黄冈市高二数学上学期期末考试试题文

湖北省黄冈市2023年数学高二上期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆2211612x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离为6，N 是1MF 的中点，则ON =（ ）A.1B.2C.3D.42．已知点()2,4P -在抛物线()220y px p =>的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A.()0,2 B.()0,4 C.()2,0D.()4,03．给出下列结论：①如果数据12n x x x ，，，的平均数为3，方差为0.2，则12353535n x x x +++，，，的平均数和方差分别为14和1.8；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1．③对A 、B 、C 三种个体按3：1：2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30．则正确的个数是（）. A.3 B.2 C.1D.04．已知双曲线的两个焦点()10F ，)2F ，P 是双曲线上一点，且12PF PF ⊥，122PF PF ⋅=，则双曲线的标准方程是（）A.22123x y -= B.22132x y -= C.2214y x -=D.2214x y -= 5．已知{}n a 是公差为3的等差数列.若1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前10项和10S =（ ） A.165 B.138 C.60D.306．已知直线20ax y a --+=与圆22450x y x +--=相交于A ，B 两点，则AB 的取值范围为（ ）A.3,25⎡⎤⎣⎦B.4,25⎡⎤⎣⎦C.[]4,6D.25,6⎡⎤⎣⎦7．在空间直角坐标系中，点()2,1,3A -关于Oxy 平面的对称点为B ，则OA OB ⋅=（ ） A.－4 B.－10 C.4D.108．如图，是函数()y f x =的部分图象，且关于直线2x =对称，则（）A.()()()123f f f '''<<B.()()()132f f f '''=<C.()()()123f f f '''>>D.()()()132f f f '''=>9．已知两条直线1l ：()120x m y ++-=，2l ：240mx y ++=，且12l l ∥，则m 的值为( ) A.－2 B.1 C.－2或1D.2或－110．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{a n }中，12a =，公和为5，则18=a （ ） A.2 B.﹣2 C.3D.﹣311．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44S =-，50S =，则1a =（） A.8- B.4- C.4D.812．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，公差为d ，890a a +>，90a <，则下列结论不正确的是（） A.0d <B.当8n =时，n S 取得最大值C.45180a a a ++<D.使得0n S >成立的最大自然数n 是15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省黄冈中学2008-2009学年度高二数学上学期期末考试试题（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．给出下列命题：①平行于同一平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两条直线互相平行； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行．其中真命题的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．已知a 、b ∈R ，若|a+b |=1，则下列各式中成立的是 （ ）A ．|a |+|b |≥1B ．|a |+|b |≤1C ．|a |+|b |>1D ．|a |+|b |<13．如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 分别为正方体相应棱的中点， 对于直线AB 、CD 、EF ，下列结论正确的是 （ ） A ．AB ∥CDB ．AB 与CD 相交C ．AB 与CD 异面 D ．CD 与EF 异面4．已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y=x 对称，则圆C 的方程是 （ ）A ．22(1)1x y ++=B ．22(1)1x y ++=C ．221x y +=D ．22(1)1x y +-=5．若直线1:2(1)40l x m y +++=与2:320l mx y +-=平行，则m 的值为 （ ）A ．2B ．3-C ．3-或2-D ．3-或26．对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得( )A ．,a b αα⊂⊂B ．,a b αα⊥⊥C ．,//a b αα⊂D ．,a b αα⊂⊥7．若P 为双曲线22197x y -=右支上的一点，且P 到右焦点的距离为6，则P 到左准线的距离AEB DFC（ ）A ．274B ．163C ．16D ．98．曲线221259x y +=和曲线221(925)259x y k k k+=<<--的 （ ）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．准线相同D ．焦点到准线距离相等9．下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）① ② ③ ④ A ．①、② B ．①、③ C ． ②、③D ．②、④10．已知椭圆15922=+y x ，过其右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，线段 AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则=AB NF ：（ ）A ．13B ．23C ．12D ．14二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案写在横线上. 11．过点(2,2)P 的抛物线的标准方程是____________.12．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+01y x y y x ，则y x z +=2的最大值是 _________．13．若双曲线221mx y -=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于 . 14．设抛物线24x y =的焦点为F ，经过点(1,2)P 的直线与抛物线交于A 、B 两点，又知点PA D M CA MBNPAM BNPA MN PPA MBN恰好为AB 的中点，则AF BF +的值是 .15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与方向向量为)6,6(=k 的直线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为（4，1），则该双曲线的渐近线方程是 .答题卡三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 16．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，（Ⅰ）求异面直线1CD 与1BC 所成的角的大小； （Ⅱ）求证：1DB ⊥1BC ．17．（本小题满分12分）将直线515y x =-+绕着它与x 轴的交点按逆时针方向旋转θ角后，恰好与圆22x y +4280x y ++-=相切，求旋转角θ的最小值．ABDC A 1D 1 C 1B 118．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明：P A ∥平面EDB ； （Ⅱ）证明：DE ⊥平面PBC ．19．（本小题满分12分） 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准线间的距离为1，1F 、2F 是双曲线的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N的一点，且直线PM 、PN 的斜率PM k 、PN k 均存在，求PN PM k k ⋅的值．PADCBE20．(本小题满分13分)已知点(1,0)F ，直线l ：1x =- 交x 轴于点H ，点M 是l 上的动点，过点M 垂直于l 的直线与线段MF 的垂直平分线交于点P ． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若 A 、B 为轨迹C 上的两个动点，且4,OA OB ⋅=- 证明直线AB 必过一定点， 并求出该定点．21．（本小题满分14分）如图，设抛物线214C y mx =：(0)m >的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的一个交点为P . （Ⅰ）当1m =时，求椭圆的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，经过点2F 的直线l 与抛物线1C 交于12A A 、，如果以线段12A A 为直径作圆，试判断抛物线1C 的准线与椭圆2C 的交点1B （如图）与圆的位置关系； （Ⅲ）是否存在实数m ，使得△12PF F 的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m ；若不存在，请说明理由．答案1．B ①和③的两直线还可以异面或相交 2．A |a |+|b |≥|a+b |=13．C因为ED 与CF 平行，所以CD 与EF 共面；易知A 、 B 答案是错误的4．D 已知圆心的坐标(1,0)关于直线y=x 的的对称点为(0,1)，所以圆C 的方程为D 5．3-或2 当0m =时，易知1l 、2l 两直线不平行；当0m ≠时，由21432m m +=≠-可得 6．C 若a 和b 空间两条不相交的直线，则a 和b 或平行，或异面．答案A 要求a 和b 一定共面；答案B 要求a 和b 一定平行；答案D 要求a 和b 一定垂直．7．D3, 4.a b c ==于是P 到左焦点的距离为12，124.3d ∴=即9d = 8．A Q 曲线90k -<，∴221(925)259x y k k k +=<<--表示双曲线221259x y k k-=--．此时焦距28c ==．而曲线221259x y +=表示椭圆，此时焦距28c ===．9．B 在①中NP 平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行AB ，所以//AB 平面MNP ；在②中设过B 且垂直于上底面的棱与上底面交点为C ，则由//NP CB ，//MN AC 可知平面MNP //平行平面ABC ，即//AB 平面MNP ．10．A 因为答案唯一确定，可考虑特殊情形：过右焦点F 与x 轴重合的直线交椭圆于A 、B两点，此时，A 、B 两点分别为椭圆长轴的两个端点，线段 AB 的垂直平分线与x 轴的交点N 即是坐标原点O ，212233c NF AB a ===⨯： 11．22y x =或22x y =12．2 画图即知当动直线2x y t +=过点(1,0)P 时，y x z +=2取最大值213．4 221,1a b m ==， 2b a =，224b a ∴=，即114m=，4.m = 14．6 过A 、B 两点分别作抛物线准线的垂线，设垂足分别为1A 、1B ，由抛物线定义知AF BF +=1112426AA BB y y p +=++=+=15．12y x =± 设弦的两个端点分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ，分别代入双曲线方程作差得到2222212122x x y y a b --=．2212122121.y y x x b x x a y y -+∴=-+由题设知直线的斜率为1，所以2214.b a=故221,4b a =即1,2b a =±从而渐近线方程是12y x =±16．解：（Ⅰ）如图，连结1AC 、1A B ，BE CN ，11A BC ∴∠为异面直线1CD 与1BC 所成的角．因为11A BC ∆为等边三角形，所以11A BC ∠=60þ．故异面直线1CD 与1BC 所成的角等于60þ． 证明：（Ⅱ） 连结1B C ，由正方形的性质知11.BC B C ⊥ 由ABCD —A 1B 1C 1D 1正方体可知DC ⊥平面1BC ，即直线1B C 是直线1DB 在平面1BC 内的射影，所以1DB 与1BC 垂直．17．解：因为直线与x 轴的交点（3，0），所以设切线方程为(3)y k x =-，又已知圆的圆心(2,1)--=23k =-，和3,2k = 由题设可知应取2.3k =- 由到角公式知253tan 11013θ-+==+，故旋转角θ的最小值ABDC A 1D 1 C 1B 1为4π．18．证明：（Ⅰ）连结AC ，设AC ∩BD =O ，连结EO ，∵四边形ABCD 为矩形，∴O 为AC 的中点．∴OE 为△P AC 的中位线． ∴P A ∥OE ，而OE ⊂平面EDB ，P A ⊄平面EBD ， ∴P A ∥平面EDB . ……………6分（Ⅱ）∵PD ⊥平面AC ，BC ⊂平面AC ，∴BC ⊥PD ，而BC ⊥CD ，PD ∩CD =D. ∴BC ⊥平面PDC . ∵DE ⊂平面PDC , ∴BC ⊥DE . ① 又∵PD=DC ， E 是PC 的中点， ∴DE ⊥PC ． ②由①、②可知DE ⊥平面PBC . ……………12分19．解：（Ⅰ）依题意有：222221,.ba a c abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得3,122==b a ．