC+∠ C=180-4∠C

∠ 1=∠ BAC/2=90-2 ∠ C

∠ ABE=90-∠ 1=2∠C

延伸 BE交 AC于 F

由于， ∠ 1 =∠2， BE⊥ AE

因此， △ ABF 是等腰三角形

AB=AF,BF=2BE∠ FBC=∠ABC-∠ ABE=3∠ C-2∠ C=∠ CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE 17. 已知， E 是 AB 中点， AF=BD， BD=5， AC=7，求 DC

D 作 AG∥ BD 交 DE 延伸线于 G

AGE全等 BDE

C AG=BD=5AGF∽ CDF

F AF=AG=5

A

B 因此 DC=CF=2

E

18．（ 5 分）如图，在△ ABC中， BD=DC，∠ 1=∠2，求证： AD⊥ BC．

延伸 AD 至 H 交 BC于 H;BD=DC;

因此 :∠ DBC=∠ 角 DCB;∠ 1=∠ 2;

∠ DBC+∠1=∠ 角 DCB+∠ 2;∠ ABC=∠ ACB;

因此 :AB=AC;

三角形 ABD 全等于三角形 ACD;

∠ BAD=∠ CAD;AD 是等腰三角形的顶角均分线因此 :AD 垂直 BC

19．（ 5 分）如图， OM 均分∠ POQ， MA⊥ OP,MB⊥ OQ，A、B 为垂足， AB 交 OM 于点 N．

求证：∠ OAB=∠ OBA

由于 AOM 与 MOB 都为直角三角形、共用 OM，且 ∠ MOA=∠MOB

因此 MA=MB 因此 ∠ MAB=∠ MBA

由于 ∠ OAM=∠OBM=90 度

因此 ∠ OAB=90-∠MAB ∠ OBA=90-∠ MBA 因此 ∠ OAB=∠ OBA

20．（ 5 分）如图，已知 AD∥ BC，∠ PAB的均分线与∠ CBA 的均分线订交于 E， CE的连线交

AP 于 D．求证： AD+BC=AB．

证明：做 BE的延伸线，与 AP 订交于 F 点，

P C ∵ PA//BC∴ ∠ PAB+∠ CBA=180 ，°

E

又 ∵ ，AE， BE均为 ∠ PAB和 ∠ CBA的角均分线

D ∴ ∠ EAB+∠EBA=90 ∴∠° AEB=90 ，°EAB 为直角三角形在三角形 ABF 中，

AE⊥ BF，且 AE 为 ∠FAB 的角均分线

A B ∴ 三角形 FAB为等腰三角形， AB=AF,BE=EF在三角形 DEF与三角形

BEC

中，∠ EBC=∠ DFE,且 BE=EF，∠ DEF=∠ CEB，∴三角形 DEF与三角形 BEC

为全等三角形， ∴ DF=BC∴ AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．（ 6 分）如图，△

A

ABC中， AD 是∠ CAB 的均分线，且 AB=AC+CD，求证：∠ C=2∠B

证明：在 AB 上找点 E，使 AE=AC∵ AE=AC，∠ EAD=∠ CAD，

AD=AD∴ △ ADE≌ △ ADC。DE=CD， ∠AED=∠ C∵ AB=AC+CD，

∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE∠B=∠ EDB∠C=∠B+∠ EDB=2∠ B

C

D B