∴双曲线方程为1322=-y x ．………6分 (Ⅱ)解法一：设),(00y x M ，由双曲线的对称性，可得),(00y x N --． 设),(P P y x P ，则222020000x x y y x x y y x x y y k k P P P P P P PNPM --=++⋅--=⋅， 又13202=-y x ，∴332020-=x y ．同理3322-=P P x y ， ∴3333322202=-+--=⋅x x x x k k P P PN PM ． ………………12分(Ⅱ)解法二：设直线l 方程为(3)y kx k =≠，代入双曲线方程，并整理得22(3)30.k x --=设1122(,),(,)M x y N x y ，则1212230,3x x x x k -+==-；21223,3k y y k -=- 120.y y += 又设),(P P y x P ，则21212122121212()()P P P P PM PNP P P P y y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x x ---++⋅=⋅=---++222223333 3.3P P k x kx k-+--==+-20． 解：（Ⅰ）连结PF ，依题意有PM PF =，所以点P 的轨迹以F （1，0）为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线，即点P 的轨迹C 的方程24y x =． ……6分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为2,4x ty b y x =+=代入抛物线消去x ，得21122440.(,),(,)y ty b A x y B x y --=设，则124y y t += ，124.y y b =-2212121212121212()()()OA OB x x y y ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+=+++=++++=b b b b bt bt 44442222-=-++-．令244, 2.b b b -=-∴=，∴直线AB 过定点（2，0）．……13分21.解：（Ⅰ）设椭圆长半轴为a ，半焦距为c ，当1m =时，1(1,0)F -，2(1,0)F . ∵11,2c e ==，∴2222,3a b a c ==-= 故椭圆方程为22 1.43x y += ………………………4分 （Ⅱ）依题意设直线l 的方程为：1x ky =+，k ∈R将1x ky =+代入24y x =得2440y ky --=.设111222(,),(,)A x y A x y ，由韦达定理得12124,4y y k y y +==-.易知点1B 的坐标是3(1,)2-, ∵1111122233(1,),(1,)22B A x y B A x y =+-=+-,∴221122121212123993()1()464().2444B A B A x x x x y y y y k k k ∙=++++-++=-+=-当k ∈R,总有11120B A B A ∙≥,即点1B 在圆上或圆外.(也可利用先抛物线的定义证明圆与抛物线的准线相切，后说明点与圆的位置关系；或利用弦长公式求半径与点1B 到圆心的距离比较大小)……………………9分 （Ⅲ）假设存在满足条件的实数m ， 由题设有12,2,2c m a m F F m ===. 又设1122,PF r PF r ==，有1224r r a m +==设00(,)P x y ，对于抛物线1C ，20r x m =+；对于椭圆2C ，22012r e a x c ==-，即201(4)2r m x =-. 由001(4)2x m m x +=- 解得 023x m =, ∴253r m =, 从而 173r m =.因此，三角形12PF F 的边长分别是567,,333m m m .所以3m =时，能使三角形12PF F 的边长是连续的自然数. …………14分。

湖北省黄冈市2018-2019学年上学期期末考试高二数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则p 的值为（ ）A ．2B ．4C ．-2D ．-4 2. 已知命题p ：0x ∀>，总有(1)1x x e +>，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃≤，使得00(1)1x x e +≤B ．0x ∀>，总有(1)1x x e +≤C ．00x ∃>，使得00(1)1x x e +≤D ．0x ∀≤，总有(1)1x x e +≤3. 袋中装有红球3个、白球 2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个白球；至少有一个红球B ．至少有一个白球；红、黑球各一个C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；都是白球4. 中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗歌默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．65.方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A ．30m -<< B ．32m -<< C.34m -<< D ．13m -<< 6.水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以6/m s 的速度向外扩大，则从水滴接触水面后2s末时圆面积的变化速率为（ ）A ．24π 2/m sB ．36π 2/m s C. 72π 2/m s D ．144π 2/m s 7.过抛物线2y x =焦点的直线与该抛物线交于A ，B 两点，若4AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ） A ．74 B ．94 C ．4 D ．28.已知()'(1)ln f x f x x =+，则()f e =（ ）A ．1e +B ．e C.2e + D ．39. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为4，2，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 10.2()()f x x x c =-在2x =处有极小值，则常数c 的值为（ ）A ．2B ．6 C.2或6 D ．111.'()f x 为定义在R 上的函数()f x 的导函数，而'()3f x y =的图象如图所示，则()y f x =的单调递增区间是（ ）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞-C ．(1,1)-D ．(,3)-∞12. F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于B ，若2AF FB =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2 C D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上. 13. 有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为 ．14.过点(1,1)P --向圆C ：22(1)(1)1x y -+-=作两条切线，切点分别为A ，B ，则过点P ，A ，C ，B 四点的圆的方程为 ．15.如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm ）检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为 ．16.古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构，当横梁的长度一定时，其强度与宽成正比，与高的平方成正比（即强度k =⨯宽⨯高的平方）.现将一圆柱形木头锯成一横梁（长度不变），当高与宽的比值为 时，横梁的强度最大.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题p ：方程2222220x y mx m m +-+-=表示圆；命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率(1,2)e ∈，若命题“()p q ⌝∧”为真命题，求实数m 的取值范围.18.为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：已知x 和y 具有线性相关关系.（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润z 取到最大值？（保留一位小数）参考数据及公式：51()()12.3i i i x x y y =--=-∑，5221510i i x x =-=∑，121()()()n iii nii x x y y b x x ==--=-∑∑1221()ni ii nii x y nx yxnx==-=-∑∑，a y bx =-.19.已知圆C ：22(3)(4)4x y -+-=，直线l 过定点(1,0)A . （Ⅰ）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（Ⅱ）若l 与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程.（其中点C 是圆C 的圆心）20.某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120分、n 人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人.（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，现随机从中抽取2人上台抽奖.求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率；（Ⅲ）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率. 21.已知函数ln ()x f x x =，()(ln )2axg x x x =-.()a R ∈ （Ⅰ）求()y f x =的最大值；（Ⅱ）若1a =，判断()y g x =的单调性； （Ⅲ）若()y g x =有两个零点，求a 的取值范围.22.已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.A 、B 是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线(0)y kx k =>与椭圆相交于E 、F 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值.湖北省黄冈市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: BCBBA 6-10: DBACA 11、12：DC 二、填空题13. 1314. 222x y +=三、解答题17．解：若命题p ：方程表示圆为真命题，则，解得．若命题q ：双曲线的离心率，为真命题，则，解得．命题“”为真命题，则p 为假命题,q 真命题，，解得，综上可得：实数m 的取值范围是．18．解：（Ⅰ）可计算得5,3==--y x ， ∴23.1-=∧b ，8.69a yb x ∧-∧-=-=，∴y 关于x 的线性回归方程是 1.238.69y x ∧=-+，（Ⅱ）年利润2(2) 1.23 6.69z x y x x =-=-+， 其对称轴为7.246.269.6≈=x ，故当年产量约为2.7吨时，年利润z 最大. 19．解：（Ⅰ）直线l 无斜率时，直线l 的方程为1=x ，此时直线l 和圆C 相切，直线l 有斜率时，设方程为0)1(=--⇒-=k y kx x k y ，利用圆心到直线的距离等于半径得：4321k 432=⇒=+--=k k k d ，直线方程为3344y x =-，故所求直线方程为x=1或3x-— 4y=3. （Ⅱ）CPQ ∆面积最大时，090PCQ ∠=，22221=⨯⨯=S ， 即CPQ ∆是等腰直角三角形，由半径2=r 得：圆心到直线的距离为2， 设直线l 的方程为：0)1(=--⇒-=k y kx x k y ，1721422或=⇒=+-=k k k d ，直线方程为：77-=x y ，1-=x y .20.解：（Ⅰ）由题意得620120120120n=++，解得160n =， （Ⅱ）从高二代表队6人中随机抽取2人的所有基本事件如下： (a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)(a,f)、(b,c)(b,d)(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)共15种；设“高二代表队中a 和b 至少有一人上台抽奖”为事件M ，其中事件M 的基本事件有9种.则53159)(==M P .（Ⅲ）由已知，可得0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，点(,)x y 在如图所示的正方形OABC 内，由条件2100101x y x y --≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，得到区域为图中的阴影部分. 由210x y --=，令0y =得12x =，令1y =得1x =. ∴113(1)1224S =⨯+⨯=阴. 设“该运动员获得奖品”为事件N ，则其概率43)(=N P .21.解：（Ⅰ）f ′(x)＝1－ln xx 2（x ＞0）， 当x ∈(0，e)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减， 所以当x ＝e 时，f (x)取得最大值f (e)＝1e．（Ⅱ）a=1,ln 1,0g x x x x '=-+>（）,令()ln 1,0G x x x x =-+>，1()1G x x'=-，当01,0x G G x '<<>，（）单调递增， 当1,0()x G G x '><，单调递减，max ()(1)0G x G ∴==,即ln 1x x ≤-，()0g x '∴≤.故()(ln )2xy g x x x ==-在x>0时单调递减.（III ）0,()ln 2ax x h x x >=-令 g(x)有两个零点等价于h （x ）有两个零点，2ln x a x ∴=由（1）知max 2ln 2()x x e =，由2ln ()x m x x =图像可知20a e<<.22.解析（Ⅰ）由题意知：＝ ∴，∴224a b =.又∵圆222x y b +=与直线0x y -=相切， ∴1b =，∴24a =， 故所求椭圆C 的方程为.（Ⅱ）设1122()()E x kx F x kx ，，，，其中12x x <， 将y kx =代入椭圆的方程整理得：22(4)4k x +=，故．①又点E F ，到直线AB 的距离分别为，．所以四边形AEBF 的面积为≤当24(0)k k =>，即当2k =时，上式取等号． 所以当四边形AEBF 面积的最大值时，k =2.。

2015年秋季高二期末考试数学试题（文科）一、选择题 DDA DB BCCBC DC二、填空题13．16 14．13a -≤≤ 15．6 16．① ④ 三、17．（1）检测数据的频率分布直方图如图：……………5分（2）检测数据中醉酒驾驶的频率是210.1520+= ……………6分 估计检测数据中酒精含量的众数是35与55． ……………8分 估计检测数据中酒精含量的平均数是0.01510250.02010350.00510450.0201055⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.01010650.01510750.01010850.005109555+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………10分18．试题解析：由22430x ax a -+<，得(3)()0x a x a --<，又0a >， 所以3a x a <<． ……………2分由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩得2324x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或得23x <≤， ……………4分 p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p q ⌝⇒⌝，且q ⌝推不出p ⌝．即q 是p 的充分不必要条件， ……………6分 则332a a >⎧⎨≤⎩， ……………10分解得12a <≤，所以实数a 的取值范围是12a <≤． ……………12分19．（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为123x x x 、、，后三次成绩依次记为123y y y 、、，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：121323{,},{,},{,},x x x x x x 121323{,},{,},{,},y y y y y y 111213{,},{,},{,},x y x y x y 212223{,},{,},{,},x y x y x y 313233{,},{,},{,}x y x y x y ，共15个 ……………3分其中可使||1a b ->发生的是后9个基本事件.故93(||1)155P a b ->==.………6分 （Ⅱ）因为着弹点若与A B C 、、的距离都超过1cm ，则着弹点就不能落在分别以A B C 、、为中心,半径为1cm 的三个扇形区域内，只能落在扇形外. ……………7分因为193=33sin 60,24ABC S ∆⨯⨯=o ……………8分 部分的面积为2193312342ABC S S ππ∆'=-⨯⨯⨯=-， ……………10分 故所求概率为23127ABCS p S π∆'==-. …………………12分 20.解：设小正方形的边长为x cm ，则盒子底面长为（82x -）cm ，宽为（52x -）cm,32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+,()x <<502 …………… 4分210125240,0,1().3V x x V x x ''=-+===令得或舍去 ……………6分(1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值， ……………8分max V ∴=18 ……… 10分 即小正方形边长为1cm 时，盒子容积最大为cm 318 …………… 12分 21（1）由题意知324=>=+∴AC AQ CQ 由椭圆定义知Q 点的轨迹是椭圆……2分14:,3322,2,4222=+∴====y x E Q c c a a 的轨迹方程即即 ……………4分（2）由题意知所求的直线不可能垂直于x 轴，所以可设直线为：kx y =－2…………5分),(),,(2211y x N y x M ，联立方程组，将kx y =－2代入中得1422=+y x22)41(x k +－.430,012162>>∆=+k kx 得2212214112,4116k x x k k x x +=+=+∴……8分 ⋅⋅=∆OB S OMN21Θ又1x －2x =22212214k 1－344－4)(+=+k x x x x =1.……………10分 ∴7,0.2k =±∆>即显然满足x y 27±=∴所求的直线方程为－2.……………12分 （也可以用d MN S OMN .21⋅=∆来求，可以酌情給分。

湖北省黄冈市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知抛物线2y =2px 的准线方程是2x =-，则p 的值为（ ）A ．2B ．4C ．-2D ．-4 2．已知命题p ：0x ∀>，总有()11x x e +>，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃≤，使得()0011x x e +≤B ．00x ∃>，使得()0011x x e +≤C ．0x ∀>，总有()11x x e +≤D ．0x ∀≤，使得()11xx e +≤ 3．袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红､黑球各一个 4．中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．25．方程22123+=-+x y m m 表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A ．－3＜m ＜0B ．－3＜m ＜2C ．－3＜m ＜4D ．－1＜m ＜36．水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以6/m s 的速度向外扩大，则从水滴接触水面后2s 末时圆面积的变化速率为（ ）A ．24π 2/m sB ．36π 2/m sC ．72π 2/m sD ．144π 2/m s 7．过抛物线2y x =焦点的直线与该抛物线交于A ，B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ） A ．74 B ．94 C ．4 D ．28．已知()()1ln f x f x x =+'，则()f e =（ ）A ．1e +B ．eC ．2e +D ．39．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．910．2()()f x x x c =-在2x =处有极小值，则常数c 的值为（ ）A ．2B ．6C ．2或6D ．1 11．'()f x 为定义在R 上的函数()f x 的导函数，而'()3f x y =的图象如图所示，则()y f x =的单调递增区间是（ ）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞-C ．(1,1)-D ．(,3)-∞12．设F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则双曲线C 的离心率是（ ）AB ．2C ．3D ．3二、填空题13．有3个兴趣小组，甲､乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______．14．过点(1,1)--P 向圆C ：22(1)(1)1x y -+-=作两条切线，切点分别为A ，B ，则过点P ，A ，C ，B 四点的圆的方程为__________．15．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：)mm 检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为______．16．古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构，当横梁的长度一定时，其强度与宽成正比，与高的平方成正比（即强度k =⨯宽⨯高的平方）.现将一圆柱形木头锯成一横梁（长度不变），当高与宽的比值为__________时，横梁的强度最大.三、解答题17．已知命题p ：方程2222220x y mx m m +-+-=表示圆；命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率(1,2)e ∈，若命题“()p q ⌝∧”为真命题，求实数m 的取值范围.18．为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：已知x 和y 具有线性相关关系.（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润z 取到最大值？（保留一位小数） 参考数据及公式：51()()12.3i i i x x y y =--=-∑，5221510i i x x =-=∑，121()()()n i i i n ii x x y y b x x ==--=-∑∑1221()n i ii n i i x y nxy x nx ==-=-∑∑，a y bx =-. 19．已知圆C ：()()22344x y -+-=，直线l 过定点1,0A ．（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．20．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为160人、120人、n 人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人到前排就坐，其中高二代表队有6人.（1）求n 的值；（2）把到前排就坐的高二代表队6人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，现随机从中抽取2人上台抽奖.求a 或b 没有上台抽奖的概率.（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[]0,1之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率.21．已知函数ln ()x f x x=，()(ln )2ax g x x x =-.()a R ∈ （Ⅰ）求()y f x =的最大值；（Ⅱ）若1a =，判断()y g x =的单调性；（Ⅲ）若()y g x =有两个零点，求a 的取值范围.22．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切.A 、B 是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线(0)y kx k =>与椭圆相交于E 、F 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值.参考答案1．B【解析】抛物线2y =2px 的准线方程是22p x =-=-， 所以4p =.故选B.2．B【分析】本题可直接利用全称命题的否定是特称命题来得出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，命题p ：0x ∀>，总有()11xx e +>， 所以p ⌝：00x ∃>，使得()0011x x e +≤， 故选：B .【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，考查推理能力，是简单题.3．D【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解【详解】解：对于A ，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A 不是互斥的；对于B ，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C ，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥； 对于D ，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立， 故选：D【点睛】此题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题.4．C【解析】【分析】有茎叶图，找出获得“诗词能手”的称号的学生人数，求得概率，再利用分层抽样求得答案.【详解】由茎叶图可得，低于85分且不低于70分的学生共有16人， 所以获得“诗词能手”的称号的概率为：162405= 所以分层抽样抽选10名学生，获得“诗词能手”称号的人数为：21045⨯= 故选C【点睛】本题考查了茎叶图以及分层抽样，属于基础题.5．A【解析】由题意知，()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.6．D【解析】由题意可知，水滴接触水面后半径R 与时间t 的关系为6R t =，则圆的面积()222636S R t t πππ==⨯=，对时间求导可得：'72S t π=，令2t =可得2s 末时圆面积的变化速率为722144ππ⨯=2/m s .本题选择D 选项.7．B【解析】如图所示，过弦中点M 作准线的垂线'MM ，做直线102x +=的垂线''MM ， 过点,A B 作准线的垂线','AA BB ， 由梯形中位线的性质结合抛物线的定义可得：''4'2222AA BB AF BF MM ++====，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于19244+=. 本题选择B 选项.点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．8．A【解析】由函数的解析式可得：()'ln 1f x x =+，则()'1ln111f =+=，函数的解析式为：()1ln f x x x =+，()1ln 1f e e e e ∴=+=+.本题选择A 选项.9．B【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出n ，分析循环中各变量的变化情况，可得答案.【详解】当1n =时，152a =，4b =，满足进行循环的条件； 当2n =时，454a =，8b =，满足进行循环的条件； 当3n =时，1358a =，16b =，满足进行循环的条件； 当4n =时，40516a =，32b =，不满足进行循环的条件； 故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，解题的关键是读懂流程图各个变量的变化情况，属于基础题. 10．A【解析】函数()()2f x x x c =-，∴()22'34f x x cx c =-+， 又()()2f x x x c =-在x =2处有极值，∴f ′(2)=12−8c +2c =0，解得c =2或6，又由函数在x =2处有极小值，故c =2，c =6时,函数()()2f x x x c =-在x =2处有极大值，故选：A.点睛：已知函数的极值点0x x =求参数的值时，可根据()00f x '=建立关于参数的方程（组），通过解方程（组）得到参数的值后还需要进行验证，因为“()00f x '=”是“0x x =为极值点”的必要不充分条件，而不是等价条件，因此在解答此类问题时不要忘了验证，以免产生增根而造成解答的错误．11．D【解析】由函数的解析式可得：当3x <时，()()'31,'0f x f x ≥∴≥，函数()f x 单调递增；当3x >时，()()'31,'0f x f x <∴<，函数()f x 单调递减；综上可得：()y f x =的单调递增区间是(),3-∞. 本题选择D 选项. 12．C 【分析】设一渐近线OA 的方程为b y x a=，设(,)b A m m a ，(,)bnB n a -，由2AF FB =，求得点A 的坐标，再由FA OA ⊥，斜率之积等于1-，求出223a b ，代入ce a==【详解】解：由题意得右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为by x a=， 则另一渐近线OB 的方程为by x a=-， 设(,)bm A m a ，(,)bnB n a-， 2AF FB =， 2(c m ∴-，)(bm n c a -=-，)bna-， 2()c m n c ∴-=-，2bm bna a-=-， 34m c ∴=，32c n =，33,44c bc A a ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，由FA OA ⊥可得，斜率之积等于1-，即304134bcb ac a c -=--， 223a b∴=，c e a ∴==== 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A 的坐标是解题的关键，属于中档题．13．13【解析】试题分析：由题意可知：31333P ==⨯. 考点：随机事件的概率. 14．222x y += 【解析】圆()()22:111C x y -+-=的圆心为(1,1)，半径为1， 由直线与圆相切知，,PA AC PB BC ⊥⊥,所以过点,,,P A C B 四点的圆的直径为PC ，PC 的中点为圆心，即圆心为(0,0).2PC r ===.所以r =过点,,,P A C B 四点的圆的方程为222x y +=. 故答案为222x y +=. 15．22.5 【解析】根据频率分布直方图，得； ∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5， 0.3+0.08×5=0.7>0.5； ∴中位数应在20∼25内， 设中位数为x ，则 0.3+(x −20)×0.08=0.5， 解得x =22.5；∴这批产品的中位数是22.5. 故答案为22.5.点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法： ①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； ③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.16 【解析】设直径为d ,如图所示,设矩形横断面的宽为x ,高为y .由题意知,当xy 2取最大值时,横梁的强度最大.∵222y d x =-，∴()222(0)xy x d xx d =-<<.令()()22(0)f x x d xx d =-<<，得()22'3f x d x =-,令()'0f x =，解得3x d =或x =(舍去).当0x <<,f ′(x )>0;x d <<时,f ′(x )<0，因此,当x =时,f (x )取得极大值，也是最大值．∴,yy x=∴=17．[)215，. 【解析】 试题分析：若命题p 为真命题，则222()20x m y m m -+=->，解得02m <<．若命题q()12，，解得015m <<． 命题“p q ⌝∧”为真命题，则p 为假实数m 的取值范围是[)215，． 试题解析：若命题p ：方程2222220x y mx m m +-+-=表示圆为真命题，则222()20x m y m m -+=->，解得02m <<．若命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率()12e ∈，()12，，解得015m <<．命题“p q ⌝∧”为真命题，则p 为假命题,q 真命题，02015m m m ≤≥⎧∴⎨<<⎩或， 解得215m ≤<，综上可得：实数m 的取值范围是[)215，． 18．（Ⅰ） 1.238.69y x ∧=-+；（Ⅱ）当年产量约为2.7吨时，年利润z 最大. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）结合题中的数据计算可得3,5x y ==，则 1.23b ∧=-，8.69a ∧=， ∴y 关于x 的线性回归方程是 1.238.69y x ∧=-+，（Ⅱ）结合(Ⅰ)中的结论计算可得年利润21.23 6.69z x x =-+， 由二次函数的性质可知当年产量约为2.7吨时，年利润z 最大. 试题解析：（Ⅰ）结合题中的数据计算可得3,5x y ==， ∴ 1.23b ∧=-，8.69a y b x ∧∧=-=，∴y 关于x 的线性回归方程是 1.238.69y x ∧=-+， （Ⅱ）年利润()22 1.23 6.69z x y x x =-=-+，其对称轴为 6.692.72.46x =≈，故当年产量约为2.7吨时，年利润z 最大. 点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 19．（1）1x =或3430x y --= 【分析】（1）通过直线1l 的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C 相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线1l 的方程；（2）设直线方程为kx y k 0--=，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到CPQ ∆的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程. 【详解】（1）①若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1：x ＝1，符合题意.②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为()1y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径2，即：2=，解之得34k =. 所求直线l 1的方程是1x =或3430x y --=. (2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为0kx y k --=， 则圆心到直线l 1的距离d =又∵△CPQ 的面积12S d =⨯==∴当d S 取得最大值2.∴d =∴ k＝1 或k ＝7所求直线l 1方程为 x －y －1＝0或7x －y －7＝0 .【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20．（1）160；（2）35；（3）34【解析】本题考查概率与统计知识，考查分层抽样，考查概率的计算，确定概率的类型是关键．（1）根据分层抽样可得故可求n的值；（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．解：（Ⅰ）由题意得620120120120n=++，解得160n=.…………4分（Ⅱ）从高二代表队6人中随机抽取2人的所有基本事件如下：(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)(a,f)、(b,c)(b,d)(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)共15种………………………6分设“高二代表队中a和b至少有一人上台抽奖”为事件M，其中事件M的基本事件有9种.则93()155P M==.…………………………9分（Ⅲ）由已知，可得01{01xy≤≤≤≤，点(,)x y在如图所示的正方形OABC内，由条件，得到区域为图中的阴影部分.由210x y --=，令0y =得12x =，令1y =得1x =. ∴113(1)1224S 阴=⨯+⨯= 设“该运动员获得奖品”为事件N 则该运动员获得奖品的概率……………14分21．（Ⅰ）最大值f(e)＝1e；（Ⅱ）见解析；（III ）20a e <<.【解析】 试题分析：（Ⅰ）求解导函数有f ′(x )＝21lnxx-（x ＞0），由导函数研究函数的单调性可得当x ＝e 时，f (x )取得最大值f (e )＝1e． （Ⅱ）a =1,1,0gx lnx x x =+'->（）,令()1,0G x lnx x x =-+>，则()11G x x'=-，()()10max G x G ==,则()0g x '≤.()2x y g x x lnx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在x >0时单调递减.（III ）令()2ax h x lnx =- ，原问题等价于h （x ）有两个零点，2lnx a x∴=， 结合(Ⅰ)的结论可得20a e<<.试题解析： （Ⅰ）f ′(x )＝21lnxx -（x ＞0）， 当x ∈(0，e )时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 所以当x ＝e 时，f (x )取得最大值f (e )＝1e． （Ⅱ）a =1,1,0gx lnx x x =+'->（）,令()1,0G x lnx x x =-+>， ()11G x x'=-，当01,0x G G x '<，（）单调递增， 当()1,0x G G x ，单调递减'><，()()10max G x G ∴==,即1lnx x ≤-，()0g x ∴'≤.故()2x y g x x lnx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在x >0时单调递减.（III ）()0,2axx h x lnx >=-令 g (x )有两个零点等价于h （x ）有两个零点， 2lnxa x ∴=由（1）知22max lnx x e⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由()2lnx m x x =图像可知20a e<<. 22．（Ⅰ）2214y x +=；（Ⅱ）k =2. 【解析】试题分析：（1）利用离心率和直线与圆相切以及的关系进行求解；（2）设1122()()E x kx F x kx ，，，，联立直线与椭圆方程，得到的横坐标，求出点到直线的距离，得到四边形面积关于的表达式，再利用基本不等式进行求解．试题解析：（Ⅰ）由题意知：c e a =222222c a b e a a -===34，224a b =． 又圆222x y b +=与直线0x y -+=相切，1b =，24a =，故所求椭圆C 的方程为2214y x +=．（Ⅱ）设1122()()E x kx F x kx ，，，，其中12x x <， 将y kx =代入椭圆的方程2214yx +=整理得：22(4)4k x +=，故21x x =-=．①又点E F ，到直线AB的距离分别为1h ==，2h ==，AB ==所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+12=====22，当24(0)k k =>，即当2k =时，上式取等号，所以当四边形AEBF 面积的最大值时，2k =． 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式．。

2017-2018学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题1．抛物线y=4x2的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣2．总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．A．08 B．07 C．02 D．013．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（）A．③④B．①②④C．②④D．①③④4．当输入x=﹣4时，如图的程序运行的结果是（）A．7 B．8 C．9 D．155．下列说法错误的是（）A．若“p∧q”为真，则“p∨q”为真B．“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆为真C．“若a＞b，则ac2＞bc2”的否为真D．若“￢p∨q”为假，则“p∧￢q”为真6．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（）A．154 B．153 C．152 D．1517．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0；q：x=x0是f（x）的极值点，则p是q的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充条件D．既非充分条件也非必要条件8．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A．24 B．18 C．16 D．129．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知：a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（）A．B．C．D．11．f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（）A．bf（b）≤af（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（b）≤bf（a）12．过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2二、填空题13．三进制数121化为十进制数为．（3）14．若“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假，则实数a的取值范围为．15．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=．16．以下五个关于圆锥曲线的中：①双曲线=1与椭圆=1有相同的焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆．其中真的序号为（写出所有真的序号）三、解答题17．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．18．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长为3cm 的等边三角形的三个顶点．（Ⅰ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）20．一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？21．已知两点，若一动点Q在运动过程中总满足|AQ|+|CQ|=4，O为坐标原点．（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（2）设过点B（0，﹣2）的直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积为1时，求此直线的方程．22．函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（1）如果函数g（x）单调减区间为（，1），求函数g（x）解析式；（2）在（1）的条件下，求函数y=g（x）图象过点p（1，1）的切线方程；（3）若∃x0∈（0，+∞），使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，求实数a取值范围．2015-2016学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．抛物线y=4x2的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣【分析】将抛物线化成标准方程得x 2=y ，算出2p=且焦点在y 轴上，进而得到=，可得该抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线y=4x 2化成标准方程，可得x 2=y ，∴抛物线焦点在y 轴上且2p=，得=，因此抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣．故选：D【点评】本题给出抛物线的方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程及其基本概念等知识，属于基础题．2．总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（ ）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．A ．08B ．07C ．02D ．01 【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是02，重复．可知对应的数值为08，02，14，07，01， 则第5个个体的编号为01．故选：D ．【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．3．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（）A．③④B．①②④C．②④D．①③④【分析】由茎叶图数据，求出甲、乙同学成绩的中位数，平均数，估计方差，从而解决问题．【解答】解：根据茎叶图数据知，①甲同学成绩的中位数是81，乙同学成绩的中位数是87.5，∴甲的中位数小于乙的中位数；②甲同学的平均分是==81，乙同学的平均分是==85，∴乙的平均分高；③甲同学的平均分是=81乙同学的平均分是=85，∴甲比乙同学低；④甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．∴正确的说法是③④．故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图分析数据的平均数，中位数和方差的问题，是基础题．4．当输入x=﹣4时，如图的程序运行的结果是（）A．7 B．8 C．9 D．15【分析】由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将x=﹣4，代入可得答案．【解答】解：由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，∵x=﹣4＜3，故y=（﹣4）2﹣1=15，故选：D【点评】本题考查的知识点是条件结构，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．5．下列说法错误的是（）A．若“p∧q”为真，则“p∨q”为真B．“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆为真C．“若a＞b，则ac2＞bc2”的否为真D．若“￢p∨q”为假，则“p∧￢q”为真【分析】通过对选项判断的真假，找出错误即可．【解答】解：若“p∧q”为真，则“p∨q”为真，满足的真假的判断，是正确的．“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆为：“若方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞0”，方程x2+x﹣m=0有实数根只要△=1+4m≥0，所以不一定得到m＞0，所以B错．“若a＞b，则ac2＞bc2”的否为：若a≤b，则ac2≤bc2，显然是真．若“￢p∨q”为假，则p是真，￢q是真，则“p∧￢q”为真，正确．故选：B．【点评】本题考查的真假的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力．6．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（）A．154 B．153 C．152 D．151【分析】先计算样本中心点，进而可求线性回归方程，由此可预测该学生10岁时的身高．【解答】解：由题意，=7.5，=131代入线性回归直线方程为，131=8.8×7.5+，可得=65，∴∴x=10时，=153故选B．【点评】本题考查回归分析的运用，考查学生的计算能力，确定线性回归直线方程是关键，属于基础题．7．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0；q：x=x0是f（x）的极值点，则p是q的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充条件D．既非充分条件也非必要条件【分析】利用函数的极值的定义可以判断函数取得极值和导数值为0的关系．【解答】解：根据函数极值的定义可知，函数x=x0为函数y=f（x）的极值点，f′（x）=0一定成立．但当f′（x）=0时，函数不一定取得极值，比如函数f（x）=x3．函数导数f′（x）=3x2，当x=0时，f′（x）=0，但函数f（x）=x3单调递增，没有极值．则p是q的必要不充分条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及函数取得极值与函数导数之间的关系，要求正确理解导数和极值之间的关系．8．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A．24 B．18 C．16 D．12【分析】根据题意先计算二年级女生的人数，则可算出三年级的学生人数，根据抽取比例再计算在三年级抽取的学生人数．【解答】解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3：3：2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．故选C．【点评】本题考查分层抽样知识，属基本题．9．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（﹣1，0），从而得出左焦点为F （﹣1，0），再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a 、b 、c 的平方关系建立方程组，解出a 、b 的值即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵抛物线方程为y 2=﹣4x ，∴2p=4，得抛物线的焦点为（﹣1，0）．∵双曲线的一个焦点与抛物y 2=﹣4x 的焦点重合，∴双曲线的左焦点为F （﹣1，0），设双曲线的方程为（a ＞0，b ＞0），可得a 2+b 2=1…①∵双曲线的离心率等，∴ =，即…②由①②联解，得a 2=，b 2=，∴该双曲线的方程为5x 2﹣=1．故选B ．【点评】本题重点考查双曲线的几何性质，考查抛物线的几何性质，正确计算双曲线的几何量是解题的关键．10．已知：a ，b ，c 为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如框图给出的一个算法输出一个整数a ，则输出的数a=4的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为4，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率，计算出从5个数中取三个的取法总数和所取的数最大为4的取法个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为4，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率，从集合A中任取三个数有=10种取法，其中最大数为4时，表示从1，2，3中任取2两个数，有=3种取法，故概率P=．故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，古典概型，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．11．f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（）A．bf（b）≤af（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（b）≤bf（a）【分析】先构造函数g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），通过求导利用已知条件即可得出．【解答】解：设g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），则g′（x）=xf′（x）+f（x）≤0，∴g（x）在区间x∈（0，+∞）单调递减或g（x）为常函数，∵a＜b，∴g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b）．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数来判断函数的单调性，恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．12．过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．利用k PM k PN=，化简，结合平方差法求解双曲线C的离心率．【解答】解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．由k PM k PN=，可得：，即，即，又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，所以，，所以，所以c2=a2+b2=，所以双曲线C的离心率为e===．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力．二、填空题13．三进制数121化为十进制数为16．（3）【分析】利用累加权重法，即可将三进制数转化为十进制，从而得解．=1×32+2×31+1×30=16【解答】解：由题意，121（3）故答案为：16【点评】本题考查三进制与十进制之间的转化，熟练掌握三进制与十进制之间的转化法则，是解题的关键．14．若“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假，则实数a的取值范围为﹣1≤a≤3．【分析】先求出的否定，再用恒成立来求解【解答】解：“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤3【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．15．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=6．【分析】将f′（2）看出常数利用导数的运算法则求出f′（x），令x=2求出f′（2）代入f′（x），令x=5求出f′（5）．【解答】解：f′（x）=6x+2f′（2）令x=2得f′（2）=﹣12∴f′（x）=6x﹣24∴f′（5）=30﹣24=6故答案为：6【点评】本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．16．以下五个关于圆锥曲线的中：①双曲线=1与椭圆=1有相同的焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆．其中真的序号为①②（写出所有真的序号）【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①双曲线=1的焦点坐标为（±5，0），椭圆=1的焦点坐标为（±5，0），所以双曲线=1与椭圆=1有相同的焦点，正确；②不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，由抛物线的定义可得：==半径．所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切，正确．③平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，所以不正确；④设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），由，可知P为AB的中点，则B（2x﹣m，2y﹣n），因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，当B与A重合时AB不是弦，所以点A除外，所以不正确．故答案为：①②．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆与双曲线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．三、解答题17．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．【分析】（1）计算酒精含量（mg/100ml）在各小组中的，绘制出频率分布直方图即可；（2）计算检测数据中酒精含量在80mg/100ml（含80）以上的频率，根据频率分布直方图中小矩形图最高的底边的中点是众数，再计算数据的平均数值．【解答】解：（1）酒精含量（mg/100ml）在[20，30）的为=0.015，在[30，40）的为=0.020，在[40，50）的为=0.005，在[50，60）的为=0.20，在[60，70）的为=0.010，在[70，80）的为=0.015，在[80，90）的为=0.010，在[90，100]的为=0.005；绘制出酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所示：…（2）检测数据中醉酒驾驶（酒精含量在80mg/100ml（含80）以上时）的频率是；…根据频率分布直方图，小矩形图最高的是[30，40）和[50，60），估计检测数据中酒精含量的众数是35与55；…估计检测数据中酒精含量的平均数是0.015×10×25+0.020×10×35+0.005×10×45+0.020×10×55+0.010×10×65+0.015×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=55．…【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与众数的计算问题，是基础题目．18．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】由题意可得q是p的充分不必要条件，设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0}，B={x|}，则由题意可得B⊊A，化简A、B，根据区间端点间的大小关系，求得实数a的取值范围．【解答】解：若￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件．设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0}={x|a＜x＜3a}，B={x|}={x|2＜x≤3}，则由题意可得B⊊A．∴，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围为（1，2]．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．19．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长为3cm 的等边三角形的三个顶点．（Ⅰ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）【分析】（Ⅰ）利用列举法得到所有事件个数，以及满足条件的事件个数，利用古典概型个数求概率；（Ⅱ）由题意，所求为几何概型概率，所以只要明确三角形区域面积以及射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm区域面积，利用几何概型公式解答即可．【解答】解：（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y2，y3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，}，{x3，y1}，{x3，y2}，{x3，y3}，共15个…其中可使|a﹣b|＞1发生的是后9个基本事件．故．…（Ⅱ）因为着弹点若与A、B、C的距离都超过1cm，则着弹点就不能落在分别以A，B，C 为中心，半径为1cm的三个扇形区域内，只能落在扇形外．…因为…部分的面积为，…故所求概率为P=．…【点评】本题考查了古典概型和几何概型概率求法；明确概率模型，利用相关的公式解答是关键．20．一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？【分析】设小正方形的边长为xcm，则盒子底面长为（8﹣2x）cm，宽为（5﹣2x）cm，高为xcm，运用长方体的体积公式可得无盖的小盒子的容积，求得导数和单调区间，可得极大值，即为最大值，以及最大值点．【解答】解：设小正方形的边长为xcm，则盒子底面长为（8﹣2x）cm，宽为（5﹣2x）cm，可得体积V=（8﹣2x）（5﹣2x）x=4x3﹣26x2+40x，（0＜x＜），V′=12x2﹣52x+40，令V′=0，可得x=1或x=（舍去），当0＜x＜1时，导数V′＞0，函数V递增；当1＜x＜时，导数V′＜0，函数V递减．可得函数V在x=1处取得极大值，且为最大值18．即小正方形边长为1cm时，盒子容积最大为18cm3．【点评】本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，正确求出体积的函数式和导数是解题的关键，属于中档题．21．已知两点，若一动点Q在运动过程中总满足|AQ|+|CQ|=4，O为坐标原点．（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（2）设过点B（0，﹣2）的直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积为1时，求此直线的方程．【分析】（1）由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，由此能求出点Q的轨迹E的方程．（2）设直线为：y=kx﹣2，将y=kx﹣2代入椭圆方程，（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出直线方程．【解答】解：（1）由题意知|PQ|=|AQ|，又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4…∴|CQ|+|AQ|=4》|AC|=2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，…2a=4，即a=2，2c=2，即c=，∴b2=4﹣3=1，∴点Q的轨迹E的方程为．…（2）由题意知所求的直线不可能垂直于x轴，所以可设直线为：y=kx﹣2，…M（x1，y1），N（x2，y2），将y=kx﹣2代入（1+4k2）x2﹣．∴…|x1﹣x2|===1．…解得k=，满足△＞0．∴﹣2．…【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判断式、韦达定理、弦长公式的合理运用．22．函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（1）如果函数g（x）单调减区间为（，1），求函数g（x）解析式；（2）在（1）的条件下，求函数y=g（x）图象过点p（1，1）的切线方程；（3）若∃x0∈（0，+∞），使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，求实数a取值范围．【分析】（1）求g（x）的导数，利用函数g（x）单调减区间为（，1），即是方程g'（x）=0的两个根．然后解a即可．（2）利用导数的几何意义求切线方程．（3）将不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，转化为含参问题恒成立，然后利用导数求函数的最值即可．【解答】解：（1）∵g'（x）=3x2+2ax﹣1，若函数g（x）单调减区间为（，1），由g'（x）=3x2+2ax﹣1＜0，解为，∴是方程g'（x）=0的两个根，∴，∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2…（2）设切点为（x0，y0），则切线方程为，将（1，1）代入得．所以切线方程为y=﹣x+2或y=1…（3）要使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，即2xlnx≥3x2+2ax﹣1+2成立．所以2ax≤2xlnx﹣3x2﹣1，在x＞0时有解，所以最大值，令，则，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单增，当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单减．∴x=1时，h（x）max=﹣4，∴2a≤﹣4，即a≤﹣2…【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，最值之间的关系，考查学生的运算能力．对含有参数恒成立问题，则需要转化为最值恒成立．。

湖北省黄冈市2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题文（扫描版）新人教A版2013年秋季高二数学期末考试参考答案（文科）一．选择题 1-10： ACDCA CDDDC二．填空题 11.2 12.c b a ,,都大于或等于1 13.8 14.1215.48 16. 29 17.（1）15 （2）601 三．解答题又因为ac a c 222≥+，0>b ， 所以abc a c b 2)(22≥+因此abc a c b c b a 4)()(2222≥+++ （当且仅当a=b=c 时等号成立）…………6分（2）为了证明xy y x 16)(222=-（3）第一组共有40×0.01×10=4人，记作A 1、A 2、A 3、A 4；第五组共有2人，记作B 1、B 2从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A 1，A 2}、{A 1，A 3}、{A 1，A 4}、{A 2，A 3}、{A 2，A 4}、{A 3，A 4}；{A 1，B 1}、{A 2，B 1}、{A 3，B 1}、 {A 4，B 1}；{A 1，B 2}、{A 2，B 2}、{A 3，B 2}、{A 4，B 2}；{B 1，B 2}．共有15种结果， 设事件A ：选出的两人为“黄金搭档组”．若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故P （A ）=158 ………………13分 21. （1）由题意知，5组频率总和为1，故第3组频率为0.3，所以0.3a = 总的频数为100，因此第4组的频数为20，即20b =…………3分……6分（2）第345、、组共60名学生，现抽取12人，因此第3组抽取的人数为：3012=660⨯人，第4组抽取的人数为：2012=460⨯人，第5组抽取的人数为：1012=260⨯人……………9分 （3）设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为ξ，ξ的可能取值为0123.、、、3831214(0)55C P C ξ=== 218431228(1)55C C P C ξ===128431212(2)55C C P C ξ=== 343121(3)55C P C ξ===至少为一人的概率为4155…………14分 22. 解：(1)归纳得f (5)＝1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41.………………4分(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，…， 由上式规律，可得f (n ＋1)－f (n )＝4n .…………6分 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.………………8分(3)当n≥2时，1f n－1＝12n n－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n－1－1n，∴1f1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1f n－1＝1＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＝32－12n.…………14分。

湖北省黄冈市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 文一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则p 的值为（ ）A ．2B ．4C ．-2D ．-4 2. 已知命题p ：0x ∀>，总有(1)1xx e +>，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃≤，使得00(1)1x x e +≤ B ．0x ∀>，总有(1)1x x e +≤ C ．00x ∃>，使得00(1)1x x e+≤ D ．0x ∀≤，总有(1)1x x e +≤3. 袋中装有红球3个、白球 2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个白球；至少有一个红球B ．至少有一个白球；红、黑球各一个C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；都是白球4. 中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗歌默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．65.方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A ．30m -<< B ．32m -<< C.34m -<< D ．13m -<< 6.水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以6/m s 的速度向外扩大，则从水滴接触水面后2s 末时圆面积的变化速率为（ ）A ．24π 2/m sB ．36π 2/m s C. 72π 2/m s D ．144π 2/m s 7.过抛物线2y x =焦点的直线与该抛物线交于A ，B 两点，若4AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ） A ．74 B ．94C ．4D ．28.已知()'(1)ln f x f x x =+，则()f e =（ ）A ．1e +B ．e C.2e + D ．3 9. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为4，2，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 10.2()()f x x x c =-在2x =处有极小值，则常数c 的值为（ ） A ．2 B ．6 C.2或6 D ．1 11.'()f x 为定义在R 上的函数()f x 的导函数，而'()3f x y =的图象如图所示，则()y f x =的单调递增区间是（ ）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞-C ．(1,1)-D ．(,3)-∞12. F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于B ，若2AF FB =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．2 C ．233 D ．143二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上. 13. 有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为 ．14.过点(1,1)P --向圆C ：22(1)(1)1x y -+-=作两条切线，切点分别为A ，B ，则过点P ，A ，C ，B 四点的圆的方程为 ．15.如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm ）检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为 ．16.古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构，当横梁的长度一定时，其强度与宽成正比，与高的平方成正比（即强度k =⨯宽⨯高的平方）.现将一圆柱形木头锯成一横梁（长度不变），当高与宽的比值为 时，横梁的强度最大.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题p ：方程2222220x y mx m m +-+-=表示圆；命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率(1,2)e ∈，若命题“()p q ⌝∧”为真命题，求实数m 的取值范围.18.为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：已知x 和y 具有线性相关关系.（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润z 取到最大值？（保留一位小数） 参考数据及公式：51()()12.3i i i x x y y =--=-∑，5221510i i x x =-=∑，121()()()n iii nii x x y y b x x ==--=-∑∑1221()ni ii nii x y nx yxnx==-=-∑∑，a y bx =-.19.已知圆C ：22(3)(4)4x y -+-=，直线l 过定点(1,0)A . （Ⅰ）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（Ⅱ）若l 与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程.（其中点C 是圆C 的圆心）20.某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120分、n 人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人.（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，现随机从中抽取2人上台抽奖.求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率；（Ⅲ）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率. 21.已知函数ln ()x f x x =，()(ln )2axg x x x =-.()a R ∈ （Ⅰ）求()y f x =的最大值；（Ⅱ）若1a =，判断()y g x =的单调性； （Ⅲ）若()y g x =有两个零点，求a 的取值范围.22.已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切.A 、B 是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线(0)y kx k =>与椭圆相交于E 、F 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值.参考答案（文科）一、选择题1-5: BCBBA 6-10: DBACA 11、12：DC 二、填空题 13.1314. 222x y += 15. 22.5 16. 2 三、解答题17．解：若命题p ：方程表示圆为真命题，则，解得．若命题q ：双曲线的离心率，为真命题，则，解得．命题“”为真命题，则p 为假命题,q 真命题， ，解得，综上可得：实数m 的取值范围是．18．解：（Ⅰ）可计算得5,3==--y x ， ∴23.1-=∧b ，8.69a yb x ∧-∧-=-=，∴y 关于x 的线性回归方程是 1.238.69y x ∧=-+，（Ⅱ）年利润2(2) 1.23 6.69z x y x x =-=-+， 其对称轴为7.246.269.6≈=x ，故当年产量约为2.7吨时，年利润z 最大. 19．解：（Ⅰ）直线l 无斜率时，直线l 的方程为1=x ，此时直线l 和圆C 相切，直线l 有斜率时，设方程为0)1(=--⇒-=k y kx x k y ，利用圆心到直线的距离等于半径得：4321k 432=⇒=+--=k k k d ，直线方程为3344y x =-，故所求直线方程为x=1或3x-— 4y=3.（Ⅱ）CPQ ∆面积最大时，090PCQ ∠=，22221=⨯⨯=S ， 即CPQ ∆是等腰直角三角形，由半径2=r 得：圆心到直线的距离为2， 设直线l 的方程为：0)1(=--⇒-=k y kx x k y ，1721422或=⇒=+-=k k k d ，直线方程为：77-=x y ，1-=x y . 20.解：（Ⅰ）由题意得620120120120n=++，解得160n =， （Ⅱ）从高二代表队6人中随机抽取2人的所有基本事件如下： (a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)(a,f)、(b,c)(b,d)(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)共15种；设“高二代表队中a 和b 至少有一人上台抽奖”为事件M ，其中事件M 的基本事件有9种.则53159)(==M P . （Ⅲ）由已知，可得0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，点(,)x y 在如图所示的正方形OABC 内，由条件2100101x y x y --≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，得到区域为图中的阴影部分. 由210x y --=，令0y =得12x =，令1y =得1x =. ∴113(1)1224S =⨯+⨯=阴. 设“该运动员获得奖品”为事件N ，则其概率43)(=N P .21.解：（Ⅰ）f ′(x)＝1－ln xx 2（x ＞0）， 当x∈(0，e)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，所以当x ＝e 时，f (x)取得最大值f (e)＝1e．（Ⅱ）a=1,ln 1,0g x x x x '=-+>（）,令()ln 1,0G x x x x =-+>，1()1G x x'=-，当01,0x G Gx '<<>，（）单调递增， 当1,0()x G G x '><，单调递减，max ()(1)0G x G ∴==,即ln 1x x ≤-，()0g x '∴≤.故()(ln )2xy g x x x ==-在x>0时单调递减.（III ）0,()ln 2axx h x x >=-令 g(x)有两个零点等价于h （x ）有两个零点， 2ln x a x ∴=由（1）知max 2ln 2()x x e =，由2ln ()x m x x =图像可知20a e<<. 22.解析（Ⅰ）由题意知：＝∴，∴224a b =.又∵圆222x y b +=与直线20x y -+=相切， ∴1b =，∴24a =，故所求椭圆C 的方程为.（Ⅱ）设1122()()E x kx F x kx ，，，，其中12x x <， 将y kx =代入椭圆的方程整理得：22(4)4k x +=，故．①又点E F ，到直线AB 的距离分别为，．所以四边形AEBF 的面积为22≤当24(0)k k =>，即当2k =时，上式取等号． 所以当四边形AEBF 面积的最大值时，k =2.。

2024届湖北黄冈数学高二上期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的离心率为5，则C 的渐近线方程为（）A.2y x =±B.2y x =±C.12y x =±D.y x =±2．某地为应对极端天气抢险救灾，需调用A ，B 两种卡车，其中A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，以备不时之需，若x和y 满足约束条件42320?26y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩则最多需调用卡车的数量为（ ）A.7B.9C.13D.143．过抛物线26y x =焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，则ABC 的面积为（ ） A.62 B.63 C.32D.334．某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为21米，则以下说法不正确（ ）A.底面边长为6米B.体积为3C.侧面积为243平方米D.侧棱与底面所成角的正弦值为555．已知等差数列{}n a 中的3a 、7a 是函数()321261f x x x x =-+-的两个不同的极值点，则25log a 的值为（） A.12B.1C.2D.36．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是 A.OM OA OB OC =++ B.23OM OA OB OC =++ C.111222OM OA OB OC =++ D.111333OM OA OB OC =++ 7． “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列{}n a 的第n 项，则50a 的值为（）A.1225B.1275C.1326D.13628．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (2)=2, ()1f x '>，则f (x )＞x 的解集是（ ） A.(0,2) B.(2,0)(0,2)-C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(2,)+∞9．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且2=PM MC ，=PN ND ，=++NM xAB y AD z AP ，则x y z ++=（ ）A.23- B.23 C.1D.5610．椭圆1C ：2214x y +=与双曲线2C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率之积为2，则双曲线的渐近线方程为（）A.2y x =±B.433y x =±C.393y x =±D.3913y x =±11．已知向量(2,1,3),(,2,1)a b x x ==-，若a b ⊥，则x =（） A.5- B.5 C.4D.1-12．已知一个乒乓球从m 米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的()01k k <<倍，则当它第8次着地时，经过的总路程是（ ） A.()8211mk k m k -+-B.()811mk k m k -+-C.()7211mk k m k-+-D.()711mk k m k-+-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年湖北省黄冈市高二上册期末数学质量检测试题一、填空题（每题3分）1.小陈掷两次骰子都出现6的概率为______.2.从{}1,2,3,4,5中随机取两个元素（可相同），则这两个元素的积不是6的倍数的概率为______.3.若等比数列的前n 项和14n n S a -=+，则a =______.4.若数列{}n a 满足1210212112n n n n n a a a a a +≤⎧⎪⎪=⎨≤-≤<⎪⎪⎩.若167a =，则2023a =______.5.为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：kg ）：5656575859596163646566686970737483据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______kg.6.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是______.7.已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为______万元.家庭年收入（单位：万元）[)4,5[)5,6[)6,7[)7,8[)8,9[)9,10频率f0.20.20.20.260.070.078.第14届国际数学教育大会（ICME-14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知佑老师和Lisa 老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______.9.112S n =+++ ，222212S n =+++ ，333312S n =+++ ，使1S ，2S ，3S 成等差数列的自然数n 的所有可能的值为______.10.已知()*234N n nn n a n n +⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2m 项之和为______.11.已知数列{}n a 满足11a =，()()2*118N n n a a m n +=+∈，若对任意的正整数n 均有4n a <，则实数m 的最大值是______.12.设数列{}n a 满足112a =，()()2*12023N n n n a a a n +=+∈，记()()()12111nn T a a a =--- ，则使得0n T <成立的最小正整数n 是______.二、选择题（每题4分）13.某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）A.①用简单随机抽样法；②用系统抽样法；B.①用分层抽样法；②用简单随机抽样法；C.①用系统抽样法；②用分层抽样法；D.①用分层抽样法；②用系统抽样法.14.已知数据1x ，2x ，…，n x 3n ≥*N n ∈是上海普通职工n 个人的年收入，这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（）A.年收入平均数增加，中位数一定变大，方差可能不变；B.年收入平均数增加，中位数可能不变，方差变大；C.年收入平均数增加，中位数可能不变，方差可能不变；D.年收入平均数增加，中位数可能变大，方差不变.15.对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（）A.1a ，3a ，9a 成等比数列B.2a ，3a ，6a 成等比数列C.2a ，4a ，8a 成等比数列D.3a ，6a ，9a 成等比数列16.已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，112b =，1111n n n n n n a b a b a b ++=+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，*N n ∈，则下列选项错误的是（）A.505014a b = B.5050112a b <C.5050a b +=D.505015a b -≤三、解答题17.（本题6分）某超市从一家食品有限公司购进一批茶叶，每罐茶叶的标准质量是125g ，为了解该批茶叶的质量情况，从中随机抽取20罐，称得各罐质量（单位：g ）如下：124.9、124.7、126.2、124.9、124.2、124.9、123.7、121.4、126.4、127.7、121.9、124.4、125.2、123.7、122.7、124.2、126.2、125.2、122.2、125.4；求：20罐茶叶的平均质量x 和标准差s .（精确到0.01）18.（本题6分）俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率.19.（本题10分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且410a =.（1）若20590S =，求{}n a 的公差；（2）若1a Z ∈，且7S 是数列{}n S 中最大的项，求1a 所有可能的值.20.（本题12分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为()1,3-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若122n a n n b a +=，求数列{}n b 前n 项和n S .21.（本题14分）已知数列{}n a 满足11a =，11n n na a a +=+.（1）写出数列{}n a 的前四项；（2）判断数列(){}2n a 的单调性；（3）求证.()221211)n n a ++<<+答案一、填空题1.【正确答案】1362.这两个元素的积是6的倍数的有()2,3，()3,2，()3,4，()4,3，则这两个元素的积不是6的倍数的概率为42115525P =-=⨯.3.11444n n n S a a -=+=⋅+，由等比数列的性质，14a =-.4.167a =，257a =，337a =，467a =，周期为3，则2023167a a ==.5.170.7512.75⨯=，故第75百分位数为第13个数据，为69kg.6.设公差为d ，则()()24613536d a a a a a a =++-++=-，所以2d =-，13533105a a a a ++==，所以335a =，所以3(3)241n a a n d n =+-=-+，所以200a >，210a <，则使得n S 达到最大值的n 是20.7.【正确答案】6.58.设7天的编号依次为1，2，3，4，5，6，7，则连续的三天分别为123，234，345，456，567，共5种情况，所以张老师与李老师随机选择的总数为115525C C =种情况，两人选择的日期恰好都不相同的分别为()123,456，()123,567，()234,567，()456,123，()567,123，()567,234共6种情况，所以所求事件的概率为625.9.1(1)2n n S +=，2(1)(21)6n n n S ++=，223(1)4n n S +=，由2132S S S =+，得22(1)(21)(1)(1)324n n n n n n n ++++=+，即23520n n -+=，解得1n =.10.()()21321242m m m S a a a a a a -=+++++++ ()24116(541)2116mm m ⨯-++⋅=+-11216161616(23)23151515m n m m m m ++-=+⋅+=++.11.法一：()()221114288n n n n n a a a a m a m +-=-+=-+-，若2m >，则12n n a a m +-≥-，所以()()112111(2)()n n n a a a a a a n m n ++=+-++-=+-→∞→∞ ，所以2m ≤，当2m =时，()21128n n a a +=+，得()()114448n n n a a a +-=+-，又11a =，得()()1440n n a a +-->，因为1430a -=-<，故40n a -<，符合题意，所以实数m 的最大值是2.法二：一方面，当2m =时，()21128n n a a +=+，得()()114448n n n a a a +-=+-，又11a =，得()()1440n n a a +-->，因为1430a -=-<，故40n a -<；另一方面，若2m >，则44320m ∆=-<，得递推数列无不动点，由蛛网图得，当n →+∞，n a →+∞，综上，实数m 的最大值为2.12.因为212023n n n a a a +=+，又112a =，所以2102023n n n a a a +-=>，故数列{}n a 为严格递增数列，则12n a ≥，由212023n n n a a a +=+得2120232023n n n a a a +=+，进而有()120232023n n n a a a +=+，进而有()1120231120232023n n n n n a a a a a +==-++，有11112023n n n a a a +-=+，所以1111112023n i n n a a a =+-=+∑，所以20231202411122202311202320232i i a a ==->-⨯>++∑，20241a <，所以2024120251112220241202320231i i a a ==-<-⨯=++∑，所以20251a >，综上，1220240T T T >>>> ，20250T <，要使0n T <的正整数n 的最小值为2025.二、选择题13.B 14.B15.记{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则22431a a q =⋅，28191a a a q ⋅=⋅，26261a a a q ⋅=⋅，故当1q ≠±时，A 、B 选项均不正确；22641a a q =⋅，28281a a a q ⋅=⋅，当1q ≠±时，C 也不正确；221061a a q =⋅，210391a a a q ⋅=⋅，故D 选项正确.故选D.20.（1）由题意得10a ≠，方程2130a x dx --=的两个根分别为－1和3，则11233d a a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-=-，*N n ∈.（2）由（1）得(21)2n n b n =-，故121232(21)2n n S n =⨯+⨯++- ①，23121232(21)2n n S n +=⨯+⨯++- ②，两式相减得()123122222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-- ，整理得1(23)26n n S n +=-⨯+，*N n ∈.21.（1）11a =，22a =，352a =，42910a =.（2）因为1n a ≥，110n n na a a +-=>，所以11n n a a +>≥，所以有2211n n a a +>≥，故(){}2n a 为严格增数列.（3）用数学归纳法：当1n =221a <=<明显成立；当n k =时，假设命题成立，11k a +<<+，所以当1n k =+21k a +<<+成立即可.2k a +<：由于111k k a a +++随k的增大而增大，所以有111k k a a +++>，只需证>，两边平方12122321k k k +++>++，化简得1021k >+，明显成立.再证右边1111k k a a +++<+：由于111k k a a +++随k的增大而增大，所以有1111k k a a +++<只需证11++<，11+<，化简得21)11)1)++<+⋅+，进一步化简21k ++<，再平方，左边241422(2k k k k =+++++，右边244222(2k k k k =+++++.综上所述，原命题成立，即()221211)n n a ++<<+.